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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Prof. Marcos Antonio C. da Silveira
Lista de Exercícios: Equilíbrio Geral com Produção
Questão 1:
Tecnologia das firmas (ambas com rendimentos constantes de escala)
y1 = F1 (L1) = γL1; γ > 0
y2 = F2 (L2) = φL2; φ > 0
• Fronteira de produção:
y1 = γL1 =⇒ L1 =
y1
γ
y2 = φL2 =⇒ L2 =
y2
φ
L1z}|{
y1
γ
+
L2z}|{
y2
φ
= LA + LB
=⇒ y2 = −
φy1
γ
+ φ (LA + LB)
— Taxa marginal de transformação:
TMT = −∂y2
∂y1
=
φ
γ
∂TMT
∂y1
= 0 =⇒ função de transformação linear
• Eficiência de Pareto
— Condição de factibilidade:
L1z}|{
y1
γ
+
L2z}|{
y2
φ
= LA + LB
y1 = x1A + x
1
B
y2 = x2A + x
2
B
— Condições marginais de eficiência de Pareto:
TMgSAz }| {
α
1− α
x2A
x1A
=
TMgSBz }| {
β
1− β
x2B
x1B
=
TMTz}|{
φ
γ
1
• Equilíbrio Walrasiano
— Suponha que trabalho é o numerário da economia: w¯ = 1
— Preços relativos dos bens determinados unicamente pelo lado da oferta:
p¯1 = CMg1 =
w¯
γ
=
1
γ
=⇒ π¯1 = 0
p¯2 = CMg2 =
w¯
φ
=
1
φ
=⇒ π¯2 = 0
∗ π¯1 : lucro da firma 1 em equilíbrio
∗ π¯2 : lucro da firma 2 em equilíbrio
∗ Com rendimentos constante de escala, custo marginal é constante e igual ao custo médio.
Logo, em equilíbrio, preço = custo marginal e lucro da firma é nulo
— Demanda dos indivíduos pelos bens:
∗ Indivíduo A:
x¯1A = α
(w¯LA + α1Aπ¯1 + α
2
Aπ¯2)
p¯1
= αγLA
x¯2A = (1− α)
(w¯LA + α1Aπ¯1 + α
2
Aπ¯2)
p¯2
= (1− α)φLA
∗ Indivíduo B:
x¯1B = β
(w¯LB + α1Bπ¯1 + α
2
Bπ¯2)
p¯1
= βγLB
x¯2B = (1− β)
(w¯LB + α1Bπ¯1 + α
2
Bπ¯2)
p¯2
= (1− β)φLB
— Produção e demanda das firmas pelo fator:
∗ Firma 1:
y¯1 =
x¯1Az }| {
αγLA +
x¯1Bz }| {
βγLB
=⇒ L¯1 =
y¯1
γ
= αLA + βLB
∗ Firma 2:
y¯2 =
x¯2Az }| {
(1− α)φLA +
x¯2Bz }| {
(1− β)φLB
=⇒ L¯2 =
y¯2
γ
= (1− α)LA + (1− β)LB
Em equilíbrio, preço de cada firma é igual ao seu custo marginal constante, de forma que
o lucro é zero para qualquer nível de produção. Assim, a firma é indiferente entre qq
nível de produção, a qual fica determinada pela demanda total pelo seu bem
2
— Observe que a demanda por trabalho é igual a ofeta de trabalho:
L¯1z }| {
αLA + βLB +
L¯2z }| {
(1− α)LA + (1− β)LB = LA + LB
— Observe que o equilíbrio walrasiano independe da distribuição do lucro das firmas entre os
indivíduos. Isto acontece porque, com rendimentos constantes de escala, o lucro da firma em
equilíbrio é sempre nulo.
3
Tecnologia distintas:
y1 = F1 (L1) =
p
L1 (rendimento decrescente de escala)
y2 = F2 (L2) =
1
2
L2 (rendimento constante de escala)
• Fronteira de produção:
y1 =
p
L1 =⇒ L1 = y21
y2 =
1
2
L2 =⇒ L2 = 2y2
L1z}|{
y21 +
L2z}|{
2y2 = LA + LB
=⇒ y2 = −
1
2
y21 +
1
2
(LA + LB)
— Taxa marginal de transformação:
TMT = −∂y2
∂y1
= y1 (1)
∂TMT
∂y1
= 1 > 0 =⇒ função de transformação côncava
• Eficiência de Pareto
— Condição de factibilidade:
L1z}|{
y21 +
L2z}|{
2y2 = LA + LB
y1 = x1A + x
1
B
y2 = x2A + x
2
B
— Condições marginais de eficiência de Pareto: eq. (1) =⇒
TMgSAz }| {
α
1− α
x2A
x1A
=
TMgSBz }| {
β
1− β
x2B
x1B
=
TMTz}|{
y1
4
• Equilíbrio Walrasiano
— Suponha que trabalho é numerário da economia: w = 1
— Preços relativo de equilíbrio do bem 2 determinado unicamente pelo lado da oferta:
p¯2 = CMg2 = 2w¯ = 2
=⇒ π¯2 = 0
∗ Com rendimentos constante de escala, custo marginal é constante e igual ao custo médio.
