Sequências e Progressões Aritméticas e Geométricas

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SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES
1. Progressão Aritmética
2. Progressões Geométricas
Venha aprender sobre sequências numéricas, progressões aritméticas e progressões 
geométricas.
Esta subárea é composta pelos módulos:
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PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Em alguma vez na sua vida você já deve 
ter viajado de táxi e, portanto, deve ter 
percebido que o taxista recebe o dinheiro 
através da distância que o viajante percorre. 
Digamos que a cada quilômetro percorrido 
o taxista recebe R$ 5,00, dessa forma, se o 
viajante andar 2 km, ele pagará R$ 10,00; 
se o viajante andar 3 km, ele pagará R$ 
15,00 e assim sucessivamente.
Portanto o preço por quilômetro percorrido é uma sequência do tipo progressão 
aritmética, pois a cada quilômetro percorrido a quantia aumenta R$ 5,00, formando a 
sequência: (5, 10, 15, 20, ..., n).
SEQUÊNCIA
Sequência é uma sucessão de elementos que estão escritos em uma determinada 
ordem. Os elementos também são chamados de termos da sequência.
Exemplo: 
Na sequência dos números naturais positivos, temos:
1° termo: 1, 2° termo: 2, 3° termo: 3, ..., n° termo: n.
Representamos o primeiro termo como a1, o segundo termo como a2, o terceiro como 
a3, e assim sucessivamente, sendo o termo de índice n (an), a sequência é representada 
por: (a1, a2, a3,..., an).
A sequência dos números ímpares positivos é infinita: (1,3,5,7,...), na qual a1=1, a2=3, 
a3=5, etc;
A sequência dos quatro primeiros múltiplos de cinco é finita: (0,5, 10, 15), na qual a1=0, 
a2=5, a3=10, a4=15.
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a PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Progressão Aritmética (P.A) é toda sequência numérica na qual a diferença entre cada 
termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. A diferença é definida pela 
letra r e é chamada de razão da P.A..
Classificação da P.A
 f Constante: nos casos em que a razão for igual a zero. Exemplo: (5,5,5,5, ...), com 
r = 0.
 f Crescente: nos casos em que a razão for maior que zero. Exemplo: (2,4,6,8,..), 
com r = 2.
 f Decrescente: nos casos em que a razão for menor que zero. Exemplo: (15, 10, 
5, 0, -5, ...), com r = −5.
Propriedades da P.A
Primeira Propriedade: Numa P.A finita, a soma dos termos que estão no extremo é 
igual à soma dos termos que estão a mesma distância dos extremos. 
Exemplo:
20 + 35 = 55
 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
5 + 50 = 55
Segunda propriedade da P.A: Tomando como exemplo, três termos consecutivos de 
uma progressão aritmética, sabe-se que o termo central é igual a média aritmética dos 
outros dois (antecessor e sucessor).
Exemplo:
 
25
2
3020
=
+
 452
5040
=
+
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
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aTerceira propriedade da P.A: Numa P.A finita com número de termos ímpar, o termo 
médio é a média aritmética de todos os termos equidistantes.
500
2
700300
=
+
100 200 300 400 500 600 700 800 900
500
2
900100
=
+
Termo Geral da P.A
Em uma progressão aritmética de razão r, partindo do 1° termo, para avançar um termo 
basta somar r ao 1° termo (a2 = a1 + r); para avançar dois termos basta somar 2r ao 1° 
termo (a3 = a1 + 2r); para avançar três termos basta somar 3r ao 1° termo (a4 = a1 + 3r), 
e assim por diante. Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado termo 
geral da P.A:
an = a1 + (n−1)r Razão
 Termo geral Posição do termo
 1° termo da P.A
Calcule o 8° termo da P.A (15, 25, 35, 45, ...)
Resolução:
Sendo a1 = 15, r = 10 e n = 8, temos:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛−1) . 𝑟
𝑎8 = 15 + (8−1) . 10
𝑎8 = 15 + 7 . 10
𝑎8 = 15 + 70
𝑎8 = 85
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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a Soma dos termos de uma P.A
A fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita é dada por um processo, que após 
algumas deduções chega-se a:
( )
2
.1 naaS nn
+
=
No qual:
𝑆𝑛 = soma dos 𝑛 primeiros termos
𝑎1 = primeiro termo
𝑎𝑛 = termo que ocupa a posição n
𝑛 = posição do termo
Determine a soma dos 12 primeiros termos da sequência (4, 8, 12, 16, ...).
Resolução:
Sabendo que =1a 4, n = 12 e r = 4, assim:
𝑎𝑛 = 𝑎_1 + (𝑛−1) . 𝑟
𝑎12 = 4 + (12−1) . 4
𝑎12 = 4 + 11 . 4
𝑎12 = 4 + 44 = 48
𝑆12 = 52 . 6 = 312
Interpolação de uma P.A
Interpolar meios aritméticos é definir os números reais que estão no intervalo dos valores 
extremos de determinada sequência numérica, tornando-a uma progressão aritmética. 
Para isso é necessário a fórmula do termo geral.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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Numa P.A, 1a = 20 e 7a = 140. Determine a interpolação entre 1a e 7a .
Resolução: 
Para determinar os números entre 20 e 140 para que obtenhamos uma P.A., 
devemos primeiramente encontrar a razão:
1a = 20 
7a = 140
n = 7
Logo:
( )rnaan 11 −+=
( )raa 1717 −+=
140 = 20 + 6r
120 = 6r
6
120
=r
r = 20
Conhecido a razão, basta determinar os demais termos da sequência:
raa += 12 = 20 + 20 = 40
raa += 23 = 40 + 20 = 60
raa += 34 = 60 + 20 = 80 
raa += 415 = 80 + 20 = 100
raa += 56 = 100 + 20 = 120
raa += 67 = 120 + 20 = 140
Portanto, a P.A obtida é: (20, 40, 60, 80, 100, 120, 140).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Na apostila anterior entendemos o que é uma sequência numérica e uma sequência 
especial: a progressão aritmética. Agora iremos estudar a outra progressão super 
importante, a progressão geométrica, carinhosamente chamada de PG!
Progressão Geométrica é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do 
segundo, é o termo anterior multiplicado por uma razão constante q. 
Antes de falarmos sobre a lei de formação da PG quero te explicar que, assim como na 
PA, costumamos chamar o segundo termo de uma PG de 𝑎2, o terceiro termo de 𝑎3, o 
quarto termo de 𝑎4, e um termo n qualquer de 𝑎𝑛.
LEI DE FORMAÇÃO DA PG
A sequência (2, 6, 18, 54, ...) lhe parece uma progressão geométrica? Bom, que é uma 
progressão não nos resta dúvida. A dúvida seria se é uma progressão geométrica! 
E sim, é uma PG, porque para encontrar o termo 𝑎2, basta multiplicarmos o termo 𝑎1 
pela razão 3, ou seja, 𝑎2=𝑎1×3. Assim como, para encontrar o terceiro termo basta fazer 
𝑎3=𝑎2×3. Do mesmo modo, para encontrar o quarto faríamos 𝑎4=𝑎3×3. 
Mas, e se quiséssemos encontrar o quinto termo dessa sequência? Nesse caso bastaria 
multiplicarmos o 𝑎4 por 3, ou seja, 𝑎5=𝑎4×3.
Se escrevermos esses termos em função do termo 𝑎1 perceba o que acontece:
......
O que ocorre é que para encontrar um termo n qualquer, basta multiplicamos o primeiro 
termo pela razão q elevada a (n-1), ou seja, a lei de formação dessa sequência é dada 
por:
Generalizando, a lei de formação de uma PG (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …, 𝑎𝑛), de razão 𝑞, é dada por:
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REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE PA E PG
Você sabia que podemos representar graficamente as progressões? Vamos analisar as 
representações das PAs e PGs no plano cartesiano que nada mais são do que pontos 
de uma reta e pontos do gráfico de uma função exponencial, respectivamente.
Representação da PA
Na Progressão Aritmética (2, 4, 6, 8, 10,...), note que 𝑎1=2, 𝑎2=4, 𝑎3=6, 𝑎4=8 e assim 
por diante. Ou seja, quando 𝑛=1, 𝑎𝑛=2, quando 𝑛=2, 𝑎𝑛=4, para 𝑛=3, 𝑎𝑛=6 e assim 
sucessivamente. Portanto, definimos que:
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PG
No exemplo anterior tínhamos uma PG onde cada termo era maior que o termo anterior, 
portanto, podemos dizer que se tratava de uma progressão geométrica crescente. 
Mas existem também progressões geométricas decrescentes, onde o próximotermo é 
sempre menor do que o termo atual, como essa PG, por exemplo: . Note 
que para encontrar o próximo termo temos sempre que multiplicar o termo anterior por 
um terço, logo razão dessa PG é dada por . 
Note também que a razão dessa PG decrescente é um número maior que zero e menor 
que um. Isso não é coincidência, sempre que o primeiro termo da PG for positivo e a 
razão for um número entre zero e um, a PG será decrescente.
E, alguém nos disse que a razão não pode ser igual a um? Não, porque ela pode sim! 
E nesse caso a PG será uma progressão constante. Em resumo:
Caso 𝒂𝟏>𝟎:
 f Se 𝒒>𝟏 então a PG é crescente.
 f Se 𝟎<𝒒<𝟏 então a PG é 
decrescente;
 f Se 𝒒=𝟏 a PG é constante;
 f Se 𝒒=𝟎 a PG será estacionária;
 f Se 𝒒<𝟎 a PG será oscilante.
Caso 𝒂𝟏=𝟎:
 f A PG será constante com razão 
indeterminada.
Caso 𝒂𝟏<𝟎:
 f Se 𝒒>𝟏 então a PG é decrescente;
 f Se 𝟎<𝒒<𝟏 então a PG é crescente;
 f Se 𝒒=𝟏 a PG é constante;
 f Se 𝒒=𝟎 a PG será estacionária;
 f Se 𝒒<𝟎 a PG será oscilante.
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𝑎
𝑛
2
2
4
6
1 3 𝑛
Para representar os pontos de uma progressão aritmética no plano cartesiano usamos 
o par ordenado (𝑛,𝑎𝑛), onde 𝑛 é um número natural qualquer maior que zero e o 𝑎𝑛 é o 
termo geral de uma PA.
Observe como fica a representação da progressão que usamos como exemplo e que 
quando ligamos os pontos formamos uma reta:
Representação da PG
Para representar os pontos de uma progressão aritmética no plano cartesiano usamos 
o par ordenado (𝑛,𝑎𝑛), onde 𝑛 é um número natural qualquer maior que zero e o 𝑎𝑛 é o 
termo geral de uma PG.
