MCSDI_problemas_1_funcao_descritiva

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MEEC 
Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 
 
 
 
 
 
 
MCSDI 
Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos 
 
 
Exercícios de 
 
Função Descritiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto de exercícios elaborados pelos docentes José Tenreiro Machado (JTM), Manuel Santos Silva (MSS), 
Vítor Rodrigues da Cunha (VRC) e Jorge Estrela da Silva (JES). 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva 
1 
1. Calcule a função descritiva dos sistemas não lineares seguintes: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 3xy = 
 
2. Esboce a resposta m(t) da não-linearidade indicada na figura seguinte a uma entrada sinusoidal e(t). 
 
3
0
t
e
 
 
 
3. Considere a associação em paralelo de dois elementos não-lineares conforme indicado na figura. 
 
 
 
Este sistema é equivalente a um só sistema: 
 
 
 
D) Outro sistema 
 
e 
m 
A=1 
K=2 
m(t) e(t) 
Δ x1 
x4 x4 x1 k 
C) 
k 
x1 
x4 x1 x4 
B) 
kΔ 
x1 
x4 x4 x1 
A) 
Δ x1 
x2 
Δ x1 
x3 x3 
x2 
x1 
k
kΔ
x4 
+ 
− 
kΔ 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva 
2 
4. Considere a associação em série de dois elementos não-lineares do tipo relé conforme indicado na figura. 
 
 
 
Este conjunto é equivalente a um só sistema: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) Outro sistema 
 
 
5. Considere a associação em série de dois elementos não - lineares (um relé e uma zona - morta) conforme 
indicado na figura. 
 
 
 
Este conjunto é equivalente a um só sistema do tipo: 
A) Relé com M = 0,5 B) Relé com M = 1 C) Zona - morta com Δ = 0,5 D) Outro resultado 
 
 
 
6. Considere um sistema de controlo envolvendo o bloco não-linear representado na figura, com função descritiva 
N(X). 
 
Neste caso, a função descritiva vem: 
A) 
X
MN π=
4 B) 
2
14 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−π= XX
MN 
C) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−π=
−
XX
MN 1sin4 D) 
X
MN π+Δ=
4 
+5 
x1 
x3 x3 x1 
+3 
x1 
x3 x3 x1 +2 
x1 
x3 x3 x1 
M
Δ 
+2 
x1 
x2 
+3 
x2 
x3 x3 x2 x1 
M=1 
x1 
x2 
Δ=0,5 
x2 
x3 x3 x2 x1 
k=2 relé zona - morta 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva 
3 
7. Considere um sistema de controlo envolvendo o bloco não-linear representado na figura, com função descritiva 
N(X). 
 
 
 Neste caso, a função descritiva vem: 
 
A) 
X
MN π=
4 B) 
2
14 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−π= XX
MN 
C) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−π=
−
XX
MN 1sin4 D) 
X
MN π+Δ=
4 
 
 
8. Considere a associação em série de dois elementos não-lineares conforme indicado na figura, onde N1 e N2 
representam as correspondentes funções descritivas. 
 
 
 
Se NT representar a função descritiva da associação em série, então em geral verifica-se que: 
 
A) NT = N1 × N2 B) NT ≠ N1 × N2 
 
 
9. Considere o sistema de controlo representado na figura, envolvendo os blocos não-lineares N1 e N2 e os 
sistemas lineares com funções de transferência G1(s) e G2(s) que apresentam características do tipo passa-baixo. 
 
 
 
 Neste caso, designando por N12 a função descritiva da associação em série dos dois blocos não-lineares: 
A) pode adoptar-se o método da função descritiva e estudar-se o ocorrência de ciclos limite através do traçado no 
plano de Nyquist da equação característica N12 G1(jω)G2(jω) + 1 = 0 onde N12 = N1 N2 
B) pode adoptar-se o método da função descritiva e estudar-se o ocorrência de ciclos limite através do traçado no 
plano de Nyquist da equação característica N12 G1(jω)G2(jω) + 1 = 0 onde, em geral, N12 ≠ N1 N2 
C) não se pode adoptar o método da função descritiva para estudar-se o ocorrência de ciclos limite através do 
traçado no plano de Nyquist da equação característica 
D) Outro caso 
 
 
10. A análise de sistemas pelo método da função descritiva permite determinar aproximadamente: 
 
A) Pontos de sela B) Ciclos-limite 
C) Nós estáveis D) Todos estes fenómenos 
 
 
N1 r(t) c(t) N2 
M
Δ 
c 
− 
+ e 
N2 
m1 N1 G2(s) 
m2 
G1(s) 
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4 
 
11. Sabendo que o bloco do tipo saturação (Fig 1.a), com parâmetros k e S, tem função descritiva 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= −
2
1 1sin2
X
S
X
S
X
SkN π determine a função descritiva do bloco não-linear da Fig. 1.b). 
 
Fig 1.a) Fig. 1.b) 
 
 
12. O sistema apresentado contém dois elementos não-lineares em série. 
 
M=1
x2
x3
Δ=0,5
x1
x2 x3x2x1
k=2
+
-
6
s.(s+2).(s+3)
R(s) C(s)
G(s)N1 N2
zona-morta relé
 
 
a) Determine o elemento não-linear equivalente à série de N1 e N2, justificando de forma fundamentada a sua 
resposta. 
b) Verifique se o sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso afirmativo, indique a sua frequência de 
oscilação ω, a correspondente amplitude de oscilação X e classifique-o como sendo estável ou instável. 
 
