parte9 - Área basal e volume

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Biometria Florestal 
 
 
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6 ÁREA BASAL 
 
A área da secção de um plano, cortando um tronco de uma árvore à altura do 
dap é definida como área de secção transversal ou área basal individual, simbolizada por 
“g”. 
 O somatório das áreas basais de todas as árvores da unidade de área (hectare) 
é definido como “área basal por unidade de área” e simbolizado por “G”. 
 A área basal (G) é uma variável importante, pois é uma medida de densidade 
da floresta e é diretamente relacionada com o volume por hectare. 
 A relação da área basal/ha com a idade é de grande importância, pois pode 
servir para a determinação do ponto de estagnação da floresta. 
 A área basal serve também para indicar, matematicamente, o ponto de máximo 
crescimento da espécie em função das condições de solo, espaçamento etc. 
 Com seu conhecimento, podem ser realizadas avaliações econômicas e 
potenciais da floresta. A associação da área basal com a altura e a um fator de forma 
permite determinar o volume do povoamento ( fhGV ..= ), ou da própria árvore 
( fhgv ⋅⋅= ). 
 
 
6.1 Determinação da área basal 
 
 A determinação da área basal pode ser feita através dos seguintes métodos: 
 a) Medição direta de todos os diâmetros com cálculo da área basal de cada 
árvore expresso em 2m e somatório das mesmas, expresso em 2m /há; 
 b) Por meio de fotografias aéreas (escalas 1:10.000, 1:8.000 ou menor ), nas 
quais se procura relacionar o diâmetro da copa com o dap, ou a superfície da copa com a 
área basal; 
 c) Por Relascopia: contagem das árvores em relação a uma determinada banda 
ou unidade relascópica, com o uso do relascópio de Bitterlich. 
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6.1.1 Cálculo da área basal 
 
 A área basal pode ser rapidamente conhecida pelo emprego das seguintes 
fórmulas: 
 
4
d.g
2pi
= ou 
pi
=
.4
cg
2
 
 
Onde: g = área de secção transversal em 2m ; 
 d = diâmetro ao nível do dap em metro; 
 c = circunferência à altura do peito em metro. 
 
 Os valores de “g” podem também ser encontrados em tabelas específicas, 
expressos a partir dos diâmetros em centímetro ou da circunferência. 
 Com o emprego das fórmulas anteriormente apresentadas, está se 
considerando a secção ao nível do dap como circular, entretanto, isso nem sempre a 
ocorre. Em espécies do gênero Pinus e Araucaria, esta aproximação é muito boa, 
podendo a área basal ser expressa pela superfície do círculo. 
 Dependendo da natureza do trabalho e da espécie em questão, é conveniente 
estudar a forma das secções das árvores. 
 Quando a espécie estudada apresentar secção elíptica, pode ser conveniente 
que o diâmetro seja determinado pela média geométrica de dois diâmetros cruzados. O 
uso da média aritmética origina um diâmetro maior que o real e, conseqüentemente, uma 
área basal individual maior que a da secção da elípse, conforme foi abordado no Capítulo 
4. 
 A Figura 40 apresenta a curva de crescimento da área basal em função da 
idade, e a Tabela 17, alguns modelos matemáticos que podem ser usados para estimar a 
área basal por hectare (G) a partir de uma ou mais variáveis independentes. 
 
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FIGURA 40 - Curva de crescimento da área basal em função da idade. 
 
TABELA 17 - Modelos para descrever a área basal por hectare 
 
Equação 
 
Modelo 
 
1 
 
h.bbGV 10 += 
2 2
210 h.bbbGV ++= 
3 2
10041003210010 hbt.hbt.bhbbG ++++= 
4 2
210 NbNbbG ++= 
5 ( )g22g10 hlog.bhlog.bbexpG ++= 
 
Onde: h = altura total; 
 100h = altura dominante; 
 t = idade; 
 N = número de árvores/ha; 
 gh = altura da árvore de área basal média. 
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7 DETERMINAÇÃO DO VOLUME DAS ÁRVORES 
 
