Matemática EM

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Governador de Pernambuco 
Paulo Henrique Saraiva Câmara 
 
Secretário de Educação 
Frederico da Costa Amancio 
 
Secretário Executivo de Planejamento e Coordenação 
Severino José de Andrade Júnior 
 
Secretária Executiva de Desenvolvimento da Educação 
Ana Coelho Vieira Selva 
 
Secretário Executivo de Educação Profissional 
Paulo Fernando de Vasconcelos Dutra 
 
Secretário Executivo de Administração e Finanças 
Ednaldo Alves de Moura Júnior 
 
Secretário Executivo de Gestão da Rede 
João Carlos de Cintra Charamba 
 
Gerente de Políticas Educacionais do Ensino Médio 
Raquel de Queiroz 
 
Chefe de Unidade do Ensino Médio 
Carolina Araújo 
 
Equipe de Elaboração – Matemática 
Aldenita Dias 
Cláudio Barros 
Edvaldo Braz 
Elisângela Espíndola 
Fernando Augusto 
Ledevande Martins 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
Prezado (a) professor (a): 
 
 
Elaboramos este material visando subsidiar as atividades dos professores na 
Ação de Fortalecimento da Aprendizagem no que se refere ao componente 
curricular de matemática, da rede estadual de ensino de Pernambuco, com foco no 
ensino-aprendizagem, contemplando os descritores da Matriz de Referência do 
SAEPE que apresentaram baixo desempenho no ano letivo 2014. 
Apresentamos aqui o material norteador das ações pedagógicas que serão 
desenvolvidas ao longo desta ação. 
Sua elaboração teve como critérios a análise dos resultados das avaliações 
do SAEPE e as propostas apresentadas pelos (as) professores (as) nas discussões 
proporcionadas pelas formações de Matemática do Ensino Médio. 
Na área Matemática, este caderno foi preparado de modo a contemplar os 
cinco eixos da matriz de referência e os dez descritores com os percentuais mais 
baixos, conforme apresentado em tabela, mais adiante. 
Dessa maneira, esperamos contribuir com o seu trabalho em sala de aula e 
também contar com a sua participação para construirmos uma aprendizagem 
significativa, eficaz e eficiente que os estudantes da rede estadual de Pernambuco 
merecem. 
 
 
Equipe de Elaboração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
TABELA 
 
 
Descritores (%) 
atingido 
D4 Identificar a relação entre o número de vértices, faces 
e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. 
(18,5%) 
D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da equação 
de uma reta. 
(20,7%) 
D8 Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de 
dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação. 
(19,3%) 
D11 Resolver problema envolvendo perímetro de figuras 
planas. 
(22,2%) 
D12 Resolver problema envolvendo área de figuras planas. (20,1%) 
D22 Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º 
grau por meio de seus coeficientes. 
(19,4%) 
D23 Reconhecer a representação algébrica de uma função 
do 1º grau dado o seu gráfico, ou vice-versa. 
(19,0%) 
D26 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma 
função exponencial. 
(13,6%) 
D27 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma 
função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função 
exponencial. 
(19,5%) 
D29 Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, 
cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades. 
(22,9%) 
 
 
 
 “Que a tua fala, seja tua prática” (Paulo 
Freire) 
 
Que a nossa fala seja refletida nas nossas ações. 
(Equipe de Matemática) 
 
 
 
 
 
5 
 
EIXO GEOMETRIA 
Descritor Percentual de acerto 
D2 - Reconhecer aplicações das relações métricas do 
triângulo retângulo em um problema que envolva figuras 
planas ou espaciais. 
18,3% 
 
Para resolver questões que contemplam este descritor, os estudantes precisam 
reconhecer as figuras geométricas (planas e espaciais), conhecer as relações 
métricas do triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras), ter clareza nos conceitos de 
cateto e hipotenusa e efetuar os cálculos que as questões necessitam. 
1ª QUESTÃO: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada 
colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada 
é de: 
a) 12 m. 
b) 30 m. 
c) 15 m. 
d) 17 m. 
e) 20 m. 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D 
Para resolver a questão é preciso primeiro perceber o triângulo retângulo formado 
pela escada, a altura da parede (do solo até onde a escada alcança) e a distância no 
solo (da escada até o edifício). Como em todo triângulo retângulo podemos aplicar o 
Teorema de Pitágoras para encontrar um de seus lados, quando dispomos dos 
outros dois. E, além desse teorema é necessário utilizar no seu desenvolvimento as 
operações de adição, subtração e potenciação. 
Considerando: a = ? (comprimento da escada) b = 8m c = 15m 
Aplicando com os valores o Teorema de Pitágoras: 
a2 = b2 + c2 
a2 = 82 + 152 
a2 = 64 + 225 
 
 
6 
 
a2 = 289 
a = √ 289 
a = 17, logo o comprimento da escada solicitado é 17m. 
2ªQUESTÃO: O Pedro e o João estão a «andar» de gangorra, como indica a figura: 
 
A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. 
Qual o comprimento do gangorra? 
a) 150 cm 
b) 160 cm 
c) 180 cm 
d) 190 cm 
e) 200 cm 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D 
Através desta questão é possível que o estudante revise conhecimentos relativos à 
transformação de unidades de medida de comprimento, Teorema de Pitágoras, 
Potenciação, Radiciação e Equação do 2º Grau. Mediante a representação da 
gangorra, o estudante pode identificar que as duas crianças nas posições que se 
encontram no desenho formam um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a distância 
entre elas e os catetos são respectivamente, a altura em que se encontra a criança à 
direita em relação ao solo e à distância da projeção do plano inclinado em relação 
ao solo. 
 
