MCA503 - Texto-base - Fundamentos de Matemática II (Capítulo 10) Gil da Costa Marques

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
Fu
nd
am
en
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s 
de
 M
at
em
át
ic
a 
II
10.1 Introdução
10.2 Integrais Duplas
10.2.1 Propriedades das Integrais Duplas
10.2.3 Cálculo de Integrais Duplas
10.2.4 Integrais duplas em regiões não retangulares
10.3 Integrais triplas
10.4 Mudança de variáveis de Integração
10.5 Integrais em coordenadas polares
10.6 Integrais em coordenadas esféricas
Gil da Costa Marques
10INTEGRAIS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
195
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
10.1 Introdução
O problema de calcular a área de uma região do plano levou-nos ao conceito de integral 
definida de funções de uma variável. Para o cálculo do volume de um sólido faremos um 
procedimento semelhante que nos levará ao conceito de integral dupla. Veremos pois como 
trabalhar com integrais múltiplas, duplas ou triplas. 
10.2 Integrais Duplas
Tais integrais são as mais simples entre as integrais múltiplas, pois estamos falando, nesse 
caso, de integrais de funções de duas variáveis apenas. Assim, uma integral dupla de uma função 
f (x,y) definida sobre um retângulo
 10.1 
no plano xy será representada pela expressão
 10.2 
A seguir, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do plano, isto é, tal 
que existe um retângulo que contém L.
A integral dupla apresentada em 10.2 é definida de uma forma análoga, em certo sentido, 
àquela relativa a integrais de uma variável. Naquele caso, o conceito chave é o de subdividir 
um intervalo em n subintervalos e, considerando-se o valor da função num ponto qualquer de 
cada subintervalo, definir a integral como o limite de uma determinada soma – denominada 
Soma de Riemann – quando o comprimento do maior subintervalo e, portanto, de todos os 
subintervalos, tende a zero (se tal limite existir).
A f im de def inir a integral dupla de uma função f def inida num subconjunto L 
limitado do plano, e, portanto, contido num retângulo R, consideramos uma partição 
R x y a x b c y d= ( )∈ ≤ ≤ ≤ ≤{ }, : ,2
f x y dxdy
R
,( )∫∫
196
10 Integrais de funções de várias variáveis
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
P x y i n j mi j= ( ) = ={ }, : , , , , , , ,0 1 0 1  de R e, para cada par (i, j), seja (xi  , yj  ), um ponto 
escolhido arbitrariamente no sub-retângulo Rij resultante da partição considerada. 
O número 
 10.3 
é denominado Soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos (xi  , yj  ). Observe 
que f (xi  , yj  ) deve ser substituído por zero se o particular ponto não estiver na região limitada 
L considerada inicialmente.
Note ainda que, se f (xi  , yj  ) > 0, f (xi  , yj  ).∆xi ∆yj será o volume do paralelepípedo cuja base 
tem área ∆Aij = ∆xi ∆yj e cuja altura é f (xi  , yj  ).
f x y x yi j i j
j
m
i
n
,( )∆ ∆
==
∑∑
11
Figura 10.1: A região L subdividida em retângulos.
Figura 10.2: O ij-ésimo paralelepípedo cujo volume é f(xi  ,yj  ).∆xi ∆yj 
197
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Dada a partição P do retângulo R, indicamos por ∆ o maior dos números ∆xi ,..., ∆xn , ∆yj ,..., ∆ym, 
e definimos, então,
 10.4 
onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral dupla segundo Riemann da 
função f. Quando o limite existe, dizemos que a função f é integrável, segundo Riemann, em L.
Definimos também a
 10.5 
e, sendo f integrável em L, com 
 10.6 
em L, considerando a região A compreendida entre o gráfico de f e o plano z = 0, isto é,
 10.7 
definimos o 
 10.8 
f x y dxdy f x y x y f x y Ai j i j i j ij
j
m
i
, lim . lim .( ) = ( ) ∆ ∆ = ( ) ∆
∆→ ∆→
==
∑0 0 11
nn
j
m
i
n
L
∑∑∑∫∫
== 11
área de L dxdy
L
= ∫∫
f x y,( ) ≥ 0
A x y z z f x y= ( )∈ ≤ ≤ ( ){ }, , : ,3 0
volume de A f x y dxdy
L
= ( )∫∫ ,
Figura 10.3: A área de L é igual numericamente ao volume 
do sólido cuja base é L e cuja altura é constante e igual a 1.
198
10 Integrais de funções de várias variáveis
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10.2.1 Propriedades das Integrais Duplas
São válidas as seguintes propriedades para as integrais duplas:
Se f e g são funções integráveis em R e c é uma constante, então,
Propriedade 1
 10.9 
Propriedade 2
 10.10 
Propriedade 3
Se f (x , y) ≤ g (x,y), então, f x y dxdy g x y dxdy
R R
, ,( ) ≤ ( )∫∫ ∫∫ .
Propriedade 4
Se R = R1 ∪ R2, e R1 e R2 não se sobrepõem, então:
 10.11 
cf x y dxdy c f x y dx dy
R R
, ,( ) = ( )∫∫ ∫∫
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy
R R R
, , , ,( ) + ( )  = ( ) + ( )∫∫ ∫∫ ∫∫
f x y dx dy f x y dxdy f x y dxdy
R R R
∫∫ ∫∫ ∫∫( ) = ( ) + ( ), , ,
1 2
Figura 10.4: A região R=R1 ∪ R2.
199
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10.2.3 Cálculo de Integrais Duplas
Tendo em vista o fato de que, normalmente, não se recorre à definição de integral dupla 
10.4 para efetuar o cálculo dessa integral, é importante desenvolver métodos simples de 
efetuá-las. A seguir, daremos alguns exemplos.
 