Logo, em equilíbrio, preço = custo marginal e lucro da firma π¯2 é nulo
— Problema da firma 1: dado um vetor de preços qq q = (p1, p2, w), a demanda por trabalho
L1 (q) é o valor de L1 que maximiza o lucro π1, dado por
π1 = p1
p
L1 − wL1
∗ Condição marginal de 1 ordem:
p1
2
L1 (q)
− 1
2 − w = 0
=⇒ L1 (q) =
1
4
³p1
w
´2
(2)
∗ Função oferta da firma 1:
y1 (q) =
p
L1 (q) =
1
2
³p1
w
´
(3)
∗ Função lucro máximo da firma 1, como função de q = (p1, p2, w) :
π1 (q) = p1
y1(q)z }| {
1
2
³p1
w
´
− w
L1(q)z }| {
1
4
³p1
w
´2
=
1
4
p21
w
(4)
5
— Demanda dos indivíduos pelos bens:
∗ Ind. A:
x1A (q) = α
[wLA + α1Aπ1 (q) + α
2
Aπ2 (q)]
p1
(5)
x2A (q) = (1− α)
[wLA + α1Aπ1 (q) + α
2
Aπ2 (q)]
p2
(6)
∗ Ind. B:
x1B (q) = β
[wLB + α1Bπ1 (q) + α
2
Bπ2 (q)]
p1
(7)
x2B (q) = (1− β)
[wLB + α1Bπ1 (q) + α
2
Bπ2 (q)]
p2
(8)
∗ No vetor de preço de equilíbrio q¯ = (p¯1, p¯2, w¯), lucro da firma 2 é nulo, enquanto lucro
da firma 1 segue de (4), ou seja,
π1 (q¯) =
1
4
p¯21
w¯
(9)
∗ Substituindo (9) em (5)-(8) p/ q = q¯, as demandas individuais em equilíbrio dadas por:
x1A (q¯) = α
h
w¯LA + 14α
1
A
p¯21
w¯
i
p¯1
(10)
x2A (q¯) = (1− α)
h
w¯LA + 14α
1
A
p¯21
w¯
i
p¯2
(11)
x1B (q¯) = β
h
w¯LB + 14α
1
B
p¯21
w¯
i
p¯1
(12)
x2B (q¯) = (1− β)
h
w¯LB + 14α
1
B
p¯21
w¯
i
p¯2
(13)
— No vetor de preço de equilíbrio q¯ = (p¯1, p¯2, w¯) , oferta do bem 1= demanda total pelo bem 1:
y1(q¯)z }| {
1
2
³ p¯1
w¯
´
=
x1A(q¯)z }| {
α
h
w¯LA + 14α
1
A
p¯21
w
i
p¯1
+
x1B(q¯)z }| {
β
h
w¯LB + 14α
1
B
p¯21
w
i
p¯1
Multiplicando ambos os lados da eq. acima por p¯1 e fazendo w¯ = 1 (trabalho é o numerário):
1
2
p¯21 = α
·
LA +
1
4
α1Ap¯
2
1
¸
+ β
·
LB +
1
4
α1Bp¯
2
1
¸
Resolvendo a eq. acima, encontra-se o preço de equilíbrio p¯1 do bem 1
6
— Alocação de equilíbrio:
∗ Para achar as demandas individuas pelos bens, substitui-se q¯ = (p¯1, p¯2, w¯) em (10)-(13)
∗ Para achar a produção da firma 1, substitui-se q¯ = (p¯1, p¯2, w¯) em (3)
∗ Para achar a demanda por trabalho da firma 1, substitui-se q¯ = (p¯1, p¯2, w¯) em (2)
∗ A produção da firma 2 em equilíbrio é dada por:
y¯2 = x2A (q¯) + x
2
B (q¯)
Em equilíbrio, preço da firma 2 é igual ao seu custo marginal constante, de forma que
seu lucro é zero para qualquer nível de produção. Assim, a firma é indiferente entre qq
nível de produção, a qual fica determinada pela demanda total pelo seu bem
∗ A demanda da firma 2 por trabalho é dada por:
L¯2 = 2y¯2
7
Tecnologia das firmas com rendimentos decrescentes de escala:
y1 = F1 (L1) =
p
