EXPERIMENTO 2 MEDIDAS DE VISCOSIDADE DE FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS

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Universidade de Bras´ılia
Faculdade de Tecnologia
Departamento de Engenharia Mecaˆnica
Disciplina: Mecaˆnica dos Fluidos II
Professores: Francisco Ricardo da Cunha / Gustavo Coelho Abade
Monitores: Adriano Possebon; Murilo Vidigal; Nuno Dias
EXPERIMENTO 2
MEDIDAS DE VISCOSIDADE DE FLUIDOS
NEWTONIANOS E NA˜O-NEWTONIANOS
1 INTRODUC¸A˜O TEO´RICA
Fluidos sa˜o materiais que se deformam continuamente quando submetidos a uma
tensa˜o de cisalhamento, sendo assim diferenciados dos so´lidos, que sa˜o materiais que
se deformam de um valor fixo para uma dada tensa˜o.
Segundo a lei da viscosidade de Newton, a tensa˜o exercida sobre o l´ıquido e´ pro-
porcional a` velocidade com que as partes do l´ıquido se deslocam umas em relac¸a˜o as
outras, isto e´, proporcional ao gradiente de velocidade (ou taxa de deformac¸a˜o). Assim,
suponha o escoamento de um l´ıquido entre duas placas paralelas distanciadas de uma
altura d. A placa superior se desloca com velocidade U e a inferior esta´ fixa (figura
1.1).
Figura 1.1: Cisalhamento simples entre placas paralelas. O escoamento e´ unidirecional (lami-
nar) em que uma laˆmina de fluido desliza paralelamente com relac¸a˜o a outra. A placa superior
desloca-se com velocidade tangencial U e inferior e´ fixa. O escoamento se da´ em regime
permanente e e´ incompress´ıvel.
A tensa˜o de cisalhamento τ e´ dada por:
τ ∝ U/d ⇒ τ = µγ˙ (1.1)
em que γ˙ e´ a taxa de cisalhamento em qualquer ponto do fluido e e´ uma raza˜o entre a
velocidade da placa superior e a distaˆncia entre as placas. A constante de proporciona-
lidade µ e´ denominada viscosidade. No sistema SI a viscosidade possui unidade de
Pa.s, e uma unidade comumente utilizada e´ o Poise (P), sendo que 1 cP = 1 mPa.s.
Para os fluidos newtonianos (ou lineares), como a a´gua, a glicerina e o o´leo de soja, µ
e´ uma constante que depende apenas das propriedades f´ısicas do fluido, como a tempe-
ratura. A raza˜o entre a viscosidade dinaˆmica e a massa espec´ıfica ρ do fluido e´ deno-
1
minada viscosidade cinema´tica (ν) ou coeficiente de difusa˜o molecular hidrodinaˆmico.
A viscosidade dinaˆmica mede, em termos efetivos, a eficieˆncia de transporte de quan-
tidade de movimento ou vorticidade entre camadas adjacentes de um fluido quando
sujeito a cisalhamento. De outra maneira pode-se interpretar a viscosidade do fluido
como a resisteˆncia que o mesmo tem a` forc¸as tangenciais aplicadas.
A viscosidade dinaˆmica de fluidos newtonianos varia com a temperatura segundo a
lei de Arrhenius:
µ = AeB/T , (1.2)
em que T e´ a temperatura absoluta e A e B sa˜o constantes do fluido. Enquanto
que para gases a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura, ja´ que uma
flutuac¸a˜o t´ıpica de velocidade molecular e´ proporcional a
√
T , nos l´ıquidos, em que as
mole´culas possuem mobilidade bem menor, a viscosidade diminui com o aumento da
temperatura. Nesse caso, o mecanismo preponderante para transportar quantidade de
movimento por flutuac¸o˜es moleculares e´ a coesa˜o molecular, praticamente inexistente
em gases dilu´ıdos.
Na natureza e na indu´stria sa˜o tambe´m encontrados diversos fluidos que na˜o apre-
sentam esse comportamento linear. Fluidos como soluc¸o˜es polime´ricas, sangue, sus-
penso˜es e emulso˜es apresentam viscosidade dependente da taxa de cisalhamento. Esses
fluidos sa˜o denominados na˜o-newtonianos viscosos ou simplesmente newtonianos gene-
ralizados nos quais existe uma dependeˆncia da viscosidade dinaˆmica com a taxa de
cisalhamento, mas os mesmos na˜o apresentam efeitos ela´sticos, diferenc¸as de tenso˜es
normais e como os fluidos newtonianos sa˜o tambe´m instantaˆneos (i.e. sem memo´ria).
