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63 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Unidade II 5 10 15 20 AMOSTRAGEM E CORRELAÇÃO Nesta segunda parte do curso de Estatística Aplicada, nós iremos nos ater à amostragem e à correlação. Por amostragem, entendem-se os procedimentos destinados a estudar as relações entre populações e suas amostras. Já dentro da correlação e regressão, estaremos nos direcionado aos relacionamentos entre duas variáveis, procurando verificar se o comportamento de uma está, de alguma forma, relacionado com o comportamento da outra. 3 AMOSTRAGEM Objetivos Caso você queira saber se uma determinada marca de uísque é boa, você precisa beber a garrafa inteira? A menos que você tenha acabado de bebê-la, a resposta certamente será não. Todos nós sabemos que basta beber uma dose para conseguirmos avaliar a qualidade da bebida. Essa pequena dose é chamada de amostra, e o processo pelo qual estimamos a qualidade do uísque usando a avaliação de uma amostra é chamado de amostragem. Agora, note que, se você quiser fazer o mesmo raciocínio para uma feijoada, terá que considerar alguns aspectos: o processo de amostragem ainda é válido, mas a amostra certamente terá que ser maior do que aquela de uísque. E por que isso? 64 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Porque, enquanto o uísque é totalmente homogêneo, a feijoada tem um alto grau de heterogeneidade. Trocando em miúdos, se você pegar uma pequena amostra da feijoada, corre o risco de não provar o paio, que está uma porcaria, e assim chegar a conclusões errôneas. Em estatística, a medida que nos informa qual é o grau de homogeneidade do universo que estamos trabalhando é o desvio padrão, e, quanto maior ele for, menos homogêneos serão o universo e a amostra. Assim, quando quisermos saber qual é o tamanho que uma amostra deve ter, deveremos saber qual é o seu desvio padrão. Por outro lado, observe que, quando você experimenta uma amostra para saber como funciona o universo todo, você está fazendo uma estimação, ou seja, uma previsão do todo a partir de uma parte. Isso é possível, mas com um cuidado fundamental: a previsão está sujeita a um erro estatístico, ou seja, uma tolerância para mais e para menos em torno do valor previsto. Essa tolerância é chamada de erro máximo da estimativa, que deve ser estabelecido por você em função da resposta que espera obter. Note que, quanto menor for o erro que se está disposto a aceitar, maior será o tamanho da amostra que terá que ser colhida, ou seja, mais cara será sua amostragem. Assim, quando quisermos saber qual é o tamanho que uma amostra deve ter, deveremos estabelecer qual é o erro máximo esperado. Por fim, você terá que notar que essa sua estimativa merece certa confiança de sua parte, ou seja, o quanto você acredita que ela está certa. Lembre-se de que, se quiser ter 100% de confiança, terá que pagar por isso. A amostra ficará grande e cara. Na maior parte das vezes, uma confiança de 90% ou 95% é suficientemente boa para podermos tomar uma decisão segura e 5 10 15 20 25 30 65 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 coerente. Certamente você trabalhou com uma confiança muito menor quando decidiu pedir a mão daquela garota bonita ou aceitou o pedido de casamento daquele galante rapaz! Assim, quando quisermos saber qual é o tamanho que uma amostra deve ter, deveremos estabelecer qual é o nível de confiança com que devemos trabalhar. Note, portanto, que grande parte de nossas preocupações no processo de amostragem é a determinação do tamanho das amostras. Amostragem, fundamentalmente, é o processo de colher amostras, estudá-las, determinando suas medidas estatísticas e, a partir deste estudo, induzir os parâmetros populacionais. Quando falamos que estamos estimando um parâmetro estatístico, queremos dizer que, a partir do conhecimento de uma medida estatística, iremos prever o valor da medida (parâmetro) populacional. Por exemplo, suponha que tenhamos escolhido aleatoriamente 100 alunos de estatística, dentro de uma população de 1.000 estudantes, coletado as notas de cada um e encontrado a média dessas notas. Suponha ainda que essa média tenha sido 5,6. É lógico supor, em princípio, que a média de todos os 1.000 alunos de estatística também seja igual a 5,6. Para diferenciarmos as duas informações, iremos utilizar simbologia diferente para as medidas estatísticas e para os parâmetros populacionais. Assim sendo, diríamos que, para a amostra de 100 alunos, a média é: X = 5,6 e que, para a população de 1.000 estudantes, a média estimada é