Anotacoes de Aula 2 - Distribuicao de Probabilidade

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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
� O conteúdo dessa Unidade pode ser encontrado nos capítulos 3 e 4 
do livro base: MONTGOMERY, Douglas C, RUNGER, George C. 
Estatística aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 4ª edição. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009 
� As cópias desses capítulos podem ser requisitadas por meio da 
Pasta do Professor (www.pastadoprofessor.com.br), fazendo login 
nessa página e enviando-as para serem impressas na Copiadora 
Set (casa amarela) da Unidade do Coração Eucarístico, ou em 
alguma outra copiadora da Unidade a que o aluno pertence. 
Não deixem de ler! 
 
Algumas notas de aulas: 
 
Epictetus, Séc. II D.C , dizia que as aparências para a mente são de quatro tipos: 
• As coisas são o que parecem ser, 
• ou são e não parecem ser; 
• ou não são, mas parecem ser, 
• ou não são, nem parecem ser. 
 
Esses dizeres nos remetem à Estatística, por ser essa uma ciência que estuda 
fenômenos na presença de incertezas, ou seja, com variações causadas por mudanças 
imprevisíveis. A probabilidade é a base matemática sob a qual a Estatística é construída, pois 
fornece métodos para quantificar as situações imprevisíveis presentes no cotidiano. 
Na primeira unidade vimos alguns conceitos básicos de probabilidade os quais são 
necessários para a continuidade do próximo tópico. 
Primeiramente, retomamos o conceito de variável em Estatística: 
 
 
1) Caracterização Estatística de Variáveis 
 
Muitos experimentos produzem resultados não-numéricos, mas para análise desses 
resultados é conveniente transformá-los em números. A regra que associa um valor 
numérico a cada ponto de um espaço amostral é denominada de VARIÁVEL ALEATÓRIA. 
 
Exemplo: Lançamento de duas moedas e observação das faces. 
Escrevendo: K= cara e C = coroa: 
O espaço amostral é: {KK, KC, CK, CC} 
Seja definida X, uma variável aleatória de interesse em observar caras: X = { número de 
caras} 
Então, a cada ponto do espaço amostral associaremos um número que é o valor assumido 
pela variável aleatória X: 
 
 
Evento KK KC CK CC
X 2 1 1 0
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Dessa maneira, tomamos conhecimento dos valores possíveis que a variável aleatória X 
pode assumir, mas não sabemos a priori qual deles ocorrerá... Por outro lado, a cada um 
desses valores podemos associar a sua probabilidade de ocorrência: 
 
 
 
 
Obtém-se então uma distribuição de probabilidades a qual pode ser representada num 
gráfico: 
 
 
 
 
A variável aleatória X ficou completamente caracterizada pelos valores possíveis que 
assume e pela regra, ou função, que associa a cada um desses valores a sua probabilidade, 
ou seja, pelo par (x, p(x)). 
De maneira geral, os valores numéricos possíveis que uma variável aleatória assume podem 
ser provenientes de contagens ou de mensurações (medidas), e são, portanto, classificadas 
em dois tipos: 
a) Discretas – os valores numéricos são provenientes de contagens 
Exemplo: 
X: número de falhas ocorridos num determinado dia em um mecanismo eletrônico. 
 X : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 
 
 
 
Seus valores podem ser enumerados, pois são pertencentes ao conjunto dos números 
naturais. 
b) Contínuas – provenientes de mensuração (medidas). Exemplo: 
 X: tempo, em horas, gasto no atendimento em máquinas que falham num determinado 
dia. 
 
Valores de X 2 1 0
Probabilidade 1/4 1/2 1/4
210
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
x
P
(X
=
x)
Distribuição de probabilidades de X: no. de caras no lançamento de 2 moedas
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Seus valores não podem ser enumerados. Podem assumir quaisquer valores da reta real, 
nesse exemplo, valores entre 0 e 24 (horas). 
A diferenciação do tipo de uma variável aleatória é necessária para a escolha das técnicas 
estatísticas adequadas. 
 
2) Variáveis Aleatórias Discretas 
 
Considere o seguinte exemplo: O psicólogo de uma empresa ministrou um teste de 
personalidade para determinar características passivas/agressivas em 150 funcionários. Aos 
indivíduos foram atribuídos valores de 1 a 5, em que, 1 representava o extremo passivo e 
5, o extremo agressivo. Um escore de 3 indicava não haver nenhuma característica 
preponderante. Os resultados constam do quadro a seguir. Estabelecer uma distribuição de 
probabilidade para a variável aleatória X. 
 
Escore (x) Frequência (f) Frequência Relativa [p(x)] 
1 24 0,16 
2 33 0,22 
3 42 0,28 
4 30 0,20 
5 21 0,14 
Total 150 1,00 
 
Observe que: 
• O escore é uma classificação ordenada! 
• Cada valor da frequência relativa [p(x)] está entre 0 e 1 
• A soma de todas as frequências relativas é igual a 1 sendo, portanto, uma 
probabilidade. 
O gráfico da distribuição de probabilidade, p(x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área de cada bloco é igual à probabilidade de um resultado específico. Dessa maneira, é 
possível calcular, por exemplo, a probabilidade de um funcionário “ter uma pontuação dois 
ou três”, a qual é obtida pela soma das áreas do segundo e terceiro blocos. 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
1 2 3 4 5
x
P(
x
)
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Suponha, agora, que se queira representar esse grupo por uma característica central, ou 
seja, o escore médio. 
 
Valor Esperado 
A média de uma variável aleatória X é chamada de valor esperado ou esperança 
matemática, E(X), e é obtida considerando os valores possíveis ponderados por suas 
probabilidades, ou seja, 
 
 
Considerando os dados desse exemplo tem-se: 
 
x 1 2 3 4 5 Total 
p(x) 0,16 0,22 0,28 0,20 0,14 1,00 
x.p(x) 0,16 0,44 0,84 0,80 0,70 2,94 
 
 E(X) 
Ou seja, escore médio obtido é 2,94. Ligeiramente abaixo de 3. 
Conclusão do teste: A característica de personalidade média não é nem extremamente 
passiva nem extremamente agressiva, mas ligeiramente próxima da passiva. 
 
