MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE

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Seção 4 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Objetivos de aprendizagem 
 Entender como as medidas de dispersão influenciam na forma da Distribuição 
dos dados; 
 Calcular e interpretar as medidas de dispersão em geral. 
 Utilizar variância, desvio padrão e coeficiente de variação para comparação de 
séries de dados; 
 Entender as propriedades resultantes da relação entre média e desvio padrão. 
Subseções de estudo 
4.1 Amplitude total 
4.2 Desvio. 
4.2.1 Desvio em relação à média 
4.2.2 Desvio Médio Absoluto 
4.3 Variância 
4.4 Desvio Padrão 
4.5 Coeficiente de Variação 
4.6 Média e Desvio Padrão com Calculadora científica fx-82 MS 
Neste capítulo veremos que a estatística recorre às medidas de dispersão (ou de 
variabilidade) quando deseja qualificar os valores de uma variável, ressaltando a 
maior ou menor dispersão entre esses valores e a sua medida de posição, possibilitando 
assim que séries de dados sejam comparados com relação a sua homogeneidade. 
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Correspondem a medidas realizadas sobre a variação ou a dispersão dos dados em 
relação a medida de localização do centro da amostra. Servem para medir o grau de 
dispersão dos valores individuais em torno da média, ou ainda, para verificar o grau de 
representatividade da média. 
As medidas de dispersão que nos interessam são: 
- a Amplitude Total; 
- Desvio Médio 
- a Variância; 
- o Desvio-padrão; 
- Coeficiente de Variação. 
4.1 Amplitude total (AT) 
A Amplitude Amostral é uma medida que é definida como sendo a diferença entre 
os menores e os maiores valores da coleção de dados que dispomos. Devido a isso essa 
medida tem a desvantagem de ser muito sensível à existência, na coleção de dados, da 
presença de um número muito grande ou muito pequeno, ou seja, essa medida depende 
apenas de valores extremos no conjunto de dados, o que quer dizer que podemos ter um 
conjunto com 2 (dois) elementos com a mesma amplitude de um que tem 100 (cem) 
elementos. 
MÍNMÁX
xxAT 
OBS Fazer o Rol ajuda a identificar os valores da expressão. 
Exemplos: (Ambos com mesma amplitude total, mas número de dados diferentes como 
no enunciado) 
A:{ 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70} 
AT = 70 - 40 = 30 
 
AT=32-2=30 
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Quanto maior a amplitude total, maior será a dispersão dos valores da variável em 
torno da média. 
4.2 DESVIO 
4.2.1 Desvio em relação à média 
Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a 
média aritmética desses valores. 
Considere a distribuição 1, 6, 4, 10, 9, em que a média aritmética é 6. Teremos: 
 desvio do valor 1 1 - 6 = -5 
 desvio do valor 6 6 - 6 = 0 
 desvio do valor 4 4 - 6 = -2 
 desvio do valor 10 10 - 6 = 4 
 desvio do valor 9 9 - 6 = 3 
Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3. 
 
4.2.2 Desvio Médio Absoluto (DM) 
Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos 
módulos dos desvios. 
 
No exemplo anterior, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será: 
DM = ( -5 + 0 + -2 + 4 + 3 )/5 
DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)/5 
DM = 14/5 
DM = 2,8 
Note que: O módulo garante que o valor seja positivo. 
EXs.: 
a) +3 = 3 
b) -3 = 3 
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4.3 Variância (s2) 
É uma medida mais estáveis que a amplitude total, não sofre tanto a 
interferência de valores extremos. 
Para determinar a variância calculamos a diferença (desvio) de cada elemento da 
amostra em relação à média aritmética. A seguir, estas diferenças (desvios) são elevadas 
ao quadrado e, finalmente, calculamos a sua média. 
Mas por que não somar todas as diferenças e pronto, por que a soma dos 
quadrados? 
Em grande parte das vezes, a soma de todas as diferenças pode ter um resultado nulo, 
como na distribuição normal, para evitar isso poderíamos apenas somar o módulo das 
diferenças, mas convencionou-se usar o quadrado das diferenças. 
 Os cálculos de variância devem considerar a seguinte situação: Os dados 
representam uma população ou uma amostra? 
dados. Este fato pode ser observado matematicamente no denominador da expressão. 
Sempre antes dos cálculos é necessário observar se estamos trabalhando com 
População ou Amostra. 
A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios: 
(População) 
 