L1 (rendimento decrescente de escala)
y2 = F2 (L2) =
p
L2 (rendimento decrescente de escala)
• Fronteira de produção:
y1 =
p
L1 =⇒ L1 = y21
y2 =
p
L2 =⇒ L2 = y22
L1z}|{
y21 +
L2z}|{
y22 = LA + LB
=⇒ y2 =
q
LA + LB − y21
— Taxa marginal de transformação:
TMT = −∂y2
∂y1
= −1
2
(−2y1)
¡
LA + LB − y21
¢−1
2 =
y1p
LA + LB − y21
(14)
∂TMT
∂y1
> 0 =⇒ função de transformação côncava
• Eficiência de Pareto
— Condição de factibilidade:
L1z}|{
y21 +
L2z}|{
y22 = LA + LB
y1 = x1A + x
1
B
y2 = x
2
A + x
2
B
— Condições marginais de eficiência de Pareto: eq. (14) =⇒
TMgSAz }| {
α
1− α
x2A
x1A
=
TMgSBz }| {
β
1− β
x2B
x1B
=
TMTz }| {
y1p
LA + LB − y21
8
• Equilíbrio Walrasiano
— Suponha que trabalho é numerário da economia: w = 1
— Problema da firma 1: dado um vetor de preços qq q = (p1, p2, w), a demanda por trabalho
L1 (q) é o valor de L1 que maximiza o lucro π1, dado por
π1 = p1
p
L1 − wL1
∗ Condição marginal de 1 ordem:
p1
2
L1 (q)
− 1
2 − w = 0
=⇒ L1 (q) =
1
4
³p1
w
´2
(15)
∗ Função oferta da firma 1:
y1 (q) =
p
L1 (q) =
1
2
³p1
w
´
(16)
∗ Função lucro máximo da firma 1, como função de q = (p1, p2, w) :
π1 (q) = p1
y1(q)z }| {
1
2
³p1
w
´
− w
L1(q)z }| {
1
4
³p1
w
´2
=
1
4
p21
w
(17)
— Problema da firma 2: dado um vetor de preçosqq q = (p1, p2, w), a demanda por trabalho
L2 (q) é o valor de L2 que maximiza o lucro π2, dado por
π2 = p2
p
L2 − wL2
∗ Condição marginal de 1 ordem:
p2
2
L2 (q)
− 1
2 − w = 0
=⇒ L2 (q) =
1
4
³p2
w
´2
(18)
∗ Função oferta da firma 2:
y2 (q) =
p
L2 (q) =
1
2
³p2
w
´
(19)
∗ Função lucro máximo da firma 2, como função de q = (p1, p2, w) :
π2 (q) = p2
y2(q)z }| {
1
2
³p2
w
´
− w
L2(q)z }| {
1
4
³p2
w
´2
=
1
4
p22
w
(20)
9
— Demanda dos indivíduos pelos bens:
∗ Ind. A:
x1A (q) = α
[wLA + α1Aπ1 (q) + α
2
Aπ2 (q)]
p1
(21)
x2A (q) = (1− α)
[wLA + α1Aπ1 (q) + α
2
Aπ2 (q)]
p2
(22)
∗ Ind. B:
x1B (q) = β
[wLB + α1Bπ1 (q) + α
2
Bπ2 (q)]
p1
(23)
x2B (q) = (1− β)
[wLB + α1Bπ1 (q) + α
2
Bπ2 (q)]
p2
(24)
∗ Nos preços de equilíbrio q¯ = (p¯1, p¯2, w¯), lucro das firmas 1 e 2 seguem de (17) e (20):
π1 (q¯) =
1
4
p¯21
w¯
(25)
π2 (q¯) =
1
4
p¯22
w¯
(26)
∗ Substituindo (25) e (26) em (21)-(24) p/ q = q¯, as demandas individuais em equilíbrio
são dadas por:
x1A (q¯) = α
h
w¯LA + 14α
1
A
p¯21
w¯ +
1
4
α2A
p¯22
w¯
i
p¯1
(27)
x2A (q¯) = (1− α)
h
w¯LA + 14α
1
A
p¯21
w¯ +
1
4
α2A
p¯22
w¯
i
p¯2
(28)
x1B (q¯) = β
h
w¯LB + 14α
1
B
p¯21
w¯ +
1
4
α2B
p¯22
w¯
i
p¯1
(29)
x2B (q¯) = (1− β)
h
w¯LB + 14α
1
B
p¯21
w¯ +
1
4
α2B
p¯22
w¯
i
p¯2
(30)
10
