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1 Eficiência de Pareto 1. a) Matematicamente, sabemos que alocações eficientes do ponto de vista de Pareto são caracterizadas por pontos nos quais MRSA = MRSB. MRSA = ∂uA ∂xA ∂uA ∂yA = 1 x 1 y = yAxA ; MRSB = ∂uB ∂xB ∂uB ∂yB = 1 2x −1 2 1 2y −1 2 = q yB xB A curva de contrato, portanto, satisfaz yAxA = q yB xB . A dotação é (x, y) = (10, 10). Como sabe-se que yB = 10 − yA e xB = 10 − xA, podemos substituir e chegar em yAxA = q 10−yA 10−xA =⇒ y2A x2A = 10−yA10−xA =⇒ y 2 A(10 − xA) = x2A(10 − yA), que é satisfeito se yA = xA xA (10−xA)2 = yA (10−yA)2 100 10 0 x y uA = xA + 3yA , uB = 3xB + yB b) No gráfico à direita temos uA = xA + 3yA e uB = 3xB + yB. Você deveria ser capaz de ver que o conjunto de Pareto (curva de contrato) é o lado esquerdo do quadrado mais a parte de cima do quadrado. c) A concavidade das curvas de indiferença para ambos os agentes faz com que o conjunto de Pareto seja os quatro lados do quadrado. d) MRSA = q yA xA ; MRSB = q yB xB ; =⇒ Conjunto de Pareto é definido por yAxA = ey−yA ex−xA =⇒ yA = eyxA ex . Por simetria yB = eyxB ex . Para ex > ey fica claro que xA ≥ yA e xB ≥ yB e) uA = uB = v(x) + v(y) é separável em x e y. Portanto, o conjunto de Pareto é o conjunto dos pontos definidos por v 0(xA) v0(yA) = v 0(xB) v0(yB) .Usando as dotações, podemos escrevê-lo como v 0(xA) v0(yA) = v 0(ex−xA) v0(ey−yA) . Queremos agora mostrar que xA ≥ yA. Vamos fazê-lo por contradição. Como v(x) é côncava, sabemos que v0(x) é uma função estritamente decrescente, i.e., quando x é maior v0(x) é menor. Suponha que xA < yA. Se ex > ey podemos ter que ex − xa > ey − yA. v0(x) estritamente decrescente implica que v0(ex−xA) v0(ey−yA) < 1. Mas xA < yA implica que v0(xA) v0(yA) > 1. Isto viola a condição que define o conjunto de Pareto. Contradição. Portanto é que preciso que xA ≥ yA seja verdadeiro. 1 2 Equilíbrio Walrasiano I a) O Roberto tem preferências Cobb-Douglas: xR (px, py)−eRx = 3 5 (px + 6py) px −1 e yR (px, py)−eRy = 2 5 (px + 6py) py −6 Já o Tomás tem preferências quase-lineares, o que abre a possibilidade de que haja uma solução de canto, ou seja, que ele consuma 0 de algum bem (neste caso o bem linear. Vamos resolver seu problema de maximização. max x,y 3y + log (x) s.a. xpx + ypy ≤ 5px + 2py Note que a utilidade marginal x = 0 é infinita e decrescente monotona- mente decresecente a partir disto. Isto implica que o indivíduo sempre consome algo do bem x. Na realidade, ele começa consumindo este bem e há a possibilidade de que consuma somente este bem (ou seja, há a pos- sibilidade de que consuma 0 de y, que tem utilidade marginal constante e igual a 3). Quando isto ocorre? Quando, ao gastar todo o dinheiro em x, Tomás não alcance um ponto no qual a utilidade marginal de x (d log(x)dx = 1 x) não chegue a 3 (a utilidade marginal de y). Deste modo, ele consumirá 0 de y se, e somente se, sua renda for insuficiente para chegar ao ponto no qual d log(x)dx = 1 x = 3. Ou seja, se: 1 5px+2py px > 3→ 15 + 6py px < 0 de modo que é impossível cair em um canto. Neste caso, a solução é interior, e a regra da taxa marginal de substituição = preço relativo vale. Ou seja, as demandas líquidas do Tomás são xT (px, py)−eTx = py 3px −5 e yT (px, py)−eTy = 5px + 2py − py3px px py −2 = 5px py −1 3 Note que a solução está determinada por x, e a quantidade consumida de y é encontrada calculando quanto sobrou de dinheiro dividido pelo preço de y. b) A demanda líquida agregada é: xT (px, py)−eTx+xR (px, py)−eRx = py 3px −5+3 5 (px + 6py) px −1 = 59py 15px − 27 5 yT (px, py)−eTy +yR (px, py)−eRy = 5px py − 1 3 + 2 5 (px + 6py) py −6 = 27px 5py − 59 15 2 c) Usando o condição de equilíbrio do mercado x, temos que o preço relativo de equilíbrio é pxpy = 59 81 . A estes preços a alocação final é: xT = 81 177 , yT = 430 81 , xR = 327 59 , yR = 218 81 Confira que estas quantidades são de equilíbrio. d) TMgSRxy|equilíbrio = ∂uR ∂x ∂uR ∂y = 3 x 2 y = 32 218 81 327 59 = 5981 TMgSTxy|equilíbrio = ∂uT ∂x ∂uT ∂y = 1 x 3 = 1 3× 81177 = 5981 Como as soluções são interiores, TMgSRxy = TMgS T xyTMgS R xy = px py é necessário e suficiente para otimaliidade de Pareto. 