Aula 5 - Alinhamento Horizontal - Transição

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ESTRADAS E AEROPORTOS
Alinhamento horizontal 
CURVAS HORIZONTAIS DE 
TRANSIÇÃO 
 Quando um veículo entra numa curva,
dá origem a uma força centrífuga cuja
intensidade é diretamente
proporcional ao peso do veículo e ao
quadrado da velocidade, e
inversamente proporcional ao raio da
curva,
 Imaginando a aplicação da
superelevação (incremento da
inclinação da pista) nas curvas
circulares, teríamos a formação de um
degrau ou a brusca passagem da
tangente para a curva (no PC), o que
é impraticável. Também não é possível
fazer uma gradual e suave alteração
da inclinação dentro da curva circular
uma vez que a força centrífuga passa
a agir logo após o PC com intensidade
máxima e igual a exercida em todo o
restante da curva.
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CURVAS HORIZONTAIS DE 
TRANSIÇÃO 
Tipos de curvas de transição
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 Para corrigir essa deficiência das curvas
circulares de pequeno raio, foram
introduzidas na Engenharia de Rodovias
e Ferrovias as CURVAS DE TRANSIÇÃO,
onde são criadas curvas intermediárias
concordando tangente e curva circular
de modo a garantir o desenvolvimento
gradual da força centrífuga, de seu
valor nulo em tangente até atingir seu
valor máximo no início da curva circular
acomodando a variação da
superelevação em perfeito equilíbrio
geométrico.
 As curvas de transição são arcos de
curvas de raio variável, de valor infinito
na tangente até valor igual ao raio da
própria curva circular; este ponto, onde
os raios da curva de transição e circular
são iguais, denominamos de PONTO
OSCULADOR.
CURVAS HORIZONTAIS DE 
TRANSIÇÃO 
4
 Clotóide ou espiral de Cornu
CURVAS HORIZONTAIS DE 
TRANSIÇÃO 
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A. Raio conservado
B. Centro conservado
C. Raio e Centro conservado
A
B C
Curva de transição - elementos
➢ PI = Ponto de interseção. 
➢ I = Deflexão total da curva. 
➢ TS = Ponto de curva. 
➢ SC = Ponto osculador. 
➢ CS = Ponto osculador. 
➢ ST = Ponto de tangente. 
➢ ρ = Raio da espiral. 
➢ R = Raio da circular. 
➢ LC = Comprimento total da espiral. 
➢ L = Comprimento na espiral. 
➢ SC = Ângulo central total da espiral. 
➢ S = Ângulo central da espiral. 
➢ AC = Ângulo central da circular. 
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 os elementos são identificados no sentido crescente do estaqueamento; observe-
se que os dois ramos da espiral são, por construção, exatamente iguais e
simétricos, garantindo assim as mesmas condições de tráfego nos dois sentidos.
Curva de transição - cálculo dos 
elementos
 COMPRIMENTO MÍNIMO
• LCmin = comprimento mínimo da 
espiral (metros)
• V= Velocidade diretriz (Km/h)
• R= Raio da curva circular 
projetada (metros).
 COMPRIMENTO NORMAL
• LC = comprimento da espiral 
(metros)
• R= Raio da curva circular 
projetada (metros).
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 No ramo espiral da transição (LC) vai ocorrer todo o desenvolvimento da superelevação,
portanto a definição do seu comprimento é função direta da grandeza do raio da curva,
da velocidade diretriz e da taxa de superelevação, podendo ser visualizado como sendo o
comprimento necessário para se percorrer a espiral em um tempo compatível com a
assimilação da trajetória pelo veículo e pelo usuário.
𝐿𝑐 𝑚𝑖𝑛 =
0,036 × 𝑉3
𝑅
𝐿𝑐 = 6 × 𝑅
Curva de transição - cálculo dos 
elementos
 ÂNGULO CENTRAL DA ESPIRAL
 PONTO QUALQUER
 PONTO OSCULADOR
• S = ângulo central da espiral (radianos)
• SC = ângulo central total da espiral 
(radianos)
• L = comprimento entre o ponto TS e o ponto 
qualquer da transição (metros).
• LC = comprimento total da transição, entre o 
ponto TS e o ponto SC (metros).
• R= Raio da curva circular (metros).
