GEOMETRIA DESCRITIVA

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GEOMETRIA DESCRITIVA 
TEORIA DAS PROJEÇÕES 
Representação do ponto e da reta 
Carla Cardoso - ISTEC 
A Geometria Descritiva é a ciência que estuda as propriedades 
métricas e descritivas de todas as figuras geométricas por 
meio do uso sistematizado das projeções. 
 
1. GEOMETRIA DESCRITIVA 
 Com uma pequena soma de conhecimentos e usando um estudo 
lógico e metódico, de raciocínio em raciocínio, pode-se chegar à 
resolução de todos os problemas da Geometria Descritiva. 
 
Como Monge afirmou: «Quem sabe representar o ponto, 
a reta e o plano sabe toda a Geometria Descritiva.» 
 
Teoria das projeções 
Projeto de máquina de guerra, de Leonardo da Vinci. 
 
1.1 História 
Na realização das primeiras obras de Arquitetura, surgiu 
a necessidade de primeiro elaborar a ideia concebida, 
para depois mais facilmente se passar à edificação 
efetiva. 
O grande geómetra francês Monge (séc. XVIII) fez um 
estudo cuidadoso dos «traçados» utilizados nos projetos 
das obras de arquitetura, e chegou à conclusão de que 
todos se baseavam num certo e pequeno número de 
princípios fundamentais, os quais vieram a constituir as 
bases da Geometria Descritiva. 
 
Todos os problemas presentes nesses traçados são 
problemas geometrizados, resolvidos depois com o auxílio 
das chamadas «projeções». 
Estudo para «A Adoração dos Magos», de Leonardo da Vinci. 
Uma vez que a Geometria Descritiva permite, dada a 
natureza do seu objeto, o desenvolvimento das 
capacidades de ver, perceber, organizar e catalogar o 
espaço envolvente, propiciando instrumentos específicos 
para o trabalhar - em desenho - ou para criar novos 
objetos ou situações, pode compreender-se como o seu 
alcance formativo é extremamente amplo. 
 
 
1.2 Finalidade 
A aplicação da Geometria Descritiva pode ser 
encontrada na área da Arquitetura, da Estereotomia 
(estudo da maneira de proceder ao corte da pedra, da 
madeira, do ferro), das Artes Plásticas, do Design, da 
Engenharia ou da Matemática. 
 
2. PROJEÇÃO 
Em Geometria Descritiva, projeção refere-se ao ato de 
representar um objeto através da passagem por todos os seus 
pontos de retas projetantes que intersectam um plano de 
projeção, assim formando a representação do objeto nesse plano. 
As características destas retas de projeção dependem do sistema 
de projeção que está a ser utilizado. 
Quando observamos 
uma sombra, temos a 
noção intuitiva de 
projeção 
Esquemas exemplificando dois 
processos de projeção que 
produziram as sombras. 
Projeção cónica (ou central) 
Projeção cilíndrica (ou paralela) 
Projeção ortogonal 
É um tipo de projeção paralela, com as projetantes perpendiculares 
ao plano de projeção. 
Projeção oblíqua 
É um tipo de projeção paralela, com as projetantes oblíquas ao plano 
de projeção. 
Para representar uma forma situada no espaço, no plano do 
desenho, há que utilizar sistemas de representação (ou 
projeção). Há que definir um conjunto de meios que 
permitem definir a projeção, ou projeções da forma, não só 
as relações matemático-geométricas entre os elementos que 
definem a forma, mas também a posição que ocupa no 
espaço. 
 
3. SISTEMAS DE PROJEÇÃO 
SISTEMA DA PROJECÇÃO CÓNICA 
 
Se consideramos a origem da projeção o olho humano, a representação 
no quadro corresponde ao modo como o olho humano vê a figura. A 
projeção cónica passa a ser designada de perspetiva rigorosa (ou 
perspetiva linear). 
SISTEMA DA PROJECÇÃO AXONOMÉTRICA 
 
A projeção axonométrica é medida aos eixos, utilizando três planos de 
referência que se intersectam perpendicularmente entre si, formando 
um triedro. 
SISTEMA DA MÚLTIPLA PROJECÇÃO ORTOGONAL 
(OU SISTEMA DAS VISTAS) 
 