— No vetor de preço de equilíbrio q¯ = (p¯1, p¯2, w¯) , oferta do bem= demanda total pelo bem:
y1(q¯)z }| {
1
2
³ p¯1
w¯
´
=
x1A(q¯)z }| {
α
h
w¯LA + 14α
1
A
p¯21
w¯ +
1
4
α2A
p¯22
w¯
i
p¯1
+
x1B(q¯)z }| {
β
h
w¯LB + 14α
1
B
p¯21
w¯ +
1
4
α2B
p¯22
w¯
i
p¯1
(31)
y2(q¯)z }| {
1
2
³ p¯2
w¯
´
=
x2A(q¯)z }| {
(1− α)
h
w¯LA + 14α
1
A
p¯21
w¯ +
1
4
α2A
p¯22
w¯
i
p¯2
+
x2B(q¯)z }| {
(1− β)
h
w¯LB + 14α
1
B
p¯21
w¯ +
1
4
α2B
p¯22
w¯
i
p¯2
(32)
Multiplicando ambos os lados de (31) por p¯1 e fazendo w¯ = 1 (trabalho é o numerário):
1
2
p¯21 = α
·
LA +
1
4
α1Ap¯
2
1 +
1
4
α2Ap¯
2
2
¸
+ β
·
LB +
1
4
α1Bp¯
2
1 +
1
4
α2Bp¯
2
2
¸
(33)
Multiplicando ambos os lados de (32) por p¯2 e fazendo w¯ = 1 (trabalho é o numerário):
1
2
p¯22 = (1− α)
·
LA +
1
4
α1Ap¯
2
1 +
1
4
α2Ap¯
2
2
¸
+ (1− β)
·
LB +
1
4
α1Bp¯
2
1 +
1
4
α2Bp¯
2
2
¸
(34)
Resolvendo o sistema dado pelas eqs.(33)-(34), obtem-se os preços de equilíbrio p¯1 e p¯2
— Alocação de equilíbrio:
∗ P/ achar as demandas dos indivíduos pelos bens, substitui-se q¯ = (p¯1, p¯2, w¯) em (27)-(30)
∗ P/ achar as produções das firmas, substitui-se q¯ = (p¯1, p¯2, w¯) em (16) e (19)
∗ P/ achar as demandas por trabalho das firmas, substitui-se q¯ = (p¯1, p¯2, w¯) em (15) e (18)
11
Questão 2:
a) Firma 1 apresenta retornos crescentes de escala. Logo, equilíbrio competitivo não existe.
b) Fronteira de produção:
y1 = L21 =⇒ L1 =
√
y1
y2 = L2
L1z}|{√
y1 +
L2z}|{
y2 = LA + LB
=⇒ y2 = LA + LB −
√
y1
Taxa marginal de transformação:
TMT = −∂y2
∂y1
=
1
2
y
− 1
2
1
∂TMT
∂y1
= −1
4
y
− 3
2
1 < 0 =⇒ função de transformação convexa
Eficiência de Pareto:
• Condição de factibilidade:
L1z}|{
y21 +
L2z}|{
y22 = LA + LB
y1 = x
1
A + x
1
B
y2 = x2A + x
2
B
• Condições marginais de eficiência de Pareto: eq. (14) =⇒
TMgSAz }| {
α
1− α
x2A
x1A
=
TMgSBz }| {
β
1− β
x2B
x1B
=
TMTz }| {
1
2
y
− 1
2
1
12
Questão 3:
Se as duas firmas possuem rendimentos decrescentes de escala, os preços e a alocação de equilíbrio de-
pendem de todos os parâmetros do modelos. No entanto, quando pelo menos uma firma tem rendimento
constante de escala, dois fatos podem ser observados:
1) O preço relativo de uma firma com rendimento constante de escala depende apenas da tecnologia
de produção
2) Em equilíbrio, o lucro de uma firma com rendimento constante de escala é nulo. Logo, a partic-
ipação dos indivíduos no lucro desta firma não influencia nem os preços nem a alocação de equilíbrio
competitivo.
Questão 4: É exatamente o modelo desenvolvido nas notas de aula 17, 18 e 19. Confira!
