Aula 6 Elementos Planimétricos Curva de Transição

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Projetos de 
Estradas e 
Ferrovias
PROF: IGOR OLIVEIRA
ELEMENTOS 
PLANIMÉTRICOS
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CONCEITOS
Quando o alinhamento muda instantaneamente da tangente para uma
curva circular, o motorista não pode manter o veiculo no centro da
faixa, no inicio da curva.
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CONCEITOS
Para conseguir isso seria necessário que mudasse instantaneamente
também a posição das rodas, no momento da passagem pelo PC.
Impacto da forca centrifuga em parte balanceada com a própria inercia
do veiculo pode resultar se não em uma situação de serio perigo, pelo
menos numa situação desconfortável e pouco segura.
Do ponto de vista teórico, o que se deseja e limitar a ação da forca
centrifuga sobre o veiculo, para que sua intensidade não ultrapasse um
determinado valor. Isso se consegue através da utilização de uma curva
de transição intercalada entre o alinhamento reto (trecho em tangente)
e a curva circular. Esta transição e realizada com o fim de distribuir
gradativamente o incremento da aceleração centrifuga.
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CONCEITOS
As normas do DNIT somente dispensam o uso de curvas de transição
nas concordâncias horizontais com curvas circulares de raios superiores
aos valores indicados na tabela abaixo, para as diferentes velocidades
diretrizes apontadas.
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Espiral de Transição
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Clotóide – Espiral de Transiçaõ
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Características Geométricas 
das Estradas
Equação espontânea da espiral de transição:
Onde:
ρ: raio de curvatura num ponto qualquer da 
curva de transição (m);
L: comprimento da curva de transição, da 
origem até o ponto considerado (m);
K²: constante positiva (m²)
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Características Geométricas 
das Estradas
Observações:
Na espiral, o r (raio de curvatura) varia 
de 0 a ∞.
A curva de transição a ser considerada 
será um segmento da Clotóide, cuja 
equação é:
A variação do raio de curvatura do 
segmento da Clotóide a ser considerada 
no projeto é ∞ (no TS) a R (no SC).
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Características Geométricas 
das Estradas
Vantagens
Aumento e diminuição gradativa da força centrífuga que atua sobre os
veículos nas curvas;
A transição entre a inclinação transversal do trecho em tangente para a
superelevação do trecho em curva pode ser efetuada na curva de
transição;
No caso de superlargura numa seção transversal em curva circular, a
espiral facilita a transição da largura do trecho em tangente para o
trecho alargado na curva circular;
A visualização da estrada torna-se melhor pela supressão de
descontinuidade no inicio e no fim das curvas circulares.
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Espiral de Transição; Espiral de 
Cornu ou Radióde aos Arcos
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Tipos de Transição
A introdução de espirais de transição nas concordâncias horizontais
pode ser efetuada de três maneiras, gerando os diferentes tipos de
transição conhecidos, que são:
transição a raio e centro conservados;
transição a centro conservado.
transição a raio conservado;
Em todos os casos, pode-se imaginar, para fins de raciocínio, uma
concordância inicialmente feita com uma curva circular simples, de raio
R, concordância esta que é aperfeiçoada mediante a inserção de
espirais de transição entre as tangentes e a curva circular.
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Transição a raio e centro 
conservados
Neste tipo de transição,
procura-se inserir as duas
espirais sem modificações no
raio da curva circular nem na
sua posição É fácil perceber
visualmente, observando a
disposição que isto só é
possível com a diminuição do
trecho em curva circular, e
com o afastamento das
tangentes em relação à
posição da curva circular (esta
constatação pode ser
confirmada analiticamente).
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Transição a raio e centro 
conservados
À vantagem de se conseguir manter o raio da curva circular e ao
menos parte do traçado inicial do trecho em curva circular (em que
situações isto pode ser vantajoso ?), contrapõe-se a necessidade de se
deslocar as tangentes para a acomodação das espirais.
O deslocamento das tangentes implica na necessidade de
modificações nas duas concordâncias adjacentes, causando óbvios
transtornos.
A utilização deste tipo de concordância só se justifica quando não se
pode evitar um ponto obrigado situado sobre a curva circular original.