3 Equilíbrio Walrasiano II a) Demanda de R: xR (px, py) = ⎧ ⎨ ⎩ 0, se px > py [0, 5] , se px = py 3 + 2py px , . se px < py yR (px, py) = ⎧ ⎨ ⎩ 2 + 3pxpy , se px > py [0, 5] , se px = py 0, . se px < py Demanda de T : xT (px, py) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 0, se px > 2pyh 0, 2pypx i , se px = 2py 2py px , . se px < 2py yT (px, py) = ⎧ ⎨ ⎩ 2, se px > 2py [0, 2] , se px = 2py 0, . se px < 2py Vamos ver quais podem ser os preços de equilíbrio • Suponha que px < py. é equilíbrio. Neste caso T and R só consomem x. A demanda agregada é 3 + 2pypx + 2py px = 3 + 5py px > 8. Como a oferta agregada é 5, o preço de equilíbrion é pypx = 2 5 , ou seja, é uma contradição, e logo px < py não pode ocorrer em equilíbrio. 3 • Suponha que px = py é equilíbrio. T consome somente x, ou seja, 2. R é indiferente. Para que seja equilíbrio é preciso que R consuma 3 unidades de x e 2 unidades de y., o que pode ocorrer. • Suponha que 2py > px > py é equilíbrio. R consome somente y, ou seja, 2+. 3pxpy > 5. • Suponha que px = 2py é equilíbrio. R consome somente y, ou seja, 2+.3pxpy = 6 > 5, ou seja isto não pode ser equilíbrio. • Pelo mesmo argumento, 2px não pode ser maior que py. Portanto o preço relativa de equilíbrio é 1. b) Demanda de R. Note que, com complementos perfeitos, o consumidor compra um pacote. No caso de R o pacote consiste de uma unidade de x e duas unidades de y. xR (px, py) = ½ 2px + py px + 2py yR (px, py) = ½ 2 (2px + py) px + 2py Demanda de T :(mudam as proporções e a renda total) xT (px, py) = ½ 3 (px + 2py) 3px + py yT (px, py) = ½ px + 2py 3px + py Normalize px = 1. Demandas agregadas: x (py, 1) = 2 + py 1 + 2py + 3 + 6py 3 + py e y (py, 1) = 4 + 2py 1 + 2py + 1 + 2py 3 + py Em equilíbrio, oferta agregada= demanda agregada x (py, 1) = 3←→ 2 + py 1 + 2py + 3 + 6py 3 + py = 3 Agora é só resolver para py e achar as alocações de equilíbrio c) O truque aqui é perceber que em equilíbrio, o consumidor R tem que estar indiferente em consumir x e y. Caso contrário, ele se especializaria em um dos dois. Se isto ocorresse. Como x e y são complementos perfeitos para T , ele necessariamente consome proporções fixas. Chute que px = py em equilíbrio. Neste caso, T consome 32 de cada bem. R consome 3 2 de x e 5 2 de y. E isto é equilíbrio dado que demanda agregada é igual a oferta agregada e os dois estão maximizando utilidade dado px = py. 4 4 Dois Grandes Economistas: Pareto e Walras a) Este é um problema super bem comportado. Portando, otimalidade de Pareto se dá quando as taxas marginais de substtituição se igualam. Isto nos dá uma equação: 2 xR 3 xT = 7 xT 1 yT ←→ 2y R 3xR = 7yT xT As duas restrições agregadas nos dão as outras duas equações, de modo que terminamos com 3 equações e quatro incógnitas (que é o máximo que vamos conseguir, dado que o conjunto de Pareto é uma curva, não um ponto). xR + xT = 5 e yR + yT = 12 Substituindo as retrições na condição da igualdade das txs marginais de substitução, temos: 2yR ¡ 5− xR ¢ = 21xR ¡ 12− yR ¢ Resolvendo para yR, conseguimos caracterizar o conjunto de Pareto: yR = 252xR 10 + 19xR Escolha, por exemplo, xR = 2, yR = 212 , x T = 3, yT = 32 b) As demandas são: xR (px, py) = 2 ¡ 2px + 212 py ¢ 5px e yR (px, py) = 3 ¡ 2px + 212 py ¢ 5py xT (px, py) = 7 ¡ 3px + 32py ¢ 8px e yT (px, py) = ¡ 3px + 32py ¢ 8py A demanda agregada de x, portanto, é: x (px, py) = 2 ¡ 2px + 212 py ¢ 5px + 7 ¡ 3px + 32py ¢ 8px Normalizando px = 1 e resolvendo para py, temos py = 27 . Substituindo nas demandas, temos xR = 2, yR = 212 , x T = 3, yT = 32 c) É igual!! d) Segundo teorema do bem-estar 5 5 Mais uma vez Pareto a) Evidentemente, 1 fica com todo bem a, 2 com todo bem c. E qualquer divisão de b é um ponto eficiente do ponto de vista de Pareto. b) Agora, qualquer divisãode b entre 1 e 2, qualquer divisão de a entre 1 e 3 e qualquer divisão de c entre 2 e 3 é eficiente. c) Evidentemente que não mudaria, pois esta utilidade descreve exatamente as mesmas preferências do que u3 (a, b, c) = a+ c. 6