A média, ou valor esperado de X, E(X) é o ponto de equilíbrio da massa de dados da 
variável aleatória X. Fisicamente, é o seu centro de massa. 
 
Variância e Desvio-padrão 
 
A medida de variabilidade é definida pela variância, a qual é obtida pela média dos 
quadrados das distâncias das observações em relação ao seu valor esperado, ponderado 
por suas respectivas probabilidades, ou seja, 
 
 
 
Se o somatório for expandido, pode-se obter a fórmula alternativa: 
 
 
Para preservar as medidas de tendência central e a de dispersão na mesma unidade de 
medida, é conveniente extrair a raiz quadrada da variância, a qual é denominada de desvio-
padrão, dp(X). Em algumas literaturas, o desvio-padrão é representado pela letra s – do 
inglês standard deviation e a variância por s2. 
Voltando ao exemplo anterior, 
 
x 1 2 3 4 5 Total 
p(x) 0,16 0,22 0,28 0,20 0,14 1,00 
x.p(x) 0,16 0,44 0,84 0,80 0,70 2,94 
x2.p(x) 0,16 0,88 2,52 3,20 3,50 10,26 
 
 E(X2) 
Ou seja: 
Var(X) = 10,26 – (2,94)2 = 1,62 
dp(X) = 62,1 = 1,27 
 
 
∑= )x(xP)X(E
∑ −= )x(P))X(Ex()X(Var 2
( )22 )()()( XEXEXVar −=
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Propriedades do Valor Esperado e da Variância 
 
Sejam consideradas: a variável aleatória X e as constantes a e b. 
O valor esperado de X, E(x) possui as seguintespropriedades: 
1) E(b) = b 
2) E(a X) = a E(X) 
3) E(a X ± b)= a E(X) ± b 
 
Analogamente, as propriedades da variância são: 
1) Var(b) = 0 ; Var(X) ≥ 0 sempre! 
2) Var(a X) = a2 Var(X) 
3) Var(a X ± b)= a2 Var(X) 
 
Obs: O desvio-padrão segue as propriedades da variância, tomando-se o cuidado de 
primeiramente calcular a variância... 
 
Algumas variáveis, apesar de serem diferenciadas pelo seu contexto, possuem distribuição 
de probabilidades similares, ou seja, possuem mesmo comportamento matemático, mas 
são totalmente diferentes em essência. O exemplo anterior poderia representar uma 
distribuição de probabilidades da variável aleatória representada por X: número de defeitos 
apresentados em uma indústria de componentes eletrônicos durante certo dia e, nesse 
caso, 2,94 representaria a média de componentes eletrônicos diários. 
Para facilitar os cálculos, as variáveis aleatórias que possuem distribuições de 
probabilidades com mesmo comportamento matemático são agrupadas em modelos. 
 
 
3) Modelos de distribuições discretas de probabilidades 
 
3.1 ) Bernoulli 
 
São variáveis aleatórias discretas definidas pelos resultados de experimentos que possuem 
apenas dois resultados possíveis, designados por: 
• Sucesso (S) com probabilidade, P(S) = p , 0 < p < 1 
• Fracasso (F) com P(F) = 1 – p 
Esse tipo de variável aleatória é chamada de “ensaio de Bernoulli”. 
Notação: X ~ Ber(p). 
A média e a variância de um “ensaio de Bernoulçli” é: E(X) = p e Var(X)= p(1-p) 
Exemplo: De acordo com uma tabela de vida, a probabilidade de uma pessoa, pertencente 
a um grupo com certas características, estar viva daqui a 30 anos é 40%. Uma pessoa 
desse grupo daqui a 30 anos: ou está viva com P(S)=p=0,4 ou não com P(F)=1- p=0,6. 
 
Em geral, o interesse de um pesquisador está em contabilizar a quantidade de vezes que 
um ensaio de Bernoulli ocorre, dessa maneira tem-se então uma nova distribuição de 
probabilidades, a Binomial. 
 
3.2 ) Binomial 
 
Obtida por meio de num número fixo, n, de repetições independentes de ensaios de 
Bernoulli com probabilidade de sucesso, p, constante em cada ensaio. 
A variável aleatória X contabiliza o número de ensaios com sucesso. 
Exemplo: Cinco pessoas, com as características do exemplo acima de Bernoulli, compram 
apólices de seguro. Qual a probabilidade de nenhuma estar viva daqui a 30 anos? 
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Solução: 
Seja definida a variável aleatória X: número de pessoas que estarão vivas daqui a 30 anos. 
Nenhuma estar viva significa que todos os ensaios falharam, ou seja, 
P(F,F,F,F,F) = P(F) P(F) P(F) P(F) P(F) =(1 – 0,40)5 = 0,605 = 0,078 (7,8%) 
Ou seja, P(X=0) = 0,078. 
E se porventura, for solicitada a probabilidade de que 2 dessas pessoas estejam vivas daqui 
a 30 anos? 
Solução: 
Uma possível seqüência para duas pessoas estarem vivas daqui a 30 anos pode ser 
representada como: SSFFF 
E sua probabilidade é: P(SSFFF) = P(S)P(S)P(F)P(F)P(F) = (0,4)2 (0,6)3 
Observe que os expoentes desse resultado indica a existência de 2 sucessos e 3 fracassos! 
 
Mas, quantas seqüências com dois sucessos e três fracassos são possíveis? Então, para 
poder calcular essa probabilidade é preciso saber contar! 
 
