P1 2010.1

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Departamento de Economia - Puc-Rio
Teoria Microeconômica II-Eco1214
P1 - 2010/1
QUESTÃO 1 (2,5): Escolha sob incerteza: João é um produtor de trigo que possui 10 hectares
de terra no interior paulista. Seu lucro anual por hectare é $100,00 num ano chuvoso e $20,00 num ano
seco. A probabilidlidade de um ano chuvoso e de um ano seco é igual a 50%. João recebe como herança
mais 10 hectares de terra e precisa decidir o que fazer com elas. João tem três opções: 1) expandir sua
plantação de trigo; 2) plantar videiras para produzir vinho; 3) alugar a terra pelo valor anual de R$60,00
por hectare. A plantação de videira rende um lucro anual por hectare de $100,00 num ano seco e $20,00
num ano chuvoso. Vamos supor, por enquanto, que as duas últimas opções valem apenas para a terra
que João recebeu como herança, dado que ele está comprometido com a produção de trigo nas terras
que já possuía antes da herança. A utilidade de Bernoulli de João é dada por
u(w) = lnw.
onde w é a renda de João. João contrata um agrônomo para ajudá-lo na sua decisão. O agrônomo
conclui que as três opções são igualmente boas, uma vez que o valor esperado (esperança) da renda total
de João é a mesma com qualquer uma delas. Responda as seguintes perguntas:
a) Vc concorda com a opinião do agrônomo? Se concorda, justifique. Caso contrário, diga qual é a
melhor opção para João, esclarecendo exatamente onde está o erro na conclusão do agrônomo.
Resposta:
opção 1: plantar trigo
E [w] = 1
2
2000 +
1
2
400 = 1200
E [lnw] = 1
2
ln 2000 +
1
2
ln 400 =
1
2
7, 60 + 1
2
6, 00 = 6, 80
opção 2: aluguel
E [w] = 1
2
1600 +
1
2
800 = 1200
E [lnw] = 1
2
ln 1600 +
1
2
ln 800 =
1
2
7, 38 + 1
2
6, 68 = 7, 03
opção 3: plantar videira
E [w] = 1
2
1200 +
1
2
1200 = 1200
E [lnw] = 1
2
ln 1200 +
1
2
ln 1200 = 7, 09
Plantar videira na terra nova é a melhor opção para João. Consultor está errado. Porque? Embora a
esperança da renda total seja a mesma nas três opções, a variância da renda total é menor na opção
3. Isto ocorre porque o lucro da plantação de videira na terra nova covaria negativamente com o lucro
da plantação de trigo na terra antiga. Em outras palavras, plantar videira na terra nova funciona como
hedge para a plantação de trigo na terra antiga. Como João é avesso ao risco, ele prefere a opção 3.
1
b) Suponha agora que João pode escolher o que fazer com seus 20 hectares de terra entre duas opções:
1) plantar trigo; 2) alugar para outro fazendeiro. Determine o equivalente-certeza da opção de plantar
trigo nos 20 hectares e o valor mínimo do aluguel anual por hectare que faz João preferir a opção de
aluguel. Justifique sua resposta.
Resposta:
opção 1: plantar trigo nos 20 hectares
E [lnw] = 1
2
ln 2000 +
1
2
ln 400 =
1
2
7, 60 + 1
2
6, 00 = 6, 80
Equivalente-certeza desta opção:
lnEC = 6, 80
EC = exp (6, 80) = 897, 8
Pela definição de equivalente-certeza, opção 2 de aluguel é melhor que opção de plantar trigo quando
valor total do aluguel (pelos 20 hectares) é maior que 897, 8. Logo, o valor do aluguel por hectare precisa
ser maior que 897,8
20
= 44, 9
c) João tem agora apenas uma opção para fazer com seus 20 hectares de terra: plantar trigo. Só que
agora um corretor oferece para João a possibilidade de contratar um seguro contra a seca. O prêmio de
seguro é R$0,50, ou seja, se João contrata um seguro de valor K, então ele recebe K-0,5K da seguradora
num ano seco e paga 0,5K para a seguradora num ano chuvoso. Qual a quantidade ótima de seguro
contratada por João? Justifique.
