Massa variavel colisoes

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Física I para Engenharia
1º Semestre de 2014
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 7 Massa variável - colisões
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: valdirg@if.usp.br 
Massa Continuamente Variável
A taxa de variação da massa, multiplicada pela velocidade da massa
variante, tem dimensão de Força e recebe o nome de Empuxo.
dt
pd
Fres


definição de Newton 
para a sua segunda lei.
v
dt
dm
dt
vd
m
dt
vmd
Fres



)(
am
dt
vd
mv
dt
dm
Fres




Empuxo
Massa Continuamente Variável
Para gás sendo expelido 
dM é negativo 
Considere um corpo de massa M se movendo com velocidade v e sendo
bombardeado por um fluxo contínuo de matéria, com velocidade u.
dividindo por dt
0)(  vdMduvdMvMd

][]))([( vMudMvdvdMM


vMudMvdMdvdMvMdvM


0)(  vd
dt
dM
uv
dt
dM
dt
vd
M


0
0)(  uv
dt
dM
dt
vd
M


0 if PPP

Conservação do momento, temos:
][]))([( vMudMvdvdMM


if PP


dt
dM
R 
relvRaM


0)(  relvR
dt
vd
M


uvvrel


0)(  uv
dt
dM
dt
vd
M


Velocidade relativa entre o
foguete e os gases
Taxa de consumo da massa
Equação do foguete
Empuxo do motor do foguete
RtMM f  0
velocidade
foguete
velocidade
gases
Problema do foguete
Considere um foguete com a massa (M) variando
continuamente, à medida que ele queima o
combustível. Suponha que o foguete esteja subindo
na vertical com velocidade v e que a taxa de queima
de combustível seja R
aMvR frel


RtMM f  0
Considere que os gases escapem com velocidade vrel
em relação ao foguete. Considere como sistema o
conjunto foguete + combustível restante.
dt
dM
R 
dt
dv
MRv frel 
f
rel
M
Rv
dt
dv

Integrando, temos:
f
rel
M
Rv
dt
dv

 

t
rel dt
RtM
Rv
vv
0 0
0 )(
 


t
rel
t
rel dt
tRM
vdt
RtM
Rv
0 00 0
/
1
tb
b
b
tb
dt
tb
t





lnln
1
0








RtM
M
vvv rel
0
0
0 ln









f
rel
M
M
vvv 00 ln
  dtM
Rv
dt
dt
dv
f
rel
 

t
rel
v
v
dt
RtM
Rv
dv
0 0
)(
0
gt
M
M
vvv
f
rel 







 00 ln
Se considerarmos a Força gravitacional
Colisões
Um carro compacto e um caminhão grande colidem de frente e
permanecem unidos. Qual deles sofre a maior mudança de momentum?
1. O carro.
2. O caminhão.
3. A mudança é a mesma para ambos.
Conservação da Energia Mecânica
Definimos a energia mecânica de um sistema como sendo a
soma da energia cinética com a energia potencial do sistema.
sistsistmec UKE 
A energia mecânica de um sistema de partículas é conservada
(Emec = constante) se o trabalho total realizado por todas as
forças externas e por todas as forças internas não-conservativas
for nulo.
ncmecext WEW 
0
0


nc
ext
W
W
0
0


UK
Emecpara
Conservação da Quantidade de Movimento
Derivando-se esta expressão, temos:
vmp


Quantidade de Movimento Linear (ou Momento Linear) de uma partícula.
unidades: kg.m/s
am
dt
vd
m
dt
vmd
dt
pd 


)(
dt
pd
Fres


Na ausência de Forças Externas o 
Momento Linear de um sistema se conserva.
 
i
sis
ext
dt
Pd
F 0


 cm
i
iisis vMvmP

constante
Lei da conservação da Quantidade de Movimento 
Como:
dtFI
t
t

2
1

Podemos definir um vetor chamado Impulso de uma 
força, dado pela a integral no tempo desta força.
unidades: N.s
dt
pd
Fres


12
2
1
2
1
2
1
pppddt
dt
pd
dtFI
t
t
t
t
t
t
resres


 
Teorema do Impulso-Quantidade de Movimento para uma partícula.
sis
t
t
extext PdtFI resres

 
2
1
Teorema do Impulso-Quantidade de Movimento para um sistema.
Teorema Impulso-Quantidade de Movimento
Colisões Unidimensionais
Considere um sistema com dois corpos que se movem sobre uma linha 
reta. Como as forças de interação entre os corpos são internas, a 
Quantidade de Movimento do sistema se conserva.
Para determinar v1f e v2f, necessitamos de mais informações e outra equação.
ffii vmvmvmvm 22112211 
Seja um corpo de massa m1 com velocidade v1i, que se
aproxima de outro com massa m2 e velocidade v2i, com v2i < v1i.
A conservação da Quantidade de Movimento nos fornece:
1° caso: Colisões perfeitamente inelásticas
cmff vvv  21
Neste caso, as velocidades 
depois da colisão serão iguais.
iicm vmvmvmm 221121 )( 
21
2211
mm
vmvm
v iicm