 
7 
 
Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha tracejada forma um ângulo de 
90 graus com a "linha" do chão. 
1,8 m = 180 cm 
H2= 1802 + 602 
H2= 32400 + 3600 
H2= 36000 
H √ 
H 
Logo, o comprimento da gangorra é de aproximadamente 190 cm. 
 
3ª QUESTÃO: A figura representa um barco à vela. 
 
 
De acordo com os dados da figura, quais são os valores de x e y ? 
RESOLUÇÃO COMENTADA 
Nesta questão o estudante precisa perceber que existem dois triângulos retângulos 
presentes na figura do barco. O menor desses triângulos, com a hipotenusa e um dos 
catetos com medidas disponibilizadas e o outro cateto y desconhecido. O maior dos 
triângulos, também possui a hipotenusa e um cateto conhecidos e o outro formado 
pela soma de x com y. Essa percepção é fundamental para se definir qual incógnita 
que devemos encontrar primeiro, já que os dois triângulos são retângulos e o uso do 
Teorema de Pitágoras deve ser usado duas vezes: primeiro para encontrar a = 
 
 
 
8 
 
(soma de x com y) e depois para encontrar y. Depois, com os valores de a e y, 
utilizando-se de uma equação de 1º grau chegaremos ao valor de x. Assim, tanto 
o Teorema de Pitágoras quanto equação do 1º grau foram usados para resolver a 
questão. 
 Aplicando o Teorema de Pitágoras encontramos y e a. Abaixo, usando equação de 
1º grau encontramos o valor de x. 
 
 
 
 
SUGESTÕES DE ATIVIDADE 
 
Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula : 
Nesta etapa de escolarização, as relações métricas no triângulo retângulo devem ser 
consolidadas. O professor deve deixar que o estudante estabeleça as relações por 
meio de semelhança de triângulos, sem induzir às relações e à “nomeação” dos 
segmentos, a fim de evitar a memorização de “letras”, sem o devido entendimento de 
como a relação foi obtida. No caso do Teorema de Pitágoras, por exemplo, é 
importante que seja estabelecidaa sua recíproca, ou seja, se os lados de um 
triângulo retângulo obedecem à relação (a2 = b2+c2), então esse triângulo será 
retângulo. A compreensão da terna pitagórica (triângulos cujos lados derivam de 3, 4 
e 5) deve ser destacada, pois permitirá resolver rapidamente problemas envolvendo o 
Teorema de Pitágoras. A questão da incomensurabilidade de alguns segmentos deve 
ser explorada e discutida com os estudantes e deve-se aproveitar para fazer o elo 
 
 
 
9 
 
com a necessidade de ampliação dos conjuntos numéricos. É importante consolidar a 
ideia de congruência de figuras planas, a partir da utilização de softwares de 
geometria dinâmica (GeoGebra, por exemplo), explorando atividades com 
transformações isométricas. Esse trabalho pode ser articulado ao trabalho com 
Números, no que se refere aos segmentos incomensuráveis. 
 
EIXO GEOMETRIA 
 
Descritor Percentual de acerto 
D4 - Identificar a relação entre o número de vértices, 
faces e/ou arestas de poliedros expressa em um 
problema. 
 22,6% 
 
O estudante, para resolver questões que contemplem o D4 deverá conhecer as 
figuras espaciais, especialmente os sólidos platônicos, identificando suas principais 
características vértices, faces e arestas, para assim, a partir desses comprovar o 
que determina a relação de Euler e aplicá-la corretamente. 
 
4ª QUESTÃO: (SEAPE) – Observe a figura abaixo, e diga quantos vértices tem a 
mesma. 
 
 
 
 
 
A)24 B) 18 C) 12 D) 10 E) 8 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
 
 
10 
 
 Na face frontal vemos 6 vértices. Essa mesma quantidade de vértices encontramos 
na face oculta (de traz), logo o total de vértices é 6 + 6 = 12. 
5ª QUESTÃO: Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice 
se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 
(A)28 B) 30 C) 32 D) 36 E) 38 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20. As arestas que saem e 
chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número 
total de arestas. Veja: 
A = 5 x 20 
 2 
A = 50 
De acordo com a relação de Euler, temos que: 
F + V = A + 2 »F + 20 = 50 + 2 
F = 52 – 20 
F = 32 
O poliedro em questão possui 32 faces. 
6ª QUESTÃO: Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 
2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de 
vértices. O número de faces, de vértices e arestas desse poliedro é: 
A) F = 7 A = 15 V = 10 
B) F = 7 A = 10 V = 15 
C) F = 10 A = 15 V = 7 
D) F = 15 A = 10 V = 7 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A 
 