 
13. Considere o sistema representado pelo seguinte diagrama de blocos 
 
Apresente a função descritiva da associação de elementos não lineares que tem como entrada u1 e como saída u3. 
Tenha em conta que a função sgn(x) é definida da seguinte forma: 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0,1
0,1
)sgn(
x
x
x . Logo, ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−−
≥=
0,
0,
)sgn(
11
11
11 uu
uu
uu . 
 
 
14. Considere a análise de sistemas pelo método da função descritiva. Pode dizer-se que se trata de um método 
que: 
 
A) Permite calcular a resposta do sistema para qualquer sinal de entrada 
B) Só permite calcular aproximadamente ciclos-limite se o sistema for do tipo passa-baixo 
C) Só permite calcular a resposta de sistemas lineares (não sendo possível analisar sistemas não-lineares) 
D) Outro resultado 
 
 
u2 50 
5 m 
u2 
m 
11 )sgn( uu 22 uu
1u 3u 
x 
y 
y 
S1 S2 
x 
declives k2, k1x y 
y 
S 
x 
declive k 
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5 
15. Considere o sistema de controlo representado na figura, envolvendo um bloco não-linear N e um sistema 
linear com função de transferência G(s). Através do método da função descritiva obtém-se o traçado no plano de 
Nyquist representado. 
 
 
 
Então, sabe-se que: 
A) Somente o ponto A corresponde a um ciclo-limite estável 
B) Somente o ponto B corresponde a um ciclo-limite estável 
C) Nenhum dos pontos A e B corresponde a um ciclo-limite estável 
D) Ambos os pontos A e B correspondem a ciclos-limite estáveis 
 
 
 
16. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, envolvendo um bloco não-linear m = f(e) e 
um sistema linear com função de transferência ( ) ( )( )21
10G ++= ssss . 
 
 
 
Para o bloco m = f(e) consideraram-se dois casos: m = e3 e m = e1/3. 
 
Através do método da função descritiva obtém-se (para qualquer dos casos) o gráfico da figura. Todavia, nos 
dois casos as características são diferentes e, assim, os pontos A, B e C resultam: 
 
 
Caso Ponto A Ponto B Ponto C 
m = e3 ωA ≈ 1,42 rad/seg, XA ≈ 0,98 XB → 0 XC → ∞ 
m = e1/3 ωA ≈ 1,42 rad/seg, XA ≈ 2,66 XB → ∞ XC → 0 
 
Então, pode dizer-se que no ponto A existe: 
A) Um ciclo-limite estável para m = e3 e um ciclo-limite instável para m = e1/3 
B) Um ciclo-limite instável para m = e3 e um ciclo-limite estável para m = e1/3 
C) Em nenhum dos dois casos se obtém um ciclo-limite, seja estável seja instável 
 
e c 
− 
+ 
G(s) 
m 
m = f(e) 
Re 
Im G(jω) 
−1/N 
A 
B 
X→∞ 
X=0 
ω→∞ 
ω→0 
e c 
− 
+ 
G(s) 
m 
N 
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6 
17. Considere o sistema de controlo representadona figura seguinte, envolvendo um bloco não-linear do tipo 
folga (backlash) com h = 1 e declive unitário e um sistema linear com função de transferência ( ) ( )21
31G += ss
,s . 
Através do método da função descritiva sabe-se que no ponto A, ωA ≈ 0,68 rad/seg, XA ≈ 3,1 e que no ponto B, 
ωB ≈ 0,36 rad/seg, XB ≈ 1,34. 
 
 
A) Em A existe um ciclo-limite estável e em B um ciclo-limite instável 
B) Em A existe um ciclo-limite instável e em B um ciclo-limite estável 
C) Os pontos A e B não correspondem a qualquer tipo (estável ou instável) de ciclo-limite no sistema 
 
 
 
18. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, envolvendo um bloco não-linear do tipo 
saturação com h = 1 e declive unitário e um sistema linear com função de transferência ( ) ( ) sesss 21
1G −+= . 
Através do método da função descritiva sabe-se que no ponto A, ωA ≈ 0,54 rad/seg, XA ≈ 1,98. Pode concluir-se 
que: 
 
 
A) Em A existe um ciclo-limite estável 
B) Em A existe um ciclo-limite instável 
C) O ponto A não corresponde a qualquer tipo (estável ou instável) de ciclo-limite no sistema 
 
 
 
 
 
 
e c 
− 
+ 
G(s) 
m 
h 
m 
e 
e c 
− 
+ 
G(s) 
m 
h 
m 
e 
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7 
19. Considere o sistema com realimentação positiva representado na figura seguinte (0 ≤ ζ ≤ 1). 
 
 
 
Através do método da função descritiva sabe-se que: 
a) Para ζ = 0,105 ocorre um ciclo-limite com amplitude X dada por: 
A) X = 24,25 B) X = 10,0 
C) X= 15,10 D) Outro resultado 
b) Para ζ = 0,105 ocorre um ciclo-limite com frequência ω dada por: 
A) ω = 24,25 rad/seg B) ω = 10,0 rad/seg 
C) ω = 15,10 rad/seg D) Outro resultado 
c) Suponha agora que se varia o valor de 0 ≤ ζ ≤ 1. Nesse caso, para cada valor distinto de ζ ocorre um ciclo-
limite com as seguintes características relativamente à frequência ω e à amplitude X: 
A) A frequência ω tem sempre o mesmo valor independentemente do valor de ζ. Todavia, a amplitude X 
depende do valor de ζ. 
B) A amplitude X tem sempre o mesmo valor independentemente do valor de ζ. Todavia, a frequência ω 
depende do valor de ζ. 
C) Quer a frequência ω quer a amplitude X têm sempre o mesmo valor independentemente do valor de ζ. 
D) Quer a frequência ω quer a amplitude X dependem do valor de ζ. 
 
