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Profª Lilian Brazile 1 POTENCIAÇÃO Seja 𝒂 ∈ ℝ e 𝒏 ∈ ℕ maior que 1. Potência de base 𝒂 e expoente 𝒏 é o produto de 𝒏 fatores iguais a 𝒂. Representa-se a potência pelo símbolo 𝒂𝒏. 𝑎𝑛 = 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 · … · 𝑎 , ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2 𝑛 fatores Exemplo: 23 = 2 · 2 · 2 = 8, o nº 2 é a base, o nº 3 é o expoente e o nº 8 é chamado de potência. 𝑎1 = 𝑎 Exemplos: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16 −24 = −2 · 2 · 2 · 2 = −16 𝑎−1 = 1 𝑎𝑛 Exemplos: 2−3 = 1 23 = 1 2·2·2 = 1 8 = 0,125 (−2)−3 = 1 (−2)3 = 1 (−2)·(−2)·(−2) = 1 −8 = − 1 8 = −0,125 −2−3 = − 1 23 = − 1 2·2·2 = − 1 8 = −0,125 Definição: Para expoente zero 𝑎0 = 1 Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 3 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Profª Lilian Brazile Profª Lilian Brazile 2 expoente par → + Regras de sinais: expoente ímpar → − Exemplos: 1) (+3)2 = +9 2) (−3)2 = +9 3) (+2)3 = +8 4) (−2)3 = −8 5) (+8)0 = +1 6) (−5)0 = +1 7) (+13)1 = +13 8) (−9)1 = −9 9) (+13)1 = +13 10) (−9)1 = −9 11) ( 1 2 ) 4 = 1 16 12) (− 1 2 ) 4 = + 1 16 13) (− 1 2 ) 3 = − 1 8 Propriedades 𝑎𝑚 · 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎𝑚 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚·𝑛 𝑎𝑚 · 𝑏𝑚 = (𝑎 · 𝑏)𝑚 𝑎𝑚 𝑏𝑚 = ( 𝑎 𝑏 ) 𝑚 Exemplos: 1) 23 · 25 = 23+5 = 28 2) 23 · 2(−5) = 23+(−5) = 2−3 = 1 8 3) 210 ÷ 26 = 210−6 = 24 4) 210 ÷ 2−6 = 210−(−6) = 210+6 = 216 5) (25)7 = 25·7 = 235 Profª Lilian Brazile 3 6) 26 · 27· (24) 2 25 · 23 = 26 · 27 · 28 25 · 23 = 221 28 = 221−8 = 213 7) (2 · 5)2 = 25 · 52 = 4 · 25 = 100 8) ( 4 3 ) 2 = 42 32 · 16 9 Potência de base 10 Expoente positivo; indica a quantidades de zeros após o algarismo 1. Expoente negativo; indica a quantidades de casas decimais após a vírgula. Exemplos: 1) 103 = 1 000 2) 108 = 100 000 000 3) 10−2 = 0,01 4) 10−9 = 0,000000001 Notação Científica É composta pelo produto de dois fatores, sendo o primeiro um número maior que 1 e menor que 10 e, o segundo, uma potência de base 10. Exemplos: 1) 0,0000002 = 2 . 10−7 2) 3 000 000 = 3 . 106 3) 0,00054 = 5,4 . 10−4 4) 1 500 000 000 = 1,5 . 109 Profª Lilian Brazile 4 RADICIAÇÃO Seja 𝒂 ∈ ℝ+ e 𝒏 ∈ ℕ ∗, chama-se raiz enésima de 𝒂, o número 𝒃 tal que √𝒂 𝒏 = 𝒃 ⇒ 𝒃𝒏 = 𝒂 Exemplos: √16 = √42 2 = 4 ⇒ 42 = 16 √8 3 = √23 3 = 2 ⇒ 23 = 8 √𝑎 → radical No símbolo √𝒂 𝒏 , temos: 𝒂 → radicando 𝒏 → índice da raíz Sendo 𝒏 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, temos: Se 𝒏 par e 𝒂 < 𝟎 ; só é definida nos reais para radicandos positivos, ou seja, a expressão √𝒂 𝒏 não tem significado real. Se 𝒏 ímpar; sempre é definida nos reais; Exemplos: 1) √−81 4 = ∄ 2) √−4 = ∄ 3) √−8 3 = √(−2)3 3 = −2 Profª Lilian Brazile 5 4) √16 4 = √24 4 = 2 16 8 4 2 1 | | 2 2 2 2 24 5) √8 3 = √23 3 = 2 8 4 2 1 | 2 2 2 23 6) √−3125 5 = −√55 5 = −5 3125 625 125 25 5 1 | | 5 5 5 5 5 55 7) √50 = √2 · 52 = √2 · √52 = 5√2 50 25 5 1 | 2 5 5 2 · 52 8) √−48 3 = √−23 · 2 · 3 3 = −√23 3 · √2 · 3 3 = −2√6 3 48 24 12 6 3 1 | | 2 2 2 2 3 24 · 3 9) √300 = √22 · 3 · 52 = √22 · √3 · √52 = 2 · 5 √3 = 10√3 300 150 75 25 5 1 | | 2 2 3 5 5 22 · 3 · 52 Profª Lilian Brazile 6 Potência de um expoente racional; Seja 𝒂 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ ∗ e 𝒎 𝒏 ∈ ℚ. A potência é definida por: 𝒂 𝑚 𝑛⁄ = √𝒂𝒎 𝒏 . Exemplos: 2 2 3 = √22 3 2 1 5 = √21 5 = √2 5 Propriedades √𝑎 · 𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 · √𝑏 𝑛 √ 𝑎 𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 𝑎 𝑚 𝑛⁄ = √𝑎𝑚 𝑛 = ( √𝑎 𝑛 ) 𝑚 √ √𝑎 𝑛𝑚 = √𝑎 𝑚·𝑛 √𝑎𝑚 𝑛 = √𝑎𝑚·𝑝 𝑛·𝑝 Exemplos: 1) √2 · √8 = √2 · 8 = √16 = 4 2) √50 √2 = √ 50 2 = √25 = 5 3) √15 = √151·3 2·3 = √153 6 = √3375 6 4) √√7 3 = √7 2·3 = √7 6 5) (√2) 2 = √22 = √4 = 2 6) √√√2 = √2 2·2·2 = √2 8 = 21/8 Profª Lilian Brazile 7 Racionalização de denominadores Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais (ou potências de expoentes fracionários) que existem no denominador da mesma, sem porém alterar o seu valor. Exemplos: 1) 2 √3 = 2 √3 · √3 √3 = 2 · √3 √3 · √3 = 2·√3 (√3) 2 = 2√3 3 2) 2 √3−√8 = 2 (√3−√8) · (√3+√8) (√3+√8) = 2√3 + 2√8 (√3 · √3)+(√3 · √8)−(√8 · √3)−(√8·√8) = 2√3 + 2√8 (√9)+(√24)−(√24)−(√64) = 2√3 + 2√8 3−8 = 2√3 + 2√8 −5 = − 2√3 + 2√8 5 Profª Lilian Brazile 8 EXERCÍCIOS 1) Calcule as potenciações abaixo: a) (+7)2 = b) (−7)2 = c) (−5)3 = d) 122 = e) (−8)3 = f) (+11)2 = g) (−4)4 = h) (+10)4 = i) (+2)8 = j) (−1)10 = k) 150 = l) (−13)2 = m) 161 = n) (+9)3 = o) (−3)6 = p) (+6)2 = q) (−14)1 = r) ( 1 5 ) −3 = 2) Escreva em uma só potência: a) 22 · 27 = b) 328 ∶ 317 = c) 215 ∶ 23 = d) 512 ∶ 5−5 = e) (25)8 = f) (−3)5 · (−3)10 = g) (5−2)13 = h) (39)3 = i) 510 · 5−18 = j) 72 · 73 · 75 74 = k) 43 · 4 · 412 45 = l) 617 · 65 64 · 62 = m) 63 · 63 67 · 65 = n) √75 3 = o) √−53 = 7 Profª Lilian Brazile 9 3) Calcule os radicais abaixo: a) √12 = b) √27 3 = c) √128 = d) √81 3 = e) √243 = f) √64 3 = g) √216 = h) √648 3 = i) √32 4 = j) √200 = k) √−50 = l) √1024 5 = 4) Resolva as seguintes expressões: a) (−6)2 ∶ 3 + √25 = b) (−6)2 ∶ 3 + √25 = c) (−6)4 ∶ (+1)2 − √16 4 = d) (−12)2 ∶ (√64) . 07 = e) (−3)5 ∶ (−9)2 − √8 3 = f) (−5)4 ∶ (√25) · (−2)7 = g) (+4)3 ∶ 8 + √49 = h) (+8)2 ∶ √4 + 9 = i) (+6)2 ∶ √9 + 11 = j) (+12)2 ∶ √16 − 5 = k) (−3)4 ∶ (√81) · (−1)7 = l) (+2)3 ∶ 4 + √81 = m) (+2)4 ∶ (−2)2 − √125 3 = n) (−10)2 ∶ 2 + √16 = o) (−2)4 ∶ (−4)2 − √27 3 = p) (+3)2 ∶ √9 + 5 = q) (−2)4 ∶ (√64) · (−1)7 = r) √12 · √3 + √12 √3 = s) √√64 3 √16 6 − 0 1 + 3 = 5) Racionalize: a) 1 √3 = b) 12 2√5 = c) 7 21√7 = d) 13+√2 √6 = e) 5 3−√7 = f) 10 2+√3 = g) 13√5 √3−√7 = h) 16 5√3−2 =
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