µ = 5,6. As medidas estatísticas são simbolizadas por letras do nosso alfabeto, e os parâmetros estatísticos por letras gregas. Essa estimativa feita é chamada de estimativa por pontos, e normalmente são preteridas em favor das estimativas por 5 10 15 20 25 30 66 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 intervalos, que indicam a precisão ou a exatidão. As estimativas por intervalos são dadas por dois números obtidos pela introdução do conceito de erro estatístico. Assim sendo, seria preferível apresentar a estimativa anteriormente mencionada da seguinte maneira: o valor estimado para a média dos 100 estudantes mencionados é de 5,6±0,2, ou seja, a média será um valor entre 5,4 e 5,8. O valor 0,2 é o erro esperado nessa estimativa. Os cálculos envolvendo essas estimativas serão mostrados a seguir. 3.1 Teoria elementar da amostragem Imagine uma população de grande quantidade de valores, da qual são retiradas todas as amostras possíveis de tamanho N. Para cada uma dessas amostras, podemos calcular uma determinada grandeza estatística, digamos, por exemplo, a média, que irá variar de amostra para amostra. Todos os valores calculados juntos formarão uma distribuição amostral, que no caso da média se chamará distribuição amostral das médias. Para essa distribuição como para qualquer outra distribuição, pode ser calculada a média e o desvio padrão, portanto podemos falar de média e desvio padrão da distribuição amostral das médias, por exemplo. Observe que de maneira semelhante podemos conceituar distribuições amostrais das outras medidas estatísticas, como, por exemplo, as distribuições amostrais das proporções, a distribuição amostral das variâncias, as distribuições amostrais dos desvios padrões etc. Neste curso, iremos nos ater às principais, ressaltando que as demais seguem exatamente os mesmo princípios. 5 10 15 20 25 67 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Distribuição amostral das médias Admita que uma determinada população tenha média µ e desvio padrão σ, e que retiremos dessa população todas as amostras possíveis de tamanho N. Para cada amostra, calculamos a média, e todas as médias calculadas irão compor a distribuição amostral das médias, cuja média é chamada de média da distribuição das médias e simbolizada por µx, e o desvio padrão da distribuição das médias é simbolizado por σx, sendo o valor de ambos dados, respectivamente, por: µx = µ e σ σ x N = O exemplo a seguir deixa mais claro o raciocínio e a utilização desses co nceitos. 1. Sabemos que a altura média de 5.000 estudantes universitários do sexo masculino é de 1,728 m com desvio padrão de 0,067 m. Desse grupo, retiramos 100 amostras de 30 estudantes cada uma.Qual é a média da distribuição amostral das médias e qual é o desvio padrão da distribuição amostral das médias? Observe que nos foram informados os seguintes dados: • Média populacional: µ = 1,728 • Desvio padrão populacional: σ = 0,067 • Tamanho das amostras: N = 30 Assim sendo, podemos calcular a média da distribuição amostral das médias: µ µ µx x= ⇒ =1728, 5 10 15 20 25 68 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 E o desvio padrão da distribuição amostral das médias: σ σ σ σx x xN = ⇒ = ⇒ =0 067 30 0 012 , , Sobre esses cálculos, é importante ressaltar: 1. Não estamos considerando todas as amostras possíveis e imagináveis, somente 100 delas estão sendo levadas em conta. Isso faz com que essa não seja a verdadeira distribuição amostral das médias, mas uma amostragem experimental. No entanto, como o número 100 é suficientemente grande, podemos afirmar que essas duas distribuições são muito aproximadas, e do ponto de vista prático poderão ser consideradas iguais. 2. Esses cálculos foram considerados para uma população muito grande, tão grande que a consideramos infinita. Caso a população não fosse tão grande e a amostragem não fosse feita com reposição, deveríamos fazer uma correção no cálculo do desvio padrão da distribuição amostral. Essa correção é feita pela multiplicação do valor do desvio padrão pela expressão: N N N p p − −1 , em que Np é o tamanho da população. Assim, o cálculo do desvio padrão ficaria sendo: σ σ σ σ σx p p x x xN N N N = − − ⇒ = − − ⇒ = × ⇒ = 1 0 067 30 3 000 80 3 000 1 0 012 0 987 , . . , , 00 012, Perceba que na prática não ocorre diferenças, em virtude do tamanho muito grande da população. 5 10 15 20 69 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 3. O desvio padrão da distribuição amostral é normalmente chamado de erro padrão. 