 
11 
 
Na questão não foram fornecidos nenhum dos valores solicitados, mas temos 
informações suficientes para encontrar as três incógnitas, utilizando-se da resolução 
de um sistema de equações. 
Admitindo: V = 
 
 
 F = V – 3 A = 
 
 
.V 
V: vértice A: arestas F: faces 
 
F = V – 3 » F = 10 – 3» F = 7 
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices. 
A equação dessa reta é: 
 
EIXO GEOMETRIA 
Descritor Percentual de acerto 
D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da 
equação de uma reta. 
(20,7%) 
 
Através da observação do gráfico, encontramos os valores dos coeficientes 
angulares representado pela interceptação do eixo x e lineares representado pela 
 
 
12 
 
intersecção do eixo y. Daí, de posse destes valores substituindo na forma da 
equação da reta y= mx+n encontraremos a representação algébrica.Recomendamos 
no trabalho com questões deste tipo associar as representações algébricas e 
geométricas. 
 
7ª QUESTÃO: (SAEB- adaptada) Mateus representou uma reta no plano cartesiano 
abaixo. 
 
A equação representada nesta reta é: 
 
A) y = – x + 1 
B) y = – x - 1 
C) y = x – 1 
D) y= 2x-1 
E)y= -x 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
Os valores m e n são respectivamente coeficientes angular e linear e nesta questão 
o m= tg 45º. e n= -1 sendo a expressão y= mx+n.Sendo assim, m=1 e n= -1, a 
alternativa C 
y= x-1 é a que representa a equação da reta. 
 
 
 
13 
 
EIXO GEOMETRIA 
Descritor Percentual de acerto 
D8 - Identificar a equação de uma reta apresentada a 
partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua 
inclinação. 
19,3 % 
 
Para resolver questões relacionadas ao D-8 é necessário que o estudante consiga 
identificar pelo menos dois dos pares ordenados (x, y) disponíveis na 
representação gráfica ou avaliar os coeficientes da equação da reta de forma 
y=mx+n,onde m e n são inclinações angular e n linear respectivamente. 
8ª QUESTÃO: O gráfico abaixo mostra 
uma reta em um plano cartesiano. A 
equação da reta representada no gráfico é: 
A) x – y – 5 = 0 
B) x + y – 5 = 0 
C) x + y + 5 = 0 
D) x + y – 4 = 0 
E) x + y = 6 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B 
Para encontrar a solução basta usarmos os pares (x,y) que dão origem a reta. 
Para chegar à alternativa B basta substituir as coordenadas cartesianas (4,1) e (2,3) 
nas equações dadas e obter como resultado o valor zero. 
X + y – 5 = 0 x + y – 5 = 0 
4 + 1 – 5 = 0 2 + 3 – 5 = 0 
Em nenhuma das outras equações encontramos resultado zero. 
 
 
14 
 
9ª QUESTÃO: (Prova Brasil)- Um engenheiro quer construir uma estrada de ferro 
entre os pontos de coordenadas (2,3) e (4,7), devendo a trajetória da estrada ser 
retilínea. Qual é a equação dareta que representa essa estrada de ferro? 
A) y= 2x + 3 
B) 4x = 7y 
C) Y = 2x – 1 
D) Y = 
 
 
 + 2 
E) Y = 
 
 
 + 5 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
Para resolver esta questão pode-se utilizar a fórmula do coeficiente angular da reta 
 , e em seguida aplicar a fórmula da equação da reta a partir de um dos dois 
pontos, por exemplo . Assim encontramos a equação da reta , 
conforme mostram os cálculos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10ª QUESTÃO: (Saresp). A reta r, representada no plano cartesiano da figura, corta 
o eixo y no ponto (0,4) e corta o eixo x no ponto (–2, 0). Qual é a equação dessa 
reta? 
 
 
A) Y = x + 4 
B) Y = 4x + 2 
C) Y = x – 2 
D) Y = 2x + 4 
 
 
15 
 
E) Y = x - 4 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D 
Para resolver esta questão também pode-se utilizar a fórmula do coeficiente angular 
da reta e, em seguida escolhendo-se um dos dois pontos. O ponto por 
exemplo pode ser usado, e aplicando-se a fórmula da equação da reta, encontra-se 
a equação da mesma Assim demonstram os cálculos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUGESTÃO DE ATIVIDADES 
Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula: 
O trabalho relativo às projeções ortogonais deve ser iniciado de forma bastante 
intuitiva, a fim de facilitar o entendimento por parte dos estudantes e possibilitar, nas 
etapas futuras, uma eficaz articulação entre geometria e álgebra. Por exemplo, a 
queda de um giz pode simbolizar a projeção ortogonal de um ponto (giz) no plano 
representado pelo piso da sala de aula. O professor pode improvisar um jogo de luz 
e sombra, em uma vareta ou uma folha de papel, para facilitar o entendimento de 
que existem outras projeções (e começar a distinguir, dentre elas, a ortogonal) e as 
possibilidades de obtenção de diferentes formas projetadas que uma figura (a 
vareta, a folha de papel) pode produzir no plano representado pelo piso ou parede 
da sala. Após a realização desse trabalho, o professor deve levar o estudante a 
concluir que, para localizar um ponto no plano, são necessárias duas informações 
(no mínimo). É importante discutir a questãodos referenciais. O estudante deve ser 
levado a concluir que, para informar a outro aluno onde foi feita uma marcação bem 
pequena na parede, não basta ele dizer que o ponto está a 60 cm do piso (tomando 
o piso como referência); é preciso dizer, também, que está a 1 metro da parede do 
quadro, por exemplo. Em seguida, o sistema de eixos cartesiano deve ser retomado 
e a representação de pontos, por meio de suas coordenadas, aprofundada. Nesse 
 
