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Faculdade do Maranhão - Facam Curso Introdutório a Física I Eng.Civil CAP.1) Cinemática 1.1) Movimento em uma dimensão: Divide-se em: · Movimento Retilíneo Uniforme (MRU): - Velocidade constante (v = cte); - Força resultante nula (Fr = 0); - Aceleração nula (a = 0). Fórmulas: ▪ Deslocamento: ∆x = x2 - x1 ▪ Velocidade Média: Vm = ∆x/ ∆t ▪ Deslocamento em função do tempo: x = xο + v.t Ex.1: Um carro percorre uma estrada retilínea. Os primeiros 40km são cobertos com velocidade média de 80km/h e o deslocamento total é feito em 1,2h. Qual a velocidade média do carro nos 40km finais do deslocamento? · Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV): - Velocidade varia no decurso do tempo; - Força resultante não nula (Fr ≠ 0); - Aceleração constante (a = cte ≠ 0). Fórmulas: ▪ Aceleração: a = ∆v / ∆t ▪ Velocidade em função do tempo: v = vο + a.t ▪ Deslocamento em função do tempo: x = xο + vοt + a.t²/2 ▪ Equação Torricelli: v² = vο² + 2a ∆x Gráficos do MUV: Obs.: 1- O vértice da parábola do gráfico s x t corresponde ao instante em que o móvel muda de sentido (velocidade escalar nula no gráfico v x t). 2- Antes do vértice da parábola o movimento é retardado e, após o vértice, é acelerado nos dois casos considerados (α > 0 e α < 0). Portanto, quando um móvel em MUV muda de sentido, antes da mudança ele tem movimento retardado e logo depois acelerado. s = s0 + v0.t + ½ α.t² v = v0 + α.t α = a = constante Ex.2: Um ônibus acelera a 1,5m/s², a partir do repouso, durante 12s. Depois, trafega a velocidade constante durante 25s e, finalmente, alentece até parar com uma desaceleração de -1,5m/s². (a) Qual a distância coberta pelo ônibus? (b) Qual a velocidade média do ônibus? 1.2) Movimento em duas dimensões: · Movimento dos projeteis: - A velocidade na direção x é constante (vx = cte). - Não há aceleração na direção horizontal (ax = 0); - A velocidade na direção y (vy) é variável, pois há a aceleração da gravidade (ay = g). Trajetória de um projétil e vetores velocidade. Fórmulas: ▪ v0x = v0.cosθ0 ▪ x(t) = xo + v0x .t ▪ voy = v0.senθ0 ▪ y(t) = y0 + v0 y.t – ½ g.t² ▪ vy = v0y – gt Ex.3: Uma gaivota, voando a 16m/s, sob um ângulo de 40° abaixo do horizonte, arremessa uma casca de mexilhão contra um banhista que está na praia, à distância vertical de 8,5m. O mexilhão atinge o alvo em cheio. (a) Qual a posição do banhista em relação à gaivota no instante de arremesso? (b) Qual o tempo de vôo do mexilhão? (c) Qual a velocidade do projétil no instante do impacto com o banhista? CAP.2) Leis de Newton · Primeira Lei: Um corpo em repouso permanece em repouso a menos que sobre ele atue uma força externa. Um corpo em movimento desloca-se com velocidade constante a menos que sobre ele atue uma força externa. · Segunda Lei: A aceleração de um corpo tem a direção da força externa resultante que atue sobre ele. É proporcional ao módulo da força externa resultante e inversamente proporcional à massa do corpo: a = Fr/m ou Fr = m.a A força externa resultante é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo: Fr = ∑F · Terceira Lei: As forças sempre atuam aos pares de forças iguais, porém opostas. Se um corpo A exerce uma força sobre outro B, este exerce sobre A uma força que tem módulo igual ao da primeira, porém em sentido oposto. Ex.4: Um astronauta, em um planeta desconhecido, deixa cair uma bola de chumbo, de 76,5g de massa, do topo da nave até o solo, 18m abaixo, cronometrando em 2,5s o tempo de queda. O astronauta tem a massa de 68,5kg. Qual o seu peso no planeta desconhecido? Ex.5: Uma carga de 1000kg está sendo movimentada por um guindaste, presa a um cabo. Achar a tensão no cabo quando (a) a aceleração da carga, para cima, é 2m/s², (b) a carga está sendo elevada a velocidade constante, e (c) a carga está sendo suspensa com uma velocidade q diminui de 2m/s a cada segundo. · Lei de Hooke: Se uma mola sofrer pequena compressão, ou pequeno esticamento, ∆x, a força que