Neste caso a tensa˜o se relaciona com a taxa de cisalhamento da seguinte maneira:
τ = µ(γ˙)γ˙. (1.3)
A viscosidade dinaˆmica depende ale´m da temperatura de uma propriedade do es-
coamento e nessas circunstaˆncias e´ denominada viscosidade aparente do fluido na˜o-
newtoniano viscoso.
Um dos modelos ad hoc mais usados para caracterizar a viscosidade aparente de
um fluido newtoniano generalizado foi proposto por Ostwald (fluido “power law”) e e´
dado pela seguinte correlac¸a˜o emp´ırica:
µ(γ˙) = cγ˙n−1. (1.4)
2
em que c e n sa˜o constantes do fluido determinadas experimentalmente. E´ importante
notar que substituindo a equac¸a˜o (1.4) em (1.3), obte´m que
τ = cγ˙n, (1.5)
o que resulta realmente em uma dependeˆncia na˜o linear entre a tensa˜o e a taxa de
deformac¸a˜o. Note que quando c = µ constante e n = 1, o modelo recupera a
condic¸a˜o linear puramente newtoniana. Quando n < 1 os fluidos sa˜o denominados
na˜o-newtonianos pseudo-pla´sticos e quando n > 1 na˜o-newtonianos dilatantes. A figura
(1.2) mostra o comportamento desses fluidos.
Figura 1.2: Comportamento de um fluido na˜o-newtoniano em que a viscosidade aparente
segue a lei de poteˆncia (power-law). (a): tensa˜o de cisalhamento em func¸a˜o da taxa de
cisalhamento. (b): viscosidade aparente em func¸a˜o da taxa de cisalhamento.
1.1 OBJETIVOS
Este experimento tem por objetivo a familiarizac¸a˜o do aluno com diferentes formas
de medir a viscosidade de fluidos newtonianos e na˜o-newtonianos. Sera˜o medidas as
viscosidades dos seguintes fluidos:
• A´gua
• O´leo de Soja
• O´leo Mineral
• O´leo de Silicone
3
• Soluc¸a˜o de Poliacrilamida.
As medic¸o˜es de viscosidade sera˜o realizadas utilizando-se os seguintes aparatos e ins-
trumentos do Laborato´rio de Microhidrodinaˆmica e Reologia - VORTEX:
• Cannon-Fenske
• Viscos´ımetro de Cilindros Conceˆntricos
• Tubo Capilar - Bomba de Seringa
• Aparato de Stokes - Sedimentac¸a˜o de uma Esfera em Fluido Viscoso (o´leo de
silicone).
1.2 CANNON-FENSKE
O Cannon-Fenske e´ basicamente um tubo em U disposto na vertical, como mostra
a figura (1.3). De um lado e´ formado por um tubo capilar e do outro e´ composto por
Figura 1.3: Esquema ilustrativo do aparato Cannon-Fenske. Aqui g e´ a acelerac¸a˜o da gravi-
dade local.
um tubo de maior diaˆmetro. A medic¸a˜o da viscosidade e´ feita atrave´s da medic¸a˜o do
tempo que o fluido leva para escoar entre as marcas 1 e 2. A diferenc¸a de pressa˜o
devido a` altura h entre 1 e 2 (∆P ) e´ igual a soma das presso˜es perdidas pelo fluido
4
devido a acelerac¸a˜o na entrada do tubo ate´ ser atingido o perfil parabo´lico (∆P1) e as
perdas por atrito ao longo do capilar (∆P2). Assim:
∆P = ρg∆h = ∆P1 +∆P2
=
V 2
∆t2
16ρ
pi2d4
+
V
∆t
128µL
pid4
(1.6)
e isolando a viscosidade cinema´tica temos:
ν =
(
pig∆hd4
128LV
)
∆t−
(
V
8piL
)
1
∆t
= A∆t− B
∆t
(1.7)
com A e B constantes. Para um intervalo de tempo ∆t suficientemente longo tal
que A∆t ≫ B/∆t, o termo proporcional ao inverso do intervalo de tempo pode ser
desprezado em relac¸a˜o ao termo proporcional a ∆t. Portanto a viscosidade cinema´tica
e´ dada por:
ν = K∆t com K =
(
pig∆hd4
128LV
)
. (1.8)
A constante K e´ fornecida pelo fabricante na tabela 1 (ver apeˆndice 1 para detalhes),
incluindo os intervalos da viscosidade cinema´tica associada a cada numerac¸a˜o do vis-
cos´ımetro Cannon-Fenske. A viscosidade deve obedecer ao intervalo associado para que
o fluido com uma determinada viscosidade escoe no capilar apropriado a uma veloci-
dade ou vaza˜o suficientemente pequena tal que a condic¸a˜o acima para ∆t seja atendida
e o erro dessa aproximac¸a˜o seja o menor poss´ıvel.