4. Para grandes valores de N (N≥30), a distribuição amostral é aproximadamente normal, independentemente do comportamento da população. Essa característica permite responder à seguinte questão: 2. Quantas das 100 amostras colhidas apresentarão valores médios acima de 1,735 m? Esse cálculo é feito de modo idêntico ao que fizemos no capítulo da distribuição normal, ou seja: z x tabela At1 1735 1728 0 012 0 58 0 7190= − = − = → → =µ σ , , , , , A Ap t= − = − = =1 1 0 7190 0 2810 28 10, , , % A probabilidade de que uma das amostras tiradas tenha valor médio superior a 1,735 m é de 28,10%. Dessa forma, em 100 amostras colhidas, 28 amostras apresentarão valor médio acima de 1,735m. Distribuição amostral das proporções Admita que uma população seja infinita e que a probabilidade de ocorrência de certo evento é p (probabilidade de sucesso) e que retiremos dessa população todas as amostras possíveis de tamanho N. Para cada amostra, calculamos a média, e todas as médias calculadas irão compor a distribuição amostral das proporções, cuja média é chamada de média da distribuição das proporções e simbolizada por µp, e o desvio padrão da distribuição das proporções é simbolizado por σp, sendo o valor de ambos dados, respectivamente, por: 5 10 15 20 70 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 µp p= e σp p p N = −( )1 O exemplo a seguir deixa mais claro o raciocínio e a utilização desses conceitos. 3. Em determinado processo produtivo, 4% dos itens produzidos são defeituosos. Em dado momento, retira- se da produção 500 itens produzidos. Calcular: a. Qual a média da distribuição amostral dessa proporção? b. Qual é o desvio padrão dessa distribuição amostral das proporções? c. Qual é a probabilidade de que desses 500 itens inspecionados 3% ou mais sejam defeituosos? Observe que nos foi informados os seguintes dados: • Probabilidade de sucesso: p = 4% ou 0,04 • Tamanho das amostras: N = 500 Assim sendo, podemos calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral: µ µp pp= ⇒ = 0 04, σ σp p= − ⇒ =0 04 1 0 04 500 0 009 , ( , ) , Para o cálculo do item c, precisamos introduzir o fator de correção para variáveis discretas. Isso é necessário porque 5 10 15 20 71 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 estaremos usando conceitos da distribuição normal, como se sabe, uma distribuição para variáveis contínuas em uma questão que envolve variáveis discretas. Isso é permitido porque o N é suficientemente grande (≥ 30), mas é necessário o uso do fator de correção: f Nc = 1 2 . Nessa questão, o fator de correção é de f N f fc c c= ⇒ = × ⇒ =1 2 1 2 500 0 001, Esse cálculo é feito de modo idêntico ao da distribuição normal, ou seja: z x tabela At1 0 03 0 001 0 04 0 009 122 0 1112= − = − − = − → → =µ σ , , , , , , A Ap t= − = − = =1 1 0 1112 0 8888 88 88, , , % A probabilidade de que dos 500 itens inspecionados 3% ou mais sejam defeituosos é de 88,88%. Distribuição amostral das diferenças Dadas duas populações, das quais são retiradas amostras de NA da população A e NB elementos da população B, a distribuição amostral das diferenças (das médias, das proporções ou de qualquer outra medida estatística) é caracterizada pela diferença dos valores centrais e pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrões, dividida pelo tamanho da amostra, ou seja: Para diferenças entre médias µ µ µXA XB xA xB− = − e σ σ σ XA XB xA A xB BN N − = + 2 2 5 10 15 20 72 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Para diferenças entre proporções µpA pB A Bp p− = − e σp` pB A A A B B B p p N p p N− = − + −( ) ( )1 1 As questões a seguir ajudarão a entender esses conceitos. 4. Os amortecedores do fabricante A rodam em média 65.000 km, com desvio padrão de 4.500 km, normalmente distribuídos. Já os amortecedores do fabricante B duram em média 60.000 km, com desvio padrão de 3.500 km. Suponha que foram testados 36 amortecedores da marca A e 49 amortecedores da marca B. Calcule: a. Qual a média e o desvio padrão da distribuição amostral da diferença entre as vidas úteis? b. Qual é a probabilidade de que a amostra dos amortecedores da marca A durem menos que 3.000 km do que os da marca B? µ µXA XB XA XB− −= − ⇒ =65 000 60 000 5 000. . . σ σ σ σ σXA XB xA A xB B XA XB XA XBN N− − − = + ⇒ = + ⇒ = 2 2 2 24 500 36 3 500 49 901 . . Observe que a diferença entre as amostras das vidas úteis dos amortecedores da marca A e da marca B é em média de 5.000 km a favor do primeiro, mas com um erro padrão de 901, portanto o cálculo da questão b será: z x tabela At1 3 000 5 000 901 2 22 0 0132= − = − = − → → =µ σ . . , , 5 10 15 20 73 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 A