O átomo de hidrogênio

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Aula 11 
 Mais Ondas de Matéria II 
 
Física Geral F-428 
 1 
http://www.bugman123.com/Physics/ 
2 
O átomo de hidrogênio 
segundo a Mecânica Quântica 
Experimentos de espectroscopia 
de átomos de H apresentavam 
linhas (raias) espectrais discretas: 
p. ex. Série de Balmer 656 486 434 410 (nm) 
22
1
2
11
n
RH
RH =109737,3 cm
-1 
n=3, 4, 5, ... 
Recordando: O modelo atômico de Bohr (1913) 
Motivação experimental: 
Niels H. D. Bohr 
 (1885 -1962) 
Prêmio Nobel de 
Física: 1922 
3 
Considerando o experimento de espalhamento de Rutherford e 
as ideias de “quantização” e da existência dos fótons, Bohr 
introduziu o seu modelo para o átomo de hidrogênio, baseado 
em quatro postulados: 
 
1. O elétron se move em uma órbita circular em torno do 
núcleo sob influência da atração coulombiana do núcleo, 
(mecânica clássica). 
 
2. O elétron só pode se mover em órbitas que apresentem 
momentos angulares L “quantizados”: 
,....,,nnL 321
O modelo atômico de Bohr (1913) 
4 
3. O elétron fica em órbitas “estacionárias” e não emite 
radiação eletromagnética. Portanto, a sua energia total E 
permanece constante. 
 
4. Radiação é emitida se um elétron, que se move inicialmente 
numa órbita de energia Ea , muda para uma órbita de energia 
menor Eb. A freqüência f da radiação emitida é dada por: 
Em outras palavras, na transição do estado a para o 
estado b o átomo emite um fóton de frequência f. 
h
EE
f ba
O modelo atômico de Bohr (1913) 
5 
Considerando o núcleo em repouso, a força 
elétrica no elétron é dada por 
v 
-e, m 
+e 20
2 1
4 r
e
F
r
v
m
r
e 2
2
0
2 1
4
Para uma órbita circular: 
nL
rmvL
rm
n
v

2
2
0
2
n
me
h
r
n
Quantização das órbitas! 
O modelo atômico de Bohr (1913) 
Se 
e 
6 
Assim, a energia total das diferentes órbitas será dada por: 
Portanto, Bohr prevê que as órbitas têm raios: 
eV
nnh
me
E
n 2222
0
4 6,131
8
2
2
0
2
n
me
h
r
n
5291,0
2
0
2
0
me
h
r
2
0nrrn
com 
ou 
Å (raio de Bohr) 
O modelo atômico de Bohr (1913) 
Mas: 
r
e
r
emv
UKE
0
2
0
22
842
r
v
m
r
e 2
2
0
2 1
4
 v 
-e, m 
+e 
7 
 As freqüências emitidas nas transições seriam: 
Portanto, Bohr prevê que: 
sendo um êxito para a sua teoria! 
1
32
0
4
109737
8
cm
ch
me
RH
2232
0
4 11
8 'nnh
me
h
EE
f n´n'nn
O modelo atômico de Bohr (1913) 
222232
0
4
'
1
´
1
´
11
8
1
nn
R
nnch
me
H
nn
(constante de Rydberg) 
222
0
4 1
8 nh
me
En
8 
 O modelo de Bohr explicou as raias espectrais conhecidas 
para o átomo de hidrogênio e mostrou que deveriam existir 
outras, fora do espectro visível. 
 
Balmer 
9 
r
e
rU
1
4 0
2
O poço de potencial onde o elétron está 
confinado (potencial coulombiano) tem 
a forma: 
A equação de Schrödinger para o elétron nesse potencial é: 
)(E)()r(U)(
m
rrr
 2
2
2
A equação de Schrödinger e o átomo de H 
10 
11 
,,rr

Coordenadas esféricas: 
12 
/iEtexpφθ,r,tφ,θ,r,Ψ
Lembre-se de que: 
É esta a função que procuramos... 
ΦΘrR,,r
l 
número 
quântico 
orbital 
(Módulo do 
Momento 
Angular 
Orbital) 
n 
número 
quântico 
principal 
 
(Energia) 
m 
número 
quântico 
magnético 
(Orientação 
do 
Momento 
Angular 
Orbital) 
símbolo valores 
n 1, 2, 3, 
l 0,..., n-1 
m -l,..., l 
 Como o potencial coulombiano só depende de r, a equação de 
Schrödinger pode ser separada em três equações e a função de 
onda pode ser separada (em coordenadas esféricas). 
 Isto produz três equações diferenciais separadas, uma em 
cada variável (r, , ) ! 
A equação de Schrödinger e o átomo de H 
13 
14 
mlmnlm,l,n ΦΘrR,,r
Para estes estados, as soluções da equação de 
Schrödinger... 
 ....... são bem comportadas!! 
 