 
7.1 Introdução 
 
A árvore é constituída de quatro partes principais: raiz, tronco, fuste e copa. A 
parte mais importante, em termos de uso geral, é o fuste. O toco e a copa foram 
desprezados por muito tempo. Com a escassez de madeira, estas porções começaram a 
ganhar importância, sendo necessária a sua quantificação para uso como combustível e 
para estimar o volume de material deixado na colheita, estimando, por vezes a quantidade 
de nutrientes que voltam ao solo com a degradação do material. 
 A determinação direta do volume das partes da árvore é feita, em geral, em 
árvores amostras, para obter dados básicos para estudo de funções que descrevam as 
relações entre as várias dimensões da árvore e seu volume. 
 O fuste das árvores apresenta formas bastante variadas em razão do meio 
ambiente, da espécie, idade, manejo e de suas aptidões genéticas. Árvores da periferia, 
isoladas ou largamente espaçadas, sujeitas a maior intensidade de luz e, praticamente, 
livres de competição apresentam a forma natural, espontânea ou também dita específica. 
Essas se caracterizam por possuir copas amplas, de grande comprimento e largura, 
gerando galhos grossos e fuste bastante afilado. 
 Árvores do interior do povoamento, cuja sobrevivência se dá através da 
competição por água, luz e nutrientes, tendem à forma sem ramificações laterais, 
adquirindo formação reta com pequena copa. Essa forma é conhecida como forma 
florestal típica. 
 Em plantas da divisão “Angiospermae” ocorre, com freqüência, que a gema 
apical perde a atividade de alongamento enquanto as gemas secundárias passam a se 
desenvolver com maior intensidade, originando galhos laterais de dimensão apreciável, 
dando origem a tronco comercial curto, terminando abruptamente. 
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 Em coníferas, nas quais a gema apical se desenvolve continuamente, 
prolongando-se entre a copa, encontra-se, com freqüência, uma parte superior do tronco 
mais delgada, diferenciada das ramificações laterais pelo maior diâmetro. 
 Analisando-se uma árvore de forma típica, encontra-se uma grande amplitude 
de variação de formas desde as perfeitamente semelhantes a uma forma geométrica 
definida, até aquelas de difícil definição. Como exemplo, podem ser citadas as espécies 
do cerrado que são tortuosas e de difícil comparação com uma forma geométrica. A 
determinação do volume dessas árvores só pode ser feita por imersão das toras em água 
ou por seccionamento dos troncos em pequenas partes, o que torna a operação morosa e 
onerosa. 
 
7.2 Estudo matemático das formas 
 
 Os modelos dendrométricos objetivam analisar a cubagem das árvores através 
de recursos matemáticos, comparando os sólidos geométricos de revolução às formas 
naturais das árvores, a fim de determinar o seu volume. Esses sólidos são chamados de 
“protótipos dendrométricos” ou sólidos padrões comparáveis com a forma do tronco ou 
partes deste. Os protótipos são obtidos pela rotação da curva geral r2 wpy ⋅= ao redor do 
eixo “X”. 
 Para fins de estudo, considera-se na Biometria Florestal: 
 
rwpg ⋅=w e 4/.2 piww dg = 
 
Onde: wd = diâmetro do tronco a uma distância w da extremidade da copa; 
wg = área basal do tronco a igual distância; 
p = parâmetro que descreve o tamanho do corpo de rotação. 
 
 A forma do sólido de revolução de acordo com o valor assumido por “r” varia 
conforme exemplificado na Figura 41. 
 
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FIGURA 41 - Sólidos de revolução de acordo com a variação do parâmetro r 
(STERBA, 1986). 
 
Para os valores do expoente de forma “r” apresentados na Tabela 18, são gerados 
diferentes sólidos de revolução. 
 
 TABELA 18 - Variação da forma geométrica com a variação de r 
 
r 
 
 Designação 
0 Cilindro 
1 Parábola quadrática 
2 Cone 
3 Neilóide 
 
 
7.3 Volume dos sólidos de revoluçãoO estudo matemático do volume das árvores, considerando-se suas secções 
circulares, embora estas não sejam círculos perfeitos, parte do pressuposto que as figuras 
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geométricas relacionadas originam os sólidos de revolução correspondentes ao sofrerem 
uma rotação em torno do seu eixo principal. 
 Cubar uma árvore ou parte dela é, portanto, tomar o volume total ou parcial dos 
sólidos de revolução que mais se lhes assemelham. 
 O volume do sólido de revolução é obtido pela integração da área basal sobre o 
comprimento total do tronco. 
 Sendo: 
 
hr
w
r
h
ww
h
w
p
r
wdwpdgv
0
1
00 1
.. �
+
=�=�=
+
=
 
 
 
h
0
1rwp
1r
1
v �⋅⋅
+
=
+
 
 
 
 Substituindo-se w por h, tem-se: 
 
 hhp
1r
1
v r ⋅⋅⋅
+
= 
 
e sendo rhp ⋅ igual a área basal na base do sólido ( ug ), obtém-se: 
 
 �⋅⋅
+
= hg
1r
1
v u fórmula da área terminal. 
 