 
16 
 
momento, pode-se retomar o uso do jogo de “Batalha Naval” e a localização de 
cidades no mapa, por meio de suas coordenadas geográficas e do uso do GPS. A 
explicação do termo “par ordenado” deve ser discutida com o estudante. Por que 
par? Por que ordenado? (x,y) é o mesmo que (y,x)? O sentido geométrico dos 
coeficientes da equação de uma reta pode ser facilmente explorado com a utilização 
de um software que represente (desenhe) a reta a partir de sua equação (usar o 
software Winplot, por exemplo). Na impossibilidade de se utilizar o software, o 
estudante deve ser levado a representar diferentes retas em um mesmo plano 
cartesiano, a partir de equações previamente (e convenientemente) selecionadas 
pelo professor. O estudante deve ser levado a perceber o efeito do coeficiente 
angular (se positivo ou negativo) na representação da reta no plano. Deve, ainda, 
reconhecer que, em retas paralelas, o coeficiente angular permanece constante e 
que existe uma relação entre os coeficientes angulares de duas retas 
perpendiculares. Nesta etapa de aprendizagem, um sistema de equações pode ter 
sua solução interpretada sob o olhar da geometria; um sistema de duas equações e 
duas incógnitas pode e deve ser associado ao estudo da posição relativa de duas 
retas no plano. A existência ou não de soluções desse sistema deve ser interpretada 
geometricamente e associada ao caso de retas coincidentes, secantes e paralelas. 
 
 
EIXO GEOMETRIA 
 
O estudante deverá ter informações sobre as funções: seno, cosseno e 
tangente quanto ao domínio e a imagem, além de interpretar dados contidos em 
tabelas que referenciam os pontos dos gráficos das funções trigonométricas. 
 
Descritor Percentual de acerto 
D29 Identificar gráficos de funções trigonométricas 
(seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas 
propriedades. 
19,3 % 
 
 
17 
 
 
 
11ª QUESTÃO: Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0 , 
2pi ] ? 
 
 
(A) y =cos x (B) y =sen x (C) y =sen(2x) (D) y =sen2x (E) y =2. senx 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA E 
No gráfico verificamos que seu ponto de origem é uma característica da função 
seno, e analisando a imagem verificamos que a mesma sofre uma ampliação do 
dobro, em decorrência disso a alternativa y= 2 sen x é a correta. 
 
 
 
EIXO GRANDEZAS E MEDIDAS 
Descritor Percentual de acerto 
D 12 - Resolver problema envolvendo área de figuras 
planas. 
16,7 % 
 
O estudante deverá reconhecer dentre as figuras planas aquelas cujas áreas 
poderão ser calculadas diretamente e utilizando-se das formulas encontrar estas 
áreas. Nas figuras onde não é possível encontrar suas áreas diretamente, o 
estudante deverá ser capaz de dividir a figura dada, em duas ou mais figuras que 
 
 
18 
 
possibilitem o cálculo de suas áreas para logo após serem somadas ou subtraídas 
de acordo com o problema apresentado. É importante no trabalho com área das 
figuras planas, associar o conceito de perímetro. 
 
12ª QUESTÃO: (PUC-RIO 2008). A área da figura abaixo: 
 
A) 24 cm2 B) 30 cm2 C) 33 cm2 D) 36 cm2 E) 48 cm2 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B 
Para resolver esta questão, primeiro é preciso perceber que na figura acima não 
é possível encontrar sua área com um único cálculo, com uma única fórmula. 
Assim, ele deve identificar pelo menos uma possibilidade para dividir a figura, de 
modo que possa encontrar as áreas dessas partes e soma-las, obtendo assim a 
área total da figura dada. Pode-se encontrar nessa divisão da figura duas 
possibilidades: um triângulo e um retângulo, ou um trapézio e um retângulo. 
Logo, se mobilizará os conhecimentos de Multiplicação, Adição, Cálculo de Área 
(trapézio, triângulo, retângulo) para resolver a questão de duas formas diferentes. 
1ª Solução: (dividindo a figura em triângulo e retângulo) 
Área do triângulo: A = 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 
Área do retângulo: A= 
Área total: Área do triângulo + Área de triângulo retângulo 
http://www.infoescola.com/files/2010/05/exec15.jpg
 
 
19 
 
 2ª Solução: (dividindo a figura em trapézio e retângulo) 
Área do trapézio: A= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área do retângulo: A= 
Área total = Área do trapézio + Área do retângulo 
13ª QUESTÃO: (UDESC 2010). O projeto de uma casa é apresentado em forma 
retangular e dividido em quatro cômodos, também retangulares, conforme ilustra a 
figura. 
Sabendo que a área do banheiro (wc) é igual a 3m² e que as áreas dos quartos 1 e 2 
são, respectivamente, 9m² e 8m², então a área total do projeto desta casa, em 
metros quadrados, é igual a: 
 
 
 
A) 24 m2 B) 32 m2 C) 44m2 D) 72 m2 E) 56 m2 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
 
Essa questão é de Lógica, não envolve grandes cálculos. 
 