1.2.1 Aparato Experimental e Procedimentos
Os instrumentos usados nessa etapa sa˜o:
• Dens´ımetro - Marca: Specific Gravity, ERTO CO. ASTM 86
• Viscos´ımetro Cannon-Fenske - Marca: Induchem LAB Glass CO.
• Banho Te´rmico - Marca: Cannon; modelo CT-2000
• Cronoˆmetro - Marca: Cronobio; modelo SW2018
Com este instrumento sera˜o determinadas as viscosidades dos o´leos de sojae mineral
em func¸a˜o da temperatura. Primeiro e´ feita a medic¸a˜o da massa espec´ıfica do fluido
no dens´ımetro. O fluido e´ enta˜o colocado no Cannon-Fenske previamente selecionado.
O Cannon-Fenske e´ colocado dentro do banho te´rmico e e´ selecionada a temperatura
5
em que se deseja medir a viscosidade. E´ necessa´rio aguardar em torno de 15 minutos
para que o fluido entre em equil´ıbrio te´rmico com a temperatura escolhida (segundo
o fabricante). Enta˜o, e´ feita a medida do tempo que o fluido leva para escoar entre
os pontos A e B. Com esse ∆t em segundos e a constante do viscos´ımetro utilizado e´
poss´ıvel determinar ou calcular a viscosidade cinema´tica do fluido. Multiplicando esse
valor pela massa espec´ıfica do fluido encontramos a sua viscosidade dinaˆmica.
1.3 VISCOSI´METRO DE CILINDROS CONCEˆNTRICOS
O referido viscos´ımetro baseia-se no escoamento laminar no espac¸amento entre dois
cilindros rotativos. Quando o espac¸amento entre os cilindros e´ pequeno o suficiente,
o l´ıquido de trabalho entre os mesmos experimenta sempre uma taxa constante de
cisalhamento γ˙ (Figura 1.4).
Figura 1.4: Esquema do escoamento entre cilindros rotativos. O cilindro maior de raio R2
permanece fixo enquanto o cilindro menor de raio R1 gira com velocidade ω. O fluido ocupa
o espac¸o entre os cilindros δ.
Seja R1 o raio do cilindro interno, R2 o raio do cilindro externo e ω a velocidade
angular do cilindro interno (com o externo estaciona´rio), a taxa de cisalhamento e´
determinada por:
γ˙ =
R1ω
R2 −R1 (1.9)
Sendo T o torque do fluido sobre o cilindro de Raio R1, a tensa˜o de cisalhamento e´
dada por:
τrθ =
T
2piR21L
(1.10)
6
em que L e´ o comprimento do cilindro imerso no l´ıquido. Igualando-se a equac¸a˜o cons-
titutiva para fluido newtoniano (equac¸a˜o 1.1), a expressa˜o da tensa˜o de cisalhamento
e´ dada por:
τrθ = µγ˙ =
T
2piR21L
⇒ µ = T
2piR21Lγ˙
. (1.11)
E portanto obte´m-se a seguinte expressa˜o para a viscosidade do fluido:
µ =
T (R2 −R1)
2piR31Lω
. (1.12)
Assim, para uma dada velocidade angular de rotac¸a˜o do cilindro interno e´ poss´ıvel obter
a viscosidade do fluido medindo-se o torque do fluido aplicado sobre este cilindro. Com
esse mesmo aparato e´ poss´ıvel medir tambe´m viscosidades aparentes de fluidos na˜o
newtonianos.
1.3.1 Aparato Experimental e Procedimentos
O aparato utilizado nessa etapa do experimento e´ composto por:
• Viscos´ımetro de Couette - Marca: Brookfield, PROGAMMABLE DV-II + VIS-
COSIMETER
• Computador - com os softwares VBLOADER e WINGATHER
• Pipeta graduada - Marca: Costar, 20oC 5ML.