Exemplos
• ExEmplo 1
Consideremos o caso simples em que a região fechada R é o retângulo de lados x = a, x = b, y = c 
e y = d. Vamos calcular, usando integral dupla, a área desse retângulo, bem como o volume do bloco 
que tem por base esse retângulo e altura igual a 1.
→ REsolução:
Nosso objetivo é encontrar 
 10.12 
ou alternativamente:
 10.13 
A mudança da ordem de integração é sempre válida desde que a função f dada seja integrável no 
retângulo R x y a x b c x d= ( )∈ ≤ ≤ ≤ ≤{ }, : ,2 e que existam f x y dx
a
b
∫ ( ), e f x y dy
c
d
∫ ( ), , para 
todo y∈[c,d ] e para todo x∈[a,b ], respectivamente. 
Figura 10.5: O retângulo [a,b]× [c,d].
I a b c d f x y dxdy f x y dy dx
c
d
a
b
c
d
a
b
, , , , ,( ) = ( ) = ( )





∫∫ ∫∫
I a b c d f x y dx dy f x y dx dy
c
d
a
b
a
b
c
d
, , , , ,( ) = ( ) = ( )





∫∫ ∫∫
200
10 Integrais de funções de várias variáveis
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No presente caso, consideramos a função f constante e igual a 1 sobre o retângulo R, isto é,
f (x,y) = 1 e a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d:
 10.14 
ou
 10.15 
Assim, a área do retângulo, bem como o volume do bloco que tem por base esse retângulo e altura 
igual a 1 são numericamente iguais a (b − a).(d − c).
No cálculo feito acima, para encontrar o valor da integral dupla, são efetuadas duas integrações 
simples sucessivas, que são denominadas integrais iteradas.
• ExEmplo 2
Calcule a integral:
 10.16 
onde D é o retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1.
→ REsolução:
 10.17 
Convém notar que, na primeira integral calculada, a variável de integração é x no intervalo [0,2], 
enquanto, na segunda, a variável de integração é y no intervalo [0,1].
Poderíamos também ter encontrado o valor de 
 10.18 
I a b c d dx dy dy dx d c dx d c b
c
d
a
b
c
d
a
b
a
b
, , , .( ) = =





 = −( ) = −( ) −∫∫ ∫∫ ∫ aa( )
I a b c d dx dy dx dy b a dy b a d
c
d
a
b
a
b
c
d
c
d
, , , .( ) = =





 = −( ) = −( ) −∫∫ ∫∫ ∫ cc( )
I x y dxdy
D
= +( )∫∫ 5 2
Figura 10.6: O retângulo D.
I x y dx dy x xy dy y dy= +( )





 = +





 = +[ ]∫∫ ∫5 2
5
2
2 10 4
0
2
0
1 2
0
2
0
1
0
11
2
0
1
10 2 12∫ = +  =y y
I x y dxdy
D
= +( )∫∫ 5 2
201
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fazendo 
 10.19 
e, nesse caso, na primeira integral, a variável de integração é y no intervalo [0,1], enquanto, na 
segunda, a variável de integração é x no intervalo [0,2].
• ExEmplo 3
Vamos verificar que são iguais:
 10.20 
 10.21 
→ REsolução:
De fato, 
 10.22 
e
 10.23 
De fato, sendo 
 10.24 
onde g, que depende da variável x somente, está definida em [a,b], e h, que depende apenas de y, 
I x y dy dx xy y dx x dx x= +( )





 = +  = +[ ] =∫∫ ∫ ∫5 2 5 5 1
5
0
1
0
2
2
0
1
0
2
0
2 22
0
2
2
12+




 =x
a. x y dx dy3 2
1
3
2
2
∫∫





−
b. x y dy dx3 2
2
2
1
3
−
∫∫






x y dx dy x y dy y y3 2
1
3
2
2 4
2
1
3
2
2 2 2
4
81
4
1
4∫∫ ∫





 =





 = −



− − 11
3
2
2
2
2
2 3
2
2
20 20
3
320
3
dy y dy y
− − −
∫ ∫=   = =
x y dy dx x y dx x dx3 2
2
2
1
3
3
3
2
2
1
3
3
2
2
3
16
3− − −
∫∫ ∫