 
 
20. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte. 
 
 
 
Através do método da função descritiva sabe-se que existe um ciclo-limite com: 
a) Frequência ω dada por: 
A) ω = 5,66 rad/seg B) ω = 0,52 rad/seg 
C) ω = 2,50 rad/seg D) Outro resultado 
b) Amplitude X dada por: 
A) X = 5,66 B) X = 0,52 
C) X = 2,50 D) Outro resultado 
c) Por análise no diagrama de Nyquist sabe-se que o ciclo-limite é: 
A) Estável B) Instável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c m e 
( )( )( )1021
50
+++ sss
− 
+ +2 
e 
m 
3 
+4 
1 e 
m c m e 
+ 
+ 
10020
10
2 +ζ+ ss
s 
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8 
21. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte. 
 
 
 
Através do método da função descritiva sabe-se que: 
a) A) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com frequência de oscilação 6=ω rad/seg 
 B) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com frequência de oscilação π=ω 3
40 rad/seg 
 C) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com frequência de oscilação 6
3
40
π=ω rad/seg 
 D) Outro resultado 
b) A) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com amplitude de oscilação 6=X 
 B) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com amplitude de oscilação π= 3
40X 
 C) Para H(s) = 1 existe um ciclo-limite com amplitude de oscilação 6
3
40
π=X 
 D) Outro resultado 
c) A) Para H(s) = s + a, deixa de ocorrer um ciclo-limite no sistema quando 0 < a ≤ 5 
 B) Para H(s) = s + a, deixa de ocorrer um ciclo-limite no sistema quando 5 ≤ a 
 C) Qualquer que seja o valor de a nunca ocorre um ciclo-limite no sistema 
 D) Qualquer que seja o valor de a ocorre sempre um ciclo-limite no sistema 
 
 
 
22. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde o bloco não-linear consiste numa zona-
morta com função descritiva dada por 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ
π−=
− 21 12
XXX
sinkkN . 
 
 
 
Então, sabe-se que existe um ciclo-limite instável com amplitude X e frequência ω aproximadamente dados por: 
A) X = 2,235, ω = 1,414 rad s−1 B) X = 2,235, ω = 0,707 rad s−1 
C) X = 2,235, ω = 1,000 rad s−1 D) X = 2,235, ω = 2,000 rad s−1 
 
 
 
 
 
+1 
e 
m c m e 
( )( )32
100
++ sss 
( )sH 
− 
+ 
Δ=1 
e 
m 
c m e ( ) ( ) ( )22 21
40
++
=
ss
sG 
− 
+ 
k=1 
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9 
23. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde N representa a função descritiva de uma 
nao-linearidade do tipo relé com histerese, tal que Mod(N) = 4M/(πX) e Fase(N) = −sin−1(h/X), e G(s) = ke−sT/s. 
 
 
 
Então, sabendo que k = π, T = 1, h = 1, M = ¼, verifica-se que existe um ciclo-limite com amplitude X e 
frequência ω aproximadamente dados por: 
A) X = 2,535, ω = 0,394 rad s−1 B) X = 0,394, ω = 2,535 rad s−1 
C) X = 1,353, ω = 0,739 rad s−1 D) X = 0,739, ω = 1,353 rad s−1 
 
 
 
24. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde N = 4M / (πX) e G(s) = k / (s + 1)4. 
 
 
 
 Então, para M = π e k = 2 sabe-se que existe um ciclo-limite com amplitude X e frequência ω aproximadamente 
dados por: 
A) X = 2, ω = 1 rad s−1 B) X = 1/2, ω = 1/2 rad s−1 
C) X = 2π, ω = 21/2 rad s−1 D) Outro resultado 
 
 
 
25. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde N = 4M/(πX) e G(s) = k/[s(s + 1)2]. 
 
 
Então sabe-se que existe um ciclo-limite com amplitude X e frequência ω aproximadamente dados por: 
A) X = 4Mk /π, ω = 1/2 rad s−1 B) X = Mkπ, ω = 2 rad s−1 
C) X = 2Mk /π, ω = 1 rad s−1 D) Outro resultado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 
− 
+ e m 
N G(s) 
r 
e c 
− 
+ 
G(s) 
m
h 
m
e
N 
M
c 
− 
+ e m 
N G(s) 
r 
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10 
26. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte onde N = 4M / (πX) e G(s) = k / (s + 1)3. 
 
 
 
Então sabe-se que existe um ciclo-limite com amplitude X e frequência ω aproximadamente dados por: 
A) X = Mk / π, ω = 1/3 rad s−1 B) X = 2Mk / π, ω = 3 rad s−1 
C) X = Mk / (2π), ω = 31/2 rad s−1 D) Outro resultado 
 
 
27. Para os sistemas seguintes determine a amplitude e a frequência do ciclo limite. 
a) 
+
−
R(s) 10
s(s+1)(s+2)
C(s)
-1
+1e m
 
b) 
m=e3
+
−
R(s) 1
s(s+1)(s+2)
C(s)e m
 
 
 
28. Considere o sistema representado na figura seguinte: 
 
+
−
R(s) 20
s(s+3)(s+6)
C(s)
-A
A
 
 
a) Para este sistema (considerando R=0 e A=4) determine a frequência e a amplitude do ciclo limite. 
b) O ciclo limite determinado na alínea anterior é estável ou instável? 
 