Questão 5: Economia de Robinson Crusoe
(a) Trata-se de uma economia com rendimentos constante de escala na produção de pesca e cocos.
Sejam LP e LC as horas gastas na pesca e na coleta de cocos respectivamente. Então, a quantidade de
peixe e coco são dadas por
P = LP (35)
C = 2LC (36)
Dado que trabalha no máximo 8 horas diárias, então
LP + LC = P +
C
2
≤ 8
Logo, o conjunto das possibilidades de produção são todos os vetores (P,C) tais que
P +
C
2
≤ 8
enquanto a equação da fronteira de produção é dada por
P +
C
2
= 8
A taxa marginal de transformação de peixe em coco é 1
2
(b) O problema de Robinson é
max PC
sujeito à restrição
P +
C
2
= 8 (37)
Observe que a equação (37) pode ser vista como uma restrição orçamentária com renda 8 e preços da
pesca e do coco iguais a 1 e 1
2
respectivamente. Isto faz todo sentido. Afinal de contas, a taxa marginal
de transformação de peixe em coco é 1
2
, ou seja, a economia precisa sacrificar meia unidade de peixe
13
para produzir uma unidade adicional de coco. Logo, o preço relativo (taxa de troca) do coco em termos
do peixe é 1
2
. Como a utilidade é Cobb-Douglas, segue que
P = 0, 5
µ
8
1
¶
= 4
C = 0, 5
µ
8
1/2
¶
= 8
Observe que esta alocação é Pareto-eficiente, uma vez que é impossível aumentar a utilidade de Robson
através de uma outra alocação factível
c,d) Sejam LP e LC as horas gastas na pesca e na coleta de cocos. O lucro da firma, em função de
LP e LC , é dado por
Π (LP , LC) = LP + pc2LC − wLP − wLC
onde pc e w são os preços relativos (em relação ao peixe) do coco e da hora trabalhada (salário-hora). O
peixe é o numerário, de forma que seu preço é 1. Derivando o lucro com respeito a LP e LC, segue que
∂Π (LP , LC)
∂LP
= 1− w
∂Π (LP , LC)
∂LC
= 2pc − w
Se w<1, o lucro marginal da firma na produção de peixe é sempre positivo e assim a firma deseja
ofertar uma quantidade infinita de peixe (demandando uma quantidade infinita de trabalho para pro-
dução de peixe). Por outro lado, se w>1, o lucro marginal da firma na produção de peixe é sempre
negativo e a firma deseja ofertar uma quantidade nula de peixe (demandando uma quantidade nula de
trabalho para produção de peixe). Desta forma, a firma deseja ofertar uma quantidade positiva e finita
de peixe quando w = 1.
O mesmo raciocínio vale para o item "d". Se 2pc−w > 0, o lucro marginal da firma na produção de
coco é sempre positivo e assim a firma deseja ofertar uma quantidade infinita de coco (demandando uma
quantidade infinita de trabalho para produção de coco). Por outro lado, 2pc − w < 0, o lucro marginal
da firma na produção de coco é sempre negativo e a firma deseja ofertar uma quantidade nula de coco
(demandando uma quantidade nula de trabalho para produção de coco). Desta forma, a firma deseja
ofertar uma quantidade positiva e finita de coco quando 2pc − w = 0 , ou seja, quando pc = w2 =
1
2
.
e) Como consumidor, Robson resolve o seguinte problema:
max PC
sujeito à restrição
P + pcC = 8w (38)
onde pc e w são os preços relativos (em relação ao peixe) do coco e da hora trabalhada. Observe que
Robson é dotado de 8 horas de trabalho, que ele oferta para a firma ao preço w por hora trabalhada.
Como a utilidade é Cobb-Douglas, segue que as demanda walrasianas por peixe e coco são dadas por
P = 0, 5 (8w)
C = 0, 5
µ
8w
pc
¶
14
Como gerente da firma, Robson comporta-se como nos itens (c) e(d) acima. Consequentemente, no
equilíbrio competitivo, os preços relativos são detarminados unicamente pelas tecnologias das firma e
são dados por
w = 1
pc =
1
2
Substituindo estes resultados nas demandaa walrasianaa de Robson, segue que, em equilíbrio,
P = 4
C = 8
Segue de (35) e (36) que as demandas da firma por trabalho para produção de pesca e coco são dadas
por
LP = 4
LC = 4
Observe que a produção de pesca e coco quando Robson se comporta "descentralizamente" é a mesma
que quando ele se comporta-se como no item (b). Logo, ela é Pareto-eficiente.
15