 =





 =



11
3 4
1
3
16
3 4
16
3
20 320
3∫ = ⋅ = ⋅ =
x
Uma observação importante é a seguinte: se a função integrando f puder ser 
escrita como um produto de duas funções, uma delas dependendo apenas de uma 
variável e a outra dependendo apenas de outra variável, então, a integral dupla de 
f é mais simples.
f x y dx dy g x h y dx dy g x h y dy
a b c d c
d
a
b
c
d
, ,
,
[ ]×[ ]
∫∫ ∫∫ ∫( ) = ( ) ⋅ ( ) = ( ) ⋅ ( )





∫ dx
a
b
202
10 Integrais de funções de várias variáveis
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está definida em [c,d], notamos que na integral interna acima, g(x) é constante com relação a y, e 
podemos escrever:
 10.25 
Assim, nesse caso, a integral dupla pode ser escrita como o produto de duas integrais de uma variável.
10.2.4 Integrais duplas em regiões não retangulares
Integrais sucessivas, como as apresentadas anterior-
mente, podem ser utilizadas quando as curvas que deli-
mitam a região R sobre a qual a função é definida não 
são tão simples como no caso das regiões retangulares.
Consideremos uma função f definida na seguinte 
região:
 10.26 
Nesse caso, definimos a integral I(a,b) como a dada por
 10.27 
Definindo a função I(x) como
 10.28 
concluímos que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a determinação 
de I(x), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável apenas, ou seja:
 10.29 
g x h y dy dx g x h y dy dx g x
c
d
a
b
c
d
a
b
a
b
∫∫ ∫∫ ∫( ) ⋅ ( )





 = ( ) ( )





 = ( )ddx h y dy
c
d
⋅ ( )∫
Figura 10.7: A região onde f está definida.
D x y a x b g x y g x= ( )∈ ≤ ≤ ( ) ≤ ≤ ( ){ }, : ,2 1 2
I a b f x y dxdy f x y dy dx
D g x
g x
a
b
, , ,( ) = ( ) = ( )








∫∫ ∫∫
( )
( )
1
2
I x f x y dy
g x
g x
( ) = ( )
( )
( )
∫
1
2
,
I a b I x dx
a
b
,( ) = ( )∫
203
Fundamentos de Matemática II
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• ExEmplo 4
Vamos calcular 
 10.30 
onde D x y x y x= ( )∈ + ≤ ≥{ }, : ,2 2 2 1 0 .
→ REsolução:
Em primeiro lugar, observamos que D é um semicírculo centrado na origem e de raio unitário, para 
o qual 0 ≤ x ≤ 1. 
Consideremos I x x y dy
x
x
( ) = +( )
− −
−
∫ 2
1
1
2
2
, função essa que depende apenas da variável x.
Sendo assim,
 10.31 
Agora, 4 1 4
3
2
0
1
x x dx−

 =∫ (Verifique!)
Logo, 
 10.32 
2x y dxdy
D
+( )∫∫
Figura 10.8: A região D.
2 2 2
2
1
1
0
1 2
2
2
x y dxdy x y dy dx xy y
D x
x
+( ) = +( )








= +





∫∫ ∫∫
− −
−
 = −


− −
−
∫ ∫
1
1
0
1
2
0
1
2
2
4 1
x
x
dx x x dx
2 2 4
3
1
1
0
1
2
2
x y dxdy x y dy dx
D x
x
+( ) = +( )








=∫∫ ∫∫
− −
−
204
10 Integrais de funções de várias variáveis
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Situação análoga ocorre quando a função f está definida numa região 
do seguinte tipo:
 10.33 
Nesse caso, definimos a integral J(c,d) como a que é dada por
 10.34 
Definindo a função J (y) como
 10.35 
concluímos, analogamente, que o problema de determinar a integral dupla definida em D, após a 
determinação de J (y), se reduz ao problema de calcular a integral de uma função de uma variável 
apenas, ou seja:
 10.36 
• ExEmplo 5
Vamos refazer o Exemplo 4, isto é, calcular 
 10.37 
onde D x y x y x= ( )∈ + ≤ ≥{ }, : ,2 2 2 1 0 , tendo agora 
 10.38 
uma vez que a região D pode ser considerada como a região 
delimitada pelas curvas dadas por x = 0 e x y= −1 2 , para 
−1 ≤ y ≤ 1.
→ REsolução:
Neste caso, temos 
 10.39 
Figura 10.9: A região onde f 
está definida.
D x y h y x h y c y d= ( )∈ ( ) ≤ ≤ ( ) ≤ ≤{ }, : ,2 1 2
J c d f x y dxdy f x y dx dy
D h y
h y
c
d
, , ,( ) = ( ) = ( )