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𝑆𝑐 =
𝐿𝐶
2 × 𝑅
(𝑟𝑎𝑑)
𝑆 =
𝐿2
2 × 𝑅 × 𝐿𝑐
(𝑟𝑎𝑑)
𝑰 = 𝟐 × 𝑺𝑪 + 𝑨𝑪
Curva de transição - cálculo dos 
elementos
 COORDENADAS 
CARTESIANAS DE UM PONTO 
DA ESPIRAL
 PONTO QUALQUER
• x em metros
• y em metros
• S em radianos
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𝑦 = 𝐿 × (1 −
𝑆2
10
+
𝑆4
216
)
𝑥 =
𝐿 × 𝑆
3
× 1 −
𝑆2
14
+
𝑆4
440
𝑰 = 𝟐 × 𝑺𝑪 + 𝑨𝑪
Curva de transição - cálculo dos 
elementos
 COORDENADAS 
CARTESIANAS DE UM PONTO 
DA ESPIRAL
 PONTO OSCULADOR
• xC em metros
• yC em metros
• SC em radianos
10
𝑦𝑐 = 𝐿𝐶 × (1 −
𝑆𝐶
2
10
+
𝑆𝐶
4
216
)
𝑥𝐶 =
𝐿𝐶 × 𝑆𝐶
3
× 1 −
𝑆𝐶
2
14
+
𝑆𝐶
4
440
Curva de transição - cálculo dos 
elementos
 COORDENADAS CARTESIANAS 
DO PC E PT DESLOCADO
 COORDENADAS CARTESIANAS 
DO PC E PT PRIMITIVOS
 TANGENTE EXTERNA TOTAL
 RECUO DA CURVA CIRCULAR
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𝑞 = 𝑦𝐶 − 𝑅 × 𝑠𝑒𝑛 𝑆𝑐
𝑝 = 𝑥𝐶 − 𝑅 × (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑆𝑐 )
𝑑 = 𝑞 + 𝑝 × 𝑡𝑔
𝐼
2
𝑇𝑠 = 𝑞 + 𝑅 + 𝑝 × 𝑡𝑔
𝐼
2
𝑡 = ൗ
𝑝
𝑐𝑜𝑠 𝐼/2
Curva de transição - cálculo dos 
elementos
 DEFLEXÕES DO RAMO DA 
ESPIRAL REFERENCIADO À 
ORIGEM
 PONTO QUALQUER
 PONTO OSCULADOR
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𝑖 =
𝑆𝐶
3
×
𝐿
𝐿𝐶
2
𝑖𝐶 =
𝑆𝐶
3
, ou tg 𝑖𝐶 =
𝑥𝐶
𝑦𝐶
Curva de transição - cálculo dos 
elementos
 CORDA TOTAL DA ESPIRAL
 PONTO QUALQUER
 PONTO OSCULADOR
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𝐶𝐶 =
𝑦𝐶
𝑐𝑜𝑠 𝑖𝐶
𝐶 =
𝑦
𝑐𝑜𝑠 𝑖
Curva de transição - cálculo dos 
elementos
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 COMPATIBILIDADE ENTRE RAIO E DEFLEXÃO
Nos casos de deflexões pequenas, menores que 55º, existe a possibilidade
de, conforme o raio adotado, o arco circular desaparecer entre os dois
ramos da espiral, ou formando um cotovelo ou o cruzamento destes ramos,
ao invés da desejada concordância. Para evitar sucessivas tentativas de
correção, deve-se verificar se a deflexão medida (real) é maior que a
deflexão calculada, definida pela seguinte expressão:
Se Imed > Icalc significa que há compatibilidade entre raio e deflexão; caso
contrário (Imed < Icalc), deve ser feita uma reavaliação a partir da
alteração do valor do raio, no caso aumentando-o por ser a única
variável, pois a deflexão medida é inalterável.
𝑰𝒄𝒂𝒍𝒄 =
𝟑𝟒𝟐 × 𝑹 + 𝟐𝟗𝟎
𝑹
Curva de transição
➢ Estaca TS = Estaca PI -TS. 
➢ Estaca SC = Estaca TS + LC
➢ Estaca CS = Estaca SC + DC. 
➢ Estaca ST = Estaca CS + LC. 
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 Estaca dos pontos notáveis
Curva de transição – dispensa da curva
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 Na prática, a aplicabilidade da curva de concordância de transição é
limitada a adoção de raios pequenos, ou seja, menores que 614,250m.
Raios maiores devem contemplar curvas de concordância circular (Pereira,
Djalma M. PROJETO GEOMÉTRICO DE RODOVIAS. 2015).