 
29. Considere o sistema representado na figura seguinte: 
 
+
−
R(s) K
s(s+2)(s+4)
C(s)
-A
A
 
 
a) Para este sistema (considerando R=0, A=4 e K=10) determine a frequência e a amplitude do ciclo limite. 
c 
− 
+ e m 
N G(s) 
r 
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11 
b) O ciclo limite determinado na alínea anterior é estável ou instável? 
c) Variando o ganho K pode-se eliminar o comportamento de ciclo limite da saída do sistema anterior? Justifique 
a sua resposta. 
 
 
30. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, com G(s) = 100/[s(s + 2)(s + 3)]. 
 
 
 
Atravésdo método da função descritiva verifique se este sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso 
afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω e a correspondente amplitude de oscilação X 
 
 
31. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, com G(s) = e−2s/[s(s + 2)]. 
 
 
 
Através do método da função descritiva verifique se este sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso 
afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω e a correspondente amplitude de oscilação X 
 
 
32. Considere o sistema representado na figura seguinte: 
 
+
−
R(s) 5
s(s+1)(s+5)
C(s)
-K
-A
A
K
 
 
a) Para este sistema (considerando R=0, A=1 e K=1) determine a frequência e a amplitude do ciclo limite. 
b) O ciclo limite determinado na alínea anterior é estável ou instável? 
 
 
33. Considere o sistema representado na figura seguinte: 
 
+
−
R(s) K1
s(s+2)(s+3)
C(s)
-K
-A
A
K
 
 
+1
e
m
c me 
G(s)
− 
+
+1
e
m
c me 
G(s)
− 
+ 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva 
12 
a) Para este sistema (considerando R=0, A=4, K=1 e K1=20) determine a frequência e a amplitude do ciclo 
limite. 
b) O ciclo limite determinado na alínea anterior é estável ou instável? 
c) Diminuindo o valor do ganho K1 como variam as características do ciclo limite da saída do sistema anterior? 
Justifique a sua resposta. 
 
 
34. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, exibindo uma não-linearidade do tipo 
“histerese” (backlash), com parâmetros 2A = 0.5, B = 1 e C = 1, e um sistema linear com função de transferência 
G(s) = 3/[s(s + 1)2]. 
 
 
 
Através do método da função descritiva verifique se este sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso 
afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω e a correspondente amplitude de oscilação X 
 
 
 
35. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte, exibindo uma não-linearidade do tipo 
“folga” (backlash), com parâmetros A = 1 e K = 1, e um sistema linear com função de transferência 
G(s) = 1,5/[s(s + 1)2]. 
 
 
 
Através do método da função descritiva verifique se este sistema apresenta algum ciclo-limite. Em caso 
afirmativo, indique a sua frequência de oscilação ω e a correspondente amplitude de oscilação X 
 
 
36. Considere os sistemas representados nas figuras seguintes. Para cada um analise a ocorrência de ciclos-limite 
através do método da função descritiva. 
 
a) 
R(s) 1
s(s+1)
C(s)
-1
+1
e m-0.5
0.5
Relé com histerese
+
-
 
 
 
K e
c 
m
e G(s)
− 
+ 
backlash
+A
−A m 
c m e 
G(s) 
− 
+ 
2A 
e 
m 
C
B
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva 
13 
b) 
R(s) 10
s(s+1)
C(s)-1
+1
e
Histerese
+
-
 
 
37. Considere o sistema de controlo representado na figura seguinte: 
 
R(s) C(s)+
-
10
(0,4s+1)(2s+1)
N G(s)
2h
1
-1
 
 
sendo ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∠=
X
h
X
N arcsin4π , para X > h. A representação gráfica no plano complexo de −1/N, para dois 
valores distintos de h (h = 0,1 e h = 0,3), e de G(jω) é apresentada na figura seguinte. 
 
Re
Im
G(jω)
h = 0,1
h = 0,3
−1/N para
−1/N para
 
 
Da análise desta figura é possível concluir que: 
A) Este sistema apresenta um ciclo limite estável para os dois valores de h (h = 0,1 e h = 0,3) em consideração 
B) Para h = 0,1 este sistema apresenta um ciclo limite estável e para h = 0,3 um ciclo limite instável 
C) Para h = 0,1 este sistema apresenta um ciclo limite instável e para h = 0,3 um ciclo limite estável 
D) Este sistema apresenta um ciclo limite instável para os dois valores de h (h = 0,1 e h = 0,3) em consideração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
1 
1tω
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−
X
X
Δ1
Soluções 
1. 
1. a) Para uma entrada senoidal: 
 
 
 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ=
Δ=
X
t
tX
arcsin
)sin(
1
1
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
1
1
1)cos(
)sin(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−=
Δ=
X
t
X
t
ω
ω
 
 
 
Para uma função de saída y(t) ímpar: 
 