Ap t= = =0 0132 132, , % 5. Os resultados de uma eleição mostraram que um candidato obteve 60% dos votos. Qual é a probabilidade de duas amostras aleatórias, cada uma com 200 eleitores, apresentar uma diferença superior a 10% de uma em relação à outra? µ µ µpA pB A B pA pB pA pBp p− − −= − ⇒ = − ⇒ =0 6 0 6 0, , σ σpA pB pA pB− −= − + − ⇒ =0 6 1 0 6 200 0 6 1 0 6 200 0 049 , ( , ) , ( , ) , Percebaque em princípio não deveria haver diferença entre as duas amostras, mas é possível que a amostra A seja maior que a amostra B ou vice-versa. A probabilidade de que a amostra A tenha 10% a mais de eleitores que a amostra B é calculada da seguinte forma: z x tabela At1 0 10 0 0025 0 0 0 049 2 09 0 9817= − = + − = → → =µ σ , , , , , , A Ap t= − = − = =1 1 0 9817 0 0183 183, , , % Devemos lembrar, no entanto, que o oposto também pode ocorrer, ou seja, há 1,83% de probabilidade de que a amostra B tenha mais de 10% de eleitores que a amostra A, logo, a probabilidade de que uma tenha mais do que 10% de eleitores do que a outra é de: 0 0183 0 0183 0 0366 3 66, , , , %+ = = 5 10 15 20 74 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 3.2 Teoria da estimação estatística No item anterior, vimos que é possível prever o comportamento de amostras sabendo o comportamento da população do qual ela é retirada. Do ponto de vista prático, no entanto, normalmente é mais interessante o movimento ao contrário, ou seja, a partir do estudo de uma amostra estimar- se o comportamento de uma população. Esse campo do estudo estatístico é conhecido como inferência estatística, e normalmente é feita com a definição dos chamados intervalos de confiança. Suponha uma distribuição amostral das médias cuja média seja µX e o erro padrão σX. Note que uma amostra qualquer retirada da população correspondente deve pertencer a essa distribuição. Observe o gráfico abaixo: P(z) z -4σx -3σx -2σx -1σx µx 1σx 2σx 3σx 4σx 68,2% 95,4% 99,7% 100,0% 5 10 75 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Observe que a probabilidade de que uma amostra tenha valor médio entre µX - σX. e µX + σX é de 68,2%, quer dizer, temos uma confiança de 68,2% de que o valor médio de uma amostra qualquer esteja entre aqueles valores mencionados. Em outras palavras, o intervalo de confiança de 68,2% são os valores entre µX - σX. e µX + σX . De modo semelhante, o intervalo de confiança de 99,7% está entre µX - 3σX. e µX + 3σX, e assim por diante. O número de erros padrões que estabelecem a confiabilidade são chamados de coeficientes de confiança ou valores críticos e simbolizados por zc. Podemos determinar uma confiança a partir do valor crítico, ou, ao contrário, determinar o valor crítico a partir da confiança desejada, utilizando a tabela da curva normal reduzida. Por exemplo, caso queiramos trabalhar com uma confiabilidade de 90%, o valor crítico será de 1,645. Chega- se a esse valor por meio do raciocínio estabelecido no gráfico abaixo: P(z) z -Zc Zc 100% – 90% 2 = 5% = 0,0500 100% – 90% 2 = 5% = 0,050090% 5 10 15 76 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Utilizando a tabela da distribuição reduzida, teríamos: At = 0,0500 → Zc = 1,645 Perceba que a área 0,0500 é exatamente o ponto médio entre o valor 0,0495 (Z= -1,65) e 0,0505 (Z= -1,64), daí o valor 1,645. O sinal negativo será ignorado por causa da simetria da curva. Existe um Zc positivo e outro negativo, simétricos. A partir desses conceitos, podemos determinar os vários intervalos de confiança: Intervalo de confiança para a média: estimativa = ± ×X Zc N σ Intervalo de confiança para as proporções: estimativa p= ± × −Zc p p N ( )1 Intervalo de confiança para as diferenças de médias: estimativa (X -X )A B= ± × +Zc N N xA A xB B σ σ2 2 Intervalo de confiança para as diferenças das proporções: estimativa (p -p )A B= ± × − + −Zc p p N p p N A A A B B B ( ) ( )1 1 A multiplicação do valor crítico pelo erro padrão gera o chamado erro esperado ou margem de erro. Acompanhe abaixo algumas aplicações dos raciocínios desenvolvidos anteriormente. 5 10 15 20 77 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 6. Um auditor contábil separou aleatoriamente uma amostra de 45 contas pagas por uma empresa e encontrou um valor médio para elas de R$ 14.900,00, com desvio padrão de R$ 3.600. Baseando-se nesses valores, qual foi o valor estimado para a média populacional, com 95% de confiabilidade? A estimativa para a média é dada por: estimativa = ± ×X Zc N σ . Para fazer essa estimativa, precisamos das seguintes informações: • Média: X =14 900. • Valor crítico: Zc = 1,96, conforme o seguinte cálculo: At tabela Zc= − = → → =1 0 95 2 0 0250 196 , , , • Desvio padrão: σ = s = 3.600 • Tamanho da amostra: 45 estimativa estimativa = ± × = ± × → =X Zc N σ 14 900 196 3 600 45 14 90. , . . 