*Costuma-se utilizar símbolos diferentes para a representação. 
 A variância é um número em unidade quadrada em relação à média, por isso, 
definiu-se o desvio padrão como a raiz quadrada da variância. 
 
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4.4 Desvio Padrão 
Matematicamente, o desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos 
quadrados dos desvios (raiz da variância). 
Aqui considera-se os casos de população e amostra, visto que o desvio padrão 
tem por origem a variância. 
 
 
Desvio padrão é uma medida de dispersão muito útil em estimativas de risco, por 
exemplo, em aplicações financeiras, já que desvio padrão representa quanto, em média, 
cada dado está distante da média. O cálculo dessa medida é a raiz quadrada da variância, 
ou seja, quanto mais próximas da média, menor será o desvio padrão, quanto mais distante 
maior ele será, por isso quando todas as observações têm o mesmo valor, o desvio padrão 
será igual a zero. 
 Mas devemos observar: Para comparações de regularidade ou 
homogeneidade de duas ou mais séries de dados pelo desvio padrão, é 
necessário que ambas possuam a mesma média. 
 Caso isso não seja observado, podemos ser levados a um falso resultado. 
 Para evitar o acúmulo de erro por arredondamento, simplifica-se o cálculo do 
desvio padrão com a seguinte expressão: 
 
Que resulta em: 
 
 
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Propriedades: 
1a: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a (de) todos os valores de uma 
variável, o desvio padrão não se altera. 
2a.: Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante 
(diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante. 
A partir daqui, nos exemplos que aparecerem distribuição de frequência 
(tabelas), iremos considera-los como . 
Exemplos: 
I) Calcule o desvio padrão da seguinte série: 
i xi xi2 
1 8 64 
2 10 100 
3 11 121 
4 15 225 
5 16 256 
6 18 324 
Total 78 1090 
 
 
II) Calcule o desvio padrão para a distribuição abaixo: 
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OBS* Para dados agrupados sem intervalos de classe: deve-se levar em conta as 
frequências. 
 
i Qtde de filhos que se 
deseja ter (xi) 
fi fi . xi fi . xi2 
1 0 2 0 0 
2 1 6 6 6 
3 2 12 24 48 
4 3 7 21 63 
5 4 3 12 48 
Total 30 63 165 
 
Revisando... Faça você agora: 
Exercício: Determine o desvio padrão. 
i Qtde de cursos realizados por 
ano (xi) pelos alunos do 1o ano 
técnico em Adm 
fi fi . xi fi . xi2 
1 1 2 
2 2 5 
3 3 8 
4 4 6 
5 5 3 
6 6 1 
Total 25 
 
48
 
 
 
III) Calcule o desvio padrão para a distribuição contínua abaixo: 
 OBS* Para dados agrupados com intervalos de classe: também se leva em conta as 
frequências e xi é o ponto médio do intervalo de classe. 
Exemplo: 
i Alturas(cm) xi fi fixi fixi2 
1 150 |- 154 152 4 608 92416 
2 154 |- 158 156 9 1404 219024 
3 158 |- 162 160 11 1760 281600 
4 162 |- 166 164 8 1312 215168 
5 166 |- 170 168 5 840 141120 
6 170 |- 174 172 3 516 88752 
 Total 40 6440 1038080 
 
Revisando... Faça você mesmo: 
Calcule o desvio padrão das distribuições abaixo, pelo processo breve. 
i Salário Mensal dos 
alunos do 3o Mat [R$] 
xi fi fixi fixi2 
1 450 |- 550 8 
2 550 |- 650 10 
3 650 |- 750 11 
4 750 |- 850 16 
5 850 |- 950 13 
6 950 |- 1050 5 
7 1050 |- 1150 1 
 Total 64 
 