ffii vmvmvmvm 22112211 
Usando a conservação do momento durante a colisão, temos:
Um projétil é atirado em um bloco de madeira dependurado. O bloco com
o projétil , oscila subindo. Considerando a altura máxima atingida,
determine a velocidade do projétil.
Usando a conservação do momento durante a colisão, temos:
Usando a conservação da Energia 
Mecânica após a colisão, temos:
Portanto:
fi vmmvm )( 2111 
ghmmvmm f )()(
2
1
21
2
21 
fi v
m
mm
v
1
21
1
)( 

ghv f 2
gh
m
mm
v i 2
)(
1
21
1


Pêndulo Balístico
Como no problema anterior, porém supondo que o projétil
atravessou a madeira, perdendo metade de sua velocidade inicial.
Determine a altura h, alcançada pelo bloco.
Usando a conservação do momento 
durante a colisão, temos:
Usando a conservação da Energia 
Mecânica após a colisão, temos:
Portanto:
2
1
12211
i
i
v
mvmvm 
ghmvm 2
2
22
2
1

g
v
h
2
2
2
2
1
2
1
2
iv
m
m
v 
gm
vm
h i
2
2
2
1
2
1
8

Pêndulo Balístico
Colisões Elásticas
Em colisões elásticas: Quantidade de Movimento e Energia Cinética do 
sistema se conservam.
Seja um corpo de massa m1 com velocidade v1i, que se aproxima
de outro com massa m2 e velocidade v2i, com v2i < v1i.
Colisões Elásticas
A conservação da Quantidade de Movimento nos fornece:
Da conservação da Energia Cinética, temos:
ffii vmvmvmvm 22112211 
2
22
2
11
2
22
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
ffii vmvmvmvm 
ffii vvvv 1221 
Em colisões elásticas, a rapidez de
separação é igual à rapidez de aproximação.
Um bloco de 4,0 kg, move-se para a direita a 6,0 m/s e sofre uma colisão 
elástica frontal com um bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 
m/s. Encontre as velocidades finais dos blocos.
A conservação da Quantidade de 
Movimento nos fornece:
E, temos também:
ffii vmvmvmvm 22112211 
ffii vvvv 1221 
smvv ff /152 21 
ff vv 21 )0,2()0,4()0,3)(0,2()0,6)(0,4( 
ff vv 12)0,3()0,6( 
smvv ff /312 
smv f /0,41 
smv f /0,72 
Exemplo
Colisões Elásticas
Em colisões elásticas, além da Quantidade de Movimento 
a Energia Cinética do sistema também se conserva.
Na colisão entre dois corpos, estando 1 em repouso, a 
conservação da Quantidade de Movimento nos fornece:
E, temos também:
ffi vmvmvm 221111 
ffi vvv 121 
O que acontece se m1= m2, m1>>m2 e m1<<m2 ?
if v
mm
mm
v 1
21
21
1



if v
mm
m
v 1
21
1
2
2


ffii vmvmvmvm 22112211 
ffii vvvv 1221 
Colisões Elásticas
if v
mm
mm
v 1
21
21
1



if v
mm
m
v 1
21
1
2
2


m1= m2,(balanço de Newton)
m1>>m2 elefante atropelando uma mosca
m1<<m2 colisão com uma parede
Colisões Bi-dimensionais inelásticas
Deve-se trabalhar vetorialmente
A conservação da Quantidade de Movimento se aplica 
a cada uma das componentes (x, y e z).
onde:
fii vmmvmvm

)( 212211 
cmf vv


Colisões bi-dimensionais elásticas
Deve-se trabalhar vetorialmente e
a conservação da Quantidade de
Movimento se aplica a cada uma das
componentes (x, y e z).
ffii vmvmvmvm 22112211


Para as componentes temos:
2221112211 coscos  ffixix vmvmvmvm 
2221112211  senvmsenvmvmvm ffiyiy 
Colisões Bi-dimensionais
4 incógnitas e 3 equações
Em geral, fica faltando uma equação para se resolver o sistema.
Alguma condição específica deve ser fornecida.
e temos também a conservação da Energia Cinética
2
22
2
11
2
22
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
ffii vmvmvmvm 
2221112211 coscos  ffixix vmvmvmvm 
2221112211  senvmsenvmvmvm ffiyiy 
da conservação do momento
Colisões bi-dimensionais elásticas
Um corpo de massa m1, com velocidade inicial
colide com um segundo corpo de massa m2=2m1
em repouso. Depois da colisão o primeiro corpo
se move com uma velocidade final em um certo
ângulo em relação a orientação de sua
velocidade inicial. Precisamos determinar o
velocidade e o ângulo do segundo corpo.
antes
depois
ffii vmvmvmvm 22112211


22211111 coscos  ffi vmvmvm 
2221110  senvmsenvm ff 
e
Para a componente x temos:
Para a componente y temos:
Devemos usar a conservação do momento vetorialmente
e temos também a conservação da Energia Cinética
2
22
2
11
2
11
2
1
2
1
2
1
ffi vmvmvm 
12 2mm 
Colisões bi-dimensionais elásticas