00 1 052± . Baseado nesse cálculo e nessa amostra, pode-se dizer que se estima que as contas dessa empresa têm um valor médio entre R$ 13.848 e R$ 15.952 com 95% de certeza. 7. Uma pesquisa eleitoral feita com 2.500 eleitores revelou que o candidato X a determinado cargo eletivo teve 45% de intenções de voto. Qual a estimativa que se faria da votação que esse candidato teria, se a eleição fosse hoje, com 99% de confiabilidade? 5 10 15 20 78 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 A estimativa para a proporção é dada por: estimativa p= ± × −Zc p p N ( )1 . Para fazer essa estimativa, precisamos das seguintes informações: • Proporção: p = 0,45 • Valor crítico: Zc = 2,58, conforme o seguinte cálculo: At tabela Zc= − = → → =1 0 99 2 0 0050 2 58 , , , • Tamanho da amostra: 2.500 estimativa p estimativa 0,45= ± × − → = ± × −Zc p p N ( ) , , ( ,1 2 58 0 45 1 0 445 2 500 0 026 ) . ,→ = ±estimativa 0,45 ou estimativa 45%= ± 2 6, % Desse modo, podemos afirmar que, se a eleição fosse hoje, o candidato A teria 45% dos votos com uma margem de erro para mais ou para menos de 2,6% com 99% de certeza, ou então dizer que ele teria entre 42,4% e 47,6 % dos votos, com 99% de confiabilidade. 8. Uma amostra de 300 lâmpadas da marca A apresentou uma durabilidade média de 2.300 horas, com desvio padrão de 200 horas. Outra amostra de 150 lâmpadas da marca B apresentou vida útil de 2.000 horas com desvio padrão de 90 horas. Estimar com 90% de confiabilidade a diferença entre as vidas úteis de ambas as marcas de lâmpadas. 5 10 15 20 79 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 • Médias: X XA B= =2 300 2 000. ; . • Valor crítico: Zc = 1,645, conforme o seguinte cálculo: At tabela Zc= − = → → =1 0 90 2 0 0500 1645 , , , • Desvios padrões: σA = sA = 200; σB = sB = 90 • Tamanhos das amostras: NA = 300; NB = 150 estimativa (2.300-2.000) estimativa= ± × + →1645 200 300 90 150 2 2 , 300= ± 22 5, As lâmpadas da marca A devem durar mais do que as lâmpadas da marca B entre 277,5 horas e 322,5 horas, com 90% de confiança. 9. Uma amostra aleatória, com 250 homens e 320 mulheres, revelou que 150 dos homens e 240 das mulheres apreciaram o design de um novo modelo de automóvel. Estimar com 98% de confiabilidade a diferença entre a proporção de todos os homens e mulheres em relação a esse novo automóvel. • Proporções: p pH M= = = = 150 250 0 6 240 320 0 75, ,; • Valor crítico: Zc = 2,33, conforme o seguinte cálculo: At tabela Zc= − = → → =1 0 98 2 0 0100 2 33 , , , • Tamanho da amostra: NH = 250; NM = 3205 10 15 80 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 estimativa (p -p )M H= ± × − + − →Zc p p N p p N M M M H H H ( ) ( )1 1 estimativa (0,75-0,60)= ± × − + −2 33 0 75 1 0 75 320 0 60 1 0 60 , , ( , ) , ( , ) 2250 0 092→ = ±estimativa (0,15 , ou estimativa 15%= ± 9 2, % Estima-se que 15% a mais de mulheres do que homens gostem do design deste automóvel, com uma margem de erro de 9,2% e uma confiabilidade de 98%, ou, em outras palavras, a diferença entre mulheres e homens nesse aspecto está entre 5,8% e 24,2%, com 98% de certeza. Decorrência importante desses cálculos é a determinação do tamanho da amostra necessária para se atender a determinadas condições estatísticas. O raciocínio é o mesmo dos casos anteriores, invertendo-se, no entanto, a incógnita procurada. A questão seguinte demonstra esse equacionamento. 10. Um analista de treinamento deseja estimar o tempo de treinamento em horas para determinado cargo com uma confiabilidade de 95% e erro esperado de 2 horas. Baseado em estudos anteriores, ele estima o desvio padrão das horas gastas em treinamento em 18 horas. Qual é o tamanho de amostra com que deve trabalhar? O erro esperado ou margem de erro é dado por: erro esperado = ×Zc N σ . Para fazer essa estimativa, precisamos das seguintes informações: 5 10 15 20 81 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 • Valor crítico: Zc = 1,96, conforme o seguinte cálculo: At tabela Zc= − = → → =1 0 95 2 0 0250 196 , , , • Desvio padrão: σ = s = 18 horas • Erro esperado desejável: 2 horas erro esperado = × → = × → = × → = × Zc N N N N σ 2 196 18 196 18 2 196 18 2 , , , → = 2 312N Baseado nesse cálculo, o analista deve trabalhar com uma amostra de 312 elementos. De maneira semelhante, podem ser calculados os tamanhos necessários para amostras em qualquer dos intervalos de confiança. 