•••• Princípio Fundamental da Contagem 
 
Um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento de n maneiras, o número de 
maneiras em que os dois eventos podem ocorrer em sequencia é m.n. 
Essa regra pode ser estendida para um número qualquer de eventos que ocorram em 
seqüência. 
Exemplo: Suponha que se queira comprar um carro novo. De quantas maneiras diferentes é 
possível selecionar um fabricante, um tamanho e uma cor. Considere: 
Fabricante: Ford, Chevrolet, Fiat 
Tamanho do carro: pequeno, médio 
Cores: branco (B), vermelho (V), preto (P), verde (Vd) 
Solução: Tem-se três fabricantes, dois modelos e quatro cores, então: 3 x 2 x 4 = 24 
maneiras. 
Ou pelo desenho do diagrama em árvore para ajudar a “enxergar” a existência das 24 opções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•••• Permutações 
 
Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos. 
O número de permutações diferentes de n objetos diferentes é n! 
A expressão n! é lida “n fatorial” e definida por: 
n! = n.(n-1).(n-2)…….3.2.1 
Caso especial: 0!=1 
Exemplo: A fila inicial para um time de futebol tem 11 jogadores. De quantas maneiras 
diferentes pode-se definir a ordem dos jogadores? 
Solução: 11! = 11.10.9……3.2.1 = 39.916.800 maneiras diferentes de ordenar os jogadores. 
pequeno
Ford
médio
B V P Vd B V P Vd
pequeno
Chevrolet
médio
B V P Vd B V P Vd
pequeno
Fiat
médio
B V P Vd B V P Vd
pequeno
Ford
médio
B V P Vd B V P Vd
pequeno
Chevrolet
médio
B V P Vd B V P Vd
pequeno
Fiat
médio
B V P Vd B V P Vd
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•••• Permutações de n objetos tomando r a cada vez 
 
O número de permutações de n objetos distintos tomando r a cada vez é definido como: 
 
 
 
Esse número é também conhecido como Arranjo de n objetos tomados de r em r : nAr ou 
r
nA 
Exemplo: Determinar a formação de códigos de 3 dígitos, sem que os dígitos sejam repetidos. 
Solução: n=10 e r = 3 
 
 
 
 
 
•••• Permutações de n objetos com repetição (ou distinguíveis) 
 
O número de permutações distintas de n objetos dos quais n1 são iguais entre si, n2 são iguais 
entre si,.., nr são iguais entre si é definida por: 
 
 
 
 
Exemplo: Um empreiteiro planeja realizar uma obra que consiste em seis casas de um 
pavimento, quatro casas com dois pavimentos e duas em dois níveis. De quantas maneiras 
distinguíveis as casas podem ser arranjadas?. 
Solução: n = 12, com n1 = 6; n2 = 4 e n3 = 2 
 
 
 
 
 
•••• Combinações de n objetos tomando r a cada vez 
 
Uma combinação é uma seleção de r objetos de um grupo de n objetos, sem que tenha 
importância a ordem entre eles. É denotada por: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma nova seção de 
uma estrada interestadual e recebe 16 propostas para o projeto. O Estado planeja contratar 
quatro das companhias que fizeram ofertas. Quantas combinações diferentes de quatro dessas 
companhias são possíveis? 
 
 
 
 
A combinação de r objetos de um grupo de n objetos, sem que tenha importância a ordem, 
também é conhecida como um binômio e é denotada por : 
 
 )!(
!
ou Prn
rn
nP rn
−
=
 720
7!
10.9.8.7!
)!310(
!10
 A rn ==
−
==
r
nP
nnn
nnn
nP r
r
nnn
n
r
=+++= ....n com , 
!!...!
!
21
21
,..,, 21
 860.13
6!4!2!
.8.7.6!12.11.10.9
!2!4!6
!122,4,6
12 ===P
 
!)!(
!Cou C rn
rrn
nr
n
−
=
 208.1
12!4!
16!
!4)!416(
!16C C 416rn ==
−
==
 
!)!(
!C
r
n
rrn
nr
n
−
==





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•••• Continuação do exemplo da Binomial: 
 
Agora que foram relembradas as técnicas de contagem, podemos voltar ao exemplo do modelo 
de distribuição Binomial, em que é solicitada a probabilidade de 2 pessoas estarem vivas daqui 
a 30 anos dentre as cinco pessoas que compraram as apólices. 
Tínhamos que os expoentes indicavam 2 sucessos e 3 fracassos, logo a quantidade de 
sequências possíveis com dois sucessos é: 
 
 
 
 
 
Em que, 5! (cinco fatorial) é obtido por: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
Logo, a probabilidade de exatamente duas pessoas sobreviverem:P(X=2)= 10 (0,4)2 (0,6)3 = 0,3456 (34,6%) 
 
Genericamente, 
A probabilidade de k sucessos em n repetições independentes de ensaios de Bernoulli com 
probabilidade de sucesso constante p, é: 
 
 , k=0,1,2,….,n 
 
Notação: X ~ Bin (n,p) 
 
E sua média é E(X) = np e sua variância, Var (X) = np(1-p) 
 
Vantagem: os valores das probabilidades são tabelados!!! (Tabela 1) 
 
Exemplo de leitura da Tabela 1 – Binomial 
Suponha X ~ Bin(10; 0,35) 
Tem-se que P(X = 5) = 0,1536 
 
 
 
 
p 
 n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 
10 
0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010 10 
1 0,3151 0,3874 0,3474 0,2684 0,1877 0,1211 0,0725 0,0403 0,0207 0,0098 9 
2 0,0746 0,1937 0,2759 0,3020 0,2816 0,2335 0,1757 0,1209 0,0763 0,0439 8 
3 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2503 0,2668 0,2522 0,2150 0,1665 0,1172 7 
4 0,0010 0,0112 0,0401 0,0881 0,1460 0,2001 0,2377 0,2508 0,2384 0,2051 6 
5 0,0001 0,0015 0,0085 0,0264 0,0584 0,1029 0,1536 0,2007 0,2340 0,2461 5 
6 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0162 0,0368 0,0689 0,1115 0,1596 0,2051 4 
7 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0031 0,0090 0,0212 0,0425 0,0746 0,1172 3 
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0043 0,0106 0,0229 0,0439 2 
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0042 0,0098 1 
10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0 
 
0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 x 
p 
10
!2)!25(
!5
2
52
5 =
−
=





=C
knk pp
k
n
kXP −−





== )1()(
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Se p <0,50 a leitura é feita buscando o n=10; e p=0,35 e o x lê-se de cima para baixo 
 
Por outro lado, se p > 0,50 então o valor de p, encontra-se na parte de baixo da tabela 
referente ao n=10, e o x é lido de baixo para cima. 
 