[ ]
)cos(4
)cos(2
)()sin(2
)()sin()(1
11
1
1
2
0
1
1
1
1
1
tMY
tMY
tdtMY
tdttyY
t
t
t
t
ωπ
ωπ
ωωπ
ωωπ
ωπ
ω
ωπ
ω
π
=
−=
=
=
−
−∫
∫
 
Da dedução anterior vem 
2
1 1
4 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−=
X
MY π pelo que a função descritiva é 
2
14 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−=
XX
MN π 
 
1. b) Sendo x a entrada do elemento não linear, para um sinal sinusoidal )sin()( tXtx ω= 
 
1º método: 
 
)(sin)( 33 tXty ω= 
dado que )3sin(
4
1)sin(
4
3)(sin3 AAA −= 
)3sin(
4
1)sin(
4
3)( 33 tXtXty ωω −= 
 
aplicando ∫= π ωωπ 201 )()sin()(1 tdttyY 
°∠==⇒= 0
4
34
3
4
3 2
3
3
1 XX
X
NXY 
)sin( tX ω
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
2 
2º método: 
 
)(sin)( 33 tXty ω= 
∫
∫
=
=
π
π
ωωπ
ωωωπ
2
0
43
1
2
0
33
1
)()(sin1
)()sin()(sin1
tdtXY
tdttXY
 
dado que 
a
ax
a
axxdxax
32
)4sin(
4
)2sin(
8
3)(sin4 +−=∫ 
°∠=⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= 0
4
3
4
3
32
)4sin(
4
)2sin(
8
3 23
2
0
3
1 XNX
tttXY
πωωωπ 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. C 
 
4. B 
 
5. B x3 = 2(x2 − 0.5) 
 
6. B relé com zona morta - exercício 1 
 
7. C relé com histerese – pág. 11 dos apontamentos das aulas teóricas 
 
8. B 
 
9. B 
 
10. B 
 
11. 
 
A não-linearidade da figura 1.b) é equivalente a: 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
3 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
−
−
2
22212
2
2
111121
1
1sin2
1sin2
X
S
X
S
X
SkN
X
S
X
S
X
SkkN
π
π
 
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=+= −−
2
2221
2
2
1111
2121 1sin1sin
2
X
S
X
S
X
Sk
X
S
X
S
X
SkkNNN π 
 
12. 
12. a) 
 
-1
+1 x3x1
x1
x3
com função descritiva: 
X
N π
4= 
 
12. b) Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 0,255 e frequência ω = 2,45 rad/s. 
 
 
13. 
Calcular valor a partir do qual se atinge a saturação (m = 5) 
255 11 =⇔= uu 
Para 251 >u teremos sempre u2 = 50 e u3 =2500. Na zona linear temos (considerando ainda apenas u1 não 
negativo) 
251,25003
2510,
25
2500
5
503 1
2
1
>=
≤<=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
uu
uuuu 
 
Para valores negativos de u1 temos, de uma forma análoga: 
251,25003
0125,
25
2500
5
503 1
2
1
−<−=
≤≤−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
uu
uuuu 
 
Trata-se de uma saturação, com k=2500/25=100 e S=25. Logo a função descritiva vem: 
SX
X
S
X
S
X
SKN >⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π= ,1arcsin
2 2 
 
14. B 
 
15. A 
 
16. B 
 
17. A 
 
18. A 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
4 
19. 
19. a) A 
19. b) B 
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−∠++−
=++−= 2222 100
1,2
21,2100
10
1001,2
10)( ω
ωπ
ωω
ω
ωω
ωω arctg
j
jjG 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= −−
2
1
2
1 1111sin21sin2
XXX
N
X
S
X
S
X
SkN ππ 
 
( ) ( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎩⎨
⎧
=
=⇔
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
++−
−=
−
srad
X
arctg
XXX
N
jG
/10
25,24
0
100
1,2
2
1111sin8
1,2100
10
1)(
2
2
1
22
ω
ω
ωπ
π
ωω
ω
ω
 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite estável. 
19. c) A 
 
20. 
20. a) A 
20. b) B 
( )( )( ) ( ) ππ
ωωω
ωωω
ω
ππ
−∠
+
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−∠
+++
⇔
−=
+=→+=
X
arctgarctgarctg
XN
jG
X
N
X
MkN
83
1
10210041
50
)(
1)(
834
222
 
( )( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
=
=⇔
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
+
=
+++
srad
X
arctgarctgarctg
X /657,5
518,0
102
83
1
10041
50
222
ωπωωω
πωωω 
 
20. c) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re 
Im
Ciclo limite 
estável 
X→∝ 
X→0
-1/N
G(jω) 
ω→0 
ω→∝
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
5 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6 6,1
a
w
 
21. 
)3)(2(
)(100)(
4
++
+=
=
sss
assGH
X
MN π 
 
4)3)(2(
)(1001)( X
jjj
aj
N
jG πωωω
ωω −=++
+⇔−= 
 
( )( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=++
+
πωωπω
π
ωω
ω
ω
322
494
100
22
22
arctgarctg
a
arctg
Xa
 
 
21. a) A 
21. b) B 
Se 1)( =sH vem: 
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈=
≈=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∞=
−
+
−
⇔
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
=
++
srad
X
srad
X
arctgarctg
X
/45,26
24,4
3
40
/6
415.106
100
32
1
32
322
494
100
22
ω
π
ω
π
ωω
ωω
πωωπ
π
ωωω 
 
 
21. c) B 
Para assH +=)( vem: 0
232
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ πωωω arctgarctg
a
arctg 
 
 
a w 
5 não há solução 
5,1 17,49 
5,2 12,49 
5,3 10,3 
5,4 9 
5,5 8,12 
5,6 7,48 
5,7 6,99 
5,8 6,6 
6 6 
 
 
 
Não há cruzamento com o eixo imaginário se 5≥a . 
 