Neste sistema utiliza-se a projeção das seis faces de um paralelepípedo 
envolvente, para obter uma representação com mais pormenor e frontal 
de cada lado. Em baixo, a exemplificação em perspetiva do processo de 
obtenção da projeção. 
SISTEMA DA TRIPLA PROJECÇÃO ORTOGONAL 
(OU REPRESENTAÇÃO TRIÉDRICA) 
Neste sistema, há referência à 
posição relativa do objeto aos 
três planos de projeção, aos 
eixos coordenados, e a projeção 
de cada ponto da figura 
representada. Como o espaço é 
organizado em função de três 
planos, este sistema é designado 
de representação triédrica. 
SISTEMA DA DUPLA PROJECÇÃO ORTOGONAL 
(OU SISTEMA DIÉDRICO) 
Neste sistema, também conhecido por 
método de Monge, a representação 
de figuras geométricas situadas no 
espaço com duas projeções 
ortogonais, prescindindo-se da 
projeção no plano de perfil de 
referência, embora a existência deste 
plano esteja subentendida. 
Chama-se de projeção de um ponto (A) sobre um plano (), 
ao traço A, quando a reta projetante (O)(A), atravessa o plano 
(). 
4. Representação descritiva através de projeções ortogonais 
(A) = Ponto (A) no espaço 
 
A= Projeção de (A) no plano 
4.1 Projeção de um Ponto 
Chama-se projeção ortogonal de um ponto ao pé da 
perpendicular tirada ao plano. 
 
4.2. Projeção Ortogonal de um Ponto 
 
 
4.3 Métodos das Duplas Projeções. 
 
() = Plano Horizontal de Projeção 
(’) = Plano Frontal (Vertical) de Projeção 
(’) = Linha de Terra 
() = Semiplano Horizontal Anterior 
(p) = Semiplano Horizontal Posterior 
(’s) = Semiplano Vertical Superior 
(’i) = Semiplano Vertical Inferior 
() = Plano Horizontal de Projeção 
(’) = Plano Vertical de Projeção 
(’) = Linha de Terra 
() = Semiplano Horizontal Anterior 
(p) = Semiplano Horizontal Posterior 
(’s) = Semiplano Vertical Superior 
(’i) = Semiplano Vertical Inferior 
() = Plano Horizontal de Projeção 
(’) = Plano Vertical de Projeção 
(’) = Linha de Terra 
() = Semiplano Horizontal Anterior 
(p) = Semiplano Horizontal Posterior 
(’s) = Semiplano Vertical Superior 
(’i) = Semiplano Vertical Inferior 
() = Plano Horizontal de Projeção 
(’) = Plano Vertical de Projeção 
(’) = Linha de Terra 
() = Semiplano Horizontal Anterior 
(p) = Semiplano Horizontal Posterior 
(’s) = Semiplano Vertical Superior 
(’i) = Semiplano Vertical Inferior 
() = Plano Horizontal de Projeção 
(’) = Plano Vertical de Projeção 
(’) = Linha de Terra 
() = Semiplano Horizontal Anterior 
(p) = Semiplano Horizontal Posterior 
(’s) = Semiplano Vertical Superior 
(’i) = Semiplano Vertical Inferior 
() = Plano Horizontal de Projeção 
(’) = Plano Vertical de Projeção 
(’) = Linha de Terra 
() = Semiplano Horizontal Anterior 
(p) = Semiplano Horizontal Posterior 
(’s) = Semiplano Vertical Superior 
(’i) = Semiplano Vertical Inferior 
Plano de perfil 
Plano de perfil é um plano perpendicular aos planos de projeções 
passando por O. Um ponto tem abscissa positiva se está a frente 
do plano de perfil e negativa se estiver atrás. 
Linha de chamada 
É o segmento que une as duas projeções de um ponto e é sempre 
perpendicular à Linha de terra. 
Um ponto no espaço é 
determinado por três 
coordenadas: altitude (eixo Z), 
longitude (eixo X) e latitude (eixo 
Y). Seja o ponto P situado no 
primeiro diedro e projetado no 
PHP e no PFP. 
5. REPRESENTAÇÃO DE PONTOS 
5.1 Coordenada de um Ponto 
5.1.1 Cota de um Ponto. 
É a distância de um ponto ao plano (). 
5.1.2 Afastamento de um Ponto 
É a distância de um ponto ao plano (’). 
5.1.3 Abscissa de um Ponto 
É a distância do ponto ao plano de origem. 
Logo a coordenada de um ponto é dada por: 
 