∫∫ ∫∫
( )
( )
1
2
J y f x y dx
h y
h y
( ) = ( )
( )
( )
∫
1
2
,
J c d J y dy
c
d
,( ) = ( )∫
Figura 10.10: A região D.
2x y dxdy
D
+( )∫∫
J y f x y dx
y
( ) = ( )
−
∫
0
1 2
,
2
0
1
1
1 2
x y dxdy f x y dx dy
D
y
+( ) = ( )







∫∫ ∫∫
−
−
,
205
Fundamentos de Matemática II
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Então, 
 10.40 
10.3 Integrais triplas
A integral tripla de uma função f (x,y,z) definida sobre um paralelepípedo 
 10.41 
no espaço xyz será representada pela expressão
 10.42 
Em seguida, será considerado o caso em que temos uma região limitada L do espaço, isto é, 
tal que existe um paralelepípedo que contém L.
O procedimento, para definir a integral tripla de uma função f definida num subconjunto L 
limitado do espaço e, portanto, contido num paralelepípedo R, é, em certo sentido, análogo ao 
que foi realizado para a definição da integral dupla.
Consideremos uma partição P x y z i n j m k pi j k= ( ) = = ={ }, , : , , , , , , , , , , ,0 1 0 1 0 1   do 
paralelepípedo R e, para cada terna (i, j, k), seja (xi  , yj  , zk) um ponto escolhido arbitrariamente 
no sub-paralelepípedo Rijk resultante da partição considerada. 
2 1 1
0
1
1
1
2
0
1
1
1
2
2
2
x y dx dy x xy dy y y
y
y
+( )








= +  = − + −
−
−
−
−
∫∫ ∫ yy dy2
1
1 4
3



 =
−
∫
Verifique! 
Uma observação importante que facilita os cálculos: y y dy1 02
1
1
−

 =
−
∫ , pois o 
integrando é uma função ímpar.
R x y z a x b c y d e z f= ( )∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤{ }, , : , ,3
f x y z dxdy dz
R
∫∫∫ ( ), ,
206
10 Integrais de funções de várias variáveis
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O número 
 10.43 
é denominado Soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos (xi  , yj  , zk). Observe 
que f (xi  , yj  , zk ) deve ser substituído por zero se o particular ponto não estiver na região limitada 
L considerada inicialmente.
Dada então a partição P do paralelepípedo R que contém L, indicamos por ∆ o maior dos 
números ∆x1,..., ∆xn, ∆y1,..., ∆ym, ∆z1,..., ∆zp, e definimos, então,
 10.44 
onde L é a região limitada sobre a qual está sendo calculada a integral tripla, segundo Riemann da 
função f. Quando o limite existe, dizemos que a função f é integrável, segundo Riemann, em L.
Definimos também o
 10.45 
A fim de calcular uma integral tripla sobre uma região limitada L, observamos que, se a 
função f é contínua em L, então,
 10.46 
sendo L x y z g x y z h x y= ( ) ( ) ≤ ≤ ( ){ }, , : , , , onde g e h são funções contínuas em K, uma região 
limitada no plano xz. 
Analogamente,
 10.47 
sendo L x y z g x z z h x z1 1 1= ( ) ( ) ≤ ≤ ( ){ }, , : , , , onde g1 e h1 são funções contínuas em K1,, uma 
região limitada no plano xz, e
f x y z x y z
k
p
j
m
i
n
i j k i j k
===
∑∑∑ ( )∆ ∆ ∆
111
, ,
f x y z dxdydz f x y z x y
L k
p
j
m
i
n
i j k i j∫∫∫ ∑∑∑( ) = ( )∆ ∆ ∆∆→
===
, , lim , ,
0 111
zzk
volume de L dxdydz
L
= ∫∫∫
f x y z dxdydz f x y z dz dx dy
L g x y
h x y
K
∫∫∫ ∫∫∫( ) = ( )







( )
( )
, , , ,
,
,
f x y z dxdydz f x y z dy dxdz
L g x z
h x z
K1 1
1
∫∫∫ ∫( ) = ( )







( )
( )
, , , ,
,
,
11
∫∫
207
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 10.48 
sendo L x y z g y z z h y z2 2 2= ( ) ( ) ≤ ≤ ( ){ }, , : , , , onde g2 e h2 são funções contínuas em K2.
• ExEmplo 6
Vamos determinar 
L
ydxdy dz∫∫∫ onde L x y z x y x z x y= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ −{ }, , : , ,0 2 0 3 0 .
→ REsolução:
Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira:
 10.49 
onde 
 10.50 
Então,
 10.51 
• Mas, ydz yz y x y
x y
x y
0
0
−
−
∫ = [ ] = ⋅ −( )
Logo,
 10.52 
• Como y x y dy xy y dy xy y x x x
x x x
0
3
2
0
3 2 3
03 3
3
2 3
9
2
9 9∫ ∫−( ) = −( ) = −