 
20 
 
 
O objetivo da questão é descobrir as medidas dos lados do retângulo maior. 
Nesse tipo de questão a base é sempre a menor célula, o WC (o banheiro). 
 
1- A área do WC =1 x 3 ou 3 x 1 
2 - o quarto 2 tem uma das paredes igual a do WC, logo não pode medir 3m (3 não é 
divisor de 8 ), então é 1m. 
3 - o quarto 2 mede 1m x 8m , daí, o quarto 1 mede 3 vezes o WC 
4-Logo, podemos concluir que o retângulo maior tem largura = 1+1+1+1= 4m e o 
comprimento = 8+3 =11m. 
5-Assim, a área completa da planta é igual a 4 x 11 = 44 m2 
 
14ª QUESTÃO: Qual é a medida da área em centímetros, do triângulo abaixo? 
 
 
 
A) 16√3 B) 8√ C) 16√ D) 8√ 
 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A 
Na questão o que é solicitado é que encontre a área do triângulo dado. Para 
encontra-la precisamos da base dada (4 +4) = (8) e da altura h (desconhecida).Para 
determinar a altura podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, considerando a= 8, b= 
h e c = 4. 
Assim, 
a2 = b2 + c2 
82 = h2 + 42 
 
 
21 
 
64 = h2 + 16 
H2 = 64 – 16 
H2 = 48 
H = √ 
H = 4√ 
Logo, a área do triângulo é; 
 A = 
 
 
 
 A = 
 √ 
 
 
A = √ : 2 
A= 16√ 
 
15ª QUESTÃO: (UFMG 2008). O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos 
lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme 
mostrado nesta figura: 
 
Então, é CORRETO afirmar que a área do quadrado PQRS é: 
A) 1 + 2√2 dm² B) 1 + √2 dm² C) 3 + 2√2 dm² D) 3 + √2 dm² 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
Para resolver a questão, inicialmente precisa-se perceber que o octógono da figura é 
regular, portanto possui os lados e os ângulos internos congruentes (iguais). 
 
 
22 
 
Utilizando-se dessa propriedade e considerando, como podemos observar que 
quatro dos lados do octógono que valem 1 dm formam com os quatro vértices do 
quadrado triângulos retângulos isósceles. 
Utilizado-se de um desses triângulos, considerando o lado do octógono como a 
hipotenusa e os outros dois como os catetos (de mesma medida) que chamamos 
de “a” nos cálculos abaixo utilizando o Teorema de Pitágoras obtêm-se o valor de 
“a” igual 
√ 
 
. De onde podemos observar o lado do quadrado que está circunscrito ao 
octógono regular da figura dada correspondente ao lado 2a +1. 
 Assim, obtemos a área desse quadrado, desenvolvendo o produto notável efazendo as substituições devidas, chegamos à solução ( √ ) . 
 
 
 
 √
 
 
 
 
√ 
 
√ 
√ 
 
√ 
 
 
 
 (
√ 
 
)
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 ( √ ) 
 
16ª QUESTÃO: (PUC-RIO) Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a 
altura. Então a área é: 
 
A) 200 B) 300 C) 100 D) 50 E) 30 
 
SOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A 
 
 
 
23 
 
A questão só fornece o perímetro = 60 e a indicação de que a altura é uma medida 
desconhecida (que chamaremos de x) e a base é o dobro dessa medida (que 
chamaremos de 2x). 
Partindo do valor do perímetro encontramos os lados desse retângulo. 
Assim: P = x + 2x + 2x + x P = 6x » 60 = 6x » X = 10 é a altura do 
retângulo, e a base é seu dobro 2x = 2 x 10 = 20. 
Assim, tendo base e altura podemos calcular a área. 
A = b x h 
A = 20 x 10 
A = 200 
17ª QUESTÃO: (UFPR 2010). A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual 
a 83 cm². Qual é a área do quadrado maior? 
 
 
 
A) 36 cm² B) 20 cm² C) 49 cm² D)42 cm² E) 64 cm² 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
A figura é composta por três quadrados, todos com as medidas de seus lados 
desconhecidas. 
 A área total 83 cm² e as medidas 4, 2 e x, são as bases que teremos para 
responder à pergunta. 
http://www.infoescola.com/files/2010/05/exec16mtm.jpg
 
 
24 
 
A questão envolve além do cálculo da área do quadrado, redução de termos 
semelhantes, produtos notáveis, radiciação, fração, multiplicação, adição e 
subtração. 
Organizando a soma das áreas dos três quadrados e igualando à 83, temos: 
x2 + (x + 2)2 + ( x + 2 – 4)2 = 83 
x2 + (x + 2)2 + ( x – 2)2 = 83 
x2 + x2 + 4x + 4 + x2 - 4x + 4 = 83 
3x2 + 8 = 83 
3x2 = 83 – 8 
3x2 = 75 
x2 = 
 
