Modelos Contínuos

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Principais Modelos ContPrincipais Modelos Contíínuosnuos
Prof. Prof. VVííctorctor Hugo Hugo LachosLachos DDáávilavila
AULA: 10AULA: 10--1616
2
Variável Aleatória Contínua:
• Associamos probabilidades a intervalos de valores da 
variável.
• Assume valores num intervalo de números reais.
• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis 
valores de uma v.a. contínua.
1 2 3 4 5 6 x
P(X=x)
Variável
aleatória
discreta (f.p.)
Infinitos valores de X
Variável aleatória
contínua (funcão
densidade de 
probabilidade,f.d.p.)
f(x)
3
(i) A área sob a curva de densidade é 1, isto é, 
(ii) f(x) ≥ 0, para todo x;
(iii) P(a ≤ X ≤ b) = área sob a curva da densidade f(x) e 
acima do eixo x, entre os pontos a e b;
(iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo. 
Propriedades dos Modelos Contínuos
Assim,
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) 
= P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)= dxxf
b
a
∫ )(
1)( =∫ dxxf
R
Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função 
densidade de probabilidade f(x) (f.d.p) com as propriedades:
4
MMÉÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. continuas)DIA E VARIÂNCIA (v.a. continuas)
Valor EsperadoValor Esperado (m(méédia):dia): Dada a v. a. X, o valorvalor
esperadoesperado ou esperanesperançça matema matemááticatica de X é dada por
 E(X) μ =Notação:
dxxxf∫
ℜ
= )( E(X)
VariânciaVariância: : É o valor esperado da v.a. (X o valor esperado da v.a. (X –– E(X))E(X))22, ou , ou 
seja,seja,
222 ))(()()() - (x Var(X) XEXEdxxf −== ∫
ℜ
μ
 (X)V 2 ar=σNotação:
5
Exemplo 1Exemplo 1
A duraA duraçção, em anos, de uma lâmpada especial ão, em anos, de uma lâmpada especial éé uma variuma variáável vel 
aleataleatóória contria contíínua com funnua com funçção densidade dada por:ão densidade dada por:
1f(w)dw 
R
=∫
)( ),0(
2 xIce x ∞
−=f(x)
Notacão usual
c.c , 0
0 x,
 
2 ≥=
− xcef(x)
1.Encontre o valor da constante c:Das propiredades vistas temos que
c>0 e
2=c1c0 2
0
0
-
=+ −
∞
∞
∫∫ dwedw w
2.Encontre a função de distribuição(f.d.a): c: Da definição temos que
∫
∞
=≤=
x
-
f(w)dwx)P(XF(x) Claro que para x<0, F(x)=0, 
pois a função densidade é
nula e para x≥0, temos
6
ContinuaContinuaçção exemplo 1ão exemplo 1
∫ −− −== x xw edwe
0
22 .12 F(x)
3. Calcule a probabilidade da lampada durar até 2 anos: Calculamos
98,01 )2(2 =−= −eF(2)
ou 0 x, 2-1
0x, 0
 2 ≥
<= − xeF(x)
4. Calcule o valor esperado da duração em anos da lampada:
∫∫∫ ∞ −
∞−
=+==
0
2
0
5.020)( dwwedwwdwwwf w
R
E(X)
∫∫ −= b
a
b
a
b
a
xfdxgxgxfxgdxf ))(()(|)()())(()(
IMPORTANTE: Integral por partes e Teorema de L’hospital
7
1. Modelo Uniforme
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme com 
parâmetros α e β se sua função de densidade de probabilidade é dada 
por:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤−=
cc
xxf
.,0
,1)( βααβ
( )
12
)(,
2
)(
2βαβα −=+= XVarXE
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≤≤−
−
<
=
β
βααβ
α
x
xx
x
xF
1
00
)(
A função de distribuição acumulada é dado por:
Notação: X~U(α , β))
8
Exemplo: A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como 
sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da 
escala Rockwel. Qual é a probabilidade de que uma peça tenha 
dureza entre 55 e 60? 