Com a pipeta sa˜o colocados 8 ml do l´ıquido que se deseja medir no viscos´ımetro. E´
aberto enta˜o o software VBLOADER para entrar com os paraˆmetros do experimento,
como a velocidade angular e o tempo de execuc¸a˜o. O software WINGATHER armazena
os dados em um arquivo de texto. Com esse arquivo sa˜o obtidos os dados principais
do experimento. A figura(1.5) mostra o viscos´ımetro utilizado. Com esse viscos´ımetro
sera˜o avaliadas as viscosidades dos o´leos de soja e mineral e da soluc¸a˜o de poliacrilamida
em func¸a˜o da taxa de cisalhamento.
1.4 TUBO CAPILAR
Nesse passo e´ determinada a viscosidade efetiva de um fluido a partir da Lei de
Poiseuille. Considere que o fluido escoa em um tubo de raio R, como mostra a figura
(1.6).
7
Figura 1.5: Viscos´ımetro Brookfield de cilindros conceˆntricos utilizado nos experimentos.
(Laborato´rio do Vortex - ENM - UnB)
Figura 1.6: Escoamento laminar em tubo capilar.
Resolvendo a equac¸a˜o de Navier-Stokes para escoamento unidirecional em tubo
determina-se um perfil de velocidade parabo´lico que integrado em uma sec¸a˜o do tubo
resulta na seguinte expressa˜o para vaza˜o:
Q = −piR
4
8µ
∆P
L
(1.13)
para fluidos newtonianos. Q e´ a vaza˜o e −∆P/L e´ o gradiente de pressa˜o. Conhecendo-
se, enta˜o, a vaza˜o e o gradiente de pressa˜o encontra-se a viscosidade µ. A viscosidade
µ obtida e´ denominada viscosidade efetiva do fluido, ja´ que e´ determinada atrave´s da
vaza˜o do mesmo em um tubo capilar. Para fluidos na˜o-newtonianos generalizados e´
8
utilizada a relac¸a˜o entre a taxa de cisalhamento e a tensa˜o na parede. A tensa˜o de
cisalhamento na parede e´ dada por:
τw = µ(γ˙w)γ˙w =
(
Po − PL
L
)
R
2
(1.14)
e a taxa de cisalhamento:
γ˙w =
Q
piR3
(
3 +
d ln |Q|
d ln |∆P |
)
. (1.15)
Portanto encontra-se a viscosidade na parede a partir da vaza˜o e da variac¸a˜o de pressa˜o.
A deduc¸a˜o das equac¸o˜es (1.14) e (1.15) e´ apresentada no apeˆndice 2.
1.4.1 Aparato Experimental e Procedimentos
Os instrumentos que compo˜e a bancada de medic¸a˜o da viscosidade efetiva sa˜o (ver
figura 1.7):
Figura 1.7: Esquema do aparato bomba de seringa e tubo capilar para determinac¸a˜o da
viscosidade em escoamento com cisalhamento quadra´tico (a taxa de cisalhamento na˜o e´ cons-
tante).
• Manoˆmetro - Marca: ZU¨RICH, modelo: Z-10-B, Faixa: 0 a 280 mmHg
• Bomba de Seringa - Marca: Cole Parmer, Faixa: 1,426 µl/h a 36 ml/min
• Seringa - Marca: Arti Glass, 20 ml
• Tubo Capilar - Marca: Vorsicht Glass, com diaˆmetro interno de 300 µm.
9
Primeiramente, preenche-se a seringa com o fluido teste. Posiciona-se a seringa com
cautela na bomba de seringa. Enta˜o e´ imposta uma vaza˜o na bomba. E´ feita a
leitura no manoˆmetro da diferenc¸a de pressa˜o obtida entre a bomba desligada e a
bomba ligada. Com essa diferenc¸a de pressa˜o e com a vaza˜o (que e´ dado de entrada),
pode-se determinar a viscosidade efetiva e a viscosidade aparente do fluido sujeito a
cisalhamento quadra´tico. Nessa bancada sera˜o medidas as viscosidades da a´gua e da
soluc¸a˜o de poliacrilamida.