4 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEARES Objetivos do módulo Podemos eleger para a palavra correlação significados como: relação mútua entre dois termos; qualidade de correlativo; correspondência. Em estatística: é um parâmetro que indica o “grau de correspondência” entre duas variáveis, ou seja, a correlação mostra a “intensidade” com a qual dois conjuntos de dados estão relacionados mutuamente. Eventualmente, duas variáveis interagem entre si, ou seja, uma variável está correlacionada à outra, de maneira mais ou menos intensa, provocando questões do seguinte tipo: 5 10 15 20 82 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 • O salário de um trabalhador está relacionado com a escolaridade do mesmo, ou seja, em que grau a variável “salário médio de um trabalhador” está ligada com a variável “escolaridade do trabalhador”? • A quantidade de livros que uma pessoa já leu está relacionada com sua escolaridade? • Em que grau o peso de uma pessoa está relacionado com sua altura? • A estatura de uma pessoa está relacionada com sua alimentação? • A lucratividade de uma empresa está relacionada com o grau de escolaridade de seus executivos? • A capacidade de aprender estatística está relacionada com o sexo do aluno? Responder matematicamente a essas questões é o objetivo do estudo estatístico das correlações. Considerando que exista uma correlação entre duas variáveis, muitas vezes desejamos saber qual é a lei matemática que as relacionam. Isso nos remete ao estudo das funções de regressão. Neste momento, tanto para correlação como para regressão, iremos nos circunscrever aos relacionamentos lineares, quer dizer, àqueles que utilizam uma equação de primeiro grau. Existem outros relacionamentos, mas não serão objeto de nosso estudo. 4.1 Correlação linear Imagine qualquer uma das questões anteriormente mencionadas. Parece que algumas respostas são verdadeiras, por exemplo, um trabalhador deve ganhar mais se tiver maior 5 10 15 20 25 83 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 escolaridade; uma pessoa mais alta deve pesar mais, mas outras respostas parecem ser falsas, como por exemplo, relacionar sexo com facilidade de aprendizado. A maneira estatística de se determinar a verdade ou a falsidade dessas questões é calcular o coeficiente de correlação que existe entre as variáveis, no nosso caso o coeficiente de correlação linear. Esse coeficiente linear, chamado de coeficiente de correlação linear de Pearson é obtido da seguinte maneira: r n x y x y n x x n y y i i i i i i i i = − − − ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ . . ( ).( ) ( . ( ) ).( . ( ) )2 2 2 2 Em que x é a chamada variável independente e y a variável dependente, ou seja, que está correlacionada (ou não) à variável x. Essa correlação pode existir ou não, e, se existir, pode ser mais ou menos intensa, conforme nos mostra o coeficiente de Pearson: De acordo com o coeficiente r, a correlação poderá ser: • r = -1,00: correlação negativa perfeita. • r = -0,75: correlação negativa forte. • r = -0,50: correlação negativa média. • r = -0,25: correlação negativa fraca. • r = 0,00: correlação linear inexistente. • r = +0,25: correlação positiva fraca. • r = +0,50: correlação positiva média. • r = +0,75: correlação positiva forte. • r = +1,00: correlação positiva perfeita. 5 10 15 20 84 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Correlação linear positiva significa que, se uma variável aumenta, a outra variável também aumenta ou então, se uma variável diminui, a outra também diminui. Correlação linear negativa significa que, se uma variável aumenta, a outra variável diminui ou então, se uma variável diminui, a outra aumenta. O exemplo a seguir mostra, passo a passo, os procedimentos de cálculo: 1. Uma empresa de confecções quer avaliar se suas despesas com publicidade estão repercutindo favoravelmente em suas vendas. Para tanto, levantou os gastos de publicidade e as vendas em cinco meses diferentes, os quais estão relacionados na tabela abaixo. Calcule a resposta para a empresa. Gastos com publicidade (em $mil) 3 4 8 12 14 Vendas ( em $mil) 7 14 15 28 32 A reposta a essa questão é o cálculo do coeficiente de correlação linear. Caso ele seja positivo, poderemos afirmar que as despesas com publicidade repercutem favoravelmente nas vendas, caso contrário, a resposta será negativa. Caso o coeficiente seja positivo, quanto mais próximo do valor 1, maior será a repercussão da publicidade nas vendas. Para fazermos esse cálculo, iremos montar a seguinte tabela, na qual serão determinados os somatórios necessários para a utilização da fórmula: Xi YI xi2 YI2 Xi.YI 3 7 9 49 21 4 14 16 196 56 8 15 64 225 120 12 28 144 784 336 14 32 196 1.024 448 Somatórios 41 96 429 2.278 981 5 10 15 20 85 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 r n x y x y n x x n y y i i i i i i i i = − − − ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ . . ( ).