Exemplo:
Na PG (1,2,4,8,16, ...), quando:
 f 𝑛=1⇒𝑎𝑛=1, formamos o par ordenado (1,1);
 f 𝑛=2⇒𝑎𝑛=2, formamos o par ordenado (2,2);
 f 𝑛=3⇒𝑎𝑛=4, formamos o par ordenado (3,4);
 f 𝑛=4⇒𝑎𝑛=8, formamos o par ordenado (4,8);
 ...
Representando os pontos no plano cartesiano e ligando os pontos obtemos a seguinte 
representação geométrica:
𝑎
𝑛
2
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4
6
1 3 𝑛
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Uma caixa em forma de paralelepípedo tem as dimensões em PG. Sabendo que 
seu volume é 64 cm3 e a soma dos comprimentos de suas dimensões é 21 cm, 
calcule a sua maior dimensão.
Resolução:
Sabemos que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas três 
dimensões e sabendo que elas formam uma PG, temos uma progressão de três 
termos, onde um dos termos vale 𝑥 e a razão dessa PG é q.
Como o produto das dimensões é igual a 64, temos que:
Já sabemos que uma das dimensões vale 4, agora encontraremos a medida das 
demais dimensões:
Sabendo que a soma das dimensões vale 21 e que 𝑥=4, temos que:
NOTAÇÃO AUXILIAR
Falamos anteriormente que para encontrar o próximo termo de uma PG bastava 
multiplicar o termo pela razão, portanto quando queremos encontrar o termo antecessor 
temos que fazer a operação inversa, ou seja, dividir o termo atual pela razão da 
progressão. 
Em alguns momentos será muito útil escrever a PG em termos de um termo x (de sua 
escolha) e da razão q, como quando a PG é finita, o número de termos dela é ímpar e 
você conhece o produto dos termos dessa PG. Nestes casos você deve representa-la 
da seguinte forma:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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a
Por Bháskara temos que:
Substituindo as razões possíveis na PG temos:
ou
Note que dependendo da razão a PG será crescente ou decrescente, mas em 
ambos os casos temos as três dimensões: 1, 4 e 16. Portanto a maior dimensão 
desse paralelepípedo é 16 cm.
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a TERMOS EQUIDISTANTES
Em uma progressão geométrica os termos equidistantes, quando multiplicados, resultam 
sempre no mesmo resultado.
Obs.: Quando a PG tem um número ímpar de elementos, multiplicamos o termo central 
por ele mesmo.
Exemplo: 
1. Note que na PG (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) o produto dos termos equidistantes 
resulta sempre em 256.
 f 𝑎1.𝑎9 = 256 e 𝑎2.𝑎8 = 256:
1 × 256 = 256
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)
2 × 128 = 256
 f 𝑎3.𝑎7 = 256 e 𝑎4.𝑎6 = 256:
4 × 64 = 256
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)
8 × 32 = 256
 f 𝑎5²:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)
 16² = 256
Soma dos termos de uma PG
Existem duas formas de somar os termos uma PG, depende diretamente do fato da PG 
ser finita ou infinita.
Em uma PG finita (𝑎1, 𝑎2,𝑎3,…,𝑎𝑛), com razão igual a 𝑞, a soma 𝑆𝑛 dos seus elementos é 
dada por:
Já em PG infinita (𝑎1, 𝑎2,𝑎3,…,𝑎𝑛), com razão igual a 𝑞, em que 0<|𝑞|<1, a soma 𝑆∞ dos 
seus elementos é dada por:
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aINTERPOLAÇÃO DE UMA PG
Interpolar meios geométricos é definir os números reais que estão no intervalo dos 
valores extremos de determinada sequência numérica, tornando-a uma progressão 
geométrica. Para isso é necessário a fórmula do termo geral.
Numa PG, 𝑎1=5 e 𝑎6=1215. Determine a interpolação entre 𝑎1 e 𝑎6.
Resolução: 
Para determinar os números entre 5 e 1215 para que obtenhamos uma PG, 
devemos primeiramente encontrar a razão:
= 5 
= 1215
n = 6
Logo:
1215 = 5.
243 = 
q = 3
Conhecido a razão, basta determinar os demais termos da sequência:
= 5 . 3 = 15
= 15 . 3 = 45
= 45 . 3 = 135
= 135 . 3 = 405
= 405 . 3 = 1215
Portanto, a PG obtida é: (5, 15, 45, 135, 405, 1215).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Através dos cursos
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COMBINAÇÃO E ARRANJO
COMBINAÇÕES 
Chamam-se combinações simples todos os subconjuntos de p elementos que podemos 
formar com 𝑛 elementos distintos, sendo 𝑝≤𝑛. As combinações são subconjuntos que 
se caracterizam pela natureza dos elementos, ou seja, a ordem não é importante.
A notação para o número de combinação simples de 𝑛 elementos tomados de 𝑝 a 𝑝 é: 
𝐶𝑛, 𝑝
Assim, para calcularmos o número de combinações, utilizamos a seguinte expressão:
Uma escola tem 9 professores de Matemática, e para um congresso precisa enviar 
4 deles para representar a escola. Quantos grupos de 4 professores são possíveis?
Resolução:
Observe que neste caso não importa o ordem dos professores, pois invertendo a 
ordem dos professores não vai alterar o grupo. Os grupos irão se distinguir sempre 
que houver pelo menos uma pessoa diferente. Ou seja, neste caso interessa 
somente a natureza dos elementos. O total de professores é 9, então o número de 
elementos 𝑛 é 9, assim como queremos formar grupos de 4 professores o 𝑝 é 4. 
Aplicando na fórmula, temos:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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Co
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çã
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e 
A
rr
an
jo
Simplificando a combinação, obtemos:
 grupos possíveis.
ARRANJOS
Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de 𝑝 elementos que 
podemos formar com 𝑛 elementos distintos, sendo 𝑝≤𝑛. Cada um desses agrupamentos 
se diferencia pela ordem ou natureza de seus elementos. A notação para o número de 
arranjos simples de 𝑛 elementos tomados 𝑝 a 𝑝 é: 𝐴𝑛, 𝑝
Assim, para calcularmos o número de arranjos, utilizamos a seguinte expressão:
a) Em um prova de atletismo 8 corredores disputam as 3 primeiras posições. De 
quantas maneiras possíveis o pódio pode ser formado?
Resolução:
Antes de aplicar a fórmula, vamos analisar as possibilidades para cada posição do 
pódio.
Para o 1º lugar, os 8 corredores estão disputando a posição. Para o 2º lugar 
teremos 7 corredores já que um deles terá chegado em primeiro, assim como para 
o 3º lugar terá restado 6 corredores porque os dois primeiros lugares já foram 
ocupados. Assim podemos dizer que:
 possibilidades
Note que tanto a ordem como a natureza é importante para a resolução.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
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A
rr
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Aplicando a fórmula, temos: 
Realizando a simplificação dos fatoriais:
possibilidades
b) Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras 
diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?
Resolução:
Observe que temos uma questão em que tanto a natureza quanto aordem 
importam, pois temos mais lugares do que pessoas para sentar e em dois lugares 
as duas pessoas podem se alternar. Dessa forma, muda-se tanto a natureza quanto 
a ordem dos elementos. 
Sabendo disso, temos um arranjo, portanto aplicando na fórmula, em que 𝑛 
representa o número de lugares vagos e 𝑝 representa as pessoas que ocuparão os 
lugares, obtemos:
Fazendo a simplificação dos fatoriais:
 maneiras distintas.
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PERMUTAÇÃO CIRCULAR E 
CAÓTICA
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Para introduzirmos permutação circular, vamos recordar o que é uma permutação 
simples.
Na permutação simples, queremos saber quantas são as possibilidades de trocar os 
elementos de posição dentro de um conjunto. Um exemplo seria uma fila de crianças 
em pé, onde podemos ficar trocando elas de posições entre si.
Agora, quando temos um círculo de crianças, onde cada uma tem o seu lugar, e queremos 
trocá-las de posição sem que a primeira e a ultima do círculo continuem juntas, então 
teremos uma permutação circular.
Vejamos o exemplo a seguir:
Temos uma mesa redonda com 3 lugares, onde A é o primeiro lugar, B o segundo e C o 
terceiro, conforme a figura abaixo. 
A
C
B
Se fosse uma permutação simples, teríamos 𝑃 = 3!, ou seja, 6 formas de montar essa 
mesa com esses 3 elementos.
Porém, sendo uma permutação circular, iremos, apenas, rotacionar a mesa, sendo que 
a ordem deverá ser sempre ABC, assim teremos as seguintes configurações de mesa:
 C
B
A
B
A
C
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ut
aç
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 C
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ul
ar
 e
 C
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tic
a Sendo assim, podemos dizer que os lugares permaneceram os mesmos e a mesa foi 
apenas rotacionada. Dessa forma, as 3 mesas mostradas nas imagens são a mesma 
e, portanto, devemos observar os casos em que as mesas tenham configurações 
diferentes, excluindo as configurações semelhantes pela rotação. Para isso, devemos 
fazer a permutação total dos elementos e divididirmos pelo número de elementos, em 
outras palavras:
 ou ainda 𝑃 𝐶𝑛 = (𝑛−1)!
Aplicando no exemplo, temos:
 possibilidades.
Note que as possibilidades são: 1º (ABC, BCA, CAB) e 2º (ACB, CBA, BAC).
Calcule as diferentes maneiras de dispor os 4 lugares de uma mesa quadrada, 
observando seus eventos circulares.
A
C
BD
Resolução:
Se tivermos uma mesa quadrada com 4 lugares, em que se observa os elementos em 
formato cíclico, notaremos que a formatação ABCD, é a mesma que BCDA, CDAB 
e DABC. Dessa forma, cada formatação diferente gerará 4 mesas semelhantes 
que se diferenciam, apenas, por estar sendo rotacionada.
Então teremos, pela fórmula:
 diferentes maneiras de dispor os 4 lugares de uma mesa 
quadrada.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
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 C
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 C
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tic
aPERMUTAÇÃO CAÓTICA (DESARRANJO)
Permutação caótica é o tipo de situação na qual queremos recolocar/reordenar 𝑛 
elementos de modo que nenhum deles retorne a ocupar seu lugar de origem.
Por exemplo, vamos mostrar todas as possibilidades que temos para escrever um 
anagrama com as letras L,U,A:
L U A L A U U A L U L A A L U A U L
Podemos dizer também que como temos 3 letras e 3 posições, então essa permutação 
simples é: 𝑃 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 possibilidades.
Agora vamos escrever todas as possibilidades em que podemos reordenar os números 
1, 2, 3, 4.
1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 4 1 2 3
1 2 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 3 2
1 3 2 4 2 3 4 1 3 2 1 4 4 2 3 1
1 3 4 2 2 3 1 4 3 2 4 1 4 2 1 3
1 4 2 3 2 4 1 3 3 4 1 2 4 3 1 2
1 4 3 2 2 4 3 1 3 4 2 1 4 3 2 1
Ou ainda, 𝑃 = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 2 4 possibilidades.
