APOSTILA-FUNÇÕES-I SEMESTRE

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URCA – UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI
UDI – UNIDADE DESCENTRALIZADA DE IGUATU
CURSO – CIÊNCIAS ECONÔMICAS
DISCIPLINA – ECONOMIA MATEMÁTICA I
PROFESSOR – JOSÉ VALDEANO
FUNÇÕES
1. CONCEITO
Seja R o conjunto dos números reais, e D um subconjunto de R. Definir em D uma função f a valores reais consiste em explicitar uma correspondência que a cada ponto x D associa um número real y R.
 	O número y R correspondente ao ponto x D recebe o nome de valor da função no ponto x e será indicado por f(x), lê-se f de x.
	O conjunto D denomina-se domínio ou campo de definição da função f.
2. IGUALDADE DE FUNÇÕES
	Sejam f e g duas funções definidas, respectivamente em D1 e D2. Dizemos que f e g são iguais quando D1 = D2 e f(x) = g(x), para todo x D1.
	As funções f definidas em [0, 10] e tal que f(x) = x² e g definida em [0, 5] e tal que g(x) = x² são distintas, pois D1 D2.
3. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
	Sejam f e g funções definidas num mesmo conjunto D.
3.1 SOMA
	A função s definida em D tal que s(x) = f(x) + g(x) recebe o nome de função soma de f e g.
Exemplo Se f(x) = x² e g(x) = 2x + 1, com x R, então a função s, definida em R e tal que s(x) = x² + 2x + 1, é a soma de f e g.
3.2 PRODUTO
	A função p definida em D e tal que p(x) = f(x).g(x) é a função produto de f e g.
Exemplo Sejam as funções f(x) = x e g(x) = 3x² + 4, com x R. A função p(x) definida em R e tal que p(x) = x(3x² + 4) = 3x² + 4x é o produto de f e g.
3.3 QUOCIENTE
	Se g(x) 0, para todo x D, a função q definida em D e tal que q(x) = f(x),
 g(x)
é o quociente de f e g.
Exemplo Sejam f(x) = x² + 1 e g9x) = x², com x R. A função q definida em R e tal que q(x) = x² +1 é o quociente de f e g.
 x²
4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
	Seja f uma função definida em um subconjunto D da reta. O conjunto dos pontos (x, y) do plano em que x D e y = f(x) constitui a representação gráfica da função f.
	Uma representação gráfica aproximada da função f pode ser obtida marcando-se no plano XOY um conjunto de pontos (x, y) em que x D e y = f(x). Para isto construímos uma tabela (x, y) atribuindo a x valores convenientes.
Exemplo Representar graficamente as seguintes funções:
a) y = 2x, x [0,3]			b) y = 2 + x, x [0, 2]
c) y = 4 x, x [0, 4]			d) y = x², x R
e) y = 1/x, x > 0			f) y = x , x 0
5. FUNÇÕES USUAIS
5.1 FUNÇÃO CONSTANTE: y = k
	Seja k um número real qualquer. A função f definida em R e dada por y = k recebe o nome de função constante. 
	O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo OX.
Exemplo y = 4 y
 4
 x
5.2 FUNÇÃO LINEAR: y = ax
	A função f definida em R e dada por y = ax, onde a é uma constante qualquer, recebe o nome de função linear. O seu gráfico é uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.
Exemplo y = 2x
5.3 FUNÇÃO LINEAR AFIM: y = ax + b
	A função f definida em R e dada por y = ax + b em que a e b são constantes quaisquer, denomina-se função linear afim. Se gráfico é uma reta que passa pelo ponto (0, b).
Exemplo 1) y = x + 1				2) y = x + 1
6. APLICAÇÕES
6.1) A quantidade demandada de um bem é dada pela equação qd = 10 2p, onde qd representa a quantidade demandada e p o preço. Representar graficamente qd como função de p.
	Temos p > 0 e qd > 0,pois p e qd representam, respectivamente o preço e quantidade demandada do bem. Como qd = 10 2p, devemos ter 10 2p > 0, isto é, p < 5. Portanto, qd é uma função linear afim de p, no intervalo 0 < p < 5.
 qd
 10
 0 5 p
6.2) Preço de Equilíbrio
	Sejam qd e qo, respectivamente, as quantidades demandada e ofertada de um bem, no mercado. Suponhamos que qd = b + ap e qo = c + dp. O preço p tal que qd = qo recebe o nome de preço de equilíbrio para o mercado, do referido bem. Assim, se qd = 10 2p e qo = 3 + 3p, a igualdade resulta em p = 2,6, que é o preço de equilíbrio, ou seja, o nível de demanda no qual a oferta e a demanda coincidem. A figura abaixo ilustra a situação.
 10 y qo = 3 + 3p
 qd = qo
 qd = 10 2p
 0 2,6 x
6.3) Receita Total
	Seja p o preço de venda por unidade de um bem e q a respectiva quantidade vendida a este preço. A receita total R auferida pela venda de q unidades ao preço p é dada por: Rt = pq.