Resposta:
Suponha que João contrata seguro de valor K. Então, João tem wg = 2000− 0, 5K quando chove e
wb = 400 +K − 0, 5K quando faz seca.
Objetivo de João: contratar K∗ que maxima utilidade esperada
E [lnw] = 1
2
ln


wgz }| {
2000− 0, 5K

+ 1
2
ln


wbz }| {
400 +K − 0, 5K


Condição marginal de primeira ordem:
1
2
−0, 5
2000− 0, 5K +
1
2
0, 5
400 +K − 0, 5K = 0
=⇒ 2000− 0, 5K = 400 +K − 0, 5K
=⇒ 2000 = 400 +K
=⇒ K = 1600
Justificativa: seguro atuarialmente justo (ou seja, prêmio=probabilidade de ocorrer estado da natureza
ruim) =⇒
wg = wb = 1200
Atenção: os seguintes resultados podem ser úteis:
ln 2000 = 7, 60; ln 1600 = 7, 38; ln 1200 = 7, 09;
ln 800 = 6, 68; ln 400 = 6, 00; exp (6, 80) = 897, 8
2
QUESTÃO 2 (2,5) Jogos: Considere a seguinte situação envolvendo a firma X e seu empregado:
- o trabalhador pode se esforçar ou não e, com isso, gerar mais ou menos receita para a firma. Se o
trabalhador se esforça a receita da firma é R1, caso contrário a receita da firma é R2 (R1 > R2).
- a firma pode vigiar o trabalhador ou não, porém se ela decide vigiar incorre em um custo c. Se o
trabalhador não estava se esforçando e a firma estava vigiando ela pune o trabalhador com uma multa
de valor m. A multa é incorporada à receita da firma.
- o trabalhador ganha um salário w independentemente de seu esforço. Se o trabalhador se esforça
ele incorre em um custo e1, caso contrário ele incorre em um custo e2 (e1 > e2).
a) Caracterize a situação acima como um jogo simultâneo entre a firma X e seu empregado, ou seja,
obtenha a matriz de ganhos que o representa, indicando as possíveis estratégias de cada jogador e os
ganhos associados a cada combinação de estratégias.
Resposta:
V NV
E w − e1;R1 − c− w w − e1;R1 − w
NE w − e2 −m;R2 − c+m− w w − e2;R2 − w
b) Quais as estratégias que jamais farão parte de um equilíbrio de Nash em estratégia puras, inde-
pendente dos parâmetros do jogo? Estas estratégias são sempre estritamente dominadas, independente
dos parâmetros do jogo? Justifique.
Resposta: Estratégia E jamais fará parte de um Equilíbrio de Nash. Pq? (E,V) não é equilíbrio
pq firma se desvia para NV. Também (E,NV) não é equilíbrio pq trabalhador se desvia para NE.
A estratégia E somente será estritamente dominada pela estratégia NE quando
e1 > e2 +m
As combinaçãos de estratégias (NE,V) e (NE,NV) serão ou não equilíbrio dependendo dos parâmet-
ros.
c) Que condições garantem que um equilíbrio de Nash seja o trabalhador não se esforçar e a firma X
vigiar? Se possível, sob que condição adicional este equilíbrio de Nash possui uma estratégia fracamente
dominada? Justifique.
Resposta: NE e V formam um Equilíbrio de Nash quando
e1 ≥ e2 +m
c ≤ m
Além disso, V é fracamente dominada quando c = m.
d) Suponha que c > m. Obtenha todos os equilíbrio de Nash em estratégias puras e mistas. Justi-
fique.