Observe que nos dois exemplos, temos alguns conjuntos escritos em roxo. Nestes casos, 
nenhum dos elementos estão em sua posição original, ou seja, no primeiro exemplo, a 
letra L, que originalmente ocupava a primeira posição, não poderá ficar na primeira 
posição; a letra U, que originalmente ocupava a segunda posição, não poderá ficar na 
segunda posição; e assim sucessivamente. No primeiro exemplo são 2 possibilidades e 
no segundo exemplo são 9 possibilidades em que isso acontece.
Estes são os casos em que há permutação caótica, ou desarranjo, como também é 
chamado. Mas para casos em que há muitos elementos o desarranjo é dado pela fórmula:
Aplicando a fórmula no primeiro exemplo temos:
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 C
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ar
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 C
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a Para o segundo exemplo temos:
𝐷4 = 2 4 − 2 4 + 12 − 4 + 1
𝐷4 = 9 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
ANOTAÇÕES
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NÚMEROS BINOMIAIS
NÚMEROS BINOMIAIS
Os números binomiais são importantíssimos para os cálculos dos binômios de Newton, 
pois através deles é possível determinar os coeficientes das expansões dos binômios. 
Sendo assim, para o número binomial de classe 𝑝, deve-se atentar que 𝑛 e 𝑝 são dois 
números naturais, com 𝑛 ≥ 𝑝, chamamos de dado por:
Note que 
Exemplo 1 
Exemplo 2 
CASOS NOTÁVEIS
Dentro dos números binomiais, há alguns casos que aparecem repetidamente e, 
portanto, podemos observar os quatro casos a seguir:
I. , ou seja, 
II. , ou seja, 
III. , ou seja, 
IV. , ou seja, 
2
N
úm
er
os
 B
in
om
ia
is TRIÂNGULO DE PASCAL
A determinação de números binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo 
chamado de triângulo de Pascal, que é construído com base na teoria e propriedade dos 
números binomiais. Perceba a tabela a seguir em que os números binomiais constroem 
uma sequência lógica.
p
0 1 2 3 4 5 6
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 ou 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6
...
... ... ... ... ... ... ...
1 6 15 20 15 6 1
No triângulo de Pascal podemos observar as seguintes propriedades:
1. Um cateto e a hipotenusa do triângulo de Pascal são formados por 1.
2. Em cada linha os termos equidistantes dos extremos são iguais.
3. A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento da linha 
seguinte, imediatamente abaixo da segunda parcela da soma.
4. A soma dos elementos de cada linha do triângulo é uma potência de 2, cujo 
expoente é número da linha. Por exemplo, somando os números da linha n=5, temos: 
1+5+10+10+5+1=32. 
Aplicando a propriedade: 25=32.
De uma forma geral podemos dizer que o somatório é:
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 B
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om
ia
isPROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
Nos números binomiais e observando o Triângulo de Pascal é possível observar duas 
principais propriedades muito usadas no entendimento de binômios e na construção do 
Triângulo Pascal. São elas:
Primeira propriedade: Se , então 𝑝 = 𝑞 ou 𝑝 + 𝑞 = 𝑛
Exemplo 1) pois
Exemplo 2) Resolva a equação:
Pela propriedade, note que:
𝑥 = 2 ou 𝑥 + 2 = 8 → 𝑥 = 6
Logo a solução é: 𝑆 = {2 , 6}
Segunda propriedade: Relação de Stifel
A relação de Stifel é representada pela equação abaixo:
Demonstrando no exemplo a seguir temos: 
Observe que:
𝑛 = 6
𝑝 = 4
𝑝 + 1 = 4 + 1 = 5
𝑛 + 1 = 6 + 1 = 7
Calculando o primeiro binomial:
Calculando o segundo binomial:
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4
N
úm
er
os
 B
in
om
ia
is Calculando o último binomial:
Com os resultados encontrados nos binômios podemos verificar que a relação de Stifel 
é realmente correta, pois:
ANOTAÇÕES
PR
O
B
A
B
IL
ID
A
D
E
2020 - 2022
PROBABILIDADE
1. Introdução à probabilidade
2. Probabilidade da União e do Complementar
3. Probabilidade Condicional 
4. Probabilidade da Intersecção e Eventos Independentes
Qual a probabilidade de você gabaritar matemática no vestibular? Estude com a gente 
e aumente as suas chances!
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PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Certamente você já ouviu perguntas como: "Meu time de futebol ganhará amanhã? " 
Ou "Quais são as chances de ganhar na Mega Sena? " Então você pode ter pensado 
que existe uma forma de prever os acontecimentos antes deles ocorrerem, o que 
chamamos de prever o futuro. E a resposta para isso é: não! Não é possível prever o 
futuro! Contudo, podemos nos fazer outra pergunta: é possível dizerquão provável que 
um acontecimento ocorra? E para esta, temos sim como resposta.
Vamos começar com um baralho de 52 cartas que são divididas em quatro naipes: 
ouros, paus, espadas e copas. Cada naipe possui as seguintes cartas: Às (A), 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, Valete (J), Dama (Q), Rei (K).
Agora vamos pegar esse baralho, embaralha-lo e distribuir sobre a mesa. Você deverá 
escolher uma carta. A pergunta aqui é: você consegue dizer qual é a carta que escolheu 
antes de olhá-la? Certamente não, a não ser que seja muito sortudo ou tenha dado 
aquela olhadinha sem querer. Mudando então de pergunta: é mais provável que a carta 
escolhida seja um número ou uma letra? Você deve ter pensado que o mais provável é 
que seja um número e você está certo, pois há mais números do que letras, logo há mais 
possibilidades de retirar um número do que uma letra. 
A diferença entre prever o futuro e a probabilidade está em ter 100% de certeza que 
algo ocorra ou não. Olhe para o exemplo do baralho, sabemos que é mais provável que 
a carta escolhida seja um número ao invés de uma letra, mas aí surge a pergunta: já que 
não temos 100% de certeza de que a carta retirada será um número, quão provável que 
ela seja? Essa resposta é encontrada no estudo das probabilidades.
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Ao trabalharmos com situações em que o resultado não é garantido pelas condições em 
que você o realiza, chamamos esse processo de experimentos aleatórios. No exemplo 
do baralho, você embaralha e sorteia uma carta. Quando se realiza esse mesmo 
procedimento diversas vezes, a mesma carta poderá ser retirada ou poderá obter outra 
entre as 52. O resultado não é garantido pela forma que estamos construindo a situação. 
Outros exemplos de experimentos aleatórios:
I. Retirar um número entre 1 e 100 de dentro de uma caixa;
II. Lançamento de dados não viciados1;
1 É aquele dado onde todas as faces tem a mesma chance de sair.
4
Pr
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da
de III. Lançamento de uma moeda honesta2;
IV. Número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina durante um dia;
Quando for possível saber o resultado antes mesmo de realizar o experimento, 
chamamos de evento determinístico ou não aleatório.
ESPAÇO AMOSTRAL
Ao lançar um dado não viciado os resultados prováveis serão 1, 2, 3, 4, 5, ou 6. Esses 
resultados prováveis é o que chamaremos de espaço amostral que nada mais é que 
um conjunto com todos as possibilidades.
Exemplos:
I. Experimento: Retirar um número entre 1 e 100 de dentro de uma caixa é um 
experimento aleatório.
Espaço Amostral: 𝑆 = {1, 2, 3, … , 99, 100}.
II. Experimento: Lançamento de uma moeda honesta;
Espaço Amostral: 𝑆 = {𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎}.
III. Experimento: Número de ligações recebidas no canal de emergência 190 durante 
o período de uma hora.
Espaço Amostral: 𝑆 = {0, 1, 2, 3, … , 99, 100, 101, … } = ℕ.
Os espaços amostrais podem ser finitos, que é quando você sabe a quantidade de 
elementos que ele possui ou infinitos, que é quando a quantidade de elementos não 
pode ser representada.
EVENTOS
Quando elencamos alguma característica dentro de um espaço amostral, estamos 
olhando para os elementos ali que satisfazem tal característica. Deste modo, definimos 
evento como qualquer resultado que possa ocorrer dentro de um espaço amostral.
Experimento: Lançamento de um dado não viciado.
Espaço Amostral: 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Eventos: 𝐴: 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟. 𝐴 = {2, 4, 6}; 𝐵: 𝑠𝑒𝑟 í𝑚𝑝𝑎𝑟. 𝐵 = {1, 3, 5}; 𝐶: 𝑆 𝑒𝑟 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3.
𝐶 = {3, 6}; 𝐷: 𝑆 𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑒 í𝑚𝑝𝑎𝑟. 𝐷 = ∅; 
Observação: O evento 𝐷 é um tipo especial de evento, chamado de Evento impossível, 
ou seja, um resultado que nunca ocorrerá.
2 É aquela cuja as chances de sair cara ou coroa são as mesmas.
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deUm outro exemplo é o experimento de lançar uma moeda duas vezes, que teremos: 
O espaço amostral:
𝑆 = {(𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑎); (𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎); (𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎); (𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑎)}.
São vários eventos:
𝐴 = {(𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑎); (𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎)}
𝐵 = {(𝑐𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎); (𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎)}
𝐶 = {(𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎); (𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑎)}
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Até agora construímos o conhecimento necessário para responder à pergunta inicial: já 
que não temos 100% de certeza de que será um número, quão provável é que a carta 
escolhida do baralho que foi comentado lá no início contenha um número? 
De modo geral, para encontrarmos as chances de um determinado evento 𝐴 do espaço 
amostral 𝑆 ocorrer, temos:
 ou .
Ou seja, se temos 52 duas cartas no espaço amostral. Chamando o evento “a carta 
conter um número” de A, obtemos: assim, há 69% de chances de 
que ao sortear uma carta de baralho ela contenha um número.
PROBABILIDADE DA UNIÃO
Quando queremos quantificar as possibilidades de duas coisas acontecerem sem 
haver interferência, estamos usando a probabilidade da união de dois eventos, isto é, 
esperamos que aconteça uma determinada situação ou outra. Tomemos como evento o 
lançamento de um dado não viciado, e listamos alguns eventos possíveis: 
𝐴 = {𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟} = {2, 4, 6}; 
𝐵 = {𝑠𝑒𝑟 í𝑚𝑝𝑎𝑟} = {1, 3, 5}; 
𝐶 = {𝑠𝑒𝑟 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3} = {3, 6}. 
Observe que temos números que são ímpares ou múltiplos de 3 e para encontrarmos 
as chances de tirar um número ímpar ou múltiplo de 3 usamos a união dos dois eventos. 
Então vamos lá: 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵 = {𝑠𝑒𝑟 í𝑚𝑝𝑎𝑟} = {1, 3, 5};
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de 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐶 = {𝑠𝑒𝑟 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3} = {3, 6}. 