 
 
 
 
 
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
6 
 
22. 
⎩⎨
⎧
=ω
=⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ω−ω−π
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π−
=+ω+ω
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ω−ω−∠+ω+ω=ω
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π−=
−−
−
−−
−
414.1
235.2
0
2
tan2)(tan2
1111sin21
1
)2)(1(
40
2
tan2)(tan2
)2)(1(
40)(
1111sin21
11
2
1
222
11
222
2
1
X
XXX
jG
XXX
N
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Código matlab para geração da figura: 
w=1.3:0.01:10;G=40./(((j*w+1).^2).*((j*w+2).^2)); 
hold off;plot(real(G),imag(G));hold on; 
X=2:0.1:1000;N=1-2/pi*(asin(1./X)+(1./X).*(1-(1./X).^2).^0.5); 
plot(real(-1./N),imag(-1./N),'r');axis equal;grid off 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite instável com amplitude X = 2.235 e frequência ω = 1.414 rad/s. 
 
 
23. D 
s
eksG
X
h
X
MN
sT−
−
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∠=
)(
sin4 1π
 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−∠=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−∠→=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−∠=⇔−=
−
−
−−
X
hT
M
Xk
X
h
M
XTkjs
X
h
M
X
s
ek
N
sG
sT
1
1
1
sin
2
4
sin
42
sin
4
1)(
ππω
π
ω
πππωωω
ππ
 
Re
Im
ω=1.414 
X=2.235 
X→∝X→0 
-1/N 
G(jω) 
ω→0 ω→∝
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
7 
 
Com k=π, T=1, h=1 e M=1/4 vem: 
 
( ) ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=−
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=−
=
−− srad
XX
X
X
/739,0
353,1
sin
2
1
1sin
2
4
14
1
1
ωωπω
ω
πω
π
ω
π
 
 
 
24. A 
( )41)(
4
+=
=
s
ksG
X
MN π
, com k=2 e M=π 
( ) ( ) ( ) ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=
+→−= srad
X
arctg
X
arctg
X
N
jG
/1
2
4
2
8
04
41
2
1)(
22/42 ωπωωπ
π
π
ωω 
25. C 
( )21)(
4
+=
=
ss
ksG
X
MN π
 
( )
( ) ( ) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−−
=+→−=
srad
MkX
srad
M
Xk
arctg
arctg
M
Xk
N
jG
/1
2
/1
42
42
2
411)(
2
ω
π
ω
ππωπωπ
π
ωωω 
Este sistema apresenta um ciclo limite estável. 
 
26. C 
( )31)(
4
+=
=
s
ksG
X
MN π
 
( ) ( ) ( ) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=+⇔⎩⎨
⎧
=
−⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
=
+→−= π
π
ωπω
π
ωω 2413/3
3
41
1)( 2/32/32
MkXM
Xk
srad
arctg
M
Xk
N
jG 
 
27. 
27. a) 
( )( ) ( ) 4224110
4)2)(1(
10
1
44
22
Xarctgarctg
X
jjj
N
GH
XX
MN
πωωπ
ωωω
π
ωωω
ππ
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−∠
++
−=++
−=
==
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
8 
 
( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∞=
−
+
−
⇔
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−
++
=
srad
XX
arctgarctg
X
/2
1,2
6.32
10
4
2
.1
2
22
41
10
4 22
ω
π
ωω
ωω
πωωπ
ωωω
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 2,1 e frequência ω = 1,414 rad/s. 
 
27. b) Do exercício 1.b) sabe-se que a função descritiva de m=e3 é 2
4
3 XN = . 
( )( ) ( )
( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∞=
−
+
−
⇔
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−
++
=
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−∠
++
−=++
−=
srad
X
X
arctgarctg
X
X
arctgarctg
Xjjj
N
G
/2
8,2
6.32
1
3
4
2
.1
2
22
41
1
3
4
3
4
2241
1
3
4
)2)(1(
1
1
222
2
222
2
ωωω
ωω
πωωπ
ωωω
ωωπ
ωωω
ωωω
 
 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite instável com amplitude X = 2,8 e frequência ω = 1,414 rad/s. 
Re 
Im
ω=1,414 
X=2,8 
X→∝
X→0 
-1/N
G(jω) 
ω→0 
ω→∝
Re
Im
ω=1,414 
X=2,1 
X→∝ 
X→0
-1/N
G(jω) 
ω→0 
ω→∝
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
9 
 
28. a) b) 
( )( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
=
++
−=++⇔−=
=⇒=
srad
X
arctgarctg
X
X
jjjN
jG
X
N
X
MN
/18
63,0
632
16369
20
16)6)(3(
201)(
164
22
ωπωωπ
π
ωωω
π
ωωωω
ππ
 
 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite estável com 
amplitude X = 0,63 e frequência ω = 4,24 rad/s. 
 
