gabarito_lista3_exercicio3_2006.2

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Lista 3 / Exercício 3
Parte 1:
• Solução de cartel em período de demanda alta:
— cartel produz Q∗H que resolve o problema
max
QH
(100−QH)QH
=⇒ Q∗H = 50
— preço cobrado pelo cartel: P ∗H = 100−Q∗H = 50
— lucro total do cartel: ΠMH = P ∗HQ∗H = 2500
— lucro de cada firma: Π
M
H
N =
2500
N
• Solução de cartel em período de demanda baixa:
— cartel produz Q∗L que resolve o problema
max
QL
(50−QL)QL
=⇒ Q∗L = 25
— preço cobrado pelo cartel: P ∗L = 50−Q∗L = 25
— lucro total do cartel: ΠML = P ∗LQ∗L = 625
— lucro de cada firma: Π
M
L
N =
625
N
• Equilíbrio de Bertrand (tanto com demanda alta como demanda baixa):
— preço de equilíbrio das firmas: PN = CMg = 0
— lucro total das firmas: ΠN = 0
• Valor presente (descontado) do fluxo de lucro de uma firma se ela respeita o cartel num
período de demanda alta:
— Se uma firma segue a estratégia de respeitar o cartel, não será punida por suas rivais e
assim receberá sua parte no lucro do cartel no período corrente e nos períodos futuros.
— Como a demanda é alta no período corrente, cada firma recebe um lucro de Π
M
H
N neste
período
1
— Como as demandas dos períodos futuros não são conhecidas no período corrente e
também não são correlacionadas com a demanda corrente, cada firma espera receber
um lucro de Π
M
H
N com probabilidade π e um lucro de
ΠML
N com probabilidade 1−π. Logo,
o lucro esperado de cada firma para um período futuro qualquer é igual a
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
— Logo, o valor presente (descontado) do fluxo de lucro de uma firma se ela respeita o
cartel num período de demanda alta é dado por:
ΠMH
N +
∞X
i=1
βi
·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸
=
ΠMH
N +
·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸ ∞X
i=1
βi
=
ΠMH
N +
·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸
β
1− β
• Valor presente do fluxo de lucro de uma firma se ela não respeita o cartel no período de
demanda alta:
— Suponha agora que, neste período de demanda alta, uma firma viola o cartel cobrando
um preço levemente abaixo das rivais. Como o bem é homogêneo, basta cobrar um preço
um "pouquinho" abaixo das rivais para se apropriar de toda a demanda de mercado.
Isto implica que seu lucro, no período corrente em que violou o cartel, é praticamente
igual ao lucro total do cartel, dado por ΠMH
— Nos períodos futuros, a firma que violou o cartel será punida pelas rivais, que cobrarão
o preço de equilíbrio de Bertrand para sempre. Assim, a firma que violou o cartel espera
receber um lucro de zero em cada período futuro se violar o cartel no período corrente.
— Logo, o valor presente do fluxo de lucro de uma firma se ela não respeita o cartel no
período de demanda alta é dado por ΠMH
• Condição de sustentabilidade do cartel no período de demanda alta:
— Com base nos resultado acima, o cartel é sustentado em período de demanda alta quando
ΠMH
N +
·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸
β
1− β > Π
M
H =⇒·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸
β
1− β >
µ
N − 1
N
¶
ΠMH
2
— Substituindo os valores calculados acima para ΠMH e Π
M
L na expressáo acima, segue que
o cartel será respeitado quando·
π2500N + (1− π)
625
N
¸
β
1− β >
µ
N − 1
N
¶
2500 =⇒·
π2500N + (1− π)
625
N
¸
N
2500 (N − 1) >
1− β
β =
1
β − 1 =⇒·
π2500N + (1− π)
625
N
¸
N
2500 (N − 1) + 1 >
1
β =⇒·
π
N − 1 +
(1− π) 0, 25
N − 1
¸
+ 1 > 1β =⇒
π + (1− π) 0, 25 + (N − 1)
N − 1 >
1
β =⇒
N − 0, 75 (1− π)
N − 1 >
1
β =⇒
β > N − 1N − 0, 75 (1− π)
Parte 2: Repetindo exatamanete o mesmo raciocínio para o período de demanda baixa, temos
que:
• Valor presente (descontado) do fluxo de lucro de uma firma se ela respeita o cartel num
período de demanda baixa é dado por:
ΠML
N +
∞X
i=1
βi
·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸
=
ΠML
N +
·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸ ∞X
i=1
βi
=
ΠML
N +
·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸
β
1− β
• Valor presente do fluxo de lucro de uma firma ela não respeita o cartel no período de demanda
baixa é dado por ΠML
• Logo, o cartel é sustentado em período de demanda baixa quando
ΠML
N +
·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸
β
1− β > Π
M
L =⇒·
πΠ
M
H
N + (1− π)
ΠML
N
¸
β
1− β >
µ
N − 1
N
¶
ΠML
3
• Substituindo os valores calculados acima para ΠMH e ΠML na expressáo acima, segue que o
cartel será respeitado quando·
π2500N + (1− π)
625
N
¸
β
1− β >
µ
N − 1
N
¶
625
=⇒
·
π2500N + (1− π)
625
N
¸
N
625 (N − 1) >
1− β
β =
1
β − 1
=⇒
·
π2500N + (1− π)
625
N
¸
N
625 (N − 1) + 1 >
1
β
=⇒
·
4π
N − 1 +
1− π
N − 1
¸
+ 1 > 1β
=⇒ 4π + (1− π) + (N − 1)N − 1 >
1
β
=⇒ N + 3πN − 1 >
1
β
=⇒ β > N − 1N + 3π
Parte 3: Para qualquer valor de π entre 0 e 1, temos que
LHz }| {
N − 1
N − 0, 75 (1− π) >
LLz }| {
N − 1
N + 3π
onde LH e LL são os valores mínimos de β para que o cartel seja sustentado em períodos de
demanda alta e baixa respectivamente. Logo, podemos fazer as seguintes afirmações:
• o cartel será sustentável em períodos de demanda alta e baixa quando
β > N − 1N − 0, 75 (1− π)
• o cartel será sustentável apenas em períodos de demanda baixa quando
N − 1
N − 0, 75 (1− π) > β >
N − 1
N + 3π
• o cartel nunca será sustentado quando
N − 1
N + 3π > β
• Para o cartel ser sustentável, é preciso que o ganho corrente com o desvio do cartel seja
inferior ao valor da punição imposta pelas rivais, o qual é igual à redução do valor presente
esperado dos lucros futuros causada pela reação das rivais diante do desvio. Como a demanda
futura não está correlacionada com a demanda corrente, o valor desta punição é a mesma
nos períodos de demanda alta e baixa. Consequentemente, é mais difícil sustentar o cartel
em período de demanda alta por conta do lucro corrente mais elevado deste período.
4
Parte 4: Como observamos nos itens acima, o incentivo para a violação do cartel em períodos
de demanda alta é mais elevado que em períodos de demanda baixa, de forma que é mais provável
que o cartel seja rompido e as firmas entrem numa guerra de preços nos períodos de demanda
alta. Uma guerra de preços resulta num corte geral de preços pelas firmas do oligopólio, cada qual
tentando preservar com isto sua fatia no mercado. Logo, preços mais baixos, resultantes de uma
guerra de preços, devem ser observados em períodos de demanda alta. O modelo desta questão
sugere assim preços contra-cíclicos, ou seja, que variam inversamente com o nível de atividade
(demanda) da economia.
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