{abscissa; afastamento; cota} nesta ordem. 
É a representação de uma figura no espaço, dada por 
suasprojeções quando se gira o plano horizontal () até 
coincidir com o plano vertical (’). 
5.2 Épura 
Em Épura, a cota de um ponto, mede-se pela distância da sua Projeção 
Vertical à Linha de Terra ( ’) e o afastamento de um ponto, mede-se 
pela distância de sua Projeção Horizontal à Linha de Terra ( ’). 
5.3 Posições do Ponto 
5.3.1 Ponto situado no 1º Diedro 
Todo ponto situado no 1º diedro tem, a Projeção Horizontal abaixo 
( ’) e Projeção Vertical acima da ( ’). 
5.3.2 Ponto situado no 2º Diedro 
Todo ponto situado no 2º diedro tem, tem, ambas as projeções 
acima da ( ’). 
5.3.3 Ponto situado no 3º Diedro 
Todo ponto situado no 3º diedro tem, a Projeção Horizontal acima 
da ( ’) e Projeção Vertical abaixo da ( ’). 
5.3.4 Ponto situado no 4º Diedro 
Todo ponto situado no 4º diedro tem, tem, ambas as projeções 
abaixo da ( ’). 
5.3.5 Ponto situado no Plano Horizontal Anterior (a). 
 
Todo ponto situado no semi-plano horizontal anterior (a) tem, 
Projeção Horizontal abaixo da Linha de Terra ( ’) e Projeção 
Vertical sobre a Linha de Terra ( ’). 
5.3.6 Ponto situado no Plano Vertical Superior (’s). 
 
Todo ponto situado no semi-plano vertical superior (’s) tem, 
Projeção Horizontal sobre a Linha de Terra ( ’) e Projeção 
Vertical acima da Linha de Terra ( ’). 
5.3.7 Ponto situado no Plano Horizontal Posterior ( p). 
 
Todo ponto situado no semiplano horizontal posterior (p) tem, 
Projeção Horizontal acima da Linha de Terra ( ’) e Projeção 
Vertical sobre a Linha de Terra ( ’). 
5.3.8 Ponto situado no Plano Vertical Inferior (’ i). 
 
Todo ponto situado no semiplano vertical inferior (’i) tem, 
Projeção Horizontal sobre a Linha de Terra ( ’) e Projeção 
Vertical abaixo da Linha de Terra ( ’). 
5.3.9 Ponto situado na Linha de Terra ( ’). 
 
Todo ponto situado na linha de terra ( ’) tem, ambas as 
prejeçõesvsobre a Linha de Terra ( ’). 
Exemplo: Determine na épura abaixo os seguintes pontos: 
(A) (2;2;3) 
(B) (-3;1;2) 
(C) (4;0;-1) 
(D) (0;-3;1) 
Exemplo: Determine na épura abaixo os seguintes pontos: 
(A) (2;2;3) 
(B) (-3;1;2) 
(C) (4;0;-1) 
(D) (0;-3;1) 
Denomina-se plano bissetor de um ângulo diedro, o plano que divide 
este diedro em dois iguais, nesse caso, o plano bissetor forma um 
ângulo de 45° (Quarenta e cinco graus) com os planos vertical e 
horizontal de projeções. 
5.4 Planos Bissetores 
5.4.1 Ponto situado no Bissetor Ímpar ou 1º Bissetor (i) 
Todo ponto situado no (i) tem cota e afastamento iguais. (Projeções 
simétricas a (’)). 
5.4.2 Ponto situado no Bissetor Par ou 2º Bissetor (p) 
Todo ponto situado no (p) tem cota e afastamento simétricos 
(Projeções coincidentes). 
A união de dois pontos dá origem a um segmento de reta. 
 
