Lista - Analise Vetorial Cálculo 3

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LISTA DE EXERCI´CIOS DE CA´LCULO III
(INTRODUC¸A˜O A` ANA´LISE VETORIAL)
Prof. Me. Marcel Nascimento
1. Nos problemas a seguir, calcule o divergente e o rotacional do campo vetorial dado;
a) F (x, y, z) = (x, y, z) b) F (x, y, z) = (yz, xz, xy) c) F (x, y, z) = (xy2, yz2, zx2)
d) F (x, y, z) = (y2 + z2, x2 + z2, x2 + y2)
e) F (x, y, z) = x2e−zi+ (y3 lnx)j + (z cosh y)k
2. Aplique as definic¸o˜es de gradiente, divergente e rotacional para estebelecer as se-
guintes identidades, em que a, b denotam constantes, f, g denotam func¸o˜es escalares
diferencia´veis, e F e G sa˜o campos vetoriais diferencia´veis.
Obs: ∇ · F = divergeˆncia. ∇× F = rotacional.
a) ∇(af + bg) = a∇f + b∇g.
b) ∇ · (aF + bG) = a∇ · F +∇ ·G.
c) ∇× (aF + bG) = a(∇× F ) + b(∇×G).
d) ∇× (fG) = (f)(∇×G) + (∇f)×G.
3. Verique as identidades abaixo, sob a hipo´tese de que as func¸o˜es escalares f e g e o
campo vetorial F sejam duas vezes diferencia´veis.
a) rot(grad f) = 0.
b) div(rot F ) = 0.
c) div(∇fg) = f div(∇g) + g div(∇f) + 2(∇f) · (∇g).
d) div(∇f ×∇g) = 0.
4. Em cada item abaixo, calcule as integrais curvil´ıneas∫
C
f(x, y)ds,
∫
C
f(x, y)dx,
∫
C
f(x, y)dy
ao longo da curva parametrizada.
a) f(x, y) = x2 + y2; x = 4t− 1, y = 3t, t ∈ [−1, 1].
b) f(x, y) = x+ y; x = et + 1, y = et − 1, 0 ≤ t ≤ ln 2.
c) f(x, y) = 2x− y; x = sin t, y = cos t, t ∈ [0, pi
2
].
d) f(x, y) = xy; x = 3t, y = t4, t ∈ [0, 1].
1
5. Calcule
∫
C
xydx+ (x+ y)dy, em que C e´ a parte do gra´fico de y = x2 de (−1, 1) a
(2, 4).
6. Nos problemas abaixo, calcule a integral curvil´ınea
∫
C
F · Tds ao longo do trajeto
C indicado.
a) F = z
−→
i +x
−→
j − y−→k , com C parametrizada por x = t, y = t2, z = t3, t ∈ [0, 1].
b) F = yz
−→
i + xz
−→
j + xy
−→
k , com C segmento de reta de (2,−1, 3) a (4, 2,−1).
c) F = y
−→
i − x−→j + z−→k , com C dada por x = sin t, y = cos t, z = 2t, t ∈ [0, pi].
7. Calcule a integral curvil´ınea
∫
C
x2ydx + xy3dy, em que C consiste dos segmentos
retil´ıneos de (−1, 1) a (2, 1) e de (2, 1) a (2, 5).
8. Imegine um fio infinitamente longo e uniformemente carregado que coincide com o
eixo z. A forc¸a ele´trica que ele exerce sobre uma carga unita´ria no ponto (x, y) 6=
(0, 0) no plano xy e´
F (x, y) =
k(x
−→
i + y
−→
j )
x2 + y2
.
Determine o trabalho realizado por F ao mover uma carga unita´ria ao longo do
segmento de reta
a) de (1,0) a (1,1); b) de (1,1) a (0,1).
9. Mostre que se F e´ um campo de forc¸a constante, enta˜o exerce um trabalho zero
sobre uma part´ıcula que percorre uma vez, em sentido anti hora´rio, a circunfereˆncia
unita´ria no plano xy.
10. Verifique se os seguintes campos sa˜o conservativos. Caso afirmativo, determine uma
func¸a˜o potencial para estes.
a) F (x, y) = (2x+ 3y)i+ (3x+ 2y)j.
b) F (x, y) = (3x2 + 2y2)i+ (4xy + 6y2)j.
c) F (x, y) =
(
x3 + y
x
)
i+ (y2 + lnx)j.
11. Nos problemas abaixo, mostre que a integral curvil´ınea dada e´ independente do
caminho em todo plano xy, e calcule enta˜o seu valor.
a)
∫ (1,2)
(0,0)
(y2 + 2xy)dx+ (x2 + 2xy)dy.
2
b)
∫ (1,1)
(0,0)
(2x− 3y)dx+ (2y − 3x)dy.
c)
∫ (1,−1)
(0,0)
2xeydx+ x2eydy.
12. Aplique o teorema de Green para calcular a integral∮
C
Pdx+Qdy
ao longo da curva fechada especificada.
a) P = x+ y2, Q = y + x2, C e´ o quadrado com os ve´rtices (±1,±1).
b) P = x2 + y2, Q = −2xy, C e´ a fronteira do triaˆngulo delimitado pelas retas
x = 0, y = 0, x+ y = 1.
c) P = y+ex, Q = 2x2 +cos y, C e´ a fronteira do triaˆngulo com ve´rtices (0,0), (1,1)
e (2,0).
d) P = x2− y2, Q = xy, C e´ a fronteira da regia˜o delimitada pela reta y = x e pela
para´bola y = x2.
e) P = x − y,Q = y, C e´ a fronteira da regia˜o entre o eixo x e o gra´fico de
y = sinx, x ∈ [0, pi].
13. Nos problemas abaixo, ache a a´rea da regia˜o indicada, aplicando o corola´rio do
teorema de Green.
a) O c´ırculo delimitado por x = a cos t, y = a sin t, t ∈ [0, 2pi].
b) A regia˜o sob o arco da ciclo´ide de equac¸o˜es parame´tricas x = a(t − sin t),
y = a(1− cos t).
14. Suponha que f seja uma func¸a˜o escalar de varia´veis x e y, duas vezes diferencia´vel.
Mostre que
∇2f = div (∇f) = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
.
15. Mostre que f(x, y) = ln(x2 + y2) satisfaz a equac¸a˜o de Laplace ∇2f = 0, exceto no
ponto (0,0).
16. Ache o fluxo, para fora, do campo vetorial dado F atrave´s da elipse x = 4 cos t, y =
3 sin t com 0 ≤ t ≤ 2pi.
a) F = x
−→
i + 2y
−→
j
b) F = −y−→i + x−→j .
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