 
 
x2 = 25, logo o valor de x é 5, já que só pode assumir valores positivos. 
O quadrado maior tem lado igual a x + 2, portanto seu lado é 5+2 = 7. 
Logo a área desse quadrado é: A = L x L A= 7 x 7 = 49 cm2 
 
EIXO GRANDEZAS E MEDIDAS 
Descritor Percentual de acerto 
D11 Resolver problema envolvendo perímetro de 
figuras planas. 
16,7 % 
 
Para responder questões relacionadas ao descritor acima é necessário a 
compreensão do que é perímetro, e o reconhecimento das figuras planas, além de 
efetuar as operações de adição e multiplicação. Recomendamos que no trabalho 
com cálculos de perímetros associar ao conceito de área. 
 
 
 
25 
 
 18ª QUESTÃO: André possui um terreno retangular de perímetro 96 m, cujo 
comprimento é o triplo da largura. Qual é a medida da largura e do comprimento, 
respectivamente, desse terreno? 
A) 8,0 cm e 24,0 cm. 
B) 12,0 cm e 36,0 cm. 
C) 22,5 cm e 25,5 cm. 
D) 24,0 cm e 72,0 cm. 
E) 46,5 cm e 49,5 cm. 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B 
 
Perímetro desta figura será a+a+3a+3a=8ª, então 8a=96. Isto implica que o valor de 
a será a=12m. 
Largura= a então, L=12m 
Comprimento=3a, C=3.12=36m 
 
SUGESTÃO DE ATIVIDADES 
Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula: 
O estudo com as grandezas geométricas, nesta etapa, deve favorecer que o 
estudante reconheça as diferentes grandezas que descrevem, qualitativamente, os 
diferentes conceitos ou figuras geométricas e que, nas medições, as grandezas são 
expressas por um número real, representando, quantitativamente, as unidades de 
medida apropriadas dessas grandezas. Por exemplo, em um quadrado de lado 
medindo 4 cm, podemos considerar o lado do quadrado, representado por um 
segmento de reta, cuja grandeza a ele associada é o comprimento. A unidade de 
medida adotada é o cm e o número real que expressa quantitativamente essa 
grandeza é 4. Para estabelecer as fórmulas e determinar a medida da área e do 
volume de figuras geométricas, é recomendável que o professor retome, ainda que 
brevemente, o trabalho de composição e decomposição de figuras, já realizado em 
etapas anteriores, e a planificação de sólidos (área lateral e área total). Ao visualizar 
que todo retângulo, cuja área é dada por Base x Altura, pode ser dividido em dois 
 
 
26 
 
triângulos, fica claro perceber e formalizar que a área do triângulo é dada por base × 
altura 2 . Essa mesma ideia ajuda a calcular a medida da área e do perímetro de 
figuras planas limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência. Para 
retomar os estudos sobre área do círculo, de setores circulares e coroas, o professor 
deve considerar as ideias de ângulo central, comprimento do raio e 
proporcionalidade, que já vinham sendo relacionadas em anos anteriores, para 
formalizar os resultados. Por exemplo, metade do círculo, um quarto do círculo 
(ângulos de 180°, 90°). Além disso, especial atenção deve ser dada ao número p 
nas fórmulas do comprimento e área do círculo. Embora possa aparecer, a partir da 
fórmula do comprimento da circunferência (C = 2pR), a expressão p = C 2R , isso 
não é uma contradição. O professor deve alertar para o fato de que se trata de um 
valor aproximado para p, já que este é um número irracional (e, portanto, não pode 
ser escrito como uma razão). Ainda nesta etapa, o professor deve levar o estudante 
a mobilizar conceitos e propriedades já trabalhados em anos anteriores (como 
cálculo de áreas e alturas), a fim de torná-lo apto a estabelecer as fórmulas para o 
cálculo da medida de volumes de prismas e cilindros, a exemplo do que já vinha 
sendo feito no 9° ano. O recurso à História da Matemática pode ajudar bastante 
nessa compreensão. 
 
 EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES 
Descritor Percentual de acerto 
D23 – Reconhecer a representação algébrica de uma 
função do 1º grau dado o seu gráfico ou vice-versa . 
22,3 % 
 
Esse descritor aborda o conceito de função e suas diferentes representações, 
enfatizando a relação algébrica e gráfica. O estudante necessita para resolver 
questões relacionadas ao D23, a este necessita saber que toda representação de 
função do 1º grau é uma reta inclinada transversal, conseguir representar 
graficamente e algebricamente. Esse descritor aborda o conceito de função e suas 
diferentes representações. 
 
 
 
27 
 
19 ªQUESTÃO: O gráfico a seguir representa a altura (h) de uma planta, dada em 
centímetros, em função do tempo (t), expresso em meses. 
 