Por exemplo, ainda em X binomial com n=10, seja agora p=0,80, ou seja, X ~ Bin (10; 0,80). 
Logo, P(X=5) = 0,0264 
 
 
Observe que se a probabilidade de sucesso de X for 0,80, a probabilidade de fracasso é 
0,20. Elas encontram-se na mesma coluna, mas com leituras invertidas. 
Assim, se X ~ Bin(10; 0,80) e Y ~ Bin(10; 0,20) → P(X=5) = P(Y=5) = 0,0264 ! 
 
3.3) Hipergeométrica 
 
Suponha uma população finita com N elementos, dos quais r, r ≤ N, têm uma determinada 
característica de interesse. A retirada de um desses elementos com essa característica 
corresponde a um sucesso. 
Seja retirada, sem reposição, uma amostra de tamanho n dessa população e considerado X: 
número de sucessos na amostra (elementos com a característica de interesse). Qual é a 
probabilidade de serem encontrado k sucessos, P(X=k)? 
Podem ser feitas as seguintes contagens: 






n
N
 = a quantidade de amostras sem reposição que podem ser retiradas; 






k
r
 = numero de maneiras em que os sucessos podem ocorrer; 






−
−
kn
rN
= numero de maneiras em que os fracassos podem ocorrer. 
 
Logo, 
 
 
p 
 n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 
10 
0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010 10 
1 0,3151 0,3874 0,3474 0,2684 0,1877 0,1211 0,0725 0,0403 0,0207 0,0098 9 
2 0,0746 0,1937 0,2759 0,3020 0,2816 0,2335 0,1757 0,1209 0,0763 0,0439 8 
3 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2503 0,2668 0,2522 0,2150 0,1665 0,1172 7 
4 0,0010 0,0112 0,0401 0,0881 0,1460 0,2001 0,2377 0,2508 0,2384 0,2051 6 
5 0,0001 0,0015 0,0085 0,0264 0,0584 0,1029 0,1536 0,2007 0,2340 0,2461 5 
6 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0162 0,0368 0,0689 0,1115 0,1596 0,2051 4 
7 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0031 0,0090 0,0212 0,0425 0,0746 0,1172 3 
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0043 0,0106 0,0229 0,0439 2 
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0042 0,0098 1 
10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0 
 
0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 x 
p 
40 
 
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











−
−






==
n
N
kn
rN
k
r
kXP )( , 0 ≤ k ≤ n e k ≤ r. 
 
Essa probabilidade define a variável aleatória X como uma distribuição hipergeométrica de 
probabilidade. 
 
Notação: X ~ Hiper (N, n, r) 
 
Sua média é E(X) = np e sua variância, Var(X)=np(1-p) 





−
−
1N
nN
 em que 
N
rp = 
 
Exemplo: Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de 
qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum 
motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores 
são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja 
necessário examinar todos os motores dessa caixa? 
Seja, X: número de motores defeituosos da amostra. 
Tem-se: N = 50; r = 6; n = 5 
Logo, 
4874,05126,01
5
50
5
44
0
6
1
5
50
05
650
0
6
1)0(1)1(1)1( =−=


















−=












−
−






−==−=<−=≥ XPXPXP
 
ou seja, aproximadamente 48,7% é a probabilidade de serem examinados todos os motores 
dessa caixa. 
 
 
3.4) Poisson 
 
Descreve variáveis aleatórias que se expressam através de contagens do número de 
ocorrências de um evento em um período de tempo, área ou volume. 
O modelo foi desenvolvido pelo matemático francês Poisson e sua distribuição de probabilidade 
é dada por: 
 
 
 , 
 
 em que λ (lambda) é interpretado como taxa média de ocorrências, 
 é a constante de Euler. 
 
Notação: X ~ Pois ( λ ) 
 
Nessa distribuição a média e a variância são iguais: 
 
Pressupostos básicos para utilização desse modelo: 
,...1,0k ,
!
)( ===
−
k
ekXP
kλλ
λ== )()( XVarXE
 ...7182,2 ; 0 ≅> eλ
41 
 
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1. A taxa média de ocorrências ( λ ) permanece constante ao longo do intervalo de 
tempo, área ou volume; 
2. Intervalos de tempo, área ou volume, disjuntos são independentes, isto é, a informação 
sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de 
ocorrências em outro intervalo. 
Exemplo: 
X: número de consultas anuais de um associado de um plano de saúde. 
É um número finito de valores possíveis e pode tomar qualquer valor de {0, 1, 2, 3, 4,...}. 
 A estimativa para o parâmetro λ é dada pela razão: 
 
associados de total no.
consultas de total no.
=λ 
 
Em um plano de saúde com 5.694 associados, ao fim de um ano fizeram-se 13.098 
consultas, com distribuição conforme a tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A estimativa para λ é 3,2
694.5
098.13
≅ , que é a média das consultas anuais, ou seja, um usuário 
típico deste plano de saúde faz cerca de duas consultas anuais e espera-se aproximadamente 
23 consultas em 10 anos. 
 
A distribuição dessa probabilidade pode ser representada graficamente por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de um associado fazer uma consulta em um ano é: 
 
 (23,1%) 
 
Alguns valores dessa distribuição encontram-se na Tabela 2, cuja leitura é bastante simples. 
No. consultas Freqüência No. consultasFreqüência
0 589 5 304
1 1274 6 126
2 1542 7 39
3 1144 8 10
4 663 9 3
9876543210
1500
1000
500
0
No.Consultas
Fr
eq
üê
nc
ia
( ) 231,0
!1
1)3,2(3,2
1 =
−
==
eXP
42 
 
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Se em uma distribuição binomial o número de repetições for grande, n > 30, e a probabilidade 
de sucesso, p, for pequena, em geral p < 0,1, pode-se fazer uma aproximação da binomial pela 
distribuição de Poisson, considerando λ = E(x) = np. 
 
Exemplo de resolução por aproximação da Binomial pela de Poisson: A probabilidade 
de que um determinado rebite da superfície da asa de uma aeronave seja defeituoso é 0,001. 
Existem 4000 rebites na asa. Qual é a probabilidade de que sejam instalados não mais de 6 
rebites defeituosos? 
Seja: X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave → X ~ Bin (4000; 0,001) 
Como n é grande e p < 0,1, podemos utilizar a distribuição de Poisson como aproximação 
considerando λ = (4000)(0,001) = 4, ou seja, X ≈ Pois (4). 
Logo, P(X ≤ 6) = ∑
=
−6
0
4
!
4
k
k
k
e
= 0,01832 + 0,07327 + ... + 0,10420 = 0,88933 
 
 
Existem muitos outros modelos de distribuições de probabilidades discretas, tais como 
Geométrica, Pascal (binomial negativa), mas as que foram aqui apresentadas são as mais 
utilizadas. 
 