ela exerce é dada por: Fx = -k. ∆x Ex.6: Um bloco de massa m = 2kg está apoiado em uma superfície horizontal lisa, encostado a uma mola de constante elástica k = 32N/m. A mola está comprimida de x = 10cm e mantida nessa situação por meio de um barbante amarrado a ela. Queimando-se o barbante, a mola se distende, empurrando o bloco. Qual é a velocidade com que o bloco abandona a mola? CAP.3) Aplicações das Leis de Newton 3.1) Atrito: Força de atrito é a força que aparece entre duas superfícies de contato quando há deslizamento (ou tentativa de deslizamento) relativo entre elas. É provocada pela interação das superfícies e depende das irregularidades das superfícies de contato e da reação normal de uma superfície contra outra. -Atrito estático: f s = μs.Fn Pode variar de zero até certo valor máximo f s máx (f s≤ f s máx). -Atrito Cinético: f k = μk. Fn O gráfico mostra como varia a força de atrito exercida pelo solo sobre uma coisa nele pousada, em função da força aplicada. A força de atrito equilibra a força aplicada até f s máx quando a caixa principia a escorregar. Ex.7: Um bloco de 5kg é mantido em repouso contra uma parede vertical por uma força horizontal de 100 N. (a) Qual a força de atrito da parede sobre o bloco? (b) Qual a força horizontal mínima que impede o bloco de cair? O coeficiente de atrito entre a parede e o bloco é μs = 0,4 . 3.2) Movimento circular: · Aceleração centrípeta: Uma partícula que se move com velocidade de módulo constante v sobre um círculo de raio r tem aceleração de módulo v²/r dirigida radialmente para o centro do círculo. Esta aceleração é denominada centrípeta, é responsável pela mudança de direção e sentido do vetor velocidade, mas não pela variação do módulo do mesmo. Fórmulas: ▪ ac = v²/r ▪ v = 2πr/T · Força centrípeta: Como com qualquer aceleração, é preciso haver uma resultante de forças na direção da aceleração para produzi-la. No caso da aceleração centrípeta, esta força é a força centrípeta. Ex.8: Uma pedra de 0,75 kg, presa a um fio gira num círculo horizontal de 35 cm de raio, como um pêndulo cônico. O ângulo do fio com a vertical e de 30°. (a) Calcular a velocidade v da pedra. (b) Calcular a tensão no fio. CAP.4) Trabalho e Energia 4.1)Trabalho: Uma força realiza trabalho quando age sobre um corpo, deslocando-o, e há uma componente da força na direção do deslocamento. No caso de uma força constante, unidimensional, o trabalho é produto do módulo da componente da força paralela ao deslocamento pelo módulo do deslocamento. W = F.cosθ.Δx Onde W é o trabalho, F é a força aplicada, θ é o ângulo entre a força e o eixo dos x e Δx é o deslocamento. A unidade de W é Joule (J) ou N.m.(1J = 1N.m) O trabalho total é igual ao trabalho da força resultante. Wtotal = Fr x . Δx ou Wtotal = Σ W Ex.9: Uma força constante de 80N atua sobre um corpo de massa 5,0kg que se move na direção da força com a velocidade de 20m/s. Três segundos depois o corpo está com a velocidade de 68m/s. Determinar o trabalho efetuado pela força. 4.2) Teorema da Energia Cinética: · Energia cinética: K= ½ .m.v² · Teorema da Energia Cinética: O trabalho total efetuado sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula: Wtotal = ΔK = ½ m.vf² - ½ mvi² Ex.10: Um rapaz e uma moça apostam uma corrida. Inicialmente os dois tem a mesma energia cinética. Quando o rapaz aumenta de 25% a sua respectiva velocidade, ambos têm a mesma velocidade. Se a massa do rapaz for de 85kg. Qual será a da moça? 4.3) Potência: A potência P proporcionada por uma força é a taxa temporal com que a força efetua trabalho. P = W = F.v.cosθ Δt Ex.11: Um corpo de 4,0kg está inicialmente em repouso em x = 0 e é acelerado, a potência constante de 8,0 W. Calcular a velocidade do corpo no instante t = 6,0s. 4.4) Energia Potencial: · Forças Conservativas: Uma força é conservativa se for nulo o trabalho que ela efetua sobre uma partícula que descreve uma trajetória fechada e retorna à posição inicial. O trabalho efetuado por uma força