Medida de dispersão - Dados agrupados

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17/03/2015 
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Estatística 
Medidas de Dispersão – Dados Agrupados 
(Tabela Agrupada Simples ou Tabela Agrupada 
em Classes) 
Estatística Descritiva 
 As três principais características de 
um conjunto de dados são: 
 
◦ Um valor representativo do conjunto de 
dados: uma média (Medida de Tendência 
Central); 
◦ Uma medida de dispersão ou variação; 
◦ A natureza ou forma da distribuição dos 
dados: sino, uniforme, assimétrica ... 
(Tabelas de frequência e histograma). 
Medias de Variação 
 
 Determina a característica de variação 
de um conjunto de dados: 
 
◦ Amplitude; 
◦ Desvio médio ou desvio absoluto; 
◦ Variância; 
◦ Desvio padrão. 
 
Amplitude 
 
 Diferença entre o maior valor e o 
menor valor: 
◦ A = M – m, onde 
 M = maior valor; e 
 m = menor valor. 
Amplitude (Exemplo) 
 
 A amplitude para 
o exemplo ao 
lado é: 
 
◦ A = M – m 
◦ A = 1,89 – 1,59 
◦ A = 0,30 m 
Altura (m) Frequência Ponto Médio (xi) xi.fi 
1,59 |- 1,65 1 1,62 1,62 
1,65 |- 1,71 1 1,68 1,68 
1,71 |- 1,77 10 1,74 17,4 
1,77 |- 1,83 4 1,80 7,20 
1,83 |- 1,89 2 1,86 3,72 
Total 18 -x-x-x-x-x-x-x-x-x- 31,62 
Desvio Padrão 
 Desvio padrão: medida da variação dos 
valores em relação à média. 
 O desvio padrão de uma amostra é dado por: 
 
◦ 𝑠 =
 𝑥−𝑋 2 .𝑓
𝑛−1
, onde: 
 
 x: valores da variável X (ponto médio na tabela 
agrupada em classes); 
 𝑋 : média da variável X; 
 f: frequência absoluta; 
 n: número de observações (da amostra). 
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Desvio Padrão 
 
 O desvio padrão de uma população é 
dado por: 
 
◦ 𝜎 =
 𝑥−𝑋 2 .𝑓
𝑁
, onde: 
 
 x: valores da variável X (ponto médio na tabela 
agrupada em classes); 
 𝑋 : média da variável X; 
 f: frequência absoluta; 
 N: número de observações (da população). 
Desvio Padrão 
 
 
 Obs: A unidade do desvio padrão é a 
mesma da unidade dos valores 
originais ou conjunto de dados. 
Desvio Padrão (Fórmula 
Abreviada) 
 A fórmula abreviada para o desvio 
padrão de uma amostra é dado por: 
 
◦ 𝑠 =
𝑛. 𝑥 2.𝑓 − 𝑥 .𝑓 2
𝑛. 𝑛−1
, onde: 
 
 x: valores da variável X (ponto médio na tabela 
agrupada em classes); 
 f: frequência absoluta; 
 n: número de observações (da amostra). 
Desvio Padrão (Fórmula 
Abreviada) 
 Vantagens e desvantagens da fórmula 
abreviada para o desvio padrão de uma 
amostra é dado por: 
◦ É mais conveniente para com números extensos 
e com grandes conjuntos de valores; 
◦ Maior facilidade de uso com calculadoras e 
computadores (apenas três registros: n, 
somatório de x e somatório de x ao quadrado); 
◦ Elimina erros de arredondamento; 
◦ Não evidencia o conceito de desvio médio da 
fórmula tradicional. 
Variância 
 Variância é o desvio padrão ao 
quadrado: 
◦ 𝑠2 variância amostral; 
◦ 𝜎2 variância populacional. 
𝑠2 =
 𝑥 − 𝑋 2. 𝑓
𝑛 − 1
 𝜎2 =
 𝑥 − 𝑋 2. 𝑓
𝑁
 
Variância 
 
 
 Obs: A unidade da variância é a 
mesma da unidade dos valores 
originais ou conjunto de dados, só que 
elevada ao quadrado. 
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Desvio Padrão (Exemplo) 
Altura (m) Frequência Ponto Médio (xi) xi.fi [(xi-Xmed)^2].fi 
1,59 |- 1,65 1 1,62 1,62 0,018677778 
1,65 |- 1,71 1 1,68 1,68 0,005877778 
1,71 |- 1,77 10 1,74 17,4 0,002777778 
1,77 |- 1,83 4 1,80 7,20 0,007511111 
1,83 |- 1,89 2 1,86 3,72 0,021355556 
Total 18 -x-x-x-x-x-x-x-x-x- 31,62 0,0562 
Desvio Padrão (Exemplo) 
 
 𝑥 − 𝑋 2. 𝑓 = 0,0562 
 n = 18 
 
 Portanto, 
 
◦ 𝑠 =
0,0562
18−1
= 0,0574958… 
 
◦ s = 0,057 m 
Considerações finais 
 Arredondamento: 
◦ Tomar uma casa decimal a mais em relação às que 
constam dos dados originais; 
◦ Arredondar apenas o resultado final e não os 
resultados intermediários; 
◦ Se necessitarmos arredondar os resultados 
intermediários, acrescente pelo menos duas casas 
decimais a mais em relação às que constam dos 
dados originais. No entanto, o melhor é não utilizar 
esta última consideração final e fazer os cálculos 
com o máximo de dados disponíveis. 
Para que serve o desvio 
padrão? 
 Indica a dispersão dos dados, ou seja, 
como os dados estão espalhados em 
relação à média. 
 
 Assim, quanto mais dispersos (mais 
espalhados), maior o desvio padrão. 
 
 Da mesma forma, quanto menos 
dispersos (menos espalhados), menor 
o desvio padrão. 
Coeficiente de Variação 
 
 
 Funciona da mesma forma descrita 
para dados brutos / rol ou lista.