AD1 GAII 2015.2 gabarito

Prévia do material em texto

AD1 - Geometria Anal´ıtica II - 2015.2
Atenc¸a˜o: Responda a`s questo˜es abaixo utilizando os conhecimentos relativos a`s cinco primeiras
aulas do Mo´dulo.
Questa˜o 1:(4,0 pt) Sejam dados os pontos A = (2,−3, 4) e B = (−2,−1, 0). Sabemos, da Geome-
tria Euclidiana Espacial, que o conjunto dos pontos que equidistam de A e B (isto e´, os pontos cuja
distaˆncia a A e´ igual a distaˆncia a B), e´ chamado de plano mediador de A e B. Vamos chamar de
piAB este plano.
(a) [1,0 pt] Determine uma equac¸a˜o em x, y e z que descreva o plano piAB, isto e´, uma
equac¸a˜o que e´ satisfeita por (x, y, z) se, e somente se, (x, y, z) ∈ piAB. Para isto, utilize
a propriedade que caracteriza os pontos de piAB. Simplifique a equac¸a˜o obtida ate´ obter
uma de grau 1 em x, y e z.
(b) [1,0 pt] A partir da equac¸a˜o obtida, verifique que o ponto me´dio de A e B pertence ao
plano piAB. Essa propriedade vale, na realidade, para o ponto me´dio do plano mediador
de dois pontos quaisquer.
(c) [1,0 pt] Uma importante propriedade do plano mediador deA eB e´ que ele e´ perpendicular
ao segmento AB. Utilizando este fato e reciclando as ideias dos itens anteriores, dados
os pontos C = (4, 0, 3) e D = (2, 4,−1), obtenha uma equac¸a˜o que descreva o plano
perpendicular ao segmento CD e que passe por seu ponto me´dio.
(d) [1,0 pt] Obtenha uma equac¸a˜o satisfeita por (x, y, z) se, e somente se, o ponto de coor-
denadas (x, y, z) pertence ao plano que conte´m o ponto (3, 2, 1) e e´ perpendicular a todas
as retas de direc¸a˜o dada pelo vetor ~v = (1,−2, 2).
SOLUC¸A˜O:
(a) O plano mediador de A e B, piAB, foi definido no enunciado como sendo o conjunto de
todos os pontos equidistantes de A e de B. Assim, (x, y, z) ∈ piAB se, e somente se,
d((x, y, z), A) = d((x, y, z), B).
Mas
d((x, y, z), A) = d((x, y, z), B)
m
d((x, y, z), (2,−3, 4)) = d((x, y, z), (−2,−1, 0))
m
1
√
(x− 2)2 + (y + 3)2 + (z − 4)2 =
√
(x+ 2)2 + (y + 1)2 + z2
m
(x− 2)2 + (y + 3)2 + (z − 4)2 = (x+ 2)2 + (y + 1)2 + z2
m
x2 − 4x+ 4 + y2 + 6y + 9 + z2 − 8z + 16 = x2 + 4x+ 4 + y2 + 2y + 1 + z2
m
−4x+ 6y − 8z + 29 = 4x+ 2y + 5
m
−8x+ 4y − 8z = −24
m
2x− y + 2z = 6.
(b) O ponto me´dio de A e B e´ dado por
M =
(
2 + (−2)
2
,
(−3) + (−1)
2
,
4 + 0
2
)
= (0,−2, 2),
logo, para que M pertenc¸a a piAB, precisamos verificar que suas coordenadas satisfazem a
equac¸a˜o obtida para piAB, 2x− y + 2z = 6.
Como
2(0)− (−2) + 2(2) = 6,
conclu´ımos que M ∈ piAB.
(c) Pela propriedade dada neste item e no fim do item anterior, o plano que passa pelo ponto
me´dio de CD e e´ perpendicular a este segmento e´ exatamente o plano mediador de C e
D, que denotaremos por piCD. Como no iteem anterior, a equac¸a˜o e´ dada por
d((x, y, z), C) = d((x, y, z), D)
m
d((x, y, z), (4, 0, 3)) = d((x, y, z), (2, 4,−1))
m√
(x− 4)2 + y2 + (z − 3)2 =
√
(x− 2)2 + (y − 4)2 + (z + 1)2
m
(x− 4)2 + y2 + (z − 3)2 = (x− 2)2 + (y − 4)2 + (z + 1)2
m
x2 − 8x+ 16 + y2 + z2 − 6z + 9 = x2 − 4x+ 4 + y2 − 8y + 16 + z2 + 2z + 1
m
−4x+ 8y − 8z + 25 = 21
m
−4x+ 8y − 8z = −4
m
x− 2y + 2z = 1.
2
(d) Note que (3, 2, 1) e´ exatamente o ponto me´dio de C e D. Ale´m disso, o vetor
−−→
CD =
(−2, 4,−4) e´ mu´ltiplo de ~v = (1,−2, 2) (pois −−→CD = (−2, 4,−4) = −2 · (1,−2, 2) = −2~v).
Assim, o plano sera´ perpendicular a todas as retas de direc¸a˜o dada pelo vetor ~v se for
perpendicular a CD.
Queremos enta˜o o plano que passa pelo ponto me´dio de C e D e e´ perpendicular ao
segmento CD. Sua equac¸a˜o ja´ foi obtida no item anterior, e e´
x− 2y + 2z = 1.
Questa˜o 2:(2,5 pt) Determine a intersec¸a˜o entre o plano parametrizado por
pi :