 
Podemos representar essa operação de união por meio do diagrama de Venn-Euler, 
aquele visto lá no conteúdo de Conjuntos.
U
CB
.1
.5
.3 .6
Podemos aqui também calcular outras situações, tais como: ser par ou múltiplo de três, 
não ser múltiplo de três, entre outros. Tente você aí em casa calcular a probabilidade 
destas situações. 
PROBABILIDADE DO COMPLEMENTAR
Antes de mais nada: o que é complementar? Vamos pensar na palavra, que lembra 
completo, ou seja, um evento complementar é o que falta pra deixar um outro completo. 
Em “matemátiques” denotamos complementar como (lê-se: não A) ou Ac (lê-se: 
complementar de A). Se fomo representar na forma de diagrama, é o seguinte:
A A–
Vamos ver um exemplo para ficar mais claro. 
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deExemplo: Ao lançarmos um dado, qual a probabilidade de a face superior não ser um 
número par?
Modo 1 Modo 2
Evento A = {2, 4, 6}
Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝑛(A) = 3 e 𝑛(espaço amostral) = 6
Evento = {1, 3, 5}
Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝑛( ) = 3 e 𝑛(espaço amostral) = 6
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Como o próprio nome sugere, a probabilidade condicional está sujeita a uma condição. 
Qual condição? A condição de que um evento B ocorra, sendo que um evento A já 
aconteceu.
De modo geral, podemos utilizar a seguinte fórmula para o cálculo de probabilidades 
condicionais: e lê-se: “A probabilidade do evento B ocorrer dado 
que o evento A ocorreu é igual a probabilidade de A e B ocorrerem, dividido pela 
probabilidade do evento A”.
Exemplo: Um avião com 150 passageiros sai do Rio de Janeiro com destino à Goiás. Ao 
desembarcarem, foram convidados a responderem a duas perguntas de uma pesquisa: 
1ª) Já viajou de avião antes? 2ª) Já esteve em Goiás? A tabela abaixo apresenta as 
respostas obtidas.
Eventos Passageiros viajando de avião pela primeira vez
Passageiros que já 
viajaram de avião Total
Passageiros que não 
conheciam o Goiás 85 25 110
Passageiros que já conheciam 
o Goiás 20 20 40
Total 105 45 150
Um passageiro foi escolhido ao acaso e ele afirma que já viajou de avião antes, qual a 
probabilidade desse passageiro já conhecer o Goiás?
Inicialmente, definimos os dois eventos: A = Já viajou de avião e B = Já esteve em Goiás. 
Perceba que queremos a probabilidade de já ter estado em Goiás, tendo a certeza de 
que o passageiro escolhidojá viajou de avião antes, logo se trata de uma probabilidade 
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de condicional. Basta identificar na tabela a quantidade de passageiros que já tinham 
viajado de avião e já conheciam Goiás, onde temos: .
Agora, precisamos da probabilidade do evento A ocorrer. Conforme está na tabela, 45 
dos 150 participantes viajaram de avião antes. Assim: .
Em posse dessas duas informações, podemos calcular a probabilidade condicional: 
.
PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO E EVENTOS 
INDEPENDENTES
A probabilidade da intersecção de dois eventos ou probabilidade de eventos sucessivos 
determina a chance de dois eventos ocorrerem simultaneamente ou sucessivamente. 
Na pratica é: ao lançar dois dados, qual é a probabilidade de no primeiro sair um número 
par e no segundo, um ímpar? Quando lemos essa pergunta, notamos que o conectivo 
entre as duas partes do problema é o “e”, portanto espera-se que as duas coisas ocorram 
apesar de não interferirem uma na outra, o que chamamos de eventos independentes. 
Tendo então como fórmula 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) . 𝑃(𝐵) e respondendo à pergunta, temos:
Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝐴 = { 2, 4, 6), 𝑛(𝐴) = 3
𝐵 = {1, 3, 5}, 𝑛(𝐵) = 3
Agora quando os eventos não são independentes, ou seja, os dois eventos vão ocorrer 
mais o segundo só acontece depois do primeiro. Temos então: 𝑃(𝐴∩𝐵)= 𝑃(𝐴).𝑃(𝐵│𝐴), 
onde 𝑃(𝐴│𝐵) é a probabilidade de 𝐵 acontecer, sabendo que 𝐴 aconteceu; 𝑃(𝐴∩𝐵) é a 
probabilidade de 𝐴 e 𝐵 acontecerem ao mesmo tempo; e 𝑃(𝐴) é a probabilidade de 𝐴 
acontecer. Para ficar mais claro, considere um globo em um bingo onde possui 60 bolas 
numeradas de 1 a 60. Qual a probabilidade de retirarmos a bola 10 e, sem reposição, a 
bola 7?
A probabilidade de retirar a bola 10 é: .
Agora a urna possui 59 bolas, assim a probabilidade de retirarmos a bola, já tendo 
retirada a bola 10, é: .
Finalmente, queremos saber qual a probabilidade de os dois eventos acontecerem ao 
mesmo tempo. Então: 
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da
dePara finalizar, vale lembrar uma observação que eventos mutualmente exclusivos é 
quando 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0, que é diferente de eventos independentes 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) . 𝑃(𝐵).
ANOTAÇÕES
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Através dos cursos
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ST
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2020 - 2022
ESTATÍSTICA
1. Estatística
2. Medidas de Tendência Central
Quer ter uma nota no vestibular acima da média? A estatística te ajudará a alcançar 
esse destaque!
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ESTATÍSTICA
O estudo abaixo revela o índice, em porcentagem, da evolução da taxa de desemprego 
no ano de 2019 e nos primeiros trimestres de 2020:
Esse tipo de estudo é resultado de uma ciência que usa números para descrever fatos, 
chamada estatística. O trabalho é desenvolvido através da coleta de informações e da 
análise de resultados obtidos, visando conclusões que conduzem a alguma tomada de 
decisão e a definição de planos de ação acerca de determinado tema. 
Além disso, a estatística utiliza ferramentas matemáticas para fazer previsões em um 
determinado universo de dados, de acordo com as informações interpretadas. Sua 
função é entender os fenômenos naturais, econômicos e sociais, compreendendo 
determinadas realidades e tornando possível a elaboração de planos de intervenção. 
ETAPAS DE ESTUDO ESTATÍSTICO
Na estatística chamamos de população o conjunto de elementos que serão estudados 
e de amostra qualquer subconjunto da população que está sendo estudada.
4
Es
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População
Amostra
Elemento
As etapas do estudo estatístico seguem uma sequência lógica:
 f Planejamento: Onde se define o objetivo da pesquisa, a população a ser 
analisada, a amostra que será utilizada, a forma de coleta dos dados, assim como 
outros elementos de estudo. 
 f Coleta de dados: Parte em que ocorre a busca pelas informações desejadas. 
 f Organização e representação dos dados: Onde é feito um resumo dos dados 
coletados, por meio de contagem e agrupamento. Após isso, ocorre a utilização de 
tabelas e gráficos para a apresentação do mesmo. 
 f Tratamento dos dados: Onde ocorre os cálculos estatísticos. 
 f Análise e interpretação de resultados: Onde a pesquisa se finaliza e vira dados 
estatísticos. 
TIPOS DE VARIÁVEIS
Chamamos de variável de uma pesquisa o conjunto de resultados possíveis do que 
está sendo pesquisado, assim a variável é o item que está sendo observado no estudo. 
Elas podem ser qualitativas ou quantitativas.
Qualitativas
A variável é qualitativa quando ela não pode ser expressa por meio de números. Elas se 
dividem em nominal e ordinal:
 f Qualitativa nominal: São variáveis qualitativas que não são ordenáveis. 
Exemplo: Orientação sexual, religião, cor dos olhos, etc. 
 f Qualitativa ordinal: São variáveis que são ordenáveis.
Exemplo: Classe social, grau de instrução, etc.
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aQuantitativas
A variável é quantitativa quando ela pode ser expressa por meio de números. Elas se 
dividem em discretas e contínuas:
 f Discretas: Tem um número finito de valores em qualquer intervalo, como exemplo 
disso, temos: número de filhos, número do calçado, vezes que participou do ENEM, 
entre outras. 
 f Contínuas: Tem um número infinito de valores em qualquer intervalo, como 
exemplo disso, temos: Nota de uma prova, tempo de uma corrida de cavalos, massa 
de uma pessoa, entre outras. 
Um exemplo de estudo estatístico com os tipos de variáveis é uma pesquisa de 
intenção de voto para prefeito de uma cidade com 2.000.000 habitantes, no qual foram 
entrevistadas 200 pessoas das principais regiões da cidade. Elas devem declarar em 
qual dos cinco candidatos votariam: Pedro Santos, Diego Mendes, Karolina Tadeu, 
Fernando Almeida, ou Julia Gomes.
Nesse exemplo, o conjunto de todos os eleitores dessa cidade seria a população (ou 
universo estatístico) e de amostra, o subconjunto de 200 habitantes entrevistados. A 
escolha da amostra deve ser muito bem selecionada, pois a mesma deve ter potencial 
para representar o resto da população, mesmo que com uma pequena margem de erro. 
Na situação que estamos analisando, a variável é o nome do candidato que cada eleitor 
prefere, e os valores da variável são: Pedro Santos, Diego Mendes, Karolina Tadeu, 
Fernando Almeida ou Julia Gomes. Dizemos que ela é uma variável qualitativa, pois 
seus valores são dados por atributos, no caso, o nome do candidato. 
INTERPRETAÇÃO DE TABELAS
Para interpretar uma tabela é necessário que você esteja ciente dos principais elementos 
que podem compô-la dentro do ramo da estatística. 