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Transição a Centro 
Conservado
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Evitando o deslocamento
das tangentes para a
inserção das espirais de
transição, este tipo de
transição preconiza o
afastamento da curva
circular, em relação às
tangentes, mediante a
redução do raio da curva
circular em valor igual ao
do afastamento necessário
à acomodação dos ramos
de espiral, mantendo-se
inalterada a posição do
centro da curva circular
original.
Transição a Centro 
Conservado
A manutenção do posicionamento das tangentes é uma vantagem clara que
este tipo de transição apresenta em relação ao anterior. No entanto, a
manutenção simultânea do centro da curva circular demanda a redução do
raio da curva original para viabilizar o seu afastamento em relação às
tangentes, conforme se pode constatar a partir da observação do esquema.
A necessidade de redução do raio da curva circular e o consequente
deslocamento do traçado em curva original para o lado de dentro da
concordância são as principais desvantagens decorrentes do uso deste tipo de
transição.
A mais significativa é a redução do raio de curva, pois geralmente a escolha do
raio original é feita com algum propósito relevante (por exemplo, a escolha de
um raio fracionário tal que resulte em deflexões inteiras). O deslocamento do
traçado em curva é relativamente pequeno e não representa, em geral,
transtornos significativos, exceto quando há pontos obrigados a serem
atingidos pelo traçado.
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Transição a Raio Conservado
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A inserção das espirais de
transição sem alterar a posição
das tangentes pode também ser
feita sem que seja alterado o
raio da curva circular.
Isto implica, naturalmente, na
necessidade de deslocamento
da curva circular para o lado de
dentro da concordância, para
que se dê o afastamento
necessário à a comodação dos
ramos de espiral, o que reduz
também a extensão do trecho
em curva circular, como se pode
observar no esquema
Transição a Raio Conservado
Sendo mantido o raio da curva circular, o afastamento da curva implica
também no deslocamento do centro da curva – o que não afeta a
qualidade da concordância . O próprio deslocamento da curva, a
exemplo do que ocorre no tipo de transição anterior, é relativamente
pequeno e, exceto nas situações especiais já comentadas, não
representa transtornos significativos na prática.
A Vantagem de possibilitar a manutenção do raio da curva circular no
valor originalmente desejado, sem alterar a posição das tangentes que
se interceptam, torna este tipo de transição o preferido para uso
normal nos projetos das concordâncias. Os outros tipos têm utilização
esporádica, em casos especiais.
As fórmulas e procedimentos de cálculo para o projeto da transição a
raio conservado, que serão vistos detalhadamente mais adiante, são
facilmente adaptáveis para o projeto dos outros tipos de transição.
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Esquema da Transição Com a 
Espiral
Com a inserção de dois ramos de espiral entre a curva circular e as
tangentes adjacentes, a concordância com curva de transição apresenta
4 pontos singulares a serem definidos (ao invés do PC e do PT, no caso
da concordância com curva circular simples), correspondentes aos
pontos de contato das tangentes com as espirais e destas com a curva
circular.
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TS (sigla oriunda da
denominação original, em
inglês, Tangent – to – Spiral),
que corresponde ao início da
concordância horizontal, no
ponto de passagem da
tangente para a espiral;
SC (Spiral – to – Curve), no
ponto de passagem da espiral
para a curva circular, onde o
raio de curva é comum;
CS (Curve – to – Spiral), na
passagem da curva circular
para a espiral,onde o raio de
curva ainda é o mesmo;
ST (Spiral – to – Tangent), no
final da concordância
horizontal, na passagem da
espiral para a tangente.
PI : ponto de interseção (das 
tangentes);
I : ângulo de deflexão;
O : centro da curva circular;
R : raio da curva circular (m);
TS : tangente externa ou exterior 
(m);
LC : comprimento da espiral (m);
DC : comprimento da (ou 
desenvolvimento em) curva 
circular (m);
SC : ângulo central correspondente 
a um ramo da espiral;
q : ângulo central correspondente 
à curva circular.
Comprimento das Curvas de 
Transição
Comprimento Mínimo – 1o Critério (Dinâmico)
Velocidade (V) constante ate alcançar a curva circular;
Taxa de variação da aceleração centrípeta (Jmax);
Raio da curva circular (RC).
Taxa de variação da aceleração centrípeta (J) não deve exceder ao valor 
de 0,6m/s3.
Para “V” em km/h; “RC” em m e Jmax =0,6m/s3, resulta: Comprimento 
mínimo da curva de transição (Lsmin).