Resposta: Neste caso, NE e NV formam um Equilíbrio de Nash em estratégias puras. Além
disso, NV domina estritamente V. Logo, qualquer Equilíbrio de Nash precia atribuir probabilidade 1
a estratégia NV. Mas neste caso, é ótimo para o trabalhador escolher NE. Logo, NE e NV é o único
Equilíbrio de Nash em estratégias puras e mistas.
3
QUESTÃO 3 (2,0): Miscelânia de Organização Industrial
1) Suponha que um monopolista discriminador de preços de 3a ordem enfrente dois mercados (1 e 2,
completamente separados) com as seguintes curvas de demanda:
P1 (Q1) = 18−Q1
P2 (Q2) = 30− 5Q2
Sua função custo é C (Q1 +Q2) = (Q1+Q2)
2
2
. Quanto ele produz e cobra no mercado 1? E no mercado
2? Explique em uma linha a intuição deste resultado.
Resposta: Monopolista escolhe Q∗1 e Q∗2 que maximiza função lucro
π (Q1, Q2) = (18−Q1)Q1 + (30− 5Q2)Q2 −
(Q1 +Q2)2
2
Condições marginais:
∂π (Q∗1, Q∗2)
∂Q1
= −3Q∗1 + 18−Q∗2 = 0
∂π (Q∗1, Q∗2)
∂Q2
= −Q∗1 + 30− 11Q∗2 = 0
Resolvendo o sistema acima:
Q∗1 =
21
4
; Q∗2 =
9
4
2) Suponha agora que não seja mais possível separar os dois mercados acima, qual o preço e a
quantidade de equilíbrio de monopólio.
Resposta: Demandas dos sub-mercados:
P1 (Q1) = 18−Q1 =⇒ Q1 = 18− P1
P2 (Q2) = 30− 5Q2 =⇒ Q2 = 6−
P2
5
Não é mais possível separar mercadosimplica P1 = P2 = P. Somando as demandas acima:
Q = Q1 +Q2 = 24−
6P
5
Invertendo a demanda acima:
P = 20− 5
6
Q
Monopolista produz Q∗ que maximiza µ
20− 5
6
Q
¶
Q− Q
2
2
Condição marginal:
−5
6
Q∗ + 20− 5
6
Q∗ −Q∗ = 0
Q∗ = 7, 5
4
3) Suponha um monopolista com a demanda inversa
p = 100− q
com custo igual a 10 por unidade de produção. Calcule a perda de peso morto do monopólio. Represente
graficamente a diferença entre os excedentes do consumidor e do produtor no equilíbrio competitivo e
no equilíbrio do monopólio.
Resposta: Eq na concorrência perfeita
p = 100− q = 10
=⇒ q = 90
Eq no monopólio: firma maximiza
π = (100− q) q − 10q
Condição marginal:
−q + 100− q − 10 = 0
=⇒ q = 45
=⇒ p = 55
Perda de peso morto:
PPM =
Z 90
45
[(100− q)− 10] dq = 45 ∗ 45
2
Excedentes expressos graficamente
5
QUESTÃO 4 (3,0): Oligopólio As siderúrgicas Steel ABC e Steel XYZ formam um duopólio
homogêneo operando no mercado doméstico de um país. A demanda (inversa) deste mercado é dada
pela função
p = 9− q
tal que
q = q1 + q2
onde q1 e q2 são as produções das firmas Steel ABC e Steel XYZ respectivamente. Responda as perguntas
abaixo:
a) Suponha que as firmas decidem preço simultaneamente, onde p1 e p2 são os preços cobrados pelas
firmas Steel ABC e Steel XYZ respectivamente. Suponha também que os custos totais das firmas sejam
dados pelas funções
C1 (q1) = c1q1
C2 (q2) = c2q2
Seja pM o preço que a firma 2 cobraria caso fosse uma firma monopolista e suponha que c1 > pM > c2.
Qual o preço e as quantidades produzidas no equilíbrio de Nash?
