Interpolação Polinomial - Método de Newton

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INTERPOLAÇÃO 
POLINOMIAL –
MÉTODO DE NEWTON
Engenharia de Produção/3º período
Fabiana Rhodes - 2016
Interpolação Polinomial
Interpolação com diferenças divididas (Newton)
• No método anterior, vimos que não precisamos resolver um
sistema de equações lineares para interpolar determinado valor.
• Uma das desvantagens da interpolação de Lagrange é a
necessidade de se reconstruir todo o polinômio se o grau sofre
uma alteração.
• A interpolação de Newton resolve este problema.
Interpolação Polinomial
Operador de diferença dividida:
Ele é representado por [xi,xj], f[xi, xj] ou Δyi e pode ser
calculado da seguinte forma:
Ordem 0: Δ0yi = y0
Ordem 1:
Ordem 2:
Ordem n:
ii
ii
i
xx
yy
y





1
0
1
0
ii
ii
i
xx
yy
y





2
12
ini
i
n
i
n
i
n
xx
yy
y






 1
1
1
Interpolação Polinomial
O cálculo do operador de diferença dividida é melhor
entendido em forma de tabela.
Exemplo: Dado o conjunto de dados abaixo, determine a
tabela de diferenças divididas:
x 0,0 0,2 0,3 0,4 0,7 0,9
y 3,000 2,760 2,655 2,600 3,035 4,125
Interpolação Polinomial
Primeiro Passo: Escrevemos a tabela na vertical,
com uma coluna extra para o número do item.
Segundo passo: Criamos mais uma coluna, para
as diferenças divididas de primeira ordem.
Terceiro passo: A próxima coluna difere da
anterior apenas por buscar valores de x diferentes
(saltando uma linha)
Quarto Passo: Complete a tabela até Δ4yi, (se os
valores finais foram zero é porque o polinômio
original é do 3º grau)
i x y
0 0,0 3,000
1 0,2 2,760
2 0,3 2,655
3 0,4 2,600
4 0,7 3,035
5 0,9 4,125
Interpolação Polinomial
Fórmula de Newton:
Agora que sabemos calcular as diferenças divididas, a
fórmula de Newton para o polinômio interpolador pode ser
empregada, como:
Exemplo: Determina P(1) para a tabela anterior.
  










n
i
i
j
j
i
n xxyyxP
1
1
0
00 .)(
...))()(())(()()( 2100
3
100
2
00
1
0  xxxxxxyxxxxyxxyyxPn
Interpolação Polinomial
Exercício:
Para a tabela de pontos abaixo, determinar as diferenças
divididas de ordens 1, 2 e 3.
Calcular P(1,5)
i x y
0 0,2 1,22
1 0,7 1,49
2 1,0 2,25
3 1,8 4,44
Interpolação Polinomial
Exercício:
2) Uma função y = f(x) é dada pela tabela:
Determine:
a) Diferenças divididas
b) Polinômio Interpolador de Newton
c) p(67)
x 20 40 60 80 100 120
y 5,5 9,1 14,9 22,8 23,3 46