Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas

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No Cálculo I (Substituição de variável)
onde e
Outro modo de escrever é o seguinte: 
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Onde é a região no plano
que corresponde à região no plano
 
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 De modo mais geral, no Cálculo II, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação do plano 
 no plano
onde
ou, como às vezes escrevemos 
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	Se é injetora, então existe uma transformação inversa do plano
 para o plano e pode ser possível inverter as equações 
 para escrever em termos de 
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Uma transformação é definida pelas equações
Determine a imagem do quadrado
	
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A transformação leva a fronteira de na fronteira da imagem. Assim, começamos por determinar a imagem dos lados de
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O primeiro lado, é dado por
 	 
Das equações dadas, temos 
e portanto
Então é levado no segmento de reta que 
liga a no plano 
 
 
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O segundo lado, é dado por
 	 
e substituindo nas equações dadas, 
temos
Eliminando obtemos
que é parte de uma parábola. 
 
 
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Da mesma forma, é dado por
 	 
cuja imagem é o arco parabólico 
Finalmente, é dado por
cuja imagem é isto é, 
 
 
 
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Definição: O jacobiano da transformação
dada por e é 
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Suponha que seja uma transformação 
cujo jacobiano seja não nulo e leve uma região do plano para uma região 
do plano Suponha que seja contínua sobre e que e sejam regiões planas do tipo I ou II. Suponha ainda que 
 seja injetora, exceto possivelmente nos pontos de fronteira de . Então 
 
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Utilize a mudança de variáveis 
para calcular a integral onde
é a região delimitada pelo eixo e pelas 
parábolas e 
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No Exemplo 1, descobrimos que 
onde é quadrado A razão que nos levou a fazer a mudança de variável para calcular a integral é que
é uma região muito mais simples que
O jacobiano é dado por: 
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Portanto, 
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Calcule a integral onde
é a região trapezoidal com vértices 
 e 	
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Como não é fácil integrar diretamente, vamos fazer a mudança de variáveis dada pela forma da função:
Essas equações definem a transformação 
do plano para o plano . 
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Para determinar a região do plano correspondente a , observamos que os lados de estão sobre as retas 
e as retas imagem do plano são 
Então, a região é a região trapezoidal 
com vértices e 
 	
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Definição: O jacobiano da transformação
dada por
é o determinante 
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Sob hipóteses semelhantes àquelas usadas para a mudança de variável na integral dupla, temos a seguinte fórmula para integrais triplas:
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Utilize a fórmula anterior para deduzir a fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas.
Solução: Aqui a mudança de variáveis é dada por 
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	Como temos
Portanto, 
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