6. Representações de um segmento definido por dois pontos 
 
As duas projeções do segmento de reta 
 
Para obter as projeções do segmento de reta basta unir as 
projeções dos seus extremos. Obviamente, o segmento pode ter 
diferentes posições em relação aos planos de projeção, o que leva 
a que as suas projeções apresentem aspetos diferentes. 
6.1 As projeções dos segmentos de reta 
Os segmentos de reta podem ter sete posições genéricas. Essas 
posições equivalem às da reta, a estudar no capítulo Alfabeto da 
Reta. 
Segmentos de reta paralelos aos planos de projeção 
O segmento de reta [AB] é paralelo a ambos os planos de 
projeção; essa posição designa-se por fronto-horizontal. 
O segmento [CD] é paralelo ao PHP e oblíquo ao PFP; 
designa-se por horizontal. 
O segmento [EF] é paralelo ao PFP e oblíquo ao PHP; a sua 
posição é frontal. 
Segmento de reta vertical 
Um segmento de reta perpendicular ao plano de projeção 
horizontal, designa-se como segmento de reta vertical. 
A’ 
B’ 
(A) 
(B) 
A’ 
B’ 
AB  
VG 
Segmento de reta de topo 
Um segmento de reta perpendicular ao plano de projeção frontal, 
designa-se como segmento de reta de topo. 
A’B’ 
(A) 
(B) 
A’B’  
A 
B 
A 
B 
VG 
Segmento de reta horizontal 
Um segmento de reta paralelo ao plano de projeção horizontal, 
designa-se como segmento de reta horizontal. 
A’ 
B’ 
(A) (B) 
A B 
A’ B’ 
A 
B 
A verdadeira grandeza de um segmento de reta (V.G.) é o 
comprimento real do segmento de reta, que neste caso se verifica 
entre A e B. 
VG 
Segmento de reta frontal 
Um segmento de reta paralelo ao plano de projeção frontal, 
designa-se como segmento de reta frontal. 
A’ 
B’ 
(A) 
(B) 
A’B’  
A 
B 
A’ 
B’ 
A B 
VG 
Fronto-horizontal (ou Horizontal de Frente) 
O segmento Fronto-horizontal caracteriza-se por ser paralelo 
aos dois planos de projeção, () e (’), e por possuir pontos 
com afastamento e cota constantes. Em épura, as suas duas 
projeções são paralelas à linha de terra e aparecem em 
verdadeira grandeza. 
VG 
VG 
Segmento de reta de perfil 
Um segmento de reta paralelo ao plano de perfil de projeção, designa-
se como segmento de reta de perfil. 
A’ 
B’ 
(A) 
(B) 
A 
B 
A’ 
B’ 
A 
B 
7. PROLONGAMENTO DE UM SEGMENTO (RETAS) 
Para fazer a projeção de uma reta, basta unir as projeções de dois 
de seus pontos. 
Reta vertical 
(perpendicular ao plano horizontal) 
Reta horizontal (ou de nível) 
(Paralela ao plano horizontal horizontal) 
r 
Reta frontal 
(Paralela ao plano vertical) 
Reta fronta-horizontal 
(paralela aos planos frontal e horizontal) 
Reta de topo 
(perpendicular ao plano vertical) 
Reta de perfil 
(oblíqua aos planos de projeções) 
Pertinência 
Um ponto pertence a uma reta quando a projeção horizontal do 
ponto pertence à projeção horizontal da reta e a projeção vertical 
do ponto pertence à projeção vertical da reta, reciprocamente, se 
as projeções de um ponto estão sobre as projeções de mesmo 
nome da reta, o ponto pertence à reta. 
(EXCETO PARA RETAS DE PERFIL) 
Traços notáveis de uma reta 
Traços notáveis de uma reta 
(r) 
r 
r’ 
r’ 
r 
Reta Horizontal ou Paralela ao PH 
V 
Traços notáveis de uma reta 
(r) 
r 
V=r’ 
V= r’ 
r 
Traços notáveis de uma reta 
(r) 
r’ 
r 
r’ 
r 
Traços notáveis de uma reta 
(r) 
r’ 
H=r 
r’ 
R=H 
Reta Vertical ou Perpendicular ao PH 
Traços notáveis de uma reta 
(r) 
r’ 
r 
r’ 
r 
H 
H 
Traços notáveis de uma reta 
(r) 
r’ 
r 
r’ 
r 
H H 
V