1.5 MEDIDA DE VISCOSIDADE PORMEIO DA SEDIMENTAC¸A˜O DE
UMA ESFERA
A sedimentac¸a˜o de uma esfera em baixos nu´meros de Reynolds (Re→ 0) e´ regida
pela Lei de Stokes. Essa lei e´ obtida a partir da soluc¸a˜o das equac¸o˜es de Navier-Stokes
em coordenadas esfe´ricas com as seguintes condic¸o˜es de contorno:
r = R ; u = UT
r →∞ ; u = 0 (1.16)
em que UT e´ a velocidade terminal da esfera e R e´ o raio da esfera. A forc¸a de arrasto
viscoso Fd agindo sobre a esfera nessas condic¸o˜es e´ dada por
Fd = 6piµRUT (1.17)
Portanto para uma esfera se movendo com velocidade constante UT (velocidade termi-
nal) sob ac¸a˜o da gravidade, a equac¸a˜o do movimento (segunda lei de Newton) se reduz
ao balanc¸o entre a forc¸a de arrasto e o peso l´ıquido (peso da esfera menos a forc¸a de
empuxo) da mesma, ja´ que na˜o ha´ acelerac¸a˜o. Assim:
Fd = Pliq
6piµRUT = ∆ρg
4
3
piR3 (1.18)
em que Pliq e´ o peso l´ıquido da esfera de raio R, g e´ a acelerac¸a˜o gravitacional local e
∆ρ e´ a diferenc¸a entre a massa espec´ıfica da esfera e do fluido. Logo:
µ =
2∆ρgR2
9UT
. (1.19)
10
Figura 1.8: Ilustrac¸a˜o de uma part´ıcula r´ıgida esfe´rica sedimentando em um fluido viscoso
em baixo nu´mero de Reynolds.
Desta maneira, pode-se determinar a viscosidade de um fluido viscoso conhecendo-se a
diferenc¸a entre as massas espec´ıficas, a velocidade terminal da esfera e o raio da esfera.
A figura (1.8) mostra um esquema desse arranjo experimental.
A equac¸a˜o (1.19) na˜o leva em considerac¸a˜o a influeˆncia das paredes do reservato´rio
no movimento da part´ıcula. A parede produz um distu´rbio em primeira ordem do
tipo d/D, que e´ um decaimento t´ıpico de movimentos de corpos em baixos Reynolds.
De um ponto de vista pra´tico um reservato´rio infinito na˜o e´ poss´ıvel e assim diante
do decaimento lento d/D existe sempre algum efeito de parede sobre o movimento da
esfera. Propo˜e-se uma correlac¸a˜o emp´ırica para corrigir os efeitos de parede na medida
de viscosidade como sendo:
µc = µ

1− 2, 104 d
D
+ 2, 09
(d
D
)3
− 0, 95
(
d
D
)5 (1.20)
em que µc e´ a viscosidade corrigida e D e´ o comprimento caracter´ıstico do reservato´rio
de confinamento do fluido.
1.5.1 Aparato Experimental e Procedimentos
Para a realizac¸a˜o do experimento de Stokes sa˜o utilizados os seguintes instrumentos:
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• Computador - com os programas VideoTizer e Sion Image
• Recipiente de vidro
• Caˆmera de v´ıdeo - Marca: Panasonic, OMNIMOVIE VHS/HQ; Frequeˆncia de
captura: 30Hz
Nessa etapa e´ medida a viscosidade do o´leo de silicone. Primeiramente o reser-
vato´rio e´ preenchido com o referido o´leo. Em seguida, a esfera e´ inserida na superf´ıcie
livre do l´ıquido. O movimento descendente da esfera e´ filmado. Essa filmagem e´ digi-
talizada no computador para que, pelo uso dos programas Sion Image e Videotizer, o
movimento da esfera seja quantificado juntamente com o intervalo de tempo necessa´rio
para ocorrer um deslocamento significativo da mesma. Assim e´ poss´ıvel trac¸ar o gra´fico
de deslocamento versus tempo, obtendo a velocidade terminal UT e com isso a viscosi-
dade do fluido.
1.6 RELATO´RIO
O relato´rio devera´ conter os seguintes elementos:
1. Introduc¸a˜o teo´rica
2. Descric¸a˜o dos experimentos
3. Resultados Cannon-Fenske: apresentar os gra´ficos da viscosidade da a´gua e da
viscosidade do o´leo de soja em func¸a˜o da temperatura e comparar com a Lei de
Arrhenius, obtendo as constantes A e B para cada material
4. Resultados Viscos´ımetro de Cilindros Conceˆntricos: apresentar os gra´ficos dos
o´leos de soja e mineral e da soluc¸a˜o de poliacrilamida em func¸a˜o da taxa de
cisalhamento. Comparar o gra´fico da poliacrilamida com uma Power Law, deter-
minando as constantes n e C para esse fluido.