 = − = −.
33
2
resulta que
 10.53 
f x y z dxdydz f x y z dx dydz
L g x z
h x z
K2 2
2
∫∫∫ ∫( ) = ( )







( )
( )
, , , ,
,
,
22
∫∫
L x y z z x y x y K= ( ) ≤ ≤ − ( )∈{ }, , : , ,0
K x y x y x= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }, : ,0 2 0 3
ydx dy dz ydz dxdy
L
x y
K
∫∫∫ ∫∫∫=






−
0
ydxdydz y x y dxdy y x y dy dx
L K
x
∫∫∫ ∫∫ ∫∫= −( )  = −( )





. .
0
3
0
2
ydxdydz x dx x
L
∫∫∫ ∫= −





 = −





 = −
9
2
9
8
18
3
0
2 4
0
2
208
10 Integrais de funções de várias variáveis
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
• ExEmplo 7
Vamos calcular 2
L
x yzdxdydz∫∫∫ , onde L x y z x y x y z x y= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ + +{ }, , : , ,0 1 0 1 1 .
→ REsolução:
Vejamos, em primeiro lugar, que o conjunto L também pode ser escrito da seguinte maneira:
 10.54 
onde
 10.55 
Então,
 10.56 
Analogamente, é possível estender o conceito de integração múltipla de funções para um número 
maior de variáveis.
10.4 Mudança de variáveis de Integração
Em muitos casos, é possível efetuar uma integral múltipla de uma forma mais simples mediante 
uma mudança de variáveis de integração.
A conveniência da escolha de novas variáveis de integração é ditada pela geometria da 
região L sobre a qual a função f é definida, isto é, o domínio de f. Se tal região for um retângulo, 
a escolha natural recai sobre as coordenadas cartesianas. Se a região for um círculo, no entanto, 
a melhor escolha, no caso de duas variáveis, são as coordenadas polares. A análise feita a seguir 
considera um conjunto arbitrário de coordenadas. Iniciaremos com o caso da integral dupla.
L x y z x y z x y x y K= ( ) + ≤ ≤ + + ( )∈{ }, , : , ,1
K x y z x y= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }, , : ,0 1 0 1
( ) ( ) ( )
11 2
2 2 2
2 2
2 2
1 1 2 4 3 3
3 2 2 2
0 0
2
1 2 1
2 2
2 4 3 6
+ ++ +
+ +
   
= = =   
   
    = + + − + = + + =         
     
= + + = + +    
      
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫ ∫
x yx y
L K x y K x y
K K
zx yzdxdydz x yzdz dxdy x y dxdy
x y x yx y x y dx dy x y dxdy
x y x x xx y x y dx dy y y y
11 1 2
0 00
12 3
0
4 3 6
5 1 5 1 23
12 2 3 3 24 9 72
  
= + + =   
   
 
= + = + = 
 
∫ ∫
y y ydy dy
y y
209
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Sejam u e v duas coordenadas (ditas generalizadas) definidas como funções das coordenadas 
cartesianas: u = u(x,y) e v = v(x,y). Suponhamos conhecidas também as transformações inversas 
x = x(u,v) e y = y(u,v).
Para o que vem a seguir, é importante definir uma função denominada “jacobiano de uma 
transformação”.
Seja T uma transformação, T : A ⊂ 2 → 2, que, a cada par (u,v) pertencente ao aberto A, 
associa o par (x,y) tal que x = x(u,v) e y = y(u,v), isto é, T(u,v) = (x,y). 
A matriz jacobiana da transformação é a seguinte matriz 
 10.57 
e o jacobiano é definido como o determinante dessa matriz
 10.58 
ou seja, é o determinante da matriz das derivadas parciais.
Figura 10.11: A transformação T : A ⊂ 2 → 2.
∂( )
∂ ( )
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂










x y
u v
x
u
x
v
y
u
y
v
,
,
J
x y
u v
x
u
x
v
y
u
y
v
=
∂( )
∂ ( )