 Caso se escolha a área na metade da altura em vez da área da secção 
terminal, então a fórmula passa a ser escrita por: 
 
 
r
u hpg ⋅= 
 
sendo: rwp ⋅ e fazendo 2/hw = tem-se; 
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( ) ( ) ( )rurrr ghphp 2/12/1.2/ ⋅=⋅=⋅=∂ , logo se: 
 
( )rug 2/1⋅=∂ , então rug 2⋅∂= 
 
Substituindo-se na fórmula do volume de área terminal hg
1r
1
v u ⋅⋅
+
= , 
tem-se: 
 
 �⋅∂⋅⋅
+
=
r2h
1r
1
v Fórmula para a metade da altura. 
 
 
7.4 Fator de forma (f) e altura formal (fh) do sólido de revolução 
 
 O fator de forma (f) é definido como um fator que reduz o volume do cilindro 
formado pela área basal e altura para o verdadeiro volume do sólido de revolução. 
 A derivação do fator forma para o sólido de revolução permite conhecer a 
magnitude e a variação desta variável. 
 Considerando-se as fórmulas de volume para área terminal ( )( ) hg1r/1v u ⋅⋅+= 
e a do volume do cilindro ughv ⋅= tem-se para o fator forma: 
 
 
( )
hg
hg1r/1f
u
u
u
⋅
⋅⋅+
= , 
 
 ( )1r/1fu += . 
 
 São gerados diferentes uf de acordo com o valor de r que descreve o sólido, 
conforme apresentado na Tabela 19. 
 
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TABELA 19 - Variação dos fatores de forma ( uf ) com a variação do parâmetro r 
(Sterba , 1986) 
 
Parâmetro r 
 
0 
 
0,5 
 
1,0 
 
1,5 
 
2,0 
 
2,5 
 
3,0 
Fator forma na 
porção terminal 
 
1 
 
0,66 
 
0,5 
 
0,4 
 
0,33 
 
0,29 
 
0,25 
 
 Os resultados da Tabela 19 mostram que o fator forma da área terminal é, no 
máximo, igual a 1. O valor uf médio é de 0,49, e o desvio padrão ± 0,26, alcançando, 
então, o coeficiente de variação de ± 54%. 
 Em relação ao volume calculado como referência para a metade da altura do 
sólido, tem-se: 
 
r2h
1r
1
v ⋅⋅∂⋅
+
= , 
 
e o volume do cilindro que passa nesta posição é expresso por: 
 hvcil ⋅∂= . 
Sendo, então, o fator de forma na metade da altura expresso por: 
 ( ) 1r
2f
r
2/1
+
= 
 
 O fator de forma 2/1f também depende do valor assumido pelo parâmetro r, 
como demonstrado na Tabela 20. 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA 20 - Variação dos fatores de forma ( 2/1f ) com a variação do parâmetro “r” 
(STERBA, 1986) 
 
 Os resultados evidenciam que o fator de forma baseado na metade da altura é, 
em geral, maior que 1,0. 
 O valor médio de 2/1f calculado foi de 1,29 com desvio padrão de ± 0,39 e 
coeficiente de variação igual a 31%. 
 Assim, pode-se concluir que o fator de forma na metade da altura não depende 
tanto da forma do sólido de revolução quanto o fator de forma na extremidade deste ( uf ). 
 
7.4.1 Altura formal 
 
A altura formal (fh) corresponde à altura de um cilindro que passa pelo 
diâmetro da árvore e que tenha volume igual ao volume do sólido de revolução. 
Na Figura 42, está representado o volume do cilindro e a altura formal, 
ambos com base no diâmetro de referência tomado na base do sólido de revolução. 
 
 
FIGURA 42- Representação esquemática da altura formal. 
 
 
Parâmetro 
 
0 
 
0,5 
 
1,0 
 
1,5 
 
2,0 
 
2,5 
 
3,0 
Fator forma 
na metade da altura 
 
1,0 
 
0,94 
 
1,0 
 
1,13 
 
1,33 
 
1,62 
 
2,0 
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Pressler definiu uma altura onde o diâmetro é a metade do diâmetro de 
referência. 
 Neste ponto, a área da secção representa um quarto da área secção ao nível 
do dap. A altura, assim definida, é fácil de ser encontrada e pode servir como estimador 
da altura formal como demonstrado a seguir (Figura 43). 
 
 
FIGURA 43 - Representação esquemática da altura de Pressler. 
 
 Onde: w = distância do ápice ao ponto de cobertura; 
 h = altura total; 
 d = diâmetro; 
 R = altura de Pressler. 
 