5. Resultados Tubo Capilar: trac¸ar o gra´fico de (Po − PL) versus Q para a a´gua
e determinar a viscosidade atrave´s da inclinac¸a˜o da reta obtida. Determinar
a viscosidade da soluc¸a˜o de poliacrilamida em func¸a˜o da taxa de cisalhamento
na parede a partir das equac¸o˜es para fluidos na˜o-newtonianos (equac¸o˜es 1.14
12
e 1.15). Comparar esse resultado com o resultado obtido no viscos´ımetro de
cilindros conceˆntricos.
6. Resultados do experimento de Stokes: com a velocidade terminal encontrada
obter a viscosidade sem correc¸a˜o µ e a viscosidade corrigida µc, analisando se e´
significativa a diferenc¸a entre as duas.
7. Concluso˜es: analisar brevemente os experimentos realizados e classificar os fluidos
estudados como newtonianos ou na˜o newtonianos, expondo os argumentos para
essa classificac¸a˜o.
BIBLIOGRAFIA
Barnes, H. A., Hutton, J. F., Walters K., 1989, “An Introduction to Rheology”, 1.
ed - Elsevier Science
Cengel, Y. A., Cimbala, J. M., 2007, “Mecaˆnica dos Fluidos - Fundamentos e
Aplicac¸o˜es”, 1 ed. - Editora McGrawHill
Cunha, F. R., 2010, “Notas de aula do curso de Mecaˆnica dos Fluidos 2”, Univer-
sidade de Bras´ılia, Departamento de Engenharia Mecaˆnica
Larson, R. G., 1999, “The structure and rheology of complex fluids”, 1 ed. - Oxford
University Press.
Pao, R. H. F., 1967, “Fluid Dynamics”, 1 ed. - Purdue University Press.
APEˆNDICE 1
A tabela abaixo conte´m as constantes de cada Cannon-Fenske e a faixa em que a
viscosidade cinema´tica deve estar situada para que o erro relativo a` aproximac¸a˜o que
considera uma dependeˆncia linear da viscosidade cinema´tica com o ∆t seja o menor
poss´ıvel (dados fornecidos pelo fabricante).
13
Tabela 1.1: Classificac¸a˜o dos Viscos´ımetros
Nu´mero Constante K Variac¸a˜o da Viscosidade
(centistokes/segundo) (centistokes)
25 0.002 0.5 a 2
50 0.004 0.8 a 4
75 0.008 1.6 a 8
100 0.015 3 a 15
150 0.035 7 a 35
200 0.1 20 a 100
300 0.25 50 a 250
350 0.5 100 a 500
400 1.2 240 a 1200
450 2.5 500 a 2500
500 8 1600 a 8000
600 20 4000 a 20000
APEˆNDICE 2
A partir de um balanc¸o integral de forc¸as na regia˜o do tubo tem-se:
PopiR
2 − PLpiR2 − 2τwpiRL = 0 (1.21)
e portanto:
τw =
(
Po − PL
L
)
R
2
(1.22)
que e´ a equac¸a˜o (1.14). A relac¸a˜o entre a tensa˜o de cisalhamento em um ponto ao
longo do tubo e a tensa˜o na parede e´ dada por:
τ = − r
R
τw. (1.23)
A vaza˜o no capilar e´ dada por:
Q = 2pi
∫ R
0
u(r)rdr. (1.24)
14
Uma intergrac¸a˜o por partes da equac¸a˜o acima leva a:
Q = pi
[
ur2
]R
0
− 2pi
∫ R
0
r2
2
γ˙(τ)dr = −pi
∫ R
0
r2γ˙(τ)dr, (1.25)
ja´ que a velocidade na parede e´ nula. Utilizando a mudanc¸a de varia´veis
r = −R τ
τw
(1.26)
na equac¸a˜o (1.25), tem-se:
Q =
piR3
τ 3w
∫
−τw
0
γ˙(τ)τ 2dτ, (1.27)
cuja derivac¸a˜o resulta em:
γ˙w =
1
τ 2w
d
dτw
(
τ 3wQ
piR3
)
. (1.28)
E, finalmente, substituindo a relac¸a˜o obtida para τw:
γ˙w =
Q
piR3
(
3 +
d ln |Q|
d ln |∆P |
)
, (1.29)
que e´ a equac¸a˜o (1.15).
15