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤=
cc
xxf
.,0
7050,
20
1
)(
Solução: Seja X: dureza de uma peça de aço, X~U(50,70) 
20
5
20
1)6055(
60
55
==<< ∫ dxXP
Portanto,
60
2
5070)( =+== μXE
Também,
3,33
12
)5070( 22 =−=σ
9
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com 
parâmetro λ, se sua função de densidade é dado por
2. Modelo Exponencial
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≥=
−
cc
xexf
x
.,0
0,1)(
λ
λ
Notação: X~Ex(λ).
A função de distribuição acumulada é dado por:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≥−=
−
cc
xexF
x
.0
0,1)( λ
Pode-se mostrar: 
2)(,)( λλ == XVarXE
10
Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma 
distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas. 
Cada peça tem um custo de 10,0 unidades monetárias (u.m) e se 
durar menos de 20 horas, existe um custo adicional de 8.0 u.m.
(a) Qual é a probabilidade de uma durar mais de 150 horas?
(b) Determinar o custo esperado.
Solução: Se X: tempo de duração de uma peça, do enunciado tem-se 
que: E(X)=100 horas e X~Ex(100). Ou seja, 
223,0)1(1)150(1)150()( 5,1100
150
==−−=≤−=> −− eeXPXPa
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≥−=
−
cc
xexF
x
.0
0,1)( 100
11
(b) Seja C o custo total de uma peça.
⎩⎨
⎧
<+
≥=
200,810
200,10
xse
xse
C
O custo total esperado é: E(C)=10P(C=10)+18P(C=18)
2)200(1)200(1)200()10( −=−=≤−=≥== eFXPXPCP
21)200()200()18( −−==≤== eFXPCP
mueeCE .918,16)1(1810)( 22 =−×+×= −−
12
4. Modelo Normal
Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas 
selecionadas ao acaso em uma população. 
O histograma por densidade é o seguinte:
30 40 50 60 70 80 90 100
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Peso
D
e
n
s
i
d
a
d
e
13
- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica 
em torno de 70kg;
A análise do histograma indica que:
- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo 
(55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg 
(1,2%) e acima de 92kg (1%).
14
Vamos definir a variável aleatória
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, 
qual a distribuição de probabilidades de X ?
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta 
escolhida ao acaso da população.
30 40 50 60 70 80 90 100
0.000
0.015
0.030
Peso
D
e
n
s
i
d
a
d
e
15
A distribuição Normal é uma das mais importantes 
distribuições contínuas de probabilidade pois:
• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma 
próxima a essa distribuição. Exemplos: 
1. altura
2. pressão sangüínea
3. etc.
• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, 
probabilidades para outras distribuições, como por 
exemplo, para a distribuição Binomial.
16
O Modelo Normal
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média 
 μ e variância , se sua função de densidade é dada por:2σ
Rxexf
x
∈= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
,
2
1)(
2
σ
μ
σπ
).,(~: 2σμNXNotação
17
Distribuições normais 
com médias diferentes e 
variâncias iguais.
Distribuições normais 
com médias iguais e 
variâncias diferentes
18
Propriedades da distribuição normal
2)(,)()( σμ == XVarXEa
(b) A distribuição é simétrica ao redor de sua média.
(c) A área total sob curva é igual a um portanto, cada metade da curva 
tem 0,5 da área total.