 
 
A expressão algébrica 
que representa a função 
esboçada é: 
A) H = 5t 
B) H = t + 5 
C) H = 2t + 10 
D) H = 5t + 10 
E) H = 10t + 2 
SOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A 
Para responder a questão basta observar no gráfico os pontos: 
 (0,0) – a origem, onde não contamos o tempo e portanto, não há crescimento; 
(2,10) _ quando o tempo é dois a altura passa a ser 10. 
Assim, usando os valores do segundo par ordenado nas expressões dadas como 
opções encontramos a solução da questão, conforme cálculo abaixo. 
H = 5 x t 
H = 5 x 2 
H = 10 (quando t = 2, h = 10), logo h = 5t. 
 
20ª QUESTÃO: Em uma promoção de venda de camisas, o valo (P) a ser pago pelo 
consumidor é calculado pela expressão 
 
 
28 
 
P(x) = -
 
 
 x + 35 , onde x é a quantidade de camisas compradas (0 ≤ x ≤ 20). 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A 
Para chegar a alternativa correta basta utilizar o ponto x = 0 para encontrar P = 35 e 
o valor do coeficiente angular (- ⁄ ) para identificar que a função é decrescente e 
também utilizar o que diz o enunciado: a função é válida dentro do intervalo de (0 ≤ 
x ≤ 20). Assim procedendo identificamos o primeiro gráfico como resposta. 
21ª QUESTÃO: Na figura a seguir está representada uma reta num plano 
cartesiano: 
 
Essa reta é o gráfico da função 
 
Resposta: Como a reta apresentada passa pela origem do sistema de coordenadas, 
ela é o gráfico de uma função linear, que tem a forma y= ax. Como o ponto (3, 2) 
 
 
29 
 
pertence ao gráfico, tem-se que essa equação é verdadeira para x = 3 e y = 2. 
Nesse caso, obtém-se 2 = 3a, ou seja, 
 
 
. Logo, alternativa C. 
Por outro lado, podemos pensar em situações que envolvam contextos para 
ser analisados nas diferentes representações. Veja a atividade a seguir. 
 
EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES 
Descritor Percentual de acerto 
D26 – identificar a representação algébrica e/ou gráfica 
de uma função exponencial. 
20,1 % 
 
22 ª QUESTÃO: Entre os gráficos abaixo, aquele que representa adequadamente a 
função y= 7x é: 
 
A) B) C) D) E) 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA E 
 
 
30 
 
O gráfico a função A representa uma parábola, função quadrática. O gráfico da 
função B representa uma reta, função afim. O gráfico da função C representa uma 
hipérbole, função recíproca. O gráfico da função D é uma reta paralela ao eixo das 
abscissas, função constante. E finalmente, o gráfico da função E é uma curva com 
característica com comportamento de função crescente com fator de aumento 
positivo, portanto, o gráfico da letra E é uma função exponencial. 
23ª QUESTÃO: (Vunesp). Certa substância se decompõe aproximadamente 
segundo a lei , em que K é uma constante, t indica o tempo em 
minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. 
Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, 
determine o valor de a. 
 
 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
 
 
31 
 
A função exponencial passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048). 
Substituindo esses pontos na função, temos: 
 
 
SUGESTÕES DE ATIVIDADE 
Orientações para o ensino: 
No estudo de funções, ao considerar o modelo linear (f(x) = ax), devem-se 
evidenciar as ideias de crescimento e proporcionalidade direta. Características dos 
gráficos da função linear e da função afim devem ser trabalhadas simultaneamente, 
de preferência com o auxilio de softwares (Winplot ou Geogebra, por exemplo). O 
estudante deve ser levado a reconhecer que, na função linear, o gráfico passa pelo 
ponto (0,0) e, na função afim (f(x) = ax + b), a intersecção com o eixo das ordenadas 
é o ponto (0,b). Deve-se ressaltar o significado de “zero da função” e, igualmente, 
devem ser discutidos os significados do coeficiente linear e do coeficiente angular de 
uma função afim, no que se refere aos seus significados no plano cartesiano. 
Situações abordando a realidade e o meio social do aluno (conta de luz, preço de 
estacionamento etc.) podem ser utilizadas para o estudo das funções definidas por 
mais de uma sentença polinomial do primeiro grau. No estudo da função polinomial 
do segundo grau, é importante que os alunos compreendam o significado dos 
principais elementos do gráfico, como zeros, intersecção com o eixo das ordenadas, 
 