Para entender alguns conceitos, continuaremos usando o exemplo anterior: suponhamos 
que, dos 200 entrevistados, 20 declararam preferência pelo candidato Pedro Santos, 
42 disseram que votariam no candidato Fernando Almeida; 80 em Diego Mendes; 30 
em Julia Gomes; e 28 em Karolina Tadeu. 
 f Frequência absoluta: É a contagem de cada um dos resultados, nesse caso, o 
número de vezes que cada um dos candidatos foi apontado como preferência do 
eleitor. Dessa forma, temos: 
f Fa(Pedro Santos) = 20
f Fa(Fernando Almeida) = 42
f Fa(Diego Mendes) = 80
f Fa(Julia Gomes) = 30
f Fa(Karolina Tadeu) = 28
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a f Frequência relativa: Cada um dos valores da frequência absoluta será 
representado por um percentual do total de pessoas entrevistadas. Calculando as 
frequências relativas de cada candidato na pesquisa citada, obtemos:
f Fr(Pedro Santos) = 20/200 = 1/10 = 10%
f Fr(Fernando Almeida) = 42/200 = 21/100 = 21%
f Fr(Diego Mendes) = 80/200 = 4/10 = 40%
f Fr(Julia Gomes) = 30/200 = 3/20 = 15%
f Fr(Karolina Tadeu) = 28/200 = 14/100 = 14%
Colocando todas essas informações em uma tabela, aparentamos em uma estrutura 
similar à da tabela abaixo:
 Intenção de voto do eleitor
Nome do candidato: 
(valor da variável)
 Frequênciaabsoluta 
(Fa)
Frequência relativa 
(Fr)
Pedro Santos 20 10%
Fernando Almeida 42 21%
Diego Mendes 80 40%
Julia Gomes 30 15%
Karolina Tadeu 28 14%
TOTAL 200 100%
Além da frequência absoluta e a frequência relativa, temos, ainda, a frequência 
acumulada, que exibe a soma dos dados até a linha atual, ou seja:
 Intenção de voto do eleitor
Nome do candidato: 
(valor da variável)
 Frequência absoluta 
(Fa)
Frequência 
relativa (Fr)
Frequência 
Acumulada
Pedro Santos 20 10% 20
Fernando Almeida 42 21% 62
Diego Mendes 80 40% 142
Julia Gomes 30 15% 172
Karolina Tadeu 28 14% 200
TOTAL 200 100%
Perceba que essa tabela apresenta várias informações que podem ser utilizadas para 
o estudo estatístico, entretanto, nem sempre uma tabela contém esses elementos ou, 
ainda, pode conter mais elementos que o normal. Os elementos de uma tabela podem 
ser observados no exemplo a seguir: 
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 f Título: informa do que se trata os dados fornecidos pela tabela;
 f Cabeçalho: disponibiliza as unidades das informações, como (metros, gramas, 
segundos, etc);
 f Coluna indicativa: indicar o que está sendo medido em cada uma das linhas;
 f Corpo: é onde se localiza os dados numéricos da tabela;
 f Célula: corresponde a cada elemento do corpo da tabela;
 f Rodapé: onde se localiza os dados técnicos da pesquisa.
INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
Os gráficos são outra maneira de demonstrar os dados de um estudo estatístico, eles 
podem possuir vários formatos. Mostraremos os mais usados:
Gráficos de Colunas (ou Gráfico de Barras):
Neste modelo de gráfico, cada barra representa a frequência de determinado valor 
da variável. As barras podem ser dispostas na horizontal ou vertical, varia de acordo 
com a preferência de quem cria o gráfico. Essas barras possuem a mesma largura e o 
comprimento é proporcional às frequências dos dados coletados.
Observe o exemplo a seguir, ainda sobre a pesquisa de intenção de votos para prefeito. 
Cada barra representa um candidato, e o comprimento delas é proporcional à quantidade 
de votos que cada um recebeu durante a pesquisa.
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Gráficos de Setores (ou Gráfico de Pizza) 
Neste tipo de gráfico, cada setor representa a frequência de determinado valor da 
variável, com ângulo central proporcional a essa frequência. Esse modelo é útil quando 
se deseja evidenciar a relação entre as frequências de cada variável e a frequência total.
Aplicando esse gráfico com o exemplo utilizado nessa apostila, percebemos que cada 
setor do gráfico é proporcional à quantidade de votos, ou seja, a maior área do setor 
circular vai ser ocupada por quem obteve mais votos, consequentemente a menor por 
quem teve menos votos, sendo representados em porcentagem, totalizando 100%. 
Gráfico de Segmento (ou Gráfico de Linhas)
Neste tipo de gráfico, uma linha poligonal é formada com os vértices representando 
cada um dos valores de cada variável. Tal modelo representa vantagem quando é usada 
a noção de tempo, ou quando querem comparar resultados de uma mesma pesquisa, 
porém efetuada em tempos diferentes. Observe o exemplo a seguir: 
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Es
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aMaria, uma aluna muito aplicada, que tem como objetivo passar no vestibular de 
medicina, resolveu criar um gráfico com suas notas de ciências referentes a 6 meses do 
ano, afim de acompanhar a sua evolução. 
Observe que o eixo horizontal, foi representado pelos meses (tempo). Já o eixo vertical 
é representado pela nota referente a cada mês. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Quatro jogadores de futebol estão competindo ao prêmio do melhor do mundo, 
um dos critérios para determinar o melhor deles é o número de gols que fizeram 
durante a temporada. O jogador 1 fez 42 gols; o jogador 2 fez 35; o jogador 3 fez 
37; e o jogador 4 fez 46.
Sabe-se que o jogador 4 venceu esse critério e, portanto, determine a angulação 
do setor do jogador 4, observando o número de gols.
Resolução:
Perceba que o gráfico de setor com o número de gols dos quatro jogadores é o 
seguinte:
Número de Gols
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Como o gráfico de setores é feito através da porcentagem dos dados da pesquisa, 
em outras palavras, da frequência relativa do estudo. É possível determinar a 
angulação de cada setor, pois como 360º representa 100%, temos que a soma 
de todos os gols realizados pelos quatro jogadores representa, também, 100%. 
Sendo assim:
42+35+37+46=160
A frequência relativa do jogador 4 é 46 
160
 . 100% = 28,75%, dessa forma, a 
angulação do jogador 4 é:
360°.0,2875 = 103,5°
ANOTAÇÕES
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
A estatística é uma área da matemática voltada para coleta de dados, análise de 
informação, interpretação de dados numéricos e estudo de fenômenos naturais, a etapa 
em que ocorre o tratamento de dados, pode ser separada em dois grupos: medidas 
de tendência central e medidas de dispersão. Nessa apostila, abordaremos esses dois 
grupos. 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
As medidas de tendência central (também conhecido como medidas de posição), 
buscam caracterizar o conjunto de valores da variável analisada. Por exemplo, ao 
dizermos que no mês de dezembro o Rio de Janeiro apresentou uma temperatura média 
de 32°, estamos usando um único dado para representar a temperatura de todos os dias 
de dezembro. As medidas mais usadas nestes casos são a média aritmética simples, 
média aritmética ponderada, moda e mediana. Além delas, temos a média geométrica 
e a média harmônica, cobrada com menos frequência.
Média Aritmética Simples
Considere uma variável S, com o conjunto de valores S= {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,…,𝑥𝑛} com 𝑛 elementos. 
Chamamos de média aritmética simples de S, a razão entre a soma dos elementos do 
conjunto S e a quantidade 𝑛 de elementos do conjunto, ou seja:
Generalizando: 
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Maria fez hora extra no trabalho durante 4 meses ( janeiro, fevereiro, março, abril) e 
foi remunerada pelas horas que fez a mais, mas o valor não era fixo. Maria ganhou 
R$200 no primeiro mês ( janeiro), R$300 no segundo (fevereiro), R$400 no terceiro 
(março) e R$300 no quarto (abril). Quanto ela ganhou em média por mês? 
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id
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Te
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ên
ci
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Ce
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Resolução: Basta somarmos todos os ganhos obtidos por Maria nos quatro meses 
e dividir o resultado por quatro:
Maria recebeu uma média de R$300,00 por mês durante esses quatro meses. 
E, se Maria precisasse trabalhar pelo mês de maio também e recebesse R$300 por 
essas horas, qual seria a média extra ganha por ela nos cinco meses?
Maria teria recebido uma média de R$300,00 por mês durante os cinco meses. 
Mas, se Maria tivesse ganho a mais uma quantia fixa de 100 reais por mês, qual 
seria a média extra ganha por ela?
Neste caso, Maria teria recebido uma média de R$400,00 por mês durante os 
quatro meses. Agora, se Maria precisasse trabalhar pelo mês de maio também e 
por esse mês ganhasse 550 reais, qual seria a média extra ganha por ela? 
Aí Maria teria recebido uma média de R$350,00 por mês durante os cinco meses. 
E, caso Maria passasse por problemas pessoais, deixasse de trabalhar durante o 
mês de janeiro, trabalhando somente em fevereiro, março e abril, qual seria a média 
extra ganha por ela? 
Observações: 
1. A média aritmética de um conjunto de valores não sofre alteração quando 
inserimos ou retiramos dele um valor igual à sua média aritmética.
2. Quando adicionarmos a mesma quantia em todos os valores de um conjunto, a 
média aritmética do conjunto aumenta essa quantidade.
3. A média aritmética de um conjunto de valores aumenta quando inserimos nele 
um valor maior que a sua média aritmética. Quando o valor inserido é menor que a 
média aritmética do conjunto, a média deste diminui.
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l4. A média aritmética de um conjunto de valores aumenta quando retiramosdele 
um valor menor que sua média aritmética. Quando o valor retirado é maior que a 
média aritmética do conjunto, a média deste diminui. 
Média Aritmética Ponderada
A média aritmética ponderada é usada quando os valores do conjunto possuem pesos 
diferentes. Considere uma variável S, com o conjunto de valores S= {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5,…, 
𝑥𝑛}, com 𝑛 elementos, cujos pesos respectivamente são {p1, p2, p3, p4, p5, ..., p𝑛}, a média 
aritmética ponderada de S é resultado da razão entre a soma dos produtos de cada 
elemento de S por seu respectivo peso, e a soma dos pesos dos elementos de S. ou seja: 
Generalizando: 
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Diego participou de um concurso para um emprego na área do Direito, onde foram 
realizadas provas de Português, Matemática, História, e conhecimentos gerais. 
Essas provas tinham peso 3, 3, 3 e 2, respectivamente. Sabendo que Diego tirou 
8,0 em Português, 7,0 em Matemática, 9,0 em História e 7,5 em Conhecimentos 
Gerais. se para ser aprovado a média tinha que ser superior a 7,6. Qual foi a média 
que ele obteve, ele conseguiu a aprovação?
A média obtida por Diego foi de 7,9. Ele conseguiu ser aprovado no concurso por 
7,9 > 7,6.
Média Geométrica
A média geométrica é outra possível medida de tendência central, comum de se ver em 
progressões geométricas, por ser uma propriedade desse assunto. Para um conjunto de 
valores 𝑆= {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, ..., 𝑥𝑛}, com 𝑛 elementos a determinação da média geométrica 
é dada pela raiz de índice 𝑛 dos produtos dos elementos pertencentes a 𝑆.
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Utilizando o produtório, temos que a média geométrica é:
Média Harmônica
A média harmônica é um tipo de média que menos aparece no cotidiano, utilizada 
geralmente em questões que as variáveis são inversamente proporcionais. Dessa 
maneira, seja 𝑆= {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, ..., 𝑥𝑛} o conjunto de 𝑛 elementos, todos diferentes de 
zero, a média harmônica desses 𝑛 elementos pertencentes a 𝑆 é a razão entre o número 
total de elementos sobre a soma dos inversos elementos de 𝑆, isto é:
Simplificando a expressão pelo somatório, temos:
Moda
Em uma fábrica de material de construção trabalham 10 pessoas, nove operários e 
um gerente. Cada operário ganha 2 salários mínimos por mês, já o gerente ganha 82 
salários mínimos. O salário médio dos funcionários é 10. Porém, nesse caso a média 
de dez salários não representa bem o conjunto de dados, visto que a maioria dos 
empregados ganha dois salários mínimos por mês. Logo, o conjunto de dois salários 
mínimos representa a maior frequência, esse valor é chamado de moda do conjunto.