 
29. 
29. a) b) 
( )( )
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∞=
−
+
−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
⇔
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
=
++
−=++⇔−=
=⇒=
srad
X
srad
X
arctgarctg
arctgarctg
X
X
jjjN
jG
X
N
X
MN
/8
061,1
/8
1624.128
10
4
.
2
1
42
242
422
16164
10
16)4)(2(
101)(
164
22
ωω
π
ωω
ωω
πωω
πωωπ
π
ωωω
π
ωωωω
ππ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. c) Variando o ganho K existe sempre intersecção entre os traçados de G(jω) e -1/N, pelo que existe sempre 
ciclo-limite. 
 
 
 
 
Re
Im
X→∝
X→0 
-1/N
G(jω) 
ω→0
ω→∝
Re
Im
X→∝ 
X→0
-1/N
G(jω) 
ω→0 
ω→∝
Ciclo-limite 
estável 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
10 
30. 
( )( )
( )( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
⇔
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
++
=
→−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−∠
++
=++=
==
232
32294
100
41
32294
100
)3)(2(
100)(
44
22
22
πωω
πωωπ
ωωω
π
ωωπ
ωωωωωω
ω
ππ
arctgarctg
arctgarctg
X
N
G
arctgarctg
jjj
jG
XX
MN
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≈=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
−
⇔∞=
−
+
−
→−
+=+
srad
X
BtgAtg
BtgAtgBAtg
/6
244,4
15.106
100
40
6
1
32
1
32
)()(1
)()()( 2
ω
π
ω
ωω
ωω
 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite estável. 
 
 
31. 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
=
=⇔
−=−−−
+
=
−−−∠
+
=+=
==
−
632.0
960.0
)2(22
4
1
4
)2(22
4
1
)2(
)(
44
2
2
2
ωπωπω ωω
π
ωπω
ωωωω
ω
ππ
ω
X
arctg
X
arctg
jj
ejG
XX
MN
j
 
 
 
 
Código matlab para geração do diagrama polar: 
w=0.5:0.01:10;G=exp(-j*2*w)./(j*w.*(j*w+2));plot(real(G),imag(G));axis equal;grid off 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 0.960 e frequência ω = 0.632 rad/s. 
 
 
 
 
 
 
Re
Im
ω=0.632 
X=0.960 
X→∝ X→0
-1/N 
G(jω) 
ω→0 
ω→∝
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
11 
32. 
32. a) 
Resposta em frequência em malha fechada:
)()(1
)(
)(
)(
ωω
ω
jHjNG
jNG
sR
sC
+= 
A equação característica é: 0)()(1 =+ ωω jHjNG ou 
N
jHjG 1)()( −=ωω . Se esta equação for satisfeita, então 
o sistema apresenta um ciclo limite com amplitude X e frequência ω. 
 
O bloco não linear é descrito pela função descritiva: 
X
AkN π
4+= . Substituindo os valores vem: 
X
N π
41+= . 
 
( )( )
X
jjjN
jHjG
π
ωωωωω 41
1
51
51)()(
+
−=++⇔−= 
 
Determinação do ciclo limite: 
( ) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=⇔
+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−
+
=
++
→
→
srad
X
X
arctgarctg
X
fasedecondição
módulodecondição
/5
255,041
1
3065
5
52
41
1
251
5
22
ω
π
πωωπ
πωωω 
 
32. b) Ciclo limite estável. 
 
33. 
33. a) 
( )( )
X
jjjN
jG
π
ωωωω 161
1
32
201)(
+
−=++⇔−= 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=⇔
+
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
−
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∞=
−
+
−
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
+
=
++
srad
X
X
arctgarctg
X
/6
63,100161
1
15106
20
0
6
1
3
.
2
1
32
322
161
1
94
20
2
22
ω
πωωω
ωω
πωωπ
πωωω 
 
33. b) Ciclo limite estável. 
 
33. c) Aumentando o ganho K1 atinge-se uma situação em que as curvas de G(jω) e -1/N deixam de se 
intersectar, logo deixa de existir ciclo limite. 
 
 
34. 
 
3
)1(
3
2
)(
1
)1(
3)(
125.1175.012
,4112
2
2
2
2
22
2
22
−+=−⇒+=
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
+>−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
ωωωωωωω
ππ
ππ
j
jGjj
jG
X
j
XXX
N
BAX
X
ACj
X
AB
X
AB
X
CN
 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
12 
⎩⎨
⎧
=
=
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=⇔=+
155.2
882.0
3
)1(1
3
225.1175.012
)(
10)(1
2
2
2
22
X
X
XXX
jG
NNjG
rad/s ω
ωω
π
ωπ
ωω
 
 
 
Código matlab para geração da figura: 
w=0.8:0.01:10;G=3./(j*w.*((j*w+1).^2)); 
plot(real(G),imag(G));hold on; 
X=1.25:0.1:4;N=2/pi./X.*((1-(0.75./X).^2).^0.5+(1-(1.25./X).^2).^0.5)-j/pi./X.^2; 
plot(real(-1./N),imag(-1./N),'r');axis equal;grid off 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 2.155 e frequência ω = 0.882 rad/s. 
 
 
35. 
 
