Análise de Funções Multivariáveis

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Terceira Atividade de ma211ab, ps2015
(1) Considere a func¸a˜o
(2x2 + 3y2) exp(−x2 − y2)
Encontre os pontos do seu gra´fico nos quais o plano tangente ao gra´fico e´ horizontal. Fac¸a no
mathematica o gra´fico da func¸a˜o e tambe´m um desenho com seus conjuntos de n´ıvel e interprete
os resultados obtidos.
(2) Nesta questa˜o utilize o teorema 3 da pa´gina 26 do para´grafo 14.5 do texto do Edwards
e Penney para estudar os ma´ximos e mı´nimos da func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 − x − y, estando as
varia´veis x e y restritas a` regia˜o triangular de ve´rtices (0, 0), (2, 0) e (0, 2). Empregue os comandos
ContourPlot [ ] e RegionPlot [ ] do mathematica para desenhar os conjuntos de n´ıvel de f e a
regia˜o triangular a` qual as varia´veis esta˜o restritas. Junte os desenhos com o comando Show [ ] e
interprete os ma´ximos e mı´nimos encontrados. Fac¸a um gra´fico da func¸a˜o apenas sobre o triaˆngulo
que e´ seu domı´nio efetivo e argumente que este gra´fico confirma o resultado obtido . . . para tanto
empregue o Plot3D [ ] com a opc¸a˜o RegionFunction→ Function [{x, y, z}, x+ y ≤ 2] .
(3) Explique, no teorema 3 que empregou acima, com suas palavras, por que raza˜o, quando
ocorre um ma´ximo ou mı´nimo da func¸a˜o num ponto interior ao seu domı´nio, as suas derivadas
parciais devem ser nulas neste ponto . . .mas, mostre com exemplos e gra´ficos, que esta condic¸a˜o
e´ apenas necessa´ria e na˜o suficiente para que o tal ponto interior seja ma´ximo ou mı´nimo.
Boa Sorte. Ma´rcio.
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