atividade 5

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Quinta Atividade de ma211ab, ps2015
(1) Nesta questa˜o fac¸a uma resenha do texto do A´vila entre as pa´ginas 59 e 62 onde ele apresenta o
conceito de diferenciabilidade, chame a atenc¸a˜o, sem precisar repetir por inteiro a demonstrac¸a˜o,
para o fato de que o velho teorema do valor me´dio do ca´lculo I e´ a chave para mostrar que as
primeiras derivadas cont´ınuas num aberto garantem a diferenciabilidade da func¸a˜o em cada ponto
deste aberto.
(2) Nesta questa˜o considere os seguintes comandos do mathematica
h [x , y ] = 15 + (3/4)y2 + (1/24)y2 − (1/32)y4 − x2;
α [t ] = {(t/6)Cos [t] , (t/6)Sin [t]};
φ [t ] = h [(t/6)Cos [t] , (t/6)Sin [t]] ;
β [t ] = {(t/6)Cos [t] , (t/6)Sin [t] , φ [t]};
a = Plot3D [h[x, y], {x,−8, 8}, {y,−8, 8},RegionFunction→ Function [{x, y, z}, h [x, y] ≥ 0]] ;
b = ParametricPlot3D [β[t], {t, 0, 8π},PlotStyle→ Thick] ;
Show [a, b]
Imagine que h da´ a altura do terreno em func¸a˜o de um plano hipote´tico que imaginamos existir
embaixo das montanhas, ao n´ıvel do mar . . . e´ a este plano que se refere um mapa da regia˜o. Os
mapas sa˜o bidimensionais e informac¸a˜o da altura em que voceˆ esta´ vem dada atrave´s de curvas de
n´ıvel de h . . . podemos identificar o tal plano hipote´tico com o mapa. Neste contexto, β descreve
o movimento espacial de um ponto material sobre a montanha em func¸a˜o do tempo, que vai de
0 ate´ 8π, a sombra deste ponto em movimento no plano hipote´tico, que serve de domı´nio para h,
tem um movimento dado por α. Explique esta u´ltima frase em termos das definic¸o˜es de α e β e
fac¸a uma descric¸a˜o da topografia do terreno, do do movimento espacial do ponto material e de
sua projec¸a˜o no plano. Agora vamos a mais alguns comandos do mathematica.
c = ContourPlot [h[x, y], {x,−5, 5}, {y,−5, 5},ContourShading→ False,ContourLabels→ True] ;
gradh [x , y ] = {D[h[x, y], x],D[h[x, y], y]};
d = StreamPlot [gradh[x, y], {x,−5, 5}, {y,−5, 5}] ;
e = ParametricPlot [α[t], {t, 0, 8π},PlotStyle→ Thick] ;
Manipulate [Show [c, d, e,Graphics [{Blue,Arrow [{α[λ], α[λ] + (0.5) ∗ α′[λ]}]}] ] , {λ, 0, 8π}]
Plot [φ[t], {t, 0, 8π}]
Interprete as va´rias curvas e objetos que aparecem no penu´ltimo comando e por que aparecem
. . . analise o movimento da sombra, a relac¸a˜o da velocidade vetorial do movimento projetado com
as curvas de n´ıvel e as linhas do gradiente . . . tambe´m o significado de tal relac¸a˜o para a inclinac¸a˜o
e variac¸a˜o da altura do ponto material la´ em cima, no gra´fico. Olhe os pontos de ma´ximo e mı´nimo
da altura ao longo do movimento, que aparecem no u´ltimo comando . . . encontre suas coordenadas
espaciais e os interprete em termos da direc¸a˜o da velocidade vetorial no movimento projetado.
. . . tem mais uma questa˜o na pa´gina seguinte.
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(3) Entenda um trac¸o como sendo a imagem de uma parametrizac¸a˜o cont´ınua α : R → R2 com
α(t) = x(t)i + y(t)j. Agora considere uma func¸a˜o de duas varia´veis cont´ınua g : R2 → R com
valores reais e um desenho do conjunto de suas curvas de n´ıvel feito sobre seu domı´nio. Argu-
mente, usando que a composta de cont´ınuas e´ cont´ınua e o velho teorema do valor intermedia´rio
do ca´lculo I, que se fizermos um trac¸o sobre o conjunto de n´ıvel e este trac¸o cortar os conjuntos
de n´ıvel correspondentes a g(x, y) = a e g(x, y) = b, com a �= b, enta˜o este trac¸o cortara´ uma
infinidade de conjuntos de n´ıvel da forma g(x, y) = k onde k assume todos valores poss´ıveis entre
a e b.
Boa Sorte. Ma´rcio.
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