Lista Micro (eq. Walrasiano) - Ex. 2

Prévia do material em texto

Teoria Microeconômica II
Quarta lista de exercícios
Esta lista de exercícios deve ser entregue, impreterivelmente, até as 18:00h
da quarta-feira, dia 11 de outubro, para Bianca no departamento de economia.
Eficiência de Pareto
Suponha que há dois consumidores, A e B e dois bens x e y
Parte a)
Suponha que o consumidor A tenha
uA(x, y) = log x+ log y
E o consumidor B tenha:
uB(x, y) =
√
x+
√
y
As dotações agregadas dos bens x e y são ex = 10 e ey = 10. Desenhe na
caixa de Edgeworth (com a melhor precisão que você conseguir) o conjunto das
alocações eficientes do ponto de vista de Pareto. Derive este conjunto analiti-
camente.
Parte b)
Acontece que a caracterização analítica só funciona porque uA e uB são estri-
tamente côncavas. Considere agora:
uA(x, y) = x+ 3y e uB(x, y) = 3x+ y
Estas funções não são estritamente côncavas. As dotações agregadas dos
bens x e y são ainda ex = 10 e ey = 10. Desenhe
na caixa de Edgeworth as curvas de indiferença. Deveria ser fácil porque
elas são lineares. Como se parece o conjunto de Pareto agora?
Parte c)
Suponha agora que as funções utilidade não são nem côncavas:
uA(x, y) = exp(x) + 2y e uB(x, y) = x2 + y2
e que as dotações agregadas são as mesmas. O que você pode dizer sobre o
conjunto de Pareto?
1
Parte d)
Suponha agora que os agentes têm as mesmas preferências:
uA(x, y) = uB(x, y) =
√
x+
√
y
Suponha que as dotações agregadas são tais ex > ey > 0. Use uma carac-
terizaçãoanalítica da eficiência de Pareto para mostrar que, para toda alocação
eficiente do ponto de vista de Pareto (xA, yA, xB, yB), temos necessariamente
que xA ≥ yA e xB ≥ yB . Dê um intuição
Parte e)
Repita a parte d) para
uA(x, y) = uB(x, y) = v(x) + v(y)
onde v(.) pode ser qualquer função estritamente côncava, crescente e difer-
enciável.
Equilíbrio Walrasiano I
Suponha que dois agentes, Roberto e Tomás, tenham as seguintes preferências:
uR(x, y) = 3 log(x) + 2 log(y)
uT (x, y) = log(x) + 3y
Suponha que eR = (1, 6) e eT = (5, 2).
Parte a)
Derive as funções demanda líquida para cada agente. Dica: note que Tomás
tem preferências quase-lineares, o que, infelizmente, complica um pouco a vida.
Parte b)
Qual é a função demanda líquida agregada líquida para cada bem?
Parte c)
Ache o o preço e as alocações no equilíbrioWalrasiano.
Parte d)
Verifique que a alocação de equilíbrio é eficiente do ponto de vista de Pareto.
2
Equilíbrio Walrasiano II
Ache o equilíbrioWalrasiano para cada uma das funções utilidades e das dotações
iniciais abaixo? Dica: muitas vezes é mais inteligente achá-lo na caixa de Edge-
worth, e não achando demandas usando condições de 1a ordem.
Substitutos perfeitos
uR(x, y) = x+ y eR = (3, 2)
uT (x, y) = 2x+ y eT = (0, 2)
Complementos perfeitos
uR(x, y) = min(2x, y) eR = (2, 1)
uT (x, y) = min(x, 3y) eT = (1, 2)
Gostos realmente diferentes
uR(x, y) = x+ y eR = (2, 2)
uT (x, y) = min(x, y) eT = (1, 2)
Dois grandes economistas: Pareto e Walras
Suponha que Roberto e Tomás tenham as seguintes preferências:
uR(x, y) = 2 log(x) + 3 log(y) e uT (x, y) = 7 log(x) + log(y)
E que as dotações agregadas são ex = 5 e ey = 12.
Parte a)
Ache uma alocação (xR, yR, xT , yT ).que seja eficiente do ponto de vista de
Pareto.
Parte b)
Suponha que as dotações iniciais são exatamente iguais à alocação que você
achou na parte a), ou seja, exR = xR, e
y
R = yR, e
x
T = xT , e e
y
T = yT . Ache o
equilíbrio Walrasiano partindo desta alocação.
3
Parte c)
Como que o equilíbrio am b) difere do alocação eficiente de a)?
Parte d)
Que nome se dá a este resultado?
Mais uma vez Pareto
Parte a)
Há 3 bens na economia: maçã (bem m), bananas (bem b), e pepino (bem p). A
dotação agregada de cada bem na economia é de 10 unidades. Há dois agentes,
1 e 2, com funções utilidade u1(a, b, c) = a+ b (o agente parece que não é fã de
pepino) e u2(a, b, c) = b+ c(o agente 2 parece que não é fã de maça). Descreva
o conjunto de Pareto. Dica: use a definição; não tente derivar analiticamente.
Parte b)
Suponha agora que a economia é exatamente como antes, mas que há um terceiro
agente (3) que não tem predileção por bananas (u3(a, b, c) = a+ c). Descreva o
conjunto de Pareto.desta nova economia.
Parte c)
Como a sua resposta para a parte b) mudaria se o agente 3 tivesse utilidade
u3(a, b, c) = 2a+ 2c?
4