 As normas do DNER somente dispensam o uso de curvas de transição nas
concordâncias horizontais com curvas circulares de raios superiores aos
valores indicados na tabela abaixo, para as diferentes velocidades
diretrizes ali apontadas.
RAIOS DE CURVA QUE DISPENSAM CURVAS DE TRANSIÇÃO
Exercício proposto
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Conhecidos alguns elementos a seguir discriminados, de quatro curvas consecutivas de
concordância horizontal do projeto de uma rodovia, calcular todos os demais. Adotar corda base
de 10,000m, estaqueamento de 20,000m e velocidade diretriz de 70Km/h.. Em caso de
sobreposição de duas curvas, ajustar os elementos da curva subsequente no sentido do
estaqueamento, visando torna-las curvas coladas.
ALINHAMENTOS DEFLEXÕES RAIOS ESCOLHIDO
0=PP - PI1 = 800,00m I1 = 24º 30’ R1 = 200,00m
PI1 - PI2 = 260,00m I2 = 18º 30’ R2 = 400,00m
PI2 - PI3 = 420,00m I3 = 35º R3 = 725,00m
PI3 - PI4 = 380,00m I4 = 25º R4 = 810,00m
Exercício proposto
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Verificação da compatibilidade entre a deflexão e o raio
Calculo do LC
𝐼𝑐𝑎𝑙𝑐 =
342 × 200 + 290
200
= 25,63305 → 25º37′59" > 24º30′
𝐼𝑐𝑎𝑙𝑐 =
342 × 220 + 290
220
= 24,3758171145 → 24º22′33" < 24º30′
𝐿𝑐 𝑚𝑖𝑛 =
0,036×𝑉3
𝑅
=
0,036×703
220
=56,127m
𝐿𝑐 = 6 × 𝑅 = 6 × 220= 88,994 m
Exercício proposto
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ÂNGULO CENTRAL DA ESPIRAL
COORDENADAS CARTESIANAS DE UM PONTO DA ESPIRAL
𝑆𝑐 =
𝐿𝐶
2 × 𝑅
=
88,994
2 × 220
= 0,202259090909𝑟𝑎𝑑 → 11,5885922772° = 11°35′19"
𝑦𝑐 = 𝐿𝐶 × 1 −
𝑆𝐶
2
10
+
𝑆𝐶
4
216
= 88,994 × 1 −
0,2022…2
10
+
0,2022…4
216
= 88,631𝑚
𝑥𝐶 =
𝐿𝐶 × 𝑆𝐶
3
× 1 −
𝑆𝐶
2
14
+
𝑆𝐶
4
440
=
88,994 × 0,2022…
3
× 1 −
0,2022…2
14
+
0,2022…4
440
= 5,982𝑚
Exercício proposto
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COORDENADAS CARTESIANAS DO PC E PT DESLOCADO
COORDENADAS CARTESIANAS DO PC E PT PRIMITIVOS
TANGENTE EXTERNATOTAL
RECUO DA CURVA CIRCULAR
𝑞 = 𝑦𝐶 − 𝑅 × 𝑠𝑒𝑛 𝑆𝑐 = 88,631 − 220,00 × 𝑠𝑒𝑛 11°35
′19" = 44,437𝑚
𝑝 = 𝑥𝐶 − 𝑅 × 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑆𝑐 = 5,982 − 220,00 × 1 − 𝑐𝑜𝑠 11°35
′19" = 1,497𝑚
𝑑 = 𝑞 + 𝑝 × 𝑡𝑔
𝐼
2
= 44,437 + 1,497 × 𝑡𝑔
24º30′
2
= 44,762𝑚
𝑇𝑠 = 𝑞 + 𝑅 + 𝑝 × 𝑡𝑔
𝐼
2
= 44,437 + 220 + 1,497 × 𝑡𝑔
24º30′
2
= 92,529𝑚
𝑡 = ൗ
𝑝
𝑐𝑜𝑠 𝐼/2 = ൗ
1,497
𝑐𝑜𝑠 24º30′/2
= 1,533𝑚
Exercício proposto
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Conhecidos alguns elementos a seguir discriminados, de quatro curvas consecutivas de
concordância horizontal do projeto de uma rodovia, calcular todos os demais. Adotar corda base
de 10,000m, estaqueamento de 20,000m e velocidade diretriz de 70Km/h.. Em caso de
sobreposição de duas curvas, ajustar os elementos da curva subsequente no sentido do
estaqueamento, visando torna-las curvas coladas.