 =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂










det 
,
,
210
10 Integrais de funções de várias variáveis
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Mediante uma mudança de variáveis da forma T(u,v) = (x,y), uma integral dupla se escreve, 
em termos das novas variáveis (u,v) como:
 10.59 
onde det 
∂( )
∂ ( )






x y
u v
,
,
 é o módulo do jacobiano da transformação T, sendo R a imagem de S 
pela transformação T.
• ExEmplo 8
Vamos calcular
 10.60 
onde
 10.61
isto é, o trapézio ABDE na Figura 10.12.
→ REsolução:
Vamos fazer a mudança de variáveis:
 10.62 
de onde obtemos 
 10.63 
que define a transformação T.
f x y dxdy f T u v
x y
u v
dudv
R S
∫∫ ∫∫( ) = ( )( )
∂ ( )
∂ ( )
, ,
,
,
Figura 10.12: A região R é o trapézio ABDE.
sen
cos
x y
x y
dxdy
R
+( )
−( )∫∫
R x y x y x y= ( )∈ ≤ − ≤ ≥ ≤{ }, : , ,2 1 2 0 0
u x y
v x y
= +
= −



x u v
y u v
=
+
=
−






2
2
211
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Daí, o jacobiano da transformação é:
 10.64 
Como
 10.65 
temos, uma vez que
 10.66 
isto é,
 10.67 
ou seja
 10.68 
que é o trapézio LMNO.
Então,
 10.69 
Logo,
 10.70 
det det det
∂ ( )
∂ ( )





 =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂










=
x y
u v
x
u
x
v
y
u
y
v
,
,
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2−










= −
Figura 10.13: A região S é o trapézio LMNO.
R x y x y x y= ( )∈ ≤ − ≤ ≥ ≤{ }, : , ,2 1 2 0 0
e
u x y
v x y
= +
= −



x u v
y u v
=
+
=
−






2
2
1 2 0 0≤ ≤ + ≥ − ≤v u v u v, e 
1 2≤ ≤ ≥ − ≥v v u v u, e 
S u v v v u v u= ( )∈ ≤ ≤ ≥ − ≥{ }, : , ,2 1 2
sen
cos
x y
x y
dx dy u
v
du dv u
v
du
R S v
v+( )
−( )
= − =∫∫ ∫∫
−
sen
cos
sen
cos
1
2
1
2 ∫∫∫
∫





 =
=
−



=
−
+
−
−
dv
u
v
dv v
v
v
v
v
1
2
1
21
2
1
2
cos
cos
cos
cos
cos (( )




 =∫ cosv dv1
2
0
sen
cos
x y
x y
dx dy
R
+( )
−( )
=∫∫ 0
212
10 Integrais de funções de várias variáveis
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
• ExEmplo 9
Vamos calcular e dxdyx y x y
R
+( ) −( )∫∫ / , sabendo que R é o trapézio de vértices (1,0), (3,0), (0,−1), (0,−3).
→ REsolução:
Vamos fazer a mudança de variáveis 
 10.71 
pois não sabemos calcular facilmente a integral dada.
Obtemos então:
 10.72 
que define a transformação T.
Daí, o jacobiano da transformação é:
 10.73 
A fim de determinar S, observamos que a região R, pela transformação dada, é levada num outro trapézio. 
De fato:
u x y
v x y
= +
= −



x u v
y u v
=
+
=
−






2
2
det det det
∂ ( )
∂ ( )





 =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂










=
x y
u v
x
u
x
v
y
u
y
v
,
,
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2−










= −
Figura 10.14: R é o trapézio ABCD.
213
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
Como
 10.74 
O lado LM tem y = 0; logo, u = v.
O lado NO tem x = 0; logo, u = −v.
O lado LO tem y = x − 1; logo, v = 1.
O lado MN tem y = x − 3; logo, v = 3.
Então,
 10.75 
10.5 Integrais em coordenadas polares
Um exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que permite a passagem das 
coordenadas cartesianas (x,y) para as coordenadas polares (ρ,φ), por meio da transformação 
definida pelas equações:
 10.76 
Figura 10.15: S é o trapézio LMNO.
e
u x y
v x y
= +
= −



x u v
y u v
=
+
=
−






2
2
e dx dy e du dv e du dvx y x y
R
u v
S
u v
v
v
+( ) −( )
−
∫∫ ∫∫ ∫∫= − =






/ / /1
2
1
2 1
3
==
=   = −  =
= − 
−
−
−
∫ ∫
1
2
1
2
1
2 2
1
3
1
1
3
1
2
1
ve du ve ve dv
e e v
u v
v
v/
33 12= − 
−e e
x
y
=
=



ρ ϕ
ρ ϕ
cos
sen
214
10 Integrais de funções de várias variáveis
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
O uso de tais coordenadas se revela útil quando o domínio inicial, no espaço xy, for da forma 
mostrada na Figura 10.16, por exemplo, e puder ser transformado num retângulo no espaço ρφ:
 10.77 
Sob uma tal transformação, uma função de duas variáveis f(x,y) é transformada numa função 
F(ρ,φ), isto é,
 10.78 
A fim de determinar f x y dxdy∫∫ ( ), , usando a transformação 
 10.79 
temos
 10.80 
Logo,
 10.81 
R = ( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ ϕ ϕ, : ,1 2 1 2
Figura 10.16: O domínio inicial é transformado pela mudança de coordenadas 
num retângulo.
f x y F, ,( )→ ( )ρ ϕ
x
y
=
=