Assim, sendo rw wpg ⋅= e rhpgu ⋅= , a área da secção no ponto de cobertura 
de valor igual a um quarto da área na base (gu), tem-se que: 
 4/gg uR = e 4/hpwp rr ⋅=⋅ 
 
 logo: 4/hw rr = e, assim, ( )r 4/1hw ⋅= . 
 
 Como w é a distância do ápice do sólido para medidas tomadas a partir da 
base, a fórmula passa a ser escrita como: 
 
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 ( )( )r 4/11.hR −= 
 
 Com a introdução de diferentes expoentes de forma fica demonstrado, na 
Tabela 21, que a altura formal e a altura de Pressler apresentam diferenças desprezíveis 
conforme Sterba (1986). 
 
TABELA 21 - Variação da altura formal com diferentes valores de “r”. 
 
Verifica-se que para valores de “r” entre 1 e 3, a altura formal vale 2/3 do 
valor de R ou seja: 
( ) ( ) 3/2R/hfh/R/f uu ≈⋅= 
 
Sendo a altura formal o produto de uf e h tem-se: ( ) R3/2f h ⋅= e, assim, 
o volume pode ser obtido por : ( ) R3/2gv ⋅⋅= 
 
 Essas relações demonstradas para o sólido de revolução podem ser aplicadas 
à árvore, recebendo a denominação de altura formal de Pressler. 
 Para expoentes “r” iguais a 1 e 2, os valores são exatos e, para os demais, 
uma aproximação. Os desvios, nestes casos, variam entre -0,5 e +1,3%. 
 Para o cilindro a definição de Pressler, não tem sentido, pois não existe local 
onde o diâmetro seja a metade da base. 
 As relações apresentadas para os sólidos de revolução podem ser aplicadas 
aos troncos das árvores, observando-se, entretanto, que os troncos não apresentam uma 
forma genérica única, mas várias formas geométricas. 
Parâmetro r 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 
uf 1,0 0,66 0,50 0,40 0,33 0,29 0,25 
hR - 0,94 0,75 0,60 0,50 0,43 0,37 
( )h/R/fu (1,5) 0,70 0,67 0,66 0,67 0,67 0,68 
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 Conforme Husch et al. (1982), os troncos de coníferas raras vezes são cones, 
parabolóides ou neilóides padrões, eles geralmente assumem formas intermediárias entre 
o cone e o parobolóide. Já a parte comercial do fuste das folhosas são teoricamente 
considerados como semelhantes a troncos de cones neilóides, parabolóides e, 
ocasionalmente, cilíndricos, mas, em geral, tem a forma variando entre o tronco de cone e 
o tronco de um parabolóide. O mais correto, segundo os autores, é considerar o tronco de 
qualquer árvore composto de vários sólidos geométricos (Figura 44). 
 
 
FIGURA 44 - Formas geométricas associadas ao tronco de uma árvore 
(Husch et al., 1982). 
 
 
 Na Tabela 22, são apresentadas fórmulas para o cálculo do volume de sólidos 
geométricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA 22 - Volume dos principais sólidos de revolução.Onde: h = altura ou comprimento da secção; 
 ig = área basal na secção “i” (base); 
 1ig + = área basal na secção “i +1” (ponta da secção); 
 mg = área basal na metade da secção; 
 
* fórmula de Smalian; 
 ** fórmula de Huber; 
 *** fórmula de Newton 
 
 
O volume dos sólidos de revolução pode ser obtido pelas fórmulas 
apresentadas na Tabela 22. Caso os sólidos reais compreendidos pelos troncos das 
árvores se ajustassem perfeitamente com os modelos teóricos, bastaria determinar o valor 
de r para cada caso e cubar a árvore como se fosse um sólido de revolução. Como isso 
não ocorre na realidade, costuma-se seccionar a árvore em certo número de partes, a fim 
de estimar o seu volume comercial ou total. 
 
Sólido de revolução 
 
Equação de volume 
Cilindro ( )hgv ⋅= 
Parabolóide ( )hg21v i ⋅⋅= 
Cone ( )hg31v i ⋅⋅= 
Neilóide ( )hg41v i ⋅⋅= 
Tronco de parabolóide ( )
( ) **ghv
*1gg2hv
m
ii
⋅=
++⋅=
 
Tronco cone ( )1gggg3hv i1iii ++⋅+⋅= + 
Tronco de Neilóide 
�
�
��
�
� +⋅++⋅+⋅= ++ 1i
2
1i
3
i
3
i
2
ii ggg1ggg3/hv
 
Neilóide, Cone, ou Tronco de Parábolóide ( ) ***ggg4g6hv 1iimi ++++⋅=