x = 1 + u− v
y = −1 + 2u
z = 3u− v,
u, v ∈ R
e a reta de parametrizac¸a˜o
r :

x = 1 + t
y = −t
z = 3 + 2t,
t ∈ R.
SOLUC¸A˜O:
Um ponto pertence a` intersec¸a˜o de pi e r se estiver simultaneamente nestes dois objetos. Isso
significa que suas coordenadas x, y e z podem ser escritas nas formas
x = 1 + u− v
y = −1 + 2u
z = 3u− v
e 
x = 1 + t
y = −t
z = 3 + 2t
,
isto e´, que o sistema 
x = 1 + u− v
y = −1 + 2u
z = 3u− v
x = 1 + t
y = −t
z = 3 + 2t,
tem soluc¸a˜o para valores de t, u, v ∈ R.
Resolvendo o sistema, eliminando x, y e z, temos
1 + u− v = 1 + t
−1 + 2u = −t
3u− v = 3 + 2t.
A primeira equac¸a˜o da´ t = u− v que, substituindo nas outras duas, nos levam a
−1 + 2u = −(u− v)
3u− v = 3 + 2(u− v) ∴
3u− v = 1
u+ v = 3.
Somando estas equac¸o˜es, temos
4u = 4 ∴ u = 1.
3
Com isso, como 3u− v = 1, temos v = 2 e, como t = u− v, temos t = −1.
Susbtituindo t = −1 na parametrizac¸a˜o da reta, obtemos o ponto de intersec¸a˜o:
x = 1 + (−1)
y = −(−1)
z = 3 + 2(−1)
∴ (x, y, z) = (0, 1, 1).
Note que poder´ıamos tambe´m ter substitu´ıdo u = 1 e v = 2 na parametrizac¸a˜o do plano, e obter´ıamos
o mesmo ponto: 
x = 1 + 1− 2
y = −1 + 2(1)
z = 3(1)− 2
∴ (x, y, z) = (0, 1, 1)
(fazer as duas substituic¸o˜es e´, inclusive, uma boa forma de verificarmos se a soluc¸a˜o esta´ correta!).
Questa˜o 3:(2,5 pt) Para uma constante a ∈ R, a reta r e´ parametrizada por
r : (x, y, z) = (−4, 1, 4) + (1, 0, a) · t, t ∈ R.
Determine um valor de a para que r seja tangente a` esfera de equac¸a˜o
S : x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y = 20.
SOLUC¸A˜O:
A reta r sera´ tangente a` esfera S se, e somente se, a intersec¸a˜o entre estes objetos for um u´nico
ponto. Vamos enta˜o intersectar os objetos para ver o que encontramos:
x = −4 + t
y = 1
z = 4 + at
x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y = 20
(as treˆs primeiras equac¸o˜es veˆm da parametrizac¸a˜o da reta).
Substituindo x, y e z na quarta equac¸a˜o, temos
(−4 + t)2 + (1)2 + (4 + at)2 − 2(−4 + t) + 4(1) = 20,
logo
t2 − 8t+ 16 + 1 + a2t2 + 8at+ 16 + 8− 2t+ 4 = 20.
Simplificando, temos
(1 + a2)t2 + (−10 + 8a)t+ 25 = 0.
Agora vamos pensar sobre a equac¸a˜o obtida. Cada valor de t da soluc¸a˜o desta equac¸a˜o correspon-
dera´ a um ponto da intersec¸a˜o da reta com a esfera. Queremos, pore´m, que esta intersec¸a˜o consista
de um u´nico ponto, logo a equac¸a˜o obtida so´ pode ter uma soluc¸a˜o.
Isso significa enta˜o que ∆ = 0, onde
∆ = (−10 + 8a)2 − 4 · (1 + a2) · 25.
Com isso,
100− 160a+ 64a2 − 100− 100a2 = 0,
logo,
−36a2 − 160a = 0 ∴ 4a(9a+ 40) = 0.
Assim, temos a = 0 ou a = −40
9
.
4
Questa˜o 4:(1,0 pt) Sejam os vetores ~u = (a, b, c), ~v = (d, e, f) e ~w = (g, h, i) linearmente indepen-
dentes. Dados pontos P,A,B e C do espac¸o tais que
−→
PA = ~u+ k~v,
−−→
PB = ~v + k ~w,
−→
PC = ~w,
onde k ∈ R, determine o valor de k para que os pontos A,B e C sejam coplanares.
SOLUC¸A˜O:
Treˆs pontos no espac¸o sempre sera˜o coplanares. Assim, k pode assumir qualquer valor real.
5