ρ ϕ
ρ ϕ
cos
sen
J
x x
y y
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
= + =
ρ ϕ
ρ ϕ
ϕ ρ ϕ
ϕ ρ ϕ
ρ ϕ ρ ϕ ρ
cos sen
sen cos
cos sen2 2
f x y dxdy F
x y
d d
R S
∫∫ ∫∫( ) = ( )
∂ ( )
∂ ( )
, ,
,
,
ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ
215
Fundamentos de Matemática IILicenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
• ExEmplo 10
Usando coordenadas polares, encontre a integral dupla 2
S
yx dxdy∫∫ sabendo que, com a mudança de 
coordenadas, S é transformado em D R= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤




ρ ϕ ρ ϕ
π, : ,0 0
4
.
→ REsolução:
A fim de determinar f x y dxdy
S
∫∫ ( ), , usando as coordenadas polares
 10.82 
temos
 10.83 
Logo,
 10.84 
Quando escrita em termos de coordenadas polares, a integral acima se escreve como:
 10.85 
x
y
=
=



ρ ϕ
ρ ϕ
cos
sen
J
x x
y y
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
= + =
ρ ϕ
ρ ϕ
ϕ ρ ϕ
ϕ ρ ϕ
ρ ϕ ρ ϕ ρ
cos sen
sen cos cos sen
2 2
f x y dx dy F
x y
d d
S D
∫∫ ∫∫( ) = ( )
∂ ( )
∂ ( )
, ,
,
,
ρ ϕ
ρ ϕ
ρ ϕ
yx dx dy d d d
S D
∫∫ ∫∫ ∫= ( ) =





2 2 2 4
0
4
2ρ ϕρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ
π
sen . cos sen .cos



=
= −





 = − −














∫
∫
d
d
R
R
ρ
ρ
ϕ
ρ ρ
π
0
4
3
0
4
0
4
3
2
12
1
3
cos dd
R
R R
ρ
ρ
0
5
0
5
5
2
12
1
3
5
4 2
12
∫ = − −














=
=
−





216
10 Integrais de funções de várias variáveis
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
• ExEmplo 11
Determinar a área de um círculo efetuando a integral bidimensional utilizando coordenadas polares.
→ REsolução:
Lembramos primeiramente que a área é dada pela expressão 
 10.86 
onde a região R é o círculo centrado na origem e raio r, ou seja,
 10.87 
Usando coordenadas polares
 10.88 
temos
 10.89 
e R é transformado no retângulo 
 10.90 
isto é, 
Logo, 
A dxdy
R
= ∫∫
R x y x y r= ( ) + ={ }, : 2 2 2
x
y
=
=



ρ ϕ
ρ ϕ
cos
sen
J
x
p
x
y
p
y
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
= + =
ϕ
ϕ
ϕ ρ ϕ
ϕ ρ ϕ
ρ ϕ ρ ϕ ρ
cos sen
sen cos cos sen
2 2
[0,r] × [0,2π]
S r= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }ρ ϕ ρ ϕ π, : ,0 0 2
dxdy rd d d d d r d
R S
r r
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫= =





 =





 =ρ ϕ ρ ρ ϕ
ρ
ϕ
π π
00
2 2
00
2 2
2 2
ϕϕ ϕ π
π
π
0
2 2
0
2 2
2∫ = =
r r`
217
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
10.6 Integrais em coordenadas esféricas
Outro exemplo importante de mudança de variáveis é aquele que utiliza as coordenadas 
esféricas definidas por
 10.91 
onde ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.
É conveniente utilizar essa mudança de variáveis quando a região sobre a qual está sendo 
calculada uma integral tripla puder ser descrita como um paralelepípedo nas variáveis ρ, θ e φ isto é,
 10.92 
x
y
z
=
=
=