Resposta:
p2 = pM
q2 = 9− pM
c1 > pM =⇒ firma 1 fora do mercado
b) Suponha agora que os custos totais das firmas sejam dados pelas funções
C1 (q1) = q1
C2 (q2) = q2
No caso em que as firmas decidem produção simultaneamente, calcule o preço e a produção de cada
firma no equilíbrio de Nash.
Resposta: firma 1 escolhe q1 que maximiza
π1 (q1, q2) = (9− q1 − q2) q1 − q1
Condição marginal:
−q1 + 9− q1 − q2 − 1 = 0 =⇒ q1 =
8− q2
2
firma 2 escolhe q2 que maximiza
π2 (q1, q2) = (9− q1 − q2) q2 − q2
e por simetria com firma 1, podemos dizer que
q2 =
8− q1
2
6
Por simetria das firma, sabe-se que no EN temos q1 = q2. Então basta resolver a equação
q2 =
8− q2
2
=⇒ q2 =
8
3
Equilíbro de Nash:
q1 = q2 =
8
3
c) Suponha as funções de custo do ítem anterior (b). No caso em que as firmas decidem produção
sequencialmente, calcule o preço e a produção de cada firma no equilíbrio de Nash. Suponha que a firma
2 é a líder e a firma 1 é a seguidora.
Resposta: Função de reação da seguidora (calculada no ítem anterior):
q2 =
8− q1
2
Firma 1 líder produz q1 que maximiza
π1 (q1, q2) = (9− q1 − q2) q1 − q1
sujeito à
q2 =
8− q1
2
Substituindo restrição na função lucro, firma 1 maximizaµ
9− q1 −
8− q1
2
¶
q1 − q1
Cond. marginal: derivando com respeito a q1 e igualando a zero: q1 = 4. Substituindo este valor na
função de reação da firma 2, q2 = 2
d) Suponha novamente as funções de custo do ítem (b). Suponha também que as firmas formam
um cartel cujo objetivo é maximizar o lucro conjunto das firmas. Calcule o preço e a produção de cada
firma na solução ótima do cartel.
Resposta: Custos marginais constantes e iguais =⇒ monopolista indiferente quanto à distribuição
da produção entre as firmas. Por exemplo, seria ótimo produzir tudo numa única firma. Logo, produção
total ótimas maximiza
π = (9− q) q − q
Condição marginal:
−q + 9− q − 1 = 0 =⇒ q = 4
A distribuição desta produção entre as firmas é indeterminada, ou seja, qualquer q1, q2 tais que q1+q2 = 4
7
e) Em relação ao ítem anterior (d), as firmas têm incentivo para desrespeitar o cartel? Discuta
a relação entre os resultados dos itens (b) e (d) à luz do "dilema dos prisioneiros". Suponha que a
produção total do cartel é repartida igualmente entre as firmas.
Resposta: Seja qd1 produção ótima da firma 1 dado que firma 2 respeita cartel (produção total
repartida igualmente). Então, qd1 maximiza
π1 (q1, 2) = (9− q1 − 2) q1 − q1
Cond. Marg.:
−qq1 + 9− q
q
1 − 2− 1 = 0 =⇒ q
q
1 = 3 > 2
Solução de cartel é ótima de Pareto, mas não é Equilíbrio de Nash. Ao contrário, solução de Cournot é
Equilíbrio de Nash, mas não é ótimo de Pareto.
f) Suponha o modelo de Cournot repetido infinitamente. Qual a taxa de juros máxima que sustenta
a solução de cartel como um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos? Suponha que a produção total
do cartel é repartida igualmente entre as firmas.
Resposta: ver nota de aula 13. Taxa de juros máxima que sustenta cartel:
γ = π
M
1 − πN1
πD1 − πM1
onde πM1 é lucro no cartel (item d), πN1 é lucro no Cournot (item b) e πD1 é lucro no desvio do cartel
(item e)
8