( ) ( . ( ) ).( . ( ) )2 2 2 2 r = − − − 5 981 41 96 5 429 41 52 278 962 2 . ( ).( ) ( . ( ) ).( . ( ) ) r = − −( ) −( ) 4 905 3 936 2 145 1 681 11 390 9 216 . . . . . . . r = 969 464 2 174( ).( . ) r= 0,96 Existe entre as duas variáveis uma correlação positiva forte,ou seja, do ponto de vista prático, é fortemente interessante investir em publicidade para essa empresa. Imagine agora a seguinte questão: caso a empresa investisse em publicidade R$ 18.000,00, qual seriam as vendas previstas? Perceba que para se responder a essa questão seria necessário estabelecer um relacionamento matemático entre as duas variáveis. Isso pode ser feito por meio da regressão linear, nosso próximo e último assunto: 4.2 Regressão linear É o processo de traduzir o comportamento conjunto de duas variáveis na forma de uma lei matemática denominada equação de regressão. Assim sendo, os conceitos de correlação e regressão são indissociáveis. A regressão é linear quando essa lei matemática mencionada é uma reta, portanto uma equação de 1º grau. 5 10 15 86 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Correlação perfeita 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 Correlação forte 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 Como na prática trabalha-se com diversos pontos experimentais, existem inúmeras retas possíveis para um determinado conjunto de dados. No entanto, o critério normalmente utilizado para a definição dessa reta é o chamado método dos mínimos quadrados. É sabido que a equação de uma reta é dada pela fórmula geral: y=ax+b Em que a e b são os chamados coeficientes da reta. Estatisticamente, a equação da chamada reta interpoladora é dada pela fórmula: y K x y K xy i y * ( )= ⋅ + − ⋅ Em que: K r s sy y x = ⋅( ) Assim sendo, para calcularmos a equação da reta interpoladora, precisaremos calcular a média e o desvio padrão de ambas as variáveis (x e y) e o coeficiente de correlação entre elas. Vamos utilizar um exemplo para deixar mais claro o processo de cálculo, passo a passo. 5 10 15 87 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 2. A tabela abaixo mostra a evolução de duas variáveis possivelmente correlacionadas. Determine a equação de regressão linear decorrente. x 3 5 7 9 10 14 16 y 1 2 3 5 7 10 13 1º passo: cálculo do coeficiente de correlação linear: xi yi xi 2 yi 2 xi.yi 3 1 9 1 3 5 2 25 4 10 7 3 49 9 21 9 5 81 25 45 10 7 100 49 70 14 10 196 100 140 16 13 256 169 208 Σ= 64 41 716 357 497 r = − ( ) ( ) − ( ) −( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n x y x y n x x n y y i i i i i i i i . . . . .2 2 2 2 rr = − ( ) ( ) − ( )( ) − ( )( ) = 7 497 64 41 7 716 64 7 357 41 0 988 2 2 . . . . . ,r 2º passo: cálculo da média e do desvio padrão da variável x: xi di di2 3 3 – 9,1429 = –6,1429 37,7352 5 5 – 9,1429 = –4,1429 17,1636 7 7 – 9,1429 = –2,1429 4,5920 9 9 – 9,1429 = –0,1429 0,0204 10 10 – 9,1429 = 0,8571 0,7346 14 14 – 9,1429 = 4,8571 23,5914 16 16 – 9,1429 = 6,8571 47,0198 Σ= 64 130,857 5 88 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 x x n x x s d n s s i x i x x = ⇒ = ⇒ = = − ⇒ = − ⇒ = ∑ ∑ 64 7 9 1429 1 130 857 7 1 4 6701 2 , , , 3º passo: cálculo da média e do desvio padrão da variável y: yi di di 2 1 1 – 5,8571 = –4,8571 23,5914 2 2 – 5,8571 = –3,8571 14,8772 3 3 – 5,8571 = –2,8571 8,1630 5 5 – 5,8571 = –0,8571 0,7346 7 7 – 5,8571 = 1,1429 1,3062 10 10 – 5,8571 = 4,1429 17,1636 13 13 – 5,8571 = 7,1429 51,0210 Σ= 41 116,857 y y n y y s d n s s i y i x x = ⇒ = ⇒ = = − ⇒ = − ⇒ = ∑ ∑ 41 7 5 8571 1 116 857 7 1 4 4132 2 , , , 4º passo: cálculo do coeficiente Ky: K r S S Ky y x y= ⇒ = =. , . , , ,0 988 4 4132 4 6701 0 93 5º passo: definição da equação da reta procurada: y K x y K xy i y* . .= + −( ) y xi* , , , ,= ⋅ + − ⋅( )0 93 5 8571 0 93 9 1429 y xi* , ,= ⋅ −0 93 2 64 5 10 89 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 A determinação dessa equação da reta permite prever valores futuros, com os devidos cuidados de sempre. Por exemplo, caso queiramos saber qual é o valor de y quando o x assumir o valor 18: y x y yi* , , * , , * ,= ⋅ − → = ⋅ − → =0 93 2 64 0 93 18 2 64 14 1 Referências bibliográficas ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística aplicada à administração e economia. 