)(
10)(1
)1(
5.1)(
1,)1(42sincos22sin21
2
1
22
2
2
11
ωω
ωωω
ππ
jG
NNjG
jj
jG
X
X
Xj
X
X
X
X
X
XN
X
X
A
X
A
X
−=⇔=+
+=
>−−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
−=−
−−
 
Re 
Im
ω=0.882 
X=2.155 
X→∝ 
X→1.25
-1/N
G(jω) 
ω→0 ω→∝
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
13 
 
Código matlab para geração da figura: 
w=0.2:0.01:10;G=1.5./(j*w.*((j*w+1).^2)); 
hold off;plot(real(G),imag(G));hold on; 
X=1.15:0.1:100;N=0.5*(1-2/pi*(asin((2-X)./X)+ ((2-X)./X).*cos(asin((2-X)./X))))-j*4/pi./X.^2.*(X-1); 
plot(real(-1./N),imag(-1./N),'r');axis equal;grid off 
 
 
O sistema apresenta um ciclo limite instável com amplitude X = 1.2 e frequência ω = 0.287 rad/s e um ciclo 
limite estável com amplitude X = 5.45 e frequência ω = 0.81 rad/s. 
 
36. 
36. a) 
( ) ( ) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−∠=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−∠+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∠−=+⇔−=
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∠=
−
−
X
Xarctg
X
X
jjN
G
hMcom
X
h
X
MN
5,0arcsin
421
1
5,0sin
4)1(
11
5,0,1sin4
2
1
1
ππωπ
ωω
π
ωω
π
 
Im
Re
ω=0.81 
X=5.45 
X→∝
X→1 
-1/N
G(jω) 
ω→0
ω→∝
ω=0.287 
X=1.2 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
14 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=−−
=
+
X
arctg
X
5,0arcsin
2
41
1
2
πωπ
π
ωω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 05,05,0
5,0
5,01
5,0
5,0
5,0
5,0
2
22
22
22
22
=−−⇒∞=
−
−
−
+
⇔⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
+= ω
ω
ω
πω X
X
X
X
arctgarctg 
( ) ⎩⎨⎧ = =⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=
+
srad
X
X
X
/125,1
752,0
05,05,0
41
1
22
2
ωω
π
ωω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este sistema apresenta um ciclo limite estável com amplitude X = 0,752 e frequência ω = 1,125 rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ
22 5,0−X
X
0,5
Re
Im
ω=1,125 
X=0,752 
X→∝ 
X→0,5 -1/N 
G(jω) ω→0 
ω→∝
-π/8
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
15 
36. b) 
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
==−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−=
−−
X
X
X
X
X
X
X
XN
kAcom
X
Xj
X
XNN
s
s
2sincos22sin2
2
1,1,)1(1.1.4
1/2
1/1
2
1
11
2
π
π
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−
2
1 2122sin2
2 X
X
X
X
X
X
X
XN s π 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
−=+−=−−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
−=⇔−=
−
−
10
)1(4
10
2122sin1
2
1
1010
)1()1(42122sin21
2
1
11
2
22
1
2
2
2
1
ω
π
ω
ππ
ωωωω
ππ
X
X
X
X
X
X
X
X
jjj
X
Xj
X
X
X
X
X
X
G
NGN
 
 
 
 
 
 
 
O sistema apresenta 
duas soluções: 
 
A - um ciclo limite 
estável com amplitude 
X = 3,24158 
e frequência 
ω = 2,71612 rad/s. 
 
B - um ciclo limite 
instável com amplitude 
X = 1,012 
e frequência 
ω = 0,1435 rad/s. 
 
 
 
 
 
37. A 
 
 
θ
22 )2( XX −−
X
2-X
Im
ReA 
X→∝
X→1 -1/N
G(jω) 
ω→0 
ω→∝
B
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
16 
A tabela seguinte apresenta algumas não-linearidades e respectivas funções descritivas. 
 
Tipo de Não-Linearidade Representação Gráfica Função Descritiva 
Saturação 
Input
Output
+A
−A K
K1
K1
 
( ) ( )AX
A
XNKKKN S >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅−+= ,11 
Limitador 
Input
Output
+S
−S K
 
( )SX
S
XNKN S >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅= , 
Relé ideal (liga-desliga) 
Input
Output
A
−A
 
X
AN ⋅
⋅= π
4 
Zona morta 
Input
Output
+Α
−Α
K
K
 
( )AX
A
XNKN S >⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅= ,1 
Relé com zona morta 
Input
Output
+A
−A
K
KX
AKN ⋅
⋅+= π
4 
Relé com zona morta 
Input
Output
B
−B
−A
A
 
( )AX
X
A
X
BN >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⋅
⋅= ,14
2
π 
Limitador com histerese 
Input
Output
+M
−M K
K
−A
+A
 
( )
( )AX
X
AXAKj
A
X
A
X
NKN S
>
⋅
−⋅⋅⋅⋅−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−⋅= ,
4
2
1
2 2π 
MCSDI – Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Função Descritiva(soluções) 
17 
Relé com histerese 
Input
Output
M
−M
−h h
 
( )AX
X
Mhj
X
h
X
MN >⋅
⋅⋅⋅−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⋅
⋅= ,414
2
2
ππ 
Relé com zona morta e 
histerese 
Input
Output
C
−C
−B
B
2Α
 
( )AX
X
CAj
X
AB
X
AB
X
CN
>⋅
⋅⋅⋅−
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⋅⋅
⋅=
,4
112
2
22
π
π 
Zona morta e degrau 
Input
Output
B
−B
−A
A
K
K
 
( )AX
X
A
X
B
A
XNKN S >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⋅
⋅+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅= ,141
2
π 
Histerese em ciclo fechado 
Input
Output
A
−A
−M
M
 
2
40
M
AjN ⋅
⋅⋅−= π 
 
Obs.: ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=
XXX
XNS
1arcsincos11arcsin2π