(d)
9973,0)33(
9546,0)22(
6896,0)(
=+≤≤−
=+≤≤−
=+≤≤−
σμσμ
σμσμ
σμσμ
XP
XP
XP
19
dttxF
x∫
∞− ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
2
1exp
2
1)( σ
μ
σπ
A função de distribuição acumulada de uma v.a ).,(~ 2σμNX
20
Distribuição normal padrão ou reduzida
Se Z é uma variável aleatória normal com média zero e variância um,
então Z é chamado de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua f.d.p 
é dada por:
Rzezf
z
∈= − ,
2
1)( 2
2
π
A função de distribuição acumulada de uma v.a Z~N(0,1) d
dttzZPz
z
)5,0exp(
2
1)()( 2−=≤=Φ ∫
∞− π
21
Uso da Tabela Normal
dttzZPz
z
)5,0exp(
2
1)()( 2−=≤=Φ ∫
∞− π
Observação: 
RbaabbZaPiii
zzZPzZzPii
zzzZPzzZPi
∈∀Φ−Φ=≤≤
−Φ=−≤=≤≤−
>∀Φ−=≤−=−Φ=−≤
,),()()()(
1)(21)(2)()(
0),(1)(1)()()(
22
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 
0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511966 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903
0,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,551717 0,555670 0,5596180,563559 0,567495
0,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420
0,3 0,617911 0,621719 0,625516 0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309
0,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822
0,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,701944 0,705401 0,708840 0,712260 0,715661
0,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571
0,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350
0,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,796731 0,799546 0,802337 0,805106 0,807850
0,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977
1,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690
1,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,878999
1,2 0,884930 0,886860 0,888767 0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958
1,3 0,903199 0,904902 0,906582 0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,914656
1,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219
1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792
1,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540
1,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,958185 0,959071 0,959941 0,960796 0,961636
1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258
1,9 0,971284 0,971933 0,972571 0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581
2,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774
2,1 0,982136 0,982571 0,982997 0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,984997
2,2 0,986097 0,986447 0,986791 0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,988396
2,3 0,989276 0,989556 0,989830 0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,991106
2,4 0,991802 0,992024 0,992240 0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,993244
2,5 0,993790 0,993963 0,994132 0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,994915
2,6 0,995339 0,995473 0,995603 0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,996207
2,7 0,996533 0,996636 0,996736 0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,997197
2,8 0,997445 0,997523 0,997599 0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,997948
2,9 0,998134 0,998193 0,998250 0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,998511
3,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930
3,1 0,999032 0,999064 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238
3,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462
3,3 0,999517 0,999533 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624
3,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740
3,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999821
3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879
3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918
3,8 0,999928 0,999930 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946
3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964
 
Distribuição normal: valores de P(Z≤z)=Φ(z), z≥0
23
Exemplo: Seja Z~N(0,1), determinar:
(a) P(Z<1,80)
(b) P(0,80<Z<1.40)
(c) P(Z<-0,57)
(d) O valor de k tal que: P(Z<k)=0,05.
Solução: da tabela normal padrão tem-se:
0,13110,78814-0,91924(0,80)-(1,40)1,40)ZP(0,80(b)
0,964070)80,1()80,1()(
==ΦΦ=<<
=Φ=<ZPa
0,284339.715661,01)57,0(1)57,0()( =−=≤−=−< ZPZPc
64,105,0)()( −=⇒=< kkZPd
24
Teorema (Transformação linear de uma variável normal)
Se X é uma v.a. normal com média μ e variância 
σ2, então a variável aleatória Y=a+bX tem
distribuição normal com média μy =a+bμ e 
variância 222 σσ b
Y
= . 
 Uma conseqüência do teorema anterior é a variável 
)1,0(~ NXZ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= σ
μ
Exemplo: Se X~N(90,100). Determinar:
(a) P(70< X < 100)
(b) P(|X-90|<30)
(c) O valor de a tal que: P(90-2a <X< 90+2a)=0,99
25
718595,0)97725,01(0,841345
))2(1()1()2()1(
)12()
10
90100
10
9070()10070()(
=−−=
=≤−−≤=−≤−≤=
=<<−=−<−<−=<<
ZPZPZPZP
ZPXPXPa σ
μ
0,99731-0.99865021)3(2)33(
)
10
30
10
90
10
30()309030()30|90(|)(
=×=−<=<<−=
=<−<−=<−<−=<−
ZPZP
XPXPXPb
85,1257,2
5
995,0)
5
(99,01)
5
(2
10
2
10
90
10
2)2902()290290()(
=⇒=⇒
=<⇒=−≤=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ <−<−=<−<−=+<<−
aa
aZPaZP
aXaPaXaPaXaPc
26
Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade 
tem distribuição normal com média 120 minutos e desvio padrão 
15 minutos.
(a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele 
terminar o exame antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular.