2. ed., São Paulo: Thomson Learning, 2007. BRUNI, Adriano B. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2007. BUSSAB, W. O.; MORETIN, P. A. Estatística básica. 3. ed. São Paulo: Atual, 1986. COSTA NETO, P. L. O. Estatística. São Paulo: Edgard Blucher, 1979. COSTA NETO, P. L. O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher, 1974. DOWNING, D.; CLARK, J. Estatística aplicada. 1. ed., São Paulo: Saraiva, 1998. FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A.; TOLETO, G. L. Estatística aplicada. São Paulo: Atlas, 1995. GUERRA, M.; GUERRA, M. J.; DONAIRE, D. Estatística aplicada. São Paulo: Ciência e Tecnologia, 1991. KAZMIER, L. J. Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: Makron Books, 1982. 90 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 KUNE, H. Métodos estatísticos para a melhoria da qualidade. São Paulo: Gente, 1993. LAPPONI, J. A. Estatística usando Excel. 4. ed., Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. MEDEIROS, E. et. al. Estatística para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 2. ed., v. 1 e 2. São Paulo: Atlas, 1997. _________________. Tabelas de estatística para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1999. MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1976. MILONE, G.; ANGELINI, F. Estatística aplicada. São Paulo: Atlas, 1995. MOORE, D. A. estatística básica e sua prática. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. MOORE, D. et. al. A prática da estatística empresarial: como usar dados para tomar decisões. Rio de Janeiro: LTC, 2006. SPIEGEl, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993. STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Habra, 1981. TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2005. WITTE, R. S.; WITTE, J. S. Estatística. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC , 2005. 91 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Áreas sob a curva normal reduzida Página 1 – valores da variável reduzida negativos – Área entre -3,99 e Z z Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 -3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 -3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 -3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 -3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 -3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 -3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 -3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 -3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 -2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 -2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,00210,0020 0,0019 -2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 -2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 -2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 -2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 -2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 -2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 -1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 -1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 -1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 -1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 -1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 -1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 -1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 -1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 -1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 -0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 -0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 -0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 -0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 -0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 -0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 -0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 -0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 -0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 92 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Áreas sob a curva normal reduzida Página 1 – valores da variável reduzida positivos – Área entre -3,99 e Z z Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9646 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 93 ESTATÍSTICA APLICADA Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 94 Unidade II Re vi sã o: T at ia ne - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 25 /0 5/ 10 Informações: www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000
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