Para tal, impomos condições de contorno.... 
O número quântico orbital l corresponde aos estados: 
(1,0,0) 
(2,0,0) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1) 
l = 0, 1, 2, 3, 4,... 
 (s, p, d, f, g) 
0
E
4/
0
E
9/
0
E
(3,1,0) (3,0,0) (3,1,-1) (3,1,1) (3,2,1) (3,2,0) (3,2,2) (3,2,-1) (3,2,-2) 
)(rnlm

(n,l,m) 
1s 
2s 2p 
3s 3p 3d 
A equação de Schrödinger e o átomo de H 
2
1
n
En
15 
)r(ER)r(R)r(U
dr
)r(dR
rdr
)r(Rd
m
2
2 2
22
•Para o estado fundamental (n = 1, l = 0, m = 0) temos a equação radial 
(sem dependência em e ) : 
0r
r
0
e
r
r
2
3100
1 é o raio de Bohr 
0; r
• A função de onda do hidrogênio no estado fundamental (1,0,0): 
A equação de Schrödinger e o átomo de H 
16 
17 
Algumas funções de onda mais para outros estados do H: 
0r/a
Aqui a0 é o raio de Bohr e 
18 
Interpretação: 
Vale a condição de normalização da densidade de probabilidade: 
1
0
dr rP
1dV,,r ,,r*
espaço o todo
Para a densidade de 
probabilidade em 
todo o espaço: 
Para a densidade de 
probabilidade radial: 
• A densidade de probabilidade associada à função de onda: 
Probabilidade de medir 
no volume dV 
à distância r 
 densidade de probabilidade 
| (r)|2 
à distância r 
 
 dV = 
0
2
2
3
0
4 rr
er
r
rP
drrrdVrdrrP 2
22
4
então: 
A equação de Schrödinger e o átomo de H 
[ p. ex., para o estado fundamental: (n,l,m) = (1,0,0) ] 
0
2
3
0
100
1 rr
e
r
r
19 
z 
x 
y 
Átomo de H: Densidade de Probabilidade Radial 
0
2
2
3
0
4 rr
er
r
rP
(n,l,m) = (1,0,0) 
20 
21 
P(r) 
r 
r 
r 
Átomo de H: Densidade de Probabilidade Angular 
22 
Construindo os orbitais....... 
 cos2 
0° 1 
30° 3/4 
45° 1/2 
60° 1/4 
90° 0 
120
° 
1/4 
135
° 
1/2 
150
° 
3/4 
180
° 
1 
orbitais atômicos 
z 
x 
y 
Átomo de H: Orbitais Atômicos 
24 
25 
h
tt
p
:/
/s
ev
en
co
lo
rs
.o
rg
/p
o
st
/h
y
d
ro
g
en
-a
to
m
-o
rb
it
al
s 
Estado 1s 
n=1, l=0, m=0 
Estado 2s 
n=2, l=0, m=0 
Estado 2p 
n=2, l=1, m=0 
Estado 2p 
n=2, l=1, m= 1 
Átomo de H: Densidade de Probabilidade Radial 
)(112 rP
)(012 rP
26 
27 
Resumo da aula: 
Para o átomo de hidrogênio vimos: 
 
• As soluções da equação de Schrödinger; 
• Os estados quânticos permitidos, 
caracterizados pelos números n, l, m; 
• A interpretação probabilística da densidade 
de probabilidade | * | e da P(r); 
• Representação de alguns orbitais. 
 
Probl. Cap. 39; No. 34: 
 
Um átomo de hidrogênio, inicialmente em repouso no estado n = 4, 
sofre uma transição para o estado fundamental, emitindo um fóton 
no processo. Qual é a velocidade de recuo do átomo de H? 
Conservação: 
;:ou
c
E
vmpp
foton
recpfotonrec

onde: mH mp (massa do próton) 
eV 12,75eV
1
1
4
1
6,13
2214
EEE foton
m/s 08,4
)103/(10938
75,12
/ 862 ccm
E
v
p
foton
rec
onde: 
m/s 103 c e MeV 938 82cm p
28 
Probl. Cap. 39 No. 35: 
 
No estado fundamental do átomo de hidrogênio, o elétron possuiu 
uma energia total de -13,6 eV. Quais são (a) a energia cinética e (b) 
a energia potencial do elétron a uma distância do núcleo igual ao 
raio de Bohr? 
m
CCmN
r
e
rU
Bohr
Bohr 11
219229
0
2
10292,510602,1/.1099,81
4
eVJrU Bohr 2,271036,4
18
eVUEKUKE 6,13)2,27(6,13
b) 
a) 
29 
Probl. Cap. 39; No. 43: 
 
As funções de onda dos três estados cujos gráficos de pontos aparecem 
na figura abaixo, para os quais n = 2, l = 1 e ml = 0, +1 e -1 são: 
;cos
24
1
),( 2/2/3210
are
a
r
ar ;sen
8
1
),,( 2/2/3112
iar ee
a
r
ar
.sen
8
1
),,( 2/2/3112
iar ee
a
r
ar
Observe que a primeira função 
de onda é real, mas as outras são complexas. Determine as densidades de 
probabilidade radial P(r) e verifique que são consistentes com os gráficos 
mostrados: (a) para e (b) para e . 
(c) Some as três funções densidade e mostre que o resultado depende 
apenas de r, ou seja, que a densidade de probabilidade radial total tem 
simetria esférica. 
210
112 112
pz px, py 
n = 2, l = 1 
ml = 0 
ml = 
 
1 30 
(a) 
(b) 
2*
211211112112 4),,(),,(,),( rrrrPrP
2/
5
4
112112 sen
16
,),( are
a
r
rPrP
;sen
16
4sen
64
2/
5
4
22/
5
2
arar e
a
r
re
a
r 1ii ee
pois: 
2/
5
222
sen
16
)( 22 ayx
e
a
yx
n = 2, l = 1 
ml = 
0 
ml = 
 
1 
pz px, py 31 
(c) 
= 1 
ar
total e
a
r
rP /
5
4
8
)(
é independente de e , portanto é 
esfericamente simétrica. 
2/
5
4
22
210 cos
8
)4( are
a
r
r
2/
5
4
22
121
22
121 sen
16
)4()4( are
a
r
rr
32