0,0917690,9082411)33,1(1
)33,1(1
)33,1(
15
120100)100(
).15,120(~ 2
=−=Φ−=
<−=
−≤=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −<=<
ZP
ZPZPXP
NX
27
(b) Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita o 95% dos
vestibulandos terminem no prazo estipulado?
95,0
15
120)(
95,0)(
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −<=<
=<
xZPxXP
xXP
z=? , tal que Φ(z)=0,95
Da tabela z= 1,64
(c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes 
gastam para completar o exame?
6,1521564,1120 =×+=x
28
80.0
15
120
15
12080,0)( 2121 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≤≤−⇒=≤≤ xZxPxXxP
z=? , tal que Φ(z)=0,90
Da tabela z= 1,28
.min2,13928,11512028,1
15
120
.min8,10028,11512028,1
15
120
22
2
11
1
=∴×+=⇒=−
=∴×−=⇒−=−
xxx
xxx
29
Teorema( Combinação Linear de variáveis aleatórias normais)
Sejam nXX ,,1 K , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(μi, σi2), para 
i=1,...,n. Sejam naa ,,1 K constantes reais. Seja a variável aleatória Y uma 
combinação linear das variáveis aleatórias normais. Isto é 
 
nn XaXaY ++= L11
Então a variável aleatória Y tem distribuição normal com média
i
n
i
innY aaa μμμμ ∑
=
=++=
1
11 L
e variância
2
1
2222
1
2
1
2
i
n
i
inn aaaY σσσσ ∑==++= L
30
Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os 
pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e 
desvio padrão 100 g. Os pesos das xícaras também são normais com 
média 170 g e desvio padrão 12,25 g. O peso da embalagem é
praticamente constante e igual a 100 g.
(a) Qual é a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g?
completa. caixa da peso :C
embalagem; da peso:E
 xícara;ésima-i do peso :X
pires; ésimo-i do peso:
i
iP
Solução. Sejam,
∑∑
==
++=++++++++=
5
1
5
1
521521
i
i
i
i
xícarasdaspesopiresdospeso
EXPEXXXPPPC 444 3444 21 L44 344 21 L
31
Tem-se interesse: P(C < 2000)=? Do problema temos:
5,,1)25,12,170(~),10,190(~ 22 L=iNXNP ii
Do teorema anterior C distribui-se normalmente com média
g
EXEPE
i
i
i
iC
190010017051905
)()(
5
1
5
1
=+×+×=
++= ∑∑
==
μ
222
5
1
5
1
2
1250025,125105
)()()(
g
EVarXVarPVar
i
i
i
iC
=+×+×=
=++= ∑∑
==
σ
e variância
0,997673)83,2(
1250
19002000)2000(
=≤=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≤=<
ZP
ZPCP
32
(b) Qual é a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires 
numa escolha ao acaso?
Seja X: peso de uma xícara; P: peso de um pires. P(X > P)=P(X – P >0)=?
.25025,1210
;20190170
);(~
22222
2
=+=+=
−=−=−=
−=
PXY
PXY
YY
onde
NPXYSeja
σσσ
μμμ
σμ
Logo,
0,103835.
0,8961651)26,1(1
250
)20(01
)0(1)0(
=
−=≤−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−≤−=
≤−=>
ZP
ZP
YPYP
33
Corolário (Propriedade reprodutiva da distribuição normal)
Sejam nXX ,,1 K , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(μ, σ2), para 
i=1,...,n. Então a variável aleatória 
 
∑
=
=++=
n
i
in XXXY
1
1 L
tem distribuição normal com média nμ e variância ),(~ é, isto , 22 σμσ nnNYn
).1,0(~
/
1 N
n
X
n
nX
Y
n
i
i
σ
μ
σ
μ −=
−
=
∑
=
Exemplo: o peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória normal 
com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um carregamento de 120 
caixas de peças é feito.Qual é a probabilidade que a carga pesar 
entre 7.893 kg e 7.910 kg?