 
4) Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
 
Uma variável aleatória é dita contínua, se seus valores variam em intervalos de números reais. 
Cada variável contínua X tem uma função de densidade de probabilidade f(x) e isso significa 
que a probabilidade de X estar entre dois valores reais a e b, P(a ≤ X ≤ b), é encontrada pela 
integração dessa função f(x), ou seja, a probabilidade está associada a uma área. 
Definição 1: Uma função contínua, f(x) é uma função de densidade de probabilidade 
se forem satisfeitas as seguintes propriedades: 
1. f(x) ≥ 0 
2. 1dx (x)f 
 
- 
=∫
∞+
∞
 
3. P ( a ≤ X ≤ b) = ∫
b 
a 
dx (x)f 
O valor esperado ou a média µ (mi) de uma variável contínua X pode ser interpretada como o 
valor médio, a longo prazo, da variável aleatória X ou como uma medida da centralidade da 
função densidade de probabilidade (centro de massa de dados) e é obtido por: 
E(x) = ∫
∞+
∞−
=µ
 
 
dx (x)f x 
 
A variância, 2σ (sigma ao quadrado), definida como a média das distâncias dos pontos em 
relação à média µ é calculada por: 
43 
 
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Var(X) = ( )∫ ∞+
∞−
=
 
 
22
 (x)E(X)-x dxfσ
 
 
 
5) Modelos de distribuições contínuas de probabilidades 
 
5.1) Exponencial1 
Fenômenos como tempo de espera ou tempo de falha de um equipamento são comumente 
modelados por funções de densidade de probabilidade exponencialmente decrescentes. 
Pense em uma variável aleatória como sendo o tempo em espera na linha antes de ser 
atendido por um funcionário da companhia que você está chamando. Assim, no lugar de x, 
use t para representar o tempo, em minutos. Se f é a função densidade de probabilidade e 
você telefona em um tempo t = 0, então, pela Definição 1, ∫
2 
0 
dt (t)f representa a 
probabilidade de o funcionário responder dentro dos primeiros dois minutos, e 
∫
5 
4 
dt (t)f é a probabilidade de sua chamada ser atendida no quinto minuto. 
Está claro que o funcionário não pode atender antes de você fazer a ligação então 
f(t)=0 para t < 0. Para t > 0 devemos usar uma função exponencial decrescente, isto é, 
uma função do tipo f(t) = A e-ct, onde A e c são constantes positivas. Então, 




<
≥
=
−
0 t se , 0
0 t se , Ae)t(f
ct
 
Calculando o valor genérico de A tem-se que A= c = α donde pode-se reescrever a função 
f(t) acima como a função de distribuição exponencial da variável aleatória X: 




<
≥−
=
0 x se , 0
0 xse , )(
xexf
αα 
Observe que 1
 
 
 (x) =
∞
∞−
∫ dxf , e como f(x) > 0 para todo x, então a função acima 
definida é uma função de densidade de probabilidade! 
 
Calculando a média da distribuição exponencial com função de distribuição de probabilidade 
conforme definida anteriormente, obtém-se: 
α
µ 1)( ==XE . 
E a variância: 2
2 1)(
α
σ ==XVar 
Dessa maneira, se X é uma variável aleatória com função de distribuição de probabilidade 
exponencial com parâmetro α , é faz-se uso da 
 
Notação: X ~ exp(α ). 
Com 
α
1
)( =XE e 
2
1
)(
α
=XVar 
A função de densidade acumulada é F(x) = P(X≤ x) em que, 
 
1 Texto adaptado do livro de cálculo do James Stewart. 
44 
 
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



<
≥−−
=≤=
0 x se , 0
0 xse , 1)()(
xexXPxF
α
 
Uma utilização prática dessa distribuição é a área complementar à distribuição acumulada 
de probabilidades, chamada de tempo de sobrevida ou confiabilidade. 
Dessa maneira, a função do tempo de sobrevida é obtida pela P(X > x) = 1 – F(x)= xe α− , 
para x ≥ 0. 
 
 Obs.: (1) Esses resultados são importantes e facilitam muito a resolução de problemas de 
sobrevida ou confiabilidade; (2) são facilmente obtidos por meio do cálculo das integrais. 
Verifique-os!! 
 
Propriedade importante da distribuição exponencial é a da falta de memória. A 
distribuição exponencial é a única distribuição contínua que a possui e essa propriedade 
está relacionada com as probabilidades condicionais, ou seja, seja X uma variável aleatória 
exponencial, então P(X < t1+t2| X > t1 ) = P(X < t2) 
 
Exemplo: Considere que o tempo entre detecções de uma partícula rara em um contador 
Geiger seja representado pela variável aleatória exponencial X com média de 1,4 minutos. 
Suponha que o contador Geiger seja ligado e que se espere 3 minutos sem que seja 
detectada uma partícula. Qual é a probabilidade de uma partícula ser detectada nos 
próximos 30 segundos? 
Como E(X) = 
α
1
 = 1,4 minutos → 
4,1
1
=α 
 
Como já foram esperados 3 minutos sem observar a detecção de uma partícula, a 
probabilidade de uma partícula ser detectada nos próximo 0,5 minutos é obtida pela 
probabilidade condicional: P(X < 3,5 | X > 3) que por definição é calculada por: 
P(X < 3,5 | X > 3) = 30,0
117,0
035,0)1()1(
)3(1
)3()5,3(
)3(
)5,33(
4,1
3
4,1
3
4,1
5,3
==
−−−
=
−
−
=
>
<<
−
−−
e
ee
F
FF
XP
XP
 
Por outro lado, a probabilidade de se detectar uma partícula dentro de 30 segundos a partir 
do começo da contagem é: 
P(X < 0,5 min) = F(0,5) = 1 - 4,1
5,0−
e = 0,30 
 
Conclusão: Depois de se esperar 3 minutos sem uma detecção, a probabilidade de uma 
detecção nos próximos 30 segundos é a mesma probabilidade de uma detecção nos 30 
segundos imediatamente depois de começar a contagem. O fato de se ter esperado 3 
minutos sem uma detecção não muda a probabilidade de uma detecção nos próximos 30 
segundos, o que ilustra a propriedade de falta de memória dessa distribuição. 
 
