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FACULDADE DE ENGENHARIA SÃO PAULO - FESP 
CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
Treliças e Vigas Isostáticas 
 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 14.20 /14.22 
 
 14.24 /14.26 
 
 Resposta: 11,72 mm Resposta: 33,68 x 103 rad 1,93o 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 14.59 /14.60 
 
 
Resposta: X1,50 mm / Y11,26 mm 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 14.65 /14.66 
 
Resposta: C,hor0,234 mm / D,vert1,164 mm 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
   
 
 
 
 
14.73 (FESP S2/nov2011) Determinar o deslocamento horizontal no ponto (2), utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais para a 
estrutura indicada na Figura 1. Dado: Módulo de Elasticidade do aço E = 205 x106 kN/m2. 
 
 
 
Figura 1 (a) Esquema Estrutural: dimensões e propriedades (b) Diagrama de Momentos Fletores (kN.m) 
 
 
mm064
107213102053
231717131
107213102053
26830368
2
6666
,
,
,,
,
,,













 
 
A 6660 mm 2
Y
X
I Y
6 4 6,34 10 mm x 
100 kN
Y
X
A A
corte AA
A A
B
B
corte BB
I X
6 4 213,7 10 mm x 
(1)
(2)
(3)
(4)
3 m
4 
m
2 
m
W 460 52,0x
Resposta: A,vert6,23 mm / B,vert3,79 mm 
 
Resposta: D,hor4,12 mm / E,hor0,89 mm 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
14.74 (FESP A3/dez2011) Determine o deslocamento vertical do nó A da estrutura mostrada na Figura 2, utilizando-se o Princípio 
dos Trabalhos Virtuais. Dados: módulo de elasticidade longitudinal E205 x106 kN/m2, área da seção transversal 
A 400 mm2, esforços normais devidos às cargas reais e, devidos à carga virtual. 
 
Figura 2 Treliça isostática em balanço 
 
 
 
 
 
i Ni (kN) ni (kN) Li (mm) Ni.ni.Li
1 180,00 2,25 3000,00 1215000
2 50,00 1,25 2500,00 156250
3 60,00 0,00 2000,00 0
4 -180,30 -1,80 3605,55 1170145,6
5 -30,00 -0,75 1500,00 33750
6 -30,00 -0,75 3000,00 67500
S 2642645,611
mm32
400205
611,2642645



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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
Teorema de Castigliano 
Treliças e Vigas Isostáticas 
 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
Resposta: E,vert2,95 mm / B,vert3,38 mm 
 
 14.153 /14.154 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
 
 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
Analogia de Mohr 
Vigas Contínuas 
 
 
 Fonte: MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: ELSEVIER, 2010. 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA SÃO PAULO - FESP 
CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 
 
Fonte: MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: ELSEVIER, 2010. 
 
EXERCÍCIO 8 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 800 mm. 
 
 
 
 Resposta: UY,mín = 5,3 mm / RZ,A= 0,0014 rad / RZ,B= 0,0007 rad. 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
EXERCÍCIO 9 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 800 mm. 
 
 
Resposta: UYmín = 4,07 mm / RZA= 0,00097 rad / RZB= 0,00069 rad. 
EXERCÍCIO 10 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 800 mm. 
 
Resposta: UYmín = 3,06 mm / RZA= 0,0007 rad / RZB= 0,00062 rad. 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
EXERCÍCIO 11 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 800 mm para o primeiro tramo e 200 x 800 mm para 
o segundo tramo. 
 
 
 Resposta: UYmín = 4,69 mm / RZA= 0,00126 rad / RZB= 0,00042 rad. 
EXERCÍCIO 12 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados recalque do apoio esquerdo  0,04 m, módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 800 mm. 
 
Resposta: UYmín = 40 mm / RZA= 0,003 rad / RZB= 0,0018 rad. 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
EXERCÍCIO 13 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados recalque do apoio interno 0,02 m, módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 800 mm. 
 
Resposta: UYmín = 25 mm (8,11m do apoio esquerdo) / RZA= 0,0049 rad / RZB 0,0026 rad. 
EXERCÍCIO 14 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dadosrotação imposta no engaste 0,0001 rad, módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 800 mm. 
 
 Resposta: UYmín = 5 mm / RZA= 0,0014 rad / RZB= 0,00074 rad. 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
EXERCÍCIO 15 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 400 mm. 
 
 Resposta: UYmín = 6,26 mm (3,56m do apoio esquerdo) / RZA= 0,00285 rad / RZB= 0,0009 rad / RZc= 0,00056rad. 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
EXERCÍCIO 16 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 400 mm para o primeiro tramo e 200 x 400 mm para 
o segundo tramo. 
 
Resposta: UYmín = 6 mm (3,5m do apoio esquerdo)/ RZA= 0,00268 rad / RZB= 0,00057 rad / RZc= 0,00022rad. 
EXERCÍCIO 17 Determinar para as vigas contínuas indicadas abaixo os diagramas de estado (MOMENTOS FLETORES e 
FORÇAS CORTANTES), as reações de apoio e os deslocamentos (translação e rotação), utilizando a ANALOGIA DE MOHR. 
Dados recalque do apoio esquerdo 0,06 m, módulo de elasticidade E=100 GPa e seção transversal retangular 100 x 400 mm. 
 
 
Resposta: UYmín = 9 mm (2,75m do apoio esquerdo)/ RZA= 0,00188 rad / RZB= 0,00122 rad / RZc= 0,0004 rad. 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
Teorema de Menabrea 
Pórticos Hiperestáticos 
EXERCÍCIO 1 Determinar o diagrama de momentos fletores e o diagrama de momentos fletores e o diagrama de momentos 
fletores e as reações de apoio da estrutura esquematizada abaixo. 
 
EXERCÍCIO 2 Determinar o diagrama de momentos fletores e o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio da estrutura 
esquematizada abaixo. 
 
EXERCÍCIO 3 Determinar o diagrama de momentos fletores e o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio da estrutura 
esquematizada abaixo. 
 
EXERCÍCIO 4 Determinar o diagrama de momentos fletores e o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio da estrutura 
esquematizada abaixo. 
 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
EXERCÍCIO 5 Determinar o diagrama de momentos fletores e o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio da estrutura 
esquematizada abaixo. 
 
EXERCÍCIO 6 Determinar o diagrama de momentos fletores e o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio da estrutura 
esquematizada abaixo. 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
APÊNDICES 
 
 
 Tabela 1 Tabela de Propriedades Mecânicas dos Materiais 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 Tabela 2 Tabela de Propriedades Geométricas dos Materiais 
 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
 
 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 
 Tabela 2 Tabela de Propriedades Geométricas dos Materiais (cont...) 
 
 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA SÃO PAULO - FESP 
CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
 
 
 
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CE2— ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II 
 
 HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: PEARSON, 2004. 
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