34
120,,1),16,65(~caixa ésima-i da peso : L=⇒ iNXX ii
)1920,7800(~
)16120,65120(~carga da peso :
120
1
NY
NXYY
i
i ××=⇒ ∑
=
010966,0482997,0493963,0
)12,2()51,2()51,212,2(
1920
78007910
1920
78007893)79107893(
=−=
Φ−Φ=≤≤=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≤≤−=≤≤
ZP
ZPYP
35
Exemplo: Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30% 
dos funcionários de banco têm problemas de estresse, provenientes 
das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários, qual seria 
a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?
)3,0 ,200(~problema o com bancários de N : o BXX ⇒
948,0)7,0()3,0)(
200
()50(
200
50
200 ==≥ ∑
=
−
k
kk
k
XP
Resultado muito trabalhos: 151 termos para somar
A aproximação pela Normal é baseada no Teorema Limite Central. Em
geral quanto mais simétrica for a f.p. da Binomial, melhor será a 
aproximacão.
AproximaAproximaçção da Binomial pela Normalão da Binomial pela Normal
36
Distribuição Binomial n = 10 p = 0,2
37
Distribuição Binomial n = 20 p = 0,2
38
Distribuição Binomial n = 50 p = 0,2
Para p fixado, a medida que n cresce, os 
histogramas vão se tornando mais simétricos e 
com a forma da curva Normal. Tal aproximação 
será mais rápida para 5.0≈p
39
sendo Y ~ N(np ; np(1 – p) ).
Aproximar a distribuição de probabilidades de X pela distribuição 
de probabilidades de uma variável aleatória Y tal que 
Portanto, • P( a ≤ X ≤ b) ≈ P(a ≤ Y ≤ b)
• P( X ≥ a) ≈ P(Y ≥ a)
• P( X ≤ b) ≈ P(Y ≤ b)
X ~ b(n ; p) E(X) = npVar(X) = np(1 – p)⇒
Y ~ N( μy, σy2) com μy = n p e σy2 = n p (1 – p).
IdIdééia Bia Báásicasica
40
Logo temos que , desta forma
938,0)54,1()
42
6050
42
60()50()50( =−≥=−≥−=≥≈≥ ZPYPYPXP
)42,60(~ NY
No Exemplo anterior temos que: 
42)1()( e 60)( com ),3,0 ,200(~ =−=== pnpXVarnpXEBX
Probabilidade exata = 0,948 (usando a distribuição binomial).
Note que estamos aproximando uma distribuição discreta por uma
contínua onde as probabilidades pontuais são zero, assim para melhorar
tal aproximação alguns autores preferem usar a correção de 
continuidade
41
Correção de Continuidade
Para melhorar a aproximação, usamos a correção por continuidade no 
cálculo com a Normal como segue:
9478,0)-1.62()
42
605,49
42
60()5,49()50( =≥=−≥−=≥≈≥ ZPYPYPXP
9292,0)46.1()
42
605,50
42
60()5,50()50( =−≥=−≥−=≥≈> ZPYPYPXP
0182,0)
42
605,50
42
60
42
605,49()5,505,49()50( =−≤−≤−=≤≤≈= YPYPXP
Para probabilidade pontuais, criamos um intervalo artificial:
Probabilidade exata = 00190 (usando a distribuição binomial).
42
Exemplo: Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos 
quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente 
num certo período) igual a 0,9. Se esses componentes funcionarem de 
forma independente um do outro e se o sistema funcionar 
adequadamente enquanto pelo menos 87 componentes estiverem 
funcionando, qual é a confiabilidade do sistema?
X : número de componentes que funcionam adequadamente dos 100
X ~ b(100; 0,9)
n = 100 p = 0,9
E(X) = np = 100×0,9 = 90
Var(X) = np(1 – p) = 100 × 0,9 × 0,1 = 9
⇒
Confiabilidade do sistema: P(X ≥ 87)=??
P(X ≥ 87) ≈ P(Y ≥ 87) ≈ P(Y ≥ 86,5) Y ~ N(90 ; 9)
876976.0)16,1( )16.1()
3
905,86
9
90( =Φ=−≥=−≥−= ZPYP
Probabilidade exata = 0.8761232 (usando a distribuição binomial).