Chamamos de moda o que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados, ou 
o valor mais comum (que mais se repete) referente a um conjunto. 
Caso ocorra de dois elementos do mesmo conjunto possuir a frequência máxima, o 
conjunto será bimodal; se tivermos três valores com frequência máxima, o conjunto 
será trimodal. Já os conjuntos com dois ou mais valores com a frequência máxima são 
conhecidos como multimodais. Há, ainda, a situação em que o conjunto é amodal, ou 
seja, o conjunto não apresenta valores repetidos.
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1. Em um grupo de 10 pessoas, foi feito uma pesquisa com a finalidade de saber 
quantos aparelhos celulares tinham na casa de cada um. Os resultados obtidos 
foram: 
{3,3,4,2,1,3,3,2,4,3}
Valor Frequência absoluta
1 1
2 2
3 5
4 2
Através da tabela podemos observar que a maior frequência é 3, sendo repetido 5 
vezes durante a pesquisa, logo 3 será a moda. 
2. Um professor de Biologia chamado Jubilut propôs aos alunos a realização de um 
trabalho sobre genética, cuja nota poderia ser igual a 1,2 ou 3. Depois de analisar 
os trabalhos entregues por todos os alunos dessa turma, Jubilut montou a tabela 
abaixo, que representa os percentuais de alunos que obtiveram cada uma das 
notas possíveis. 
Nota Percentual de alunos
1 20%
2 45%
3 35%
 
Qual é a moda das notas obtidas pela turma nesse trabalho? 
Resolução:
Note que 45% representa a nota com maior frequência, portanto, a moda é 2. 
Mediana 
Em um teste para seleção de novos integrantes para o time de basquete de um clube, 
os selecionados tem 1,82 m; 1,85 m; 1,86 m; 1,84 m e 1,87 m. 
Ao colocarmos as alturas em ordem crescente, temos: 
1,82 < 1,84 < 1,85 < 1,86 < 1,87
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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l Note que o selecionado para o teste cuja altura ocupa a posição central é o que tem a 
altura de 1,85 m. Esse valor é chamado de mediana do conjunto de dados. 
Número Ímpar de Elementos 
Se a quantidade 𝑛 de termos for um número ímpar, determinamos a mediana da 
seguinte forma:
Encontramos a posição do termo central 𝑃 de um conjunto com quantidade 𝑛 ímpar de 
elementos da seguinte forma:
A mediana será o elemento que ocupa a posição 𝑃 quando o conjunto é ordenado de 
forma crescente ou decrescente. Ou seja:
A mediana de qualquer conjunto com número ímpar de elementos é representada 
pelo termo que ocupa a posição central, quando os dados são colocados em posição 
crescente ou decrescente.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Encontre a mediana dos termos abaixo:
{2,4,6,8,10,12,14}
Resolução:
Como é possível observar, o conjunto apresentado possui 7 termos logo, para 
acharmos a posição do termo que será a mediana, faremos: 
Importante! O número 4 não será o valor da nossa mediana, ele será a posição em 
que a nossa mediana ocupa. Portanto, a mediana deste conjunto é 8.
Número Par de Elementos
Agora, dado um conjunto com uma quantidade 𝑛 de termos, sabendo que essa 
quantidade é representada por um número par, como determinar a mediana? 
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lSe a quantidade 𝑛 de termos for um número par, determinamos a mediana da seguinte 
forma:
Encontramos a posição dos dois termos centrais 𝑃𝑦 e 𝑃𝑧 de um conjunto com quantidade 
𝑛 par de elementos da seguinte forma:
A mediana será dada pela média aritmética desses dois termos que ocupam a posição 
central.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Ache a mediana dos termos abaixo: 
{1,3,5,7,9,11,13,15}
1. Como é possível observar, o conjunto apresentado possui 8 termos, logo para 
acharmos a posição dos termos que usaremos para calcular a mediana, faremos; 
e 
Assim, obteremos os termos que ocupam a 4° e 5° posição. O quarto termo é 
representado pelo número 7, e o quinto pelo número 9.
Agora, afim de obter a mediana, vamos fazer a média aritmética desses termos.
Portanto, teremos o 8 como mediana desse conjunto de dados. 
2. Somali, professora de matemática, resolveu aplicar uma prova surpresa, valendo 
10 pontos, em suas turmas dos turnos da manhã e tarde. Após corrigir as provas, 
resolveu calcular a média, moda e mediana dessas notas, afim de conseguir 
comparar as dificuldades das turmas. 
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Turma da manhã: Nota: Turma da tarde: Nota: 
Fernando 1 Matheus 5
Maria 4 Carlos 6
Claudia 6 Eduarda 4
João 8 Anna Flávia 6
Diego 7 Gabriel 5
Brida 2 Thaíssa 5
Julia 8 Larissa 4
Lucas 2 Hiago 3
Karol 9 Pedro 7
Luiza 3 Beatriz 5
Turma da manhã: 
Média: (1+4+6+8+7+2+8+2+9+3)/10=5
Moda: 2 e 8
Mediana: (4+6)/2 = 5
Turma da tarde: 
Média: (5+6+4+6+5+5+4+3+7+5)/10=5
Moda: 5
Mediana: (5+5)/2 = 5 
Após esses cálculos, o que pode ser analisado? 
Podemos observar que as medias entre a turma da manhã e da tarde foi a mesma, 
mas apesar disso, elas possuem características que se diferem. Exemplo, na turma da 
manhã, apesar da média ser 5, tem muitos alunos com notas distantes disso (1 e 2) e 
outras muito altas (8 e 9), o que nos mostra uma turma inconstante. Já a turma da tarde, 
a maioria dos alunos obtiveram notas próximas a média, dessa forma apresentando uma 
turma com um rendimento mais constante. Com isso, podemos concluirque a média 
aritmética, juntamente as outras medidas de tendência central, não são suficientes 
para traçar o perfil exato de um grupo, ou, conjunto de dados, devido a isso, afim de 
obter mais precisão, vamos estudar as chamadas medidas de dispersão; a amplitude, a 
variância e o desvio-padrão. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão são usadas para dar mais precisão as análises de um grupo 
de dados. Essas medidas analisam a relação dos resultados de uma pesquisa com suas 
médias.
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lAmplitude
A amplitude é representada pela diferença entre o valor máximo e o valor mínimo de 
um conjunto.
Dado o conjunto A= {2,4,6,8,10,12,14,16}, temos que o valor mínimo desse 
conjunto é 2, e o valor máximo é 16, dessa forma, qual será a sua amplitude?
Amplitude = 16- 2 = 14. 
Variância 
A variância é calculada usando como referência a média aritmética dos elementos de 
um conjunto. 
Considere a variável X, com X = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,…, 𝑥𝑛}, cuja média aritmética tem valor 
representado por 𝑥 ̅e 𝑥𝑖 é um elemento qualquer de X, com 𝑖 ∈ ℕ.
Denomina- se variância desse conjunto, a medida V calculada pela seguinte expressão: 
Para calcular a variância de um conjunto de dados, vamos precisar seguir esses passos: 
1. Calculamos a média aritmética dos valores do conjunto.
2. Calculamos o quadrado da diferença entre cada elemento do conjunto e a média 
aritmética já obtida no passo 1.
3. Calculamos a média aritmética dos resultados encontrados no passo 2. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Considere o conjunto X = {10,20,30,40,50}. Calcule a sua variância.
Primeiro vamos calcular a média aritmética desse conjunto: 
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Agora, vamos calcular o quadrado da diferença entre cada elemento e a média 30 
achada:
(10 – 30)2 = 400
(20 – 30)2 = 100 
(30 – 30)2 = 0
(40 – 30)2 = 100
(50 – 30)2 = 400 
Agora afim de obtermos o valor da variância é necessário fazermos a média 
aritmética dos resultados encontrados acima 
2. Considere o conjunto Y = {20,25,30,35,40}. Calcule a sua variância.
Primeiro vamos calcular a média aritmética desse conjunto: 
Agora, vamos calcular o quadrado da diferença entre cada elemento e a média de 
30 achada:
(20 – 30)2 = 100
(25 – 30)2 = 25
(30 – 30)2 = 0
(35 – 30)2 = 25
(40 – 30)2 = 100 
Agora afim de obtermos o valor da variância é necessário fazermos a média 
aritmética dos resultados encontrados anteriormente
Analisando os exemplos 1 e 2, é possível perceber que a média aritmética dos elementos 
do conjunto X é a mesma dos elementos do conjunto Y. Mas os valores dos elementos 
do conjunto Y são mais próximos de sua média que os elementos do conjunto X, dessa 
forma falamos que o conjunto Y é mais homogêneo que o X, pois seus valores são 
menos divergentes. Assim, as diferenças (em módulo) entre os valores dos elementos 
do conjunto Y e a média aritmética são menores, fazendo com que sua variância seja 
menor do que a do conjunto X no exemplo 1. 
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Propriedades da variância:
 f Ao adicionar um mesmo valor a todos os elementos de um conjunto, a variância 
do conjunto não se altera.
 f Ao multiplicar todos os elementos de um conjunto por uma mesma constante K, 
a variância do conjunto fica multiplicada por K.
 f Ao retirar de um conjunto um elemento cujo valor é igual à média aritmética 
desse conjunto, a variância do conjunto aumenta.
 f Ao inserir em um conjunto um elemento cujo valor é igual à média aritmética do 
conjunto, a variância do conjunto diminui. 
Desvio-padrão
Com o cálculo da variância, vimos sua importância para a análise da homogeneidade 
de um conjunto de valores, porém como os resultados da diferença entre os valores do 
conjunto e a média aritmética são elevados ao quadrado, potencializando seus efeitos, 
o desvio padrão é calculado extraindo a raiz quadrada da variância. 
Considere a variável X, com X={𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑛}, cuja média aritmética tem valor 
representado por 𝑥̅ e 𝑥𝑖 é um elemento qualquer de X, com 𝑖 ∈ ℕ.. 
Denomina-se desvio-padrão desse conjunto de valores a medida 𝜎, calculada pela 
seguinte expressão: 
Número de acertos Número de alunos 
0 0
1 0
2 0
3 4
4 2
5 4
Uma avaliação com 5 questões foi aplicada 
numa turma com 10 alunos. Na tabela 
ao lado está registrado a quantidade de 
alunos por número de acertos. 
Qual é o desvio padrão do número de 
acertos dessa avaliação? 