 
32 
 
eixo de simetria, concavidade e pontos de máximo/mínimo. Sugere-se que esses 
conceitos sejam abordados a partir de desafios em que é preciso encontrar um certo 
ponto de máximo (problemas clássicos de determinação de área máxima, por 
exemplo). Quanto aos coeficientes, preferencialmente com a utilização de softwares, 
o professor deve explorar a construção e análise de gráficos, variando os seus 
valores e discutindo com o estudante as transformações ocorridas. Por exemplo, o 
estudante deve ser levado a concluir que, ao variar o valor do coeficiente c na 
representação algébrica y=ax2+bx+c, a parábola sofre translações ou, ainda, que a 
concavidade da parábola está relacionada com o “sinal” de a. O vértice da parábola 
é um ponto importante e merece uma atenção especial para sua determinação ou 
identificação. É importante, nesse momento, recuperar a ideia de eixo de simetria da 
parábola; com essa ideia e conhecendo os zeros da função, caso existam, é 
possível determinar as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo (a abscissa 
desse ponto é a média aritmética das raízes). Recomenda-se a não apresentação 
de fórmulas de imediato (muitas vezes, desnecessárias), mas explorar exemplos 
apropriados que levem o estudante a concluí-las. 
No que se refere ao estudo da função exponencial, deve-se ressaltar seu padrão de 
crescimento e levar o estudante a perceber diferenciações entre o modelo de 
crescimento/decrescimento da função exponencial em relação às funções lineares e 
quadráticas. Assim como foi feito para a função quadrática, com o auxílio de 
software, o professor deve estimular o estudante a perceber as transformações 
sofridas pelo gráfico da função exponencial com modificações nos coeficientes de 
sua expressão algébrica. Uma articulação natural entre o estudo da progressão 
aritmética e a ideia de crescimento linear de uma função de domínio discreto deve 
ser estimulada pelo 
 
EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES 
Descritor Percentual de acerto 
D27 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica 
de uma função logarítmica, reconhecendo-a como 
inversa da função exponencial. 
18,6% 
 
 
33 
 
 
24ª QUESTÃO: Observe o gráfico abaixo: 
 
Que função esse gráfico representa? 
a) y = log₂x b) y = -log₂x c) y = 2
x d) y = -2x e) y = 2x 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A 
A questão solicita que se estabeleça a relação entre a representação algébrica e a 
representação gráfica de uma função logarítmica. A função logarítmica representada 
pelo gráfico é padrão log x com o ponto P (1,0) e crescente de onde podemos 
deduzir que a base do logaritmo é positivo (2) ilustrado pelo comportamento 
crescente da função. Daí, podemos concluir que a representação algébrica da 
função é y = log₂x . 
 
 
25ª QUESTÃO: Abaixo estão representados dois gráficos: 
 
 
 
34 
 
 
 De acordo com os gráficos: 
A) Y = 2x está representado no gráfico 1 
B) Y = x2 + 1 está representada no gráfico 2. 
C) Y = está representada no gráfico 2. 
D) Y = 2x está representada no gráfico 2. 
E) Y = log x está representada no gráfico 2. 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C 
A opção A diz que o gráfico 1 representa y = 2x, que é uma função de 1º grau, 
portanto deveria ser uma reta. Não é reta, portanto a afirmação é falsa. 
A opção B diz que o gráfico 2 representa y = x2 + 1, que é uma função de 2º grau, 
portanto deveria ser parábola. Não é parábola, portanto a afirmação é falsa. 
A opção C diz que o gráfico 2 representa y = log₂x o que é correto, tornando a 
alternativa verdadeira. 
A opção D diz que o gráfico 2 representa y = 2x que é uma função exponencial, mas 
ele é uma função logarítmica, portanto a alternativa é falsa. 
A opção E diz que o gráfico 2 representa Y = log x função logarítmica diferente da 
representada no gráfico 2, portanto a alternativa é falsa. 
 
 
26ª QUESTÃO: Um automóvel parte da cidade de “Monte Verde” em direção a 
cidade de “Alegre”. Durante as 3 primeiras horas de viagem, ele mantém uma 
velocidade constante de 80km/h. Daí em diante, começa a aumentar sua velocidade 
 
 
35 
 
até atingir 110km/h e permanece nessa velocidade. Dentre os gráficos abaixo, 
aquele que ilustra a velocidade do automóvel em função do tempo é 
 
 
 
RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B 
Resposta: Do enunciado temos que durante as três primeiras horas o automóvel 
mantém sua velocidade constante de 80km/h, após esse período sua velocidade vai 
aumentando até atingir 110km/h, ou seja é crescente, permanecendo nessa 
velocidade. Diante destes dados, o único gráfico que ilustra a velocidade do 
automóvel em função do tempo é a alternativa B. 
 
 
36 
 
REFERÊNCIAS 
 
INEP. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. 
Matriz de Referencia ENEM. Disponível em http://enem.inep.gov.br/. 
PERNAMBUCO. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DE PERNAMBUCO. 
Matriz de Referencia doSAEPE. Disponível em 
http://www.saepe.caedufjf.net/saepe-inst/. 
PARÂMETROS NA SALA DE AULA - MATEMÁTICA (ENSINO FUNDAMENTAL E 
MÉDIO). Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco. Recife, 2013. 
 
 
Sites consultados 
 
www.portaleducacao.com.br 
www.sitesistec.mec.gov.br 
www.infoescola.com 
www.matematicadidatica.com.br 
www.brasilescola.com 
files.gracinhaprof.webnode.com/.../EXERCICIOS%20DESCRITOR%207... 
 
 
 
 
 
 
http://www.saepe.caedufjf.net/saepe-inst/
http://www.portaleducacao.com.br/
http://www.sitesistec.mec.gov.br/
http://www.infoescola.com/
https://www.google.com.br/search?biw=1093&bih=538&q=www.matematicadidatica.com.br&spell=1&sa=X&ei=M6x4VJieHoObgwTO7IJg&ved=0CBkQvwUoAA
http://www.brasilescola.com/
 
 
37