49
 
 
i Peso kg xi fi fixi fixi2 
1 30 |- 50 2 
2 50 |- 70 8 
3 70 |- 90 12 
4 90 |- 110 10 
5 110 |- 130 5 
 Total 37 
 
4.5 Coeficiente de Variação (CV) 
O efeito da variação ou dispersão em relação à média pode ser medido pela 
dispersãorelativa, definida por: Dispersão Relativa = Dispersão Absoluta / Média. Se a 
dispersão absoluta for o desvio padrão, a dispersão relativa é denominada coeficiente de 
variação CV: . 
 Costuma-se multiplicar este coeficiente por 100% para facilitar a análise de 
dispersão. 
 Este coeficiente é útil para comparação de série de dados com médias 
diferentes (recorde que o desvio padrão só é efetivo para séries de médias 
iguais). Logo pode ser utilizado para definir qual série é mais regular ou mais 
homogênea, independente de as séries possuir ou não médias iguais. 
 O coeficiente de variação deixa de ser útil quando a média é próxima de zero. 
Por exemplo: 
desvio se torna insignificante diante da grandeza da média. Porém, se a média da 
a necessidade de conhecer 
esta razão chamada coeficiente de variação. 
Exemplo: 
50
 
 
Para o exemplo dos capítulos anteriores, das alturas, tem-se média de 161 cm e 
desvio padrão de 5,57 cm 
 
Observação: Quanto maior o CV maior será a dispersão 
Quanto menor o CV menor será a dispersão 
 
Revisando... 
Faça você mesmo: 
Resolva: Calcule o CV dos dois últimos exercícios de cálculo de desvio padrão pelo 
processo breve (tabela de salários mensal e pesos). 
 Exercício de Revisão Geral: 
Os dados abaixo referem-se à idade das pessoas que compraram um determinado produto 
novo durante um dia. Determine: 
i Idade xi fi Fi fixi fixi2 
1 0 |- 10 10 
2 10 |- 20 26 
3 20 |- 30 15 
4 30 |- 40 8 
5 40 |- 50 4 
6 50 |- 60 3 
7 60 |- 70 2 
 Total 
 
 
51
 
 
a) Media; 
b) Desvio Padrão; 
c) Mediana 
d) Primeiro Quartil 
e) Terceiro Quartil 
f) P40 
g) Coeficiente de variação 
 
 
4.6 Média e Desvio Padrão com Calculadora científica fx-82 MS 
 
Vamos utilizar para exemplificar a aplicação desses recursos um conjunto genérico A. 
A = { 2, 5, 11, 14, 21, 35 } 
 
Antes de mais nada, vamos limpar a memória de nossa calculadora. 
 
1º Pressione SHIFT + MODE 2º Digite 3 para selecionar ALL 
3º Por fim digite =, para resetar a memória. 
 Para caminhar o cálculo siga os seguintes passos: 
1º Pressione MOD 2º Digite 2 para selecionar SD 
3º Digite os números pertencentes ao grupo, da seguinte forma: 
* Valor1 + M+; Valor2 + M+; Valor3 + M+ ... Valor6 + M+ 
 
4º Pressione SHIFT +2 (S-VAR) 
 
5º Digite 1 para a Média (x) / Digite 2 para o Desvio Padrão Populacional 
 / Digite 3 para o Desvio Padrão Amostral (sx) 
 
6º Por fim digite =, para visualizar os resultados. 
 = 14,667 
 
 = 10,965 (Caso o conjunto seja uma população) 
 
sx = 12,011 (Caso o conjunto seja uma parte da população, amostra) 
 
sequência anterior, trocando o passo 4 para: 
4º Pressione SHIFT +1 (S-VAR) 
Revisando...Faça você mesmo!!! 
2, , x , sx para os 
seguintes dados: 55, 54, 51, 55, 53, 53, 54, 52,55,56.