ρ ϕ θ
ρ ϕ θ
ρ ϕ
sen cos
sen sen
cos
D = ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤{ }ρ θ ϕ ρ ρ ρ θ θ θ ϕ ϕ ϕ, , : , ,1 2 1 2 1 2
Figura 10.17: Região no espaço associada ao 
paralelepípedo nas coordenadas esféricas.
218
10 Integrais de funções de várias variáveis
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
O determinante jacobiano da transformação é:
 10.93 
Logo, 
 10.94 
Convém notar que, como 0 ≤ φ ≤ π, senφ ≥ 0 e, 
no interior do domínio D, o jacobiano da transfor-
mação é diferente de zero, ou seja a transformação 
é inversível.
J
x x x
y y y
z z z
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ϕ θ ρ ϕ θ ρsen cos sen sen ccos cos
sen sen sen cos cos sen
cos sen
sen
sen
ϕ θ
ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ
ϕ ρ ϕ
ρ ϕ
ϕ
0
2
−
=
=
ccos sen cos cos
sen sen cos cos sen
cos sen
sen s
θ θ ϕ θ
ϕ θ θ ϕ θ
ϕ ϕ
ρ ϕ
−
−
=
= −
0
2 een .cos cos .sen cos .cos sen .sen
se
2 2 2 2 2 2 2 2
2
ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
ρ
− − −  =
= − nnϕ
Figura 10.18: Elemento de volume das coordenadas esféricas.
J
x y z
=
∂( )
∂ ( )
= − =
, ,
, ,
sen sen
ρ θ ϕ
ρ ϕ ρ ϕ2 2
219
Fundamentos de Matemática II
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
• ExEmplo 12
O volume de uma esfera de raio R, por exemplo, se escreve em coordenadas esféricas como a 
seguinte integral tripla:
 10.95 
Geralmente, se g for uma função de três variáveis (x, y, z), então, a integral tridimensional sobre uma 
região limitada L pode ser escrita, no domínio D = {(ρ, θ, φ) : ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2, θ1 ≤ θ ≤ θ2, φ1 ≤ φ ≤ φ2}, 
como:
 10.96 
onde G é a função g escrita em termos das coordenadas esféricas:
 10.97 
• ExEmplo 13
Vamos calcular o volume do elipsoide 
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1+ + ≤ .
Seja E x y z x
a
y
b
z
c
= ( ) + + ≤




, , :
2
2
2
2
2
2 1
Utilizando coordenadas esféricas 
 10.98 
V J d d d d d d
R R
R R
= = =
= ⋅ ⋅ =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
0
2
00
2
0 0
2
0
3
3
3
2 2 4
3
ππ π π
ρ θ ϕ ρ ρ θ ϕ ϕ
π π
sen
g x y z dxdydz g
L D
∫∫∫ ∫∫∫( ) = ( ) ⋅, , sen cos , sen sen , cos senρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ρ ϕ2 dd d d
G d d d
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ
ϕ
ϕ
θ
θ
ρ
ρ
=
= ( )∫∫∫
1
2
1
2
1
2
2, , sen
G g x y zρ θ ϕ, , , ,( ) = ( )
x
a
y
b
z
c
=
=
=









ρ ϕ θ
ρ ϕ θ
ρ ϕ
sen cos
sen sen
cos
220
10 Integrais de funções de várias variáveis
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2
isto é, 
 10.99 
em D = ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤{ }ρ θ ϕ ρ θ π ϕ π, , : , ,0 1 0 2 0 , temos: 
 10.100 
Logo,
 10.101 
e o volume do elipsoide é:
 10.102 
É importante observar que, no cálculo da integral tripla acima, foi utilizada a observação feita logo 
após o Exemplo 3.
x a
y b
z c
=
=
=




ρ ϕ θ
ρ ϕ θ
ρ ϕ
sen cos
sen sen
cos
J
x x x
y y y
z z z
a a
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ϕ θ ρ ϕsen cos sen senθθ ρ ϕ θ
ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ
ϕ ρ ϕ
a
b b b
c c
cos cos
sen sen sen cos cos sen
cos sen0 −
=
 
=
−
abcρ ϕ
ϕ θ θ
2 sen
sen cos sen coss cos
sen sen cos cos sen
cos sen
ϕ θ
ϕ θ θ ϕ θ
ϕ ϕ0 −
=
 = − − −abcρ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ2 2 2 2 2 2 2sen sen cos cos sen cos cos θθ ϕ θ−  =
= −
sen sen2 2
 abcρρ ϕ2 sen
dx dy dz
x y z
abc d d d=
∂ ( )
∂ ( )
=
, ,
, ,
sen
ρ θ ϕ
ρ ϕ ρ θ ϕ2
dxdy dz abc d d d abc d d d
E D
∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫= = =
=
ρ ϕ ρ θ ϕ θ ϕ ϕ ρ ρ
π π
2
0
2
0
2
0
1
sen sen
aabc abc abcθ ϕ ρ π ππ π[ ] ⋅ −[ ] ⋅ 




 = ⋅ +[ ] =0
2
0
3
0
1
3
2 1 1 1
3
4
3
cos
Agora é a sua vez...
Continue explorando os recursos de aprendizagem 
disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem 
e realize a(s) atividade(s) proposta(s).
	10.1 Introdução
	10.2 Integrais Duplas
	10.2.1 Propriedades das Integrais Duplas
	10.2.3 Cálculo de Integrais Duplas
	10.2.4 Integrais duplas em regiões não retangulares
	10.3 Integrais triplas
	10.4 Mudança de variáveis de Integração
	10.5 Integrais em coordenadas polares
	10.6 Integrais em coordenadas esféricas