conservativa sobre uma partícula não depende da trajetória da partícula ao passar de um ponto para outro. · Energia Potencial Gravitacional: U = m.g.y · Energia Potencial Elástica: U = ½ k.x² 4.5) Conservação da Energia Mecânica: A soma da energia cinética K com a energia potencial U de um sistema é a energia mecânica total: Emec = K+U Quando somente forças conservativas internas efetuam trabalho no sistema, a energia mecânica Emec é constante. Ex.12: Uma pedra é arremessada para cima sob um ângulo de 53° com a horizontal. A altura máxima da pedra na respectiva trajetória é de 24m. Qual a velocidade inicial da pedra? Ex.13: Uma pessoa de 60kg, com os pés presos a um elástico forte, pula de uma ponte que está a L = 310m de altura em relação à superfície de um rio. O comprimento do elástico é d = 50m e ele se comporta como mola elástica com a constante de força k. No primeiro pulo, a pessoa quase toca na superfície da água e depois de muitas subidas e descidas fica em repouso na altura h acima dessa superfície. (a) Calcular a altura h. (b) Calcular a velocidade máxima da pessoa. CAP.5) Sistemas de Partículas e Conservação do Momento 5.1) Centro de massa: É o ponto do sistema que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele e todas as forças externas ao sistema atuassem exclusivamente sobre ele. Mx = m1.x1 + m2. x 2 Ex.14: Três pequenas esferas A(2,2), B(1,1) e C(3,0), com as massas de 3kg, 1kg e 1kg estão montados nos vértices de um triângulo de hastes rígidas, muito leves. Que coordenadas tem o centro de massa? 5.2) Conservação do Momento: O momento linear p de uma partícula é o produto da massa pela velocidade da partícula. É uma grandeza vetorial que pode ser imaginada como medida do esforço necessário para levar a partícula ao repouso. p= m.v Se a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema for nula o momento do sistema permanece constante. Ex.15: Um bloco de madeira e uma pequena arma estão firmemente presos nas extremidades opostas de uma plataforma (massa desprezível) que pode deslizar sem atrito sobre uma mesa de ar. A massa da arma é ma , a do bloco, mb , e a do projétil disparado, m p . A arma está apontada para o bloco e o projétil, ao ser disparado, tem a velocidade v p em relação a um observador em repouso na mesa. Vamos admitir que o desvio do projétil em relação à horizontal seja desprezível e que a sua penetração do alvo seja pequena.(a) Qual a velocidade da plataforma deslizante imediatamente depois de a arma ser disparada? (b) Qual a velocidade da plataforma imediatamente depois de o projétil ficar em repouso no alvo? (c) Qual o deslocamento do bloco de madeira, em relação à sua posição inicial, no instante que o projétil o atinge? 5.2) Colisões: Numa colisão, os dois corpos se aproximam e interagem fortemente durante um intervalo de tempo muito curto. Quando a energia cinética total dos dois corpos se conserva, tem-se a colisão elástica; quando não se conserva, tem-se a colisão inelástica. Caso extremo é o da colisão perfeitamente inelástica onde toda energia cinética relativo ao centro de massa se converte em energia térmica ou interna do sistema e os dois corpos formam um só depois da colisão. · Impulso: O impulso I de uma força é definido por: I = F. Δt O impulso da força resultante é igual à variação total do momento durante o intervalo de tempo: Ir = pf – pi = Δp Ex.16: Quando uma bola de futebol, de 0,40kg, é rebatida de primeira, a sua velocidade pode variar de -15m/s para +15m/s. (a) Qual o módulo do impulso proporcionado à bola? (b) Se o contato entre a bola e a chuteira do jogador durar 8ms, qual a força média exercida sobre a bola? · Colisões perfeitamente inelásticas em uma dimensão: As duas partículas formam uma só partícula depois da colisão. (m1 + m2).v = m1 v1 i + m2 v2 i · Colisões elásticas em uma dimensão: As energias cinéticas inicial e final são iguais. A velocidade de recessão é igual a velocidade de aproximação. v2 f – v1 f = -(v2 i – v1 