 
5.2) Normal 
 
A distribuição contínua mais importante em Estatística é chamada de distribuição Normal ou 
Gaussiana, devido a Gauss, matemático alemão que modelava os erros de mensuração das 
observações astronômicas e o chamava de “lei normal dos erros”. 
45 
 
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A curva dessa distribuição é determinada por uma função de densidade, f(x), que depende de 
doisparâmetros: da média µ (mi) e do desvio-padrão σ (sigma) e é definida 
matematicamente por: 
 
 
 
Notação: X ~ N ( σµ , ) 
 
A distribuição normal tem as seguintes propriedades: 
1. A curva normal tem o formato de sino e é simétrica em torno da média, µ ; 
2. A área total sob a curva normal é 1; 
3. A curva tem inflexões nos pontos 
 
 
 
É côncava para baixo se σµ − < x < σµ + e côncava para cima em caso contrário. 
 
Na figura a seguir um exemplo dos pontos de inflexão numa curva normal com média zero e 
desvio-padrão igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F(x) é chamada de função densidade de probabilidade, fdp, da variável aleatória X 
 
A P(a < X < b) é a área sob a curva entre os valores a e b, (a < b). 
 
Por exemplo, seja a distribuição da altura, em cm, dos alunos de certa escola: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1
2
1
)(





 −
−
=
σ
µ
piσ
x
exf
σµ ±=x
46 
 
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Se um aluno for sorteado aleatoriamente, a probabilidade de ele ter altura entre 120 e 135 cm 
é obtida pelo cálculo da área entre esses dois valores, limitada pela curva f(x) (hachurada em 
azul). 
 
A próxima figura apresenta a influência da média e do desvio-padrão no gráfico da distribuição 
Normal. Observe que as curvas X1 e X2 possuem a mesma média e desvios-padrão diferentes. 
O desvio-padrão da curva X1 é maior que o da curva X2. As curvas X1 e X2 estão centradas 
(ponto mais alto) no mesmo ponto, a média, mas o formato da curva X1 é mais achatado que o 
da curva X2 e esses formatos são influenciados pelo desvio-padrão. 
Observe agora, as curvas X2 e X3, elas possuem mesmo desvio-padrão, mas a média de X3 é 
menor que a de X2. As duas curvas apresentam mesmo formato, mas encontram-se deslocadas 
em relação ao ponto mais alto – a média. 
Dessa maneira, a média é dita uma medida de locação ao passo que o desvio-padrão de 
forma (ou formato). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(120 < X < 135)P(120 < X < 135)
Data
Fr
e
qu
e
n
ci
a
9,07,25,43,61,80,0-1,8
1200
1000
800
600
400
200
0
Mean
1,510 0,7004 10000
StDev N
3,479 1,500 10000
3,493 0,7017 10000
Variable
X3
X1
X2
Normal 
Histograma: X1; X2; X3
X1 ~ N(3,5 ; 1,5)
X2 ~ N(3,5 ; 0,7)X3 ~ N (1,5 ; 0,7)
Data
Fr
e
qu
e
n
ci
a
9,07,25,43,61,80,0-1,8
1200
1000
800
600
400
200
0
Mean
1,510 0,7004 10000
StDev N
3,479 1,500 10000
3,493 0,7017 10000
Variable
X3
X1
X2
Normal 
Histograma: X1; X2; X3
X1 ~ N(3,5 ; 1,5)
X2 ~ N(3,5 ; 0,7)X3 ~ N (1,5 ; 0,7)
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5.3) Normal padronizada, Z 
 
Seja a variável aleatória normal X, com média µ e desvio-padrão σ . A variável aleatória Z 
obtida pela transformação de X, de tal maneira que a média µ fica centrada no valor zero e a 
distância de cada ponto à média (centro) é dita em números de desvios-padrão é chamada de 
Normal padronizada, ou seja, 
 
 
 
 
Tem-se então uma maneira muito mais fácil de calcular a área sob a curva, pois a transformada 
de X em Z fica com a função de densidade de probabilidade simplificada em: 
 
 
 
 
 
Os cálculos dessa área podem, então, ser tabelados. A Tabela 3 apresenta esses valores 
calculados considerando sempre a área abaixo de um determinado ponto z, limitada no zero. 
Por exemplo, o ponto que fica a 1,96 desvios-padrão da média é 0,975, ou seja, 97,5% da área 
da curva normal fica abaixo do ponto 1,96, conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
A área entre o ponto que fica entre a média (zero) e a uma distância de 1,96 desvios-padrão da 
média é 0,475, conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N(0,1) ~ -XZ ),N( ~
σ
µ
σµ =⇒X
2
2
1
2
1
)(
x
ezf
−
=
pi
48 
 
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Obtida pela leitura na tabela 3: 
 
 
 
Tem-se também que P(Z < 0) = 0,50, portanto utilizando os valores da Tabela 3, obtém-se a 
área desejada: P(Z < 1, 96) = P(Z < 0) + P( 0 < Z < 1,96)= 0,50 + 0,475 = 0,975. 
 
