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Exame N. 1 - vetores geométricos � Usando vetores geométricos. No trapézio ABCD da gura ao lado, M e N são os pontos médios das diagonais AC e BD, respectivamente. 01. Mostre que ��! MN = 1 2 ��! AB ���!DC � Solução: Considerando que M e N são pontos médios, temos que ��! AM + ��! CM = ~0 e ��! NB + ��! ND = ~0. Usando as operações com vetores, encontramos: �! AB ���!DC = �!AB +��!CD = (��!AM +��!MN +��!NB) + (��!CM +��!MN +��!ND) = = ( ��! AM + ��! CM) + 2 ��! MN + ( ��! NB + ��! ND) = 2 ��! MN e daí segue o resultado. � Calculando a área de um triângulo. Escolha três pontos A; B e C do espaço, não alinhados. 02. Calcule �! AB e �! AC: Solução: Consideremos os pontos A (0; 0; 0) ; B (1; 0; 0) e C (0; 1; 0). Temos que �! AB = ~i e �! AC = ~j e como �! AB não é múltiplo escalar de �! AC, segue que os pontos A; B e C não estão alinhados. 03. Calcule o produto vetorial �! AB ��!AC: Solução: Temos que �! AB ��!AC =~i�~j = ~k. 04. Calcule a área do triângulo ABC: Solução: A área do triãngulo ABC é S = 1 2 �!AB ��!AC = 12 ~k = 1=2 � Construindo uma base ortonormal a partir do vetor ~a =~i�~j + 3~k. MPMatos Highlight MPMatos Highlight MPMatos Highlight MPMatos Highlight 05. Veri que se o vetor ~b = 2~i+ 5~j + ~k ortogonal ao vetor ~a: Solução: Temos que ~a �~b = 2� 5 + 3 = 0 e, portanto, os vetores ~a e ~b são ortogonais. 06. Encontre um vetor ~c que seja ortogonal aos vetores ~a e ~b, simultaneamente. Solução: O vetor ~c = ~a�~b é ortogonal aos vetores ~a e ~b: Um cálculo simples nos dá: ~a�~b = ��������� ~i ~j ~k 1 �1 3 2 5 1 ��������� = �16 ~i+ 5~j + 7~k: 07. Calcule as normas dos vetores ~a; ~b e ~c: Solução: k~ak = p1 + 1 + 9 = p11; jj~bjj = p4 + 25 + 1 = p30 e k~ck = p256 + 25 + 49 = p330 08. Construa uma base ortonormal negativa f~u;~v; ~wg, de modo que ~u; ~v e ~w sejam colineares a ~a; ~b e ~c; respectivamente. Solução: Consideremos os vetores ~u = ~a k~ak ; ~v = ~b jj~bjj e ~w = �~c k~ck . Esses vetores são unitários e mutuamente ortogonais e, sendo assim, formam uma base ortonormal. � Sejam ~u e ~v dois vetores ortogonais, sendo ~u unitário e k~vk = p3: 09. Calcule o produto interno (~u+ ~v) � (~u� ~v) : Solução: Sendo ~u e ~v dois vetores ortogonais, então ~u �~v = 0 e ~v �~u = 0: Usando as propriedades do produto escalar, obtemos: (~u+ ~v) � (~u� ~v) = ~u � ~u� ~u � ~v + ~v � ~u� ~v � ~v = kuk2 � k~vk2 = 1� 3 = �2 10. Calcule k2~u+ ~vk : Solução: Mais uma vez usaremos os dados: k~uk = 1; k~vk = p3 e ~u � ~v = 0. Temos que k2~u+ ~vk2 = k2~uk2 + 2(2~u � ~v) + k~vk2 = 4 k~uk2 + k~vk2 = 4 + 3 = 7 2 MPMatos Highlight MPMatos Highlight MPMatos Highlight MPMatos Highlight MPMatos Highlight MPMatos Highlight
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