Resolução:
Inicialmente, vamos calcular a média aritmética dos acertos desses 10 alunos: 
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Agora, vamos calcular o quadrado da diferença entre cada elemento do conjunto e 
a média aritmética, obtida no passo inicial: 
(0 – 4) = 16
(1 – 4) = 9
(2 – 4) = 4
(3 – 4) = 1
(4 – 4) = 0
(5 – 4) = 1
Para acharmos o desvio padrão, que é a raiz da variância, vamos calcular agora a 
média aritmética desses resultados encontrados acima: 
A variância é 0,8, logo o desvio padrão será √0,8, que será aproximadamente 0,9.
Propriedades do desvio-padrão:
 f Ao somarmos um mesmo valor a todos os elementos de um conjunto, o desvio-padrão 
do conjunto não se altera.
 f Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo valor k, o 
desvio-padrão do conjunto fica multiplicado por k.
 f Ao retirarmos de um conjunto um elemento cujo valor é igual a média aritmética 
do conjunto, o desvio-padrão do conjunto aumenta. 
 f Ao inseríramos em um conjunto um elemento cujo valor é igual a média aritmética 
do conjunto, o desvio-padrão do conjunto diminui.
ANOTAÇÕES
Através dos cursos
G
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2020 - 2022
GEOMETRIA ANALÍTICA
1. Plano Cartesiano
2. Lugar Geométrico
3. Equações da Reta
4. Posições entre Retas
5. Circunferência no Plano 
Cartesiano
Aqui você aprenderá a quantificar a geometria plana e espacial, conhecerá as equações 
das figuras geométricas, calculará distâncias e muito mais!
Esta subárea é composta pelos módulos:
6. Posições Relativas com 
Circunferências
7. Elipse
8. Hipérbole
9. Parábola
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PLANO CARTESIANO
INTRODUÇÃO
Orientar-se. Todos os dias utilizamos mecanismos distintos para nos orientar. A escola 
orienta nossos estudos, a previsão do tempo nos orienta sobre o clima, os jornais nos 
orientam sobre o que está acontecendo em nosso país e também no mundo e o mapa 
nos orienta sobre direção e localização. Afinal, quem nunca usou um GPS para ir até a 
festinha de um amigo, não é mesmo?
Quando precisamos nos localizar 
geograficamente, em geral, utilizamos a rosa 
dos ventos. A rosa dos ventos é uma imagem 
utilizada para determinar quatro sentidos 
fundamentais: Norte (N), Sul (S), Oeste (O) e 
Leste (L), e seus intermédios: Nordeste (NE), 
Sudeste (SE), Sudoeste (SO) e Noroeste (NO). 
Utilizando esse sentido de direção estabelecido, 
podemos nos guiar em qualquer lugar do 
planeta. Para isto, basta se imaginar como 
sendo esse ponto azul, o qual chamaremos de 
ponto inicial, afinal é o ponto de partida, e de 
se posicionar de modo que o seu corpo fique 
de frente para a direção norte e seu braço 
direito para o Leste. É sempre possível identificarmos em qual direção está o norte, por 
intermédio do sol, para que essa localização seja possível. Todo bom aventureiro deve 
ter isso como um fundamento base. Afinal, não dá para se perder durante uma aventura! 
Existem diversas formas de orientação: Norte ou Sul, direita ou esquerda, sentido 
horário ou anti-horário, entre outros. Na matemática, durante muito tempo, a parte que 
conhecemos hoje como geometria tratava de seus objetos (quadrado, circunferência, 
entre outros) apenas por desenhos e sua descrição era escrita como um texto. Por 
exemplo, a circunferência era o lugar geométrico constituído por todos os pontos que 
estavam a uma mesma distânciade seu centro. Com o tempo, surgiu a necessidade de 
termos ferramentas que permitissem o tratamento dessas figuras e de curvas em geral 
de maneira analítica. Neste contexto, surge então a “rosa dos ventos” da matemática, 
permitindo tratar por meio de equações, dentro de um sistema orientado, qualquer 
figura ou curva plana. 
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no PLANO CARTESIANO
Vamos construir um sistema de orientação numérica baseado nos pontos cardeais. 
Inicialmente, vamos relembrar a reta real. A reta real contém todos os números racionais, 
aqueles cuja representação se dá por forma de fração, e os números irracionais, aqueles 
que não são possíveis expressar em forma de fração. Utilizamos a representação abaixo 
para a reta real.
Na rosa dos ventos posicionaremos sobre o ponto azul a reta real. Faremos coincidir o 
ponto inicial da rosa dos ventos e a origem da reta real (o número 0).
Observe que se houvesse uma pessoa sobre o ponto azul, não só poderíamos orientá-
la em direção ao Leste ou Oeste, mas também o quanto ela poderia andar. Contudo, 
temos um sistema falho, pois com essa construção conseguimos orientar a quantidade 
que ela deverá percorrer apenas para Leste ou Oeste, mas e o demais pontos cardeais? 
O que podemos fazer? Você dever ter pensado em colocar retas reais em todas as 
demais direções, certo? Mas isso não é preciso, basta colocarmos mais uma! Vale lembrar 
que temos apenas quatro sentidos fundamentais e para dois deles já conseguimos 
estabelecer uma referência numérica. Para completar esse sistema, vamos então 
colocar outra reta real usando a mesma ideia, só que agora na vertical, fazendo coincidir 
novamente o ponto inicial e a origem da reta.
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Agora sim, temos um sistema que funciona! Vamos testá-lo? Digamos que Marta esteja 
posicionada no ponto inicial e tenha recebido o seguinte comando: Dê 5 passos na 
direção oeste e depois 3 na direção norte. Perceba que esse comando se resume a 
dar coordenadas para Marta, podendo ser resumida em: primeira coordenada é 5 O 
e segunda coordenada é 3 N, ou seja, (5O, 3N). Esta coordenada também indica que 
estamos no Noroeste, mais à oeste do que ao norte.
Podemos simplificar ainda mais essa informação, para isso vamos determinar uma 
ordem: na representação utilizada (primeira coordenada, segunda coordenada) 
sempre indicaremos o sentido leste ou oeste no primeiro espaço e depois norte ou sul, 
ou seja, a primeira coordenada sempre indicará leste ou oeste. Deste modo, podemos 
escrever a coordenada (5O, 3S) como (-5,3). Por quê? 
Quando determinamos que primeiro indicaríamos o sentido Leste-Oeste obtemos uma 
forma mais simples de orientar, pois, partindo do ponto inicial, todos os valores à oeste 
são negativos. Assim, na representação (𝑥, 𝑦), onde 𝑥 representa qualquer número no 
eixo leste-oeste e 𝑦 qualquer número no eixo norte-sul. Se a primeira coordenada for 
negativa indica que queremos ir para oeste e se o número for positivo queremos ir 
para leste. O mesmo ocorre para a segunda coordenada, se for positiva indica norte e 
PLANO CARTESIANO
Vamos construir um sistema de orientação numérica baseado nos pontos cardeais. 
Inicialmente, vamos relembrar a reta real. A reta real contém todos os números racionais, 
aqueles cuja representação se dá por forma de fração, e os números irracionais, aqueles 
que não são possíveis expressar em forma de fração. Utilizamos a representação abaixo 
para a reta real.
Na rosa dos ventos posicionaremos sobre o ponto azul a reta real. Faremos coincidir o 
ponto inicial da rosa dos ventos e a origem da reta real (o número 0).
Observe que se houvesse uma pessoa sobre o ponto azul, não só poderíamos orientá-
la em direção ao Leste ou Oeste, mas também o quanto ela poderia andar. Contudo, 
temos um sistema falho, pois com essa construção conseguimos orientar a quantidade 
que ela deverá percorrer apenas para Leste ou Oeste, mas e o demais pontos cardeais? 
O que podemos fazer? Você dever ter pensado em colocar retas reais em todas as 
demais direções, certo? Mas isso não é preciso, basta colocarmos mais uma! Vale lembrar 
que temos apenas quatro sentidos fundamentais e para dois deles já conseguimos 
estabelecer uma referência numérica. Para completar esse sistema, vamos então 
colocar outra reta real usando a mesma ideia, só que agora na vertical, fazendo coincidir 
novamente o ponto inicial e a origem da reta.
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no negativa indica sul. Esse mesmo sistema de referência pode ser usado para diversas 
situações e ele é denominado de Plano cartesiano. As coordenadas que determinam 
em qual direção seguir são os pares ordenados, pois a orientação vem em duas (𝑥, 𝑦) e 
possui uma ordem. Pela coordenada (-5,3) você estará no Noroeste, mas, se você trocar 
a ordem, temos (3,-5) que indica 3 passos na direção leste e 5 na direção sul, indicando 
um ponto no Sudeste.
O Plano cartesiano é um sistema composto por dois eixos perpendiculares1 orientados 
constituídos de números reais. O eixo que está na horizontal é denominado eixo das 
abscissas e o eixo vertical de eixo das ordenadas. Em geral, chamamos de 𝑥 o eixo das 
abscissas e 𝑦 o eixo das ordenadas.
Par ordenado são dois elementos representados na forma (𝑥, 𝑦) em que a ordem onde 
cada um é colocado importa. O par (1, 2) é diferente do par (2, 1), mesmo contendo os 
mesmos elementos. Um ponto no plano é um par ordenado.
Perceba que é o mesmo sistema de referência que usamos para a rosa dos ventos, a 
diferença é que agora ele é mais geral, pode ser usado para diversas coisas, mas segue 
a mesma lógica. Por exemplo, vamos marcar algumas coordenadas. Vamos marcar as 
coordenadas: 𝐴=(−5, −3), 𝐵=(2, 7), 𝐶=(2.5, −4) e 𝐷=(−2, 3.5).
1 retas numéricas que possuem um único ponto de interseção e que o ângulo formado entre elas é de 90º.
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noAnalise as semelhanças, antes a primeira coordenada pertencia ao eixo leste-oeste, 
agora pertence ao eixo das abscissas ou eixo 𝑥. Algumas características do plano 
cartesiano precisam ser destacadas.
CARACTERÍSTICAS DO PLANO CARTESIANO
I - Quadrantes:
O plano cartesiano é dividido em quatro partes: 1º quadrante, 2º quadrante, 3º quadrante 
e 4º quadrante. O primeiro quadrante é aquele cuja as coordenadas 𝑥 e 𝑦 possuem 
valor positivo. Se voltarmos ao sistema da rosa dos ventos, seria qualquer ponto que se 
encontra na região Nordeste (NE). Do exemplo anterior, temos que o ponto 𝐵 está no 
primeiro quadrante, pois a primeira coordenada é 2, que é um número positivo e a 
segunda coordenada é 7, que também é um número positivo, logo ambos são positivos 
e por esse motivo pertence ao primeiro quadrante. Outros exemplos de coordenadas 
que pertencem ao primeiro quadrante são: (𝜋 , 3), ( , 5 ), (7 , 24) e (17 , 4.3).