	Se p é fixo, R é uma fubção linear de q. Por exemplo, se p = 2, a receita total obtida é dada por Rt = 2q. O gráfico ilustra a situação.
 Rt
 2
 0 1 q
6.4) Custo Total
	Seja a o custo unitário de produção de determinado bem. Seja b o custo fixo (Cf) associado à produção deste bem. O custo total (Ct) pla produção de q unidades do referido bem é dado, então, por Ct = aq + b, onde aq representa o custo variável (Cv). Por exemplo, se a = 2 e b = 4, o custo total pela produção de q unidades será dado por:
 C		custo total (Ct = Cv + Cf)
 custo variável (Cv)
 4 custo fixo (Cf)
 0 1 q
6.5) Ponto de Nivelamento (Break Even Point)
	Seja q a quantidade produzida para a qual areceita total (Rt) seja igual ao custo total (Ct). A referida quantidade recebe o nome de quantidade de nivelamento (break even point) da empresa. Por exemplo, se Rt = 2q e Ct = q/2 + 3, temos no ponto de nivelamento Rt = Ct, isto é, 2q = q/2 + 3, onde q = 2.
6.6) Lucro Total
	O lucro total (Lt) é dado pela diferença entre a receita total (Rt) e o custo total (Ct), isto é, Lt = Rt Ct.
7. FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Sejam a, b e c números reais quaisquer com a 0. A função f definida em R e dada por f(x) = ax² + bx + c recebe o nome de função quadrática.
Exemplos
a) f(x) = x² + 7x + 12				c) f(x) = x² + 9
b) f(x) = 2x² 4x				d) f(x) = 3x²
7.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
	O gráfico de uma quadrática é uma curva denominada parábola, com as bseguintes características:
a) se a > 0, a concavidade é voltada para cima;
b) se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.
7.2 PONTOS IMPORTANTES DO GRÁFICO DA PARÁBOLA
7.2.1 Cruzamento com o eixo OX
	No ponto em que a parábola de equação y = ax² + bx + c cruza o eixo OX devemos ter y = 0. Seja = b² 4ac o discriminante da equação ax² + bx + c = 0. Temos três casos a considerar:
i) > 0. Nesse caso, dizemos que a equação tem duas raízes reais e diferentes, simbolizadas por x1 e x2, sendo dadas por:
x1 = b + 			x2 = b 
 2a 2a
ii) = 0. Nesse caso, existe um único ponto x para o qual y = 0, isto é a função tem apenas uma raiz real, que é dada por: x1 = x2 = b
 2a
iii) < 0. Nesse caso, não existe x R tal que y = 0, ou saja, a função não possui raízes reais.
7.2.2 Cruzamento com o eixo OY
		Se x = 0, temos y = ax² + bx + c = c e, portanto, a parábola cruza o eixo OY no ponto de coordenadas (0, c).
7.2.3 Vértice da parábola
	O ponto (x, y) do gráfico da parábola, onde x = b e y = , recebe o nome de
 2a 4ª
vértice da parábola.
8. FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Seja a um número real positivo, a 1. A função dada por y = ax com x um número real, recebe o nome de função exponencial.de base a.
Observações:
i) A função dada por y = ax assume somentevalores positivos.
ii) Se a > 1, y = ax cresce com x e se a < 1, y = ax decresce quando x cresce.
iii) Se x = 0, y = a0 = 1.
8.1 EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Só para lembrar: Propriedades da Potenciaçâo
1) Produto de potências de mesma base:
am.an = am + n
2) Quociente de potências de mesma base:
am : an = am n
3) Potência de potência:
(am)n = am.n
4) Potência de um produto/quociente:
a) (a . b)m = am . bm			b) (a : b)m = am : bm
É toda equação onde a variável aparece no expoente. A resolução de uma equação exponencial se baseia em um dos três seguintes casos:
i) possibilidade de igualdade das bases
Exemplos
a) 2x = 1024			b) 
c) 24x + 1 . 8–x + 3 = 16 –1
ii) equações que necessitam de artifícios
Exemplos
i) 4x+1 9·2x + 2 = 0 
ii) 3x 1 + 3x + 1 = 90
iii) 25x + 625 = 130.5x
9. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	Seja a um número real positivo, a 1. Se x é um número real positivo, existe um único número real y tal que ay = x. O número y assim obtido recebe o nome de logaritmo de x na bas a, e escrevemos: y = logax. A função definida por y = logax, com x > 0, recebe o nome de função logarítmo de base a.
Observações
i) y = loga1 = 0, isto é, o gráfico da função intecepta o eixo OX no potno de abscissa x = 1.
ii) Se a > 1, então logax > 0 para x > 1 e logax < 0 para 0 < x < 1.
iii) Se a < 1, então logax < 0 para x > 1 e logax > 0 para 0 < x < 1.
	Em particular, se a = 10, a função dada por y = log10x é chamada função logaritmo decimal e será indicada simplesmente por y = log x.
	Se a = e ( 2,7) escrevemos y = ln x, para indicar a função logarítmo na base e, ou seja, para indicar a função logarítmo natural.