i) · Colisões perfeitamente inelásticas em três dimensões: O vetor momento inicial total é igual à soma vetorial dos vetores momento iniciais de cada corpo envolvido na colisão. Os corpos, depois da colisão, constituem um só corpo, e uma vez que o momento final é igual ao inicial, movem-se na direção do momento total resultante com a velocidade v dada por: v = P/(m1 + m2) Ex.17: Um corpo de 3 kg, a 4 m/s, colide elasticamente com outro corpo, estacionário, de 2 kg. Com a conservação do momento e com a igualdade entre a velocidade relativa de recessão e a de aproximação, calcular a velocidade de cada corpo depois da colisão. Verificar a resposta pelo cálculo das energias cinéticas inicial e final de cada corpo. CAP.6) Rotação 6.1) Velocidade angular e aceleração angular: Imaginemos um disco que gira em tordo de um eixo fixo, perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro. Os pontos próximos à periferia do disco giram com velocidade maior do que os pontos próximos ao centro. Quando o disco gira o ângulo Δθ, uma partícula típica do disco descreve um arco circular de comprimento: Δs = r.Δθ O deslocamento angular Δθ é positivo no sentido anti-horário. A distância Δs varia de partícula para partícula, porém o ângulo Δθ, o deslocamento angular, é o mesmo para todas as partículas do disco. ▪ Velocidade angular: ω = Δθ/Δt ▪ Aceleração angular: α = (ω – ω0)/ Δt ▪ Velocidade linear: v = r.ω ▪ Aceleração tangencial: at = r.α ▪ Aceleração centrípeta: ac = r.ω² ▪ Equações da rotação com aceleração angular constante: ω = ω0 + α.t θ = θ0 + ω0.t + ½ α.t² ω² = ω0² + 2α(θ - θ0) Ex.18: Calcular a velocidade linear de um ponto de um disco compacto (a) a r = 2,4cm quando o disco gira a 500rev/min e (b) a r = 6cm quando o disco gira 200rev/min. 6.2) Torque, Momento de Inércia, Segunda Lei de Newton para Rotação: · Torque: O módulo do torque exercido por uma força sobre um corpo é definido como produto entre a força e o braço da alavanca. τ = F.l = F.r senφ · Momento de Inércia: É a medida da resistência que um corpo oferece às modificações de seu movimento de rotação. Depende da distribuição da massa no interior do corpo em relação ao eixo de rotação. I = m.r² · Segunda Lei de Newton: τ = I. α Ex.19: Uma roda montada num eixo que oferece atrito está inicialmente em repouso. Um torque externo constante de 50N.m é aplicado à roda, durante 20s, atribuindo-lhe velocidade angular de 600 rev/min. O torque externo, depois desse tempo, é removido e roda pára em 120s. Calcular (a) o momento de inércia da roda e (b) o torque do atrito, admitindo que seja constante. 6.3) Energia Cinética de Rotação, Potência e Momento Angular: · Energia Cinética de Rotação: Krot = ½ I.ω² · Potência: W = r.Δθ P = τ. ω · Momento Angular: L = I. ω Ex.20: O tambor de um guincho tem a massa M e o raio R. Um cabo enrolado no tambor suspende uma carga de massa m. O comprimento do cabo é L e a densidade linear (massa por unidade de comprimento) é λ, e então a massa total é mc = L. λ. A carga, num certo instante, principia a cair, desenrolando o cabo. Qual a velocidade de queda depois de ter caído a altura d? 6.4) Corpos que rolam: · Rolamento sem escorregamento: Quando uma bola rola com uma velocidade v sem escorregar, a velocidade do topo é 2v e a do fundo da bola, em contato com a superfície de rolamento, é momentaneamente nula. Se houver força de atrito sobre a superfície da bola, o atrito será estático e não haverádissipação de energia. A energia cinética de um sistema pode ser expressa pela soma da energia cinética do movimento do centro de massa com a energia relativa ao centro de massa. Logo a energia cinética de um corpo rolante é: K = ½ Icm .ω² + ½ M.vcm² Ex.20: Uma bola de boliche, com um raio de 11cm e massa m = 7,2kg, rola sem escorregar por uma pista horizontal, a 2 m/s. Depois, sobre uma rampa, também sem escorregar, até a altura h e fica momentaneamente em repouso. Calcular h. 10
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