O segundo quadrante é aquele cuja coordenada 𝑥 possui um número negativo e a 
coordenada 𝑦 possui valor positivo. No sistema da rosa dos ventos, é qualquer ponto 
que se encontre na região Noroeste (NO). Do exemplo anterior, temos que o ponto 𝐷
está no segundo quadrante, pois a primeira coordenada é −2 que é um número negativo 
e a segunda coordenada é 3.5 que é um número positivo, logo o primeiro é negativo e 
segundo positivo e por esse motivo pertence ao segundo quadrante. Outros exemplos de 
coordenadas que pertencem ao segundo quadrante são: (−1 , 3), (−2.5 , ), (−3 , 24) e 
(−𝑒 , 3).
O terceiro quadrante é aquele cuja coordenadas 𝑥 e 𝑦 possuem valores negativos. No 
sistema da rosa dos ventos, é qualquer ponto que se encontre na região Sudoeste (SO). 
Do exemplo anterior, temos que o ponto 𝐴 está no terceiro quadrante, pois a primeira 
coordenada é −5 que é um número negativo e a segunda coordenada é −3 que também 
é um número negativo logo, ambos são negativos e por esse motivo pertence ao terceiro 
quadrante. Outros exemplos de coordenadas que pertencem ao terceiroquadrante são: 
(−1 , −3), ( , −2), (−1.55 , −8) e (−2 , ).
O quarto quadrante é aquele cuja coordenada 𝑥 possui valor positivo e a coordenada 𝑦 
possui valor negativo. No sistema da rosa dos ventos, é qualquer ponto que se encontre na 
região Sudeste (SE). Do exemplo anterior, temos que o ponto C está no quarto quadrante, 
pois a primeira coordenada é 2.5 que é um número positivo e a segunda coordenada é 
−4 que é um número negativo, logo o primeiro é positivo e o segundo negativo e por esse 
motivo pertence ao quarto quadrante. Outros exemplos de coordenadas que pertencem 
ao quarto quadrante são: (0.5 , −3), ( , −1), (5.53 , −100) e (1 , ).
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no II - Simetrias:
A ideia de simetria que a maioria de nós temos é aquela de 
dividir um determinado objeto ao meio e as duas metades 
serem exatamente iguais. Por exemplo, o coração que se 
escontra ao lado, ao dividirmos ele ao meio, obtemos duas 
partes exatamente iguais. Falamos então que o coração 
é simétrico. Esta simetria é conhecida como simetria de 
reflexão. A reta que divide uma figura simetrica ao meio é 
chamado eixo de simetria.
Utilizaremos essa mesma ideia no plano cartesiano. No plano temos dois eixos por 
construção: o eixo das abscissas (eixo 𝑥) e o eixo das ordenadas (eixo 𝑦). Intuitivamente, 
por conter o nome eixo, você já deve estar pensando em como é possível realizar simetria 
no plano, não é? Então vamos lá! O plano cartesiano é composto por pares ordenados e, 
para qualquer ponto que escolhermos, podemos pensar na simetria em relação ao eixo 
𝑥 ou 𝑦. 
Vamos utilizar os pontos 𝐴=(−5 , −3), 𝐵=(2 , 7), 𝐶=(2.5 , −4) e 𝐷=(−3 , 3.5). Para os 
pontos 𝐴 e 𝐵, faremos a simetria deles em torno do eixo 𝑥. Para isso, basta trocarmos o 
sinal da segunda coordenada: se for positivo, ficará negativo e vice-versa. O simétrico 
do ponto 𝐴 será o ponto 𝐴’=(−5 , 3) e do ponto 𝐵 será 𝐵’=(2 , −7). Já para os pontos 
𝐶 e 𝐷, realizaremos a simetria em torno do eixo 𝑦, agora trocaremos o sinal da primeira 
coordenada. Deste modo, o simétrico do ponto 𝐶 será 𝐶’=(−2.5 , −4) e do ponto 𝐷
será 𝐷’=(3 , 3.5). No plano cartesiano abaixo, colocamos os pontos e seus respectivos 
simétricos.
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noEssas não são as únicas simetrias possíveis no plano cartesiano. Existem duas retas que 
dividem o plano de um modo bem especial. A primeira delas tem como característica 
que qualquer ponto que esteja sobre ela têm a primeira e a segunda coordenadas 
iguais, assim como divide o plano em duas partes iguais. Essa reta é conhecida como 
Bissetriz dos Quadrantes Ímpares (B.Q.I). Recebe o nome de bissetriz por cortar o 
ângulo de 90º em dois ângulos de 45º e quadrantes ímpares vem do fato dessa reta 
passar apenas pelos 1º e 3º quadrantes.
A segunda é a Bissetriz dos Quadrantes Pares (B.Q.P) é a reta que passa pela origem 
(ponto inicial) e divide o plano cartesiano em duas partes. Qualquer ponto que esteja 
sobre essa reta têm na primeira e segunda coordenada o mesmo valor, mas com sinais 
opostos. Por exemplo, os pontos (-1,1) e (2,-2) pertencem à B.Q.P, pois, nos dois casos, 
a primeira e a segunda coordenada têm o mesmo valor, mas os sinais são opostos.
Como o nosso objetivo é entender as simetrias no plano, vamos agora pegar alguns 
pontos e buscar compreender como se dá a simetria em relação à essas retas que 
acabamos de descobrir a existência. Para qualquer ponto do plano que pegarmos, 
podemos realizar a simetria em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 ou às bissetrizes dos quadrantes 
pares e ímpares. Para que essa questão fique clara, utilizaremos os mesmos pontos 
da simetria em torno dos eixos, são eles: 𝐴=(−5 , −3), 𝐵=(2 , 7), 𝐶=(2.5 , −4) e 
𝐷=(−3 , 3.5). Para os pontos 𝐴 e 𝐵, faremos a simetria deles em torno B.Q.Í. Sempre 
que quisermos realizar a simetria de algum ponto em relação à esta bissetriz, basta 
troca de lugar as das coordenadas e inverter o sinal de ambas, ou seja, se a primeira 
coordenada é positiva, colocaremos ela como segunda coordenada e com o sinal 
negativo. Para os pontos 𝐴 e 𝐵, seus respectivos simétricos serão 𝐴′=(3 , 5), em roxo, 
e 𝐵′=(−7, −2), em vermelho.
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ANOTAÇÕES
Para realizar a simetria de um ponto do plano em torno da B.Q.P. basta trocar as 
coordenadas de ordem: a primeira coordenada se tornará a segunda e a segunda 
coordenada se tornará a primeira. Para os pontos 𝐶 e 𝐷, seus respectivos simétricos 
serão 𝐶′=(−4 , 2.5), em preto, e 𝐷′=(3.5 , −3), em rosa. Para praticar e confirmar que 
aprendeu tudo até aqui, refaça as simetrias. Para os pontos em que realizamos as 
simetrias em torno do eixo 𝑥, agora faça em torno do eixo 𝑦 e por aí vai. 
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LUGAR GEOMÉTRICO
PONTO MÉDIO 
Digamos que você e sua amiga (ou amigo) morem relativamente próximos um do outro, 
de modo que dê para ir caminhando de uma casa a outra. Um certo dia, ambos cansados, 
queriam se encontrar, mas nenhum estava disposto a percorrer todo o caminho. Tiveram 
então uma brilhante ideia: vamos nos encontrar na metade do caminho. Suponha que no 
mapa abaixo o ponto A representa as coordenadas da sua casa e o ponto B representa 
as coordenadas da casa de sua amiga. Qual será o ponto de encontro de vocês? 
Para este exemplo não há tanto segredo, uma vez que essas casas estariam na mesma 
avenida, podemos utilizar os quadradinhos, contar quanto seria necessário para ir de 
uma casa à outra e então cada um percorrer a metade. Para sair do ponto 𝐴 = (−4, 3) e 
chegar no ponto 𝐵 = (8, 3), precisamos percorrer 12 quadradinhos, logo cada um terá 
que andar 6 quadradinhos, resultando no ponto de encontro 𝐶 = (2, 3). Perceba que 
esse ponto está a uma mesma distância de ambas as casas e é um ponto exatamente na 
metade do caminho. Mas sempre será possível contar os quadradinhos? Não, algumas 
vezes não conseguimos encontrar o ponto médio sem usar a ferramenta matemática 
que aprenderemos na sequência. Vamos, portanto, definir, o que é ponto médio?
Ponto médio é o ponto que divide um segmento de reta exatamente na metade.
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o Antes de aprendermos a calcular o ponto médio, precisamos relembrar o que é um 
segmento de reta: segmento de reta é o pedaço de uma reta que possui começo e fim. 
Confuso? Vamos pensar assim: segmento de reta é uma linha que começa a ser traçada 
em um ponto de partida e, sem fazer nenhuma curva, tem seu traço finalizado em um 
outro ponto. Se o segmento tem início no ponto 𝐴 e tem como fim o ponto 𝐵 , denotamos 
esse segmento por segmento .
Agora que relembramos o que é um segmento de reta, podemos iniciar a seguinte 
discussão: se desenharmos um segmento numa folha sem pauta, não temos informações 
numéricas a respeito do mesmo, mas se fizermos isso no plano cartesiano sabemos qual 
a coordenada é o ponto de partida e o ponto de chegada. Em posse dessas informações, 
conseguimos calcular o ponto médio. Vamos utilizar os pontos 𝐴 = (−5, −3) e 𝐵 = (2, 7)
como os pontos inicial e final de um segmento de reta. Para calcularmos o ponto médio 
utilizamos a fórmula:
 e 
Obtendo o ponto médio 𝑀 = (𝑥𝑚, 𝑦𝑚).
Devemos entender essa fórmula da seguinte maneira: A primeira coordenada do ponto 
médio (𝑥𝑚) é igual a primeira coordenada do ponto 𝐴 (𝑥𝐴 ) adicionada (+) à primeira 
coordenada do ponto 𝐵 (𝑥𝑏) e o resultado (𝑥𝐴 +𝑥𝐵 ) é dividido por 2. A segunda coordenada 
do ponto médio (𝑦𝑚) é igual a segunda coordenada do ponto 𝐴 (𝑦𝐴 ) adicionada (+) à 
segunda coordenada do ponto 𝐵 (𝑦𝑏) e o resultado (𝑦𝐴 +𝑦𝐵 ) é dividido por 2.
Exemplo:
Calcule o ponto médio de 𝐴 = (−5, −3) e 𝐵 = (2, 7):
Resolução:
Portanto, o ponto médio do segmento é 𝑀 = ou 𝑀 = (−1.5, 2). 
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BARICENTRO 
Equilíbrio. Esta simples palavra resume o próximo conceito que aprenderemos. Você já 
viu alguém girar