Uma importante particularidade da curva normal é a concentração dos dados. Tem-se 
aproximadamente 68,3% dos dados concentrados entre ± 1 desvio-padrão em torno da média, 
ou a uma amplitude de 2 desvios-padrão em torno da média; 95,4% dos dados ficam 
concentrados entre ± 2 desvios-padrão em torno da média e 99,7% entre ± 3 desvios-padrão 
em torno da média. Podemos dizer que praticamente todos os dados de uma população com 
distribuição normal ficam concentrados a uma amplitude de 6 desvios-padrão com centro na 
média. Os dados que se encontram nas caudas, menores ou maiores a 3 desvios-padrão da 
média, representam apenas 0,3%. Esses dados são considerados incomuns ou raros. 
A próxima figura apresenta essas probabilidades: 
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4430 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4485 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4700 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4762 0,4767
2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
segunda casa decimal de z
u
n
i
d
a
d
e
 
e
 
p
r
i
m
e
i
r
a
 
z
49 
 
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5.4) Aproximações pela Normal 
 
a) Binomial 
 
Se X for uma variável aleatória com distribuição binomial, com parâmetros n e p, ela terá uma 
distribuição aproximada pela normal se o número esperado de sucessos, np, e o número 
esperado de fracassos, n(1-p), forem maiores do que 5. Para uma melhora aproximação no 
cálculo das probabilidades é feita uma correção de continuidade (cc) por meio da subtração 
e adição de 0,5 nos valores dos limites inferiores e superiores, respectivamente, do intervalo 
considerado. Isso significa: 
X ~ Bin (n, p) )1 ,0(
)1(
 N
pnp
npXZ ≈
−
−
=⇒ 
P(a ≤ X ≤ b ) ≅
CC
P(a – 0,5 ≤ X ≤ b + 0,5). 
Exemplo de resolução por aproximaçãoda Binomial pela Normal: Em um canal digital 
de comunicação, suponha que o número de bits recebidos com erro possa ser modelado por 
uma variável aleatória binomial. Suponha que a cada 50 bits transmitidos a probabilidade de 
um erro é de 0,1. Qual a probabilidade de ocorrência de 8 a 10 erros na transmissão? 
X: número de erros de transmissão 
X ~ Bin(50; 0,1) 
E(X)=np=5 – número esperado de sucessos. 
A probabilidade exata será: P(8 ≤ X ≤ 10 ) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = 0,1128 
Pela aproximação da binomial pela Normal: 
5== npµ 
50 
 
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12,25,490,0)(1,0(50()1( ≅==−= pnpσ 
Logo, X ~ Bin(50; 0,1) ⇒ X ≈ N(5; 2,12) 
 
P(8 ≤ X ≤ 10 ) ≅
CC
 P(7,5 ≤ X ≤ 10,5) ≅
CC
 P(1,18 ≤ Z ≤ 2,59) ≅
CC
0,1142 
 
Erro de aproximação: 0124,0
1128,0
1142,01128,0
=
−
 
(~1,14%)
 
 
 
Obs.: o erro de aproximação percentual é dado por: 100x
P
PP
binomial
normalbinomial −
 
 
b) Hipergeométrica 
 
Se X for uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica, em que p é a proporção de 
sucesso na amostra n de uma população de tamanho N, então a distribuição normal 
proporcionará efetivas aproximações das probabilidades hipergeométricas se forem satisfeitas 
as seguintes condições: 







>−
>
<
5)1(
5
1,0
pn
np
N
n
 
Lembrar que, 
N
kp =
 
 
c) Poisson 
 
Se X for uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com taxa média de sucesso λ em 
que E(X) = Var(X) = λ , então ela terá uma boa aproximação Normal quando λ > 5. 
 
Exemplo de resolução por aproximação da Poisson pela Normal: Considere que o 
número de ácaros em um metro quadrado de poeira em uma superfície siga a distribuição de 
Poisson com uma taxa média de 1000. Se um metro quadrado for analisado, qual a 
probabilidade de serem encontrados até 950 ácaros? 
A probabilidade exata pode ser calculada por: ∑
=
−
=≤
950
0
1000
!
1000)950(
k
k
k
eXP
 
 
A qual requer uma difícil computação!! 
Por outro lado, essa probabilidade poderá ser aproximada por: 
 
058208,0)57,1(
1000
10005,950)950( ≅−≤≅




 −≤≅≤ ZPZPXP 
 
 
 
51 
 
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Essa curva é tão importante que às vezes em nossos passeios ecológicos podemos observá-las 
até mesmo na natureza!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Serra do Cipó – MG, Foto: R.Q.C. Ribeiro 
5.5) T-Student 
 
Em geral, o desvio-padrão populacional, s, é desconhecido. 
Nesse caso, seu valor é estimado pelo desvio-padrão amostral, s. 
A distribuição t de Student é utilizada quando a amostra é pequena (n<30). 
T terá uma distribuição “t de Student” com n-1 graus de liberdade. 
A caracterização com n-1 graus de liberdade é necessária porque para cada tamanho de 
amostra temos uma distribuição t de Student diferente. A figura a seguir apresenta a 
Comparações entre a curva da distribuição N(0,1), uma curva t com 5 graus de liberdade (t5) e 
outra com 30 graus de liberdade (t30): 
 
Dados
Fr
e
q
u
e
n
ci
a
4,53,01,50,0-1,5-3,0-4,5
100
80
60
40
20
0
Histograma para T-gl=5; T-gl=30; N(0,1)
N(0,1)
T, gl=5
T, gl=30
52 
 
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6) RESOLUÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
Exercício 1 - Uma pessoa vende apólices de seguro empresariais. Visita semanalmente uma, 
duas ou três empresas com probabilidade 0,2 , 0,5 e 0,3 , respectivamente. De cada contato 
pode conseguir a venda de uma apólice por R$ 1.200,00 com probabilidade de 0,3. Determinar 
o valor total médio (esperado) das vendas semanais. 
Solução: Sejam definidas as variáveis aleatórias: 
X: no de vendas semanais 
Visita em 1 empresa: X ~ Ber(0,3) 
Visita em 2 empresas: X ~ Bin(2; 0,3) 
Visita em 3 empresas: X ~ Bin(3; 0,3) 
 
L: valor das vendas semanais. Tem-se que p(l) = (prob. Visita)(prob no vendas semanais) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por que ∑ )(lp =0,512 ??? 
 