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Comprimento das Curvas de 
Transição
Comprimento Mínimo – 2o Critério (Superelevação)
A superelevação e obtida através da alteração de cota relativa entre os
bordos do pavimento e o eixo da pista. O desnível máximo a ser
mantido constante em toda a curva circular, deve ser alcançado
gradativamente ao longo da curva de transição. Seu valor “H” depende
da superelevação na curva circular (e) e da largura da faixa de trafego
(lf).
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Comprimento das Curvas de 
Transição
Comprimento Mínimo – 3o Critério (Tempo de Transição)
E desejável que o tempo de percurso da curva de transição não seja
inferior a um valor mínimo, que e normalmente tomado como 2
segundos (DNER, AASHO). Fixada a velocidade (V), resulta, em relação a
este tempo mínimo (tsmin), um comprimento mínimo (Lsmin).
Para “V” em km/h e adotando “tsmin” igual a 2 s temos
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Comprimento das Curvas de 
Transição
Comprimento Máximo de Transição
E necessário, também, limitar superiormente o comprimento das curvas
de transição. Fixação de uma taxa mínima de variação da aceleração
centrípeta na curva de transição, isto e, a adoção de um Curvas
circulares com transição: “Jmin”, usualmente 0,3m/s3.
“V” (km/h), “RC” (m) e “Jmin” = 0,3m/s3, temos:
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Comprimento das Curvas de 
Transição
Escolha do Comprimento de Transição
O maior valor obtido através do calculo de “Lsmin” , a partir do 1o, 2o 
e 3o critério, e o limite que devera ser observado para o calculo da 
curva de transição.
Normalmente, são escolhidos para “Ls” valores múltiplos de 20 
metros; 
E um valor de referencia; sempre que possível, adota-se para “Ls” 
valores maiores, os quais proporcionarão uma transição mais 
confortável.
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Exemplo
1) Determinar o comprimento de transição da curva, mínimo e máximo, 
sabendo-se que: V=120km/h; RC=300m; e=8%; lf=3,50m
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Cálculo da Transição com a 
Espiral
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ATENÇÃO: SC= PONTO DE 
PASSAGEM DA ESPIRAL PARA 
CURVA.
Sc: ÂNGULO CENTRAL DA ESPIRAL 
Ângulo Central da 
Transição
Desen. em curva 
circular
Ângulo da Curva 
Circular
Cálculo da Transição com a 
Espiral
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Cálculo da Transição com a 
Espiral
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Cálculo da Transição com a 
Espiral
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ROTEIRO PARA CÁLCULO DOS ELEMENTOS 
GEOMÉTRICOS NA CONCORDÂNCIA COM CURVA 
COM TRANSIÇÃO EM ESPIRAL
1º.) Definição do raio da curva circular (R);
2º.) Com o valor de R, determina-se o
comprimento da curva de transição mais
adequado;
3º.) Com os valores de “le” e “R”, podem ser
imediatamente colhidos os valores de alguns
elementos geométricos que independem do
Ângulo Central (AC), ou seja, Sc, Xc, Yc, p, q,
ic, jc; estes valores podem ser obtidos através
do uso de tabelas ou podem ser calculados a
partir das expressões apresentadas
anteriormente;
4º.) Combinando-se os valores encontrados
com o valor do Ângulo Central, determina-se
o valor correspondente à Tangente Total (Ts),
o ângulo central da curva circular () e o
desenvolvimento da curva circular (D);
5º.) Abatendo-se o valor de Ts, em estacas,
do valor da estaca correspondente ao PI,
determina-se a estaca do TSE ou TSD;
6º.) Partindo-se da estaca do TSE ou TSD e
somando-se o valor de Le, em estacas, tem-
se a estaca do SC;
7º.) Partindo-se do valor da estaca do ponto
correspondente ao SC e somando-se ao
mesmo o valor de D, em estacas, tem-se a
estaca do CS;
8º.) Partindo-se da estaca do ponto CS, mais
o valor de Le, em estacas, tem-se a estaca do
ponto correspondente ao ST.
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EXEMPLO
Numa curva de transição, o comprimento de transição (Ls) é 107,17m . 
Calcular a estaca do ST. Dados: Δ = 50º, Rc = 500 m, Vp = 100 km/h e 
E(PI) = 210 + 0,00.
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