Resp: Lucro total médio é de R$756,00 
Exercício 2 - Uma seguradora vendeu apólices de seguro a cinco pessoas, todas da mesma 
idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa 
daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 70%. Calcular a probabilidade de daqui a 30 
anos: 
a) Exatamente duas pessoas estejam vivas; 
b) Todas as pessoas estejam vivas; 
c) Pelo menos três pessoas estejam vivas. 
Solução: 
X: no. de pessoas vivas daqui a 30 anos 
 X ~ Bin(5; 0,7) 
a) Exatamente duas pessoas estejam vivas: 
P(X=2) = 252 )7,01()7,0(
2
5
−
−





= 0,1323 
 
Esse valor pode ser encontrado na Tabela 1 da distribuição Binomial! 
R$ 756,000,512Total
R$ 29,160,008R$ 3.600,000,0273
R$ 136,080,057R$ 2.400,000,1892
R$ 158,760,132R$ 1.200,000,4411
0,303
R$ 108,000,045R$ 2.400,000,0902
R$ 252,000,210R$ 1.200,000,4201
0,502
R$ 72,000,060R$ 1.200,000,30010,201
l.p(l)p(l)lp(x)xProb. VisitaNo. empresas
L: valor das vendas semanais
R$ 756,000,512Total
R$ 29,160,008R$ 3.600,000,0273
R$ 136,080,057R$ 2.400,000,1892
R$ 158,760,132R$ 1.200,000,4411
0,303
R$ 108,000,045R$ 2.400,000,0902
R$ 252,000,210R$ 1.200,000,4201
0,502
R$ 72,000,060R$ 1.200,000,30010,201
l.p(l)p(l)lp(x)xProb. VisitaNo. empresas
L: valor das vendas semanais
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Ou, se quiser, pode fazer o cálculo buscando essa probabilidade no Excel®: 
 
 
 
p
n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
5
0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 5
1 0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,1563 4
2 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,3125 3
3 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,3125 2
4 0,0000 0,0005 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,1563 1
5 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0313 0
0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 x
p
54 
 
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Repetindo os processos pode-se calcular: 
 
b) Todas as pessoas estejam vivas: P(X=5) 
 
P(X=5) = 0,1681 
 
c) Pelo menos três pessoas estejam vivas: 
 
 
 
 
OBS.: A função acumulada no Excel®, para X menor ou igual a 2: 
 
=DISTRBINOM(2;5;0,7;VERDADEIRO) 
 
 
 
Exercício 3 - (Anpec – 2002) Uma companhia de seguros tem 400 segurados de certo tipo. O 
prêmio do seguro é R$ 1.000,00 por ano. Caso ocorra um sinistro a seguradora indenizará R$ 
8.000,00 a cada acidentado. Sabe-se que a probabilidade de ocorrência de sinistro, é 0,1 por 
ano. Os custos fixos da seguradora são de R$ 8.000,00 por ano. Qual a probabilidade da 
seguradora ter prejuízo em um certo ano? 
 
 
 
 
 
Solução: 
Indenização por acidentado: R$ 8.000,00 
Capacidade de indenização: R$ 392.000,00/R$ 8.000,00 = 49 indenizações possíveis. 
 
X: no. de sinistros por ano 
X ~ Bin(400; 0,1) 
 
Probabilidade de prejuízo: P(X > 49) 
 
 
 
Fazendo o cálculo pelo Excel® 
 
=DISTRBINOM(49;400;0,1;VERDADEIRO) fornece: 0,939903 
 
Esse exercício também pode ser resolvido pela aproximação da Binomial 
pela Normal! 
 
Normal : P(X>49)=1-P(X<49,5)=1 - 0,9429 = 0,0571(5,71%), pois 
 
 
 
 
Erro da aproximação: 
 
8369,01631,01)2(1)3(1)3( =−=≤−=<−=≥ XPXPXP
R$ 392.000,00R$ 8.000,00R$ 400.000,00R$ 1.000,00400
Saldo/anoCustofixo/ano
Total 
Premios/anoPremio/segurNo. segurados
R$ 392.000,00R$ 8.000,00R$ 400.000,00R$ 1.000,00400
Saldo/anoCustofixo/ano
Total 
Premios/anoPremio/segurNo. segurados
0601,09399,01)49(1)49( =−=≤−=> XPXP
)58,1(1)58,1(
6
405,49
)49( ≤−=>=




 −
>=> ZPZPZPXP
0492,0
0601,0
003,0
0601,0
0571,00601,0
==
−
55 
 
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Exercício 4 - O chefe de polícia do Morro da Oncinha recebe cinco pedidos de socorro por 
hora. Qual a probabilidade de ele, em três quartos de hora: 
 a) poder tirar um cochilo tranqüilo? 
 b) ter que atender: 
 b.1) um? 
 b.2) entre dois e cinco? 
 b.3) mais de quatro chamados? 
Solução: 
X : no. de pedidos de socorro por hora 
X ~ Pois(5) 
Para 
X: no. de pedidos de socorro a cada três quartos de hora (45 min) 
Então, X ~ Pois(3,75), pois, 
 
 
 
a) para tirar um cochilo tranqüilo... (2,4%) 
 
Tabela de resultados obtida diretamente do Excel®, dado que a Tabela 2 não fornece esse 
valor. 
 
 
 
Dessa maneira, podemos obter os demais resultados diretamente dessa tabela construída: 
 
b.1) P(X=1) = 0,0882 
 
b.2) P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,7111 
75,3
60
)5)(45(
 min 45
5 min 60
==→
→
→ λλ
( ) 0235,0
!0
)75,3(
0
075,3
===
−e
XP
56 
 
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b.3) P(X > 4) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + ...+ P(X=4)]= 1 – 0,6775 = 0,3225 
 
 
Exercício 5 – Um agricultor planta seis sementes escolhidas aleatoriamente, sem reposição, de 
uma caixa com cinco sementes de tulipa e quatro de crisântemo. Qual a probabilidade de ele 
plantar duas sementes de crisântemo e quatro de tulipa? 
Solução: 
Distribuição hipergeométrica. 
Temos: N = 9 sementes; n = 6 
Vamos considerar as tulipas como sucesso, então 
K = 5 (sementes de tulipa), N – K = 4 e 
X : sementes de tulipa plantadas 
 
 
 
Resp.: A probabilidade de ele plantar 4 sementes de tulipa e consequentemente 2 de 
crisântemo numa amostra de 6 sementes é 0,3571 (ou 35,7%) 
 
 
Exercício 6 – Os salários dos diretores das empresas de São Paulo distribuem-se normalmente 
com média de R$ 8.000,00 e desvio-padrão de R$ 5.000,00. Qual a porcentagem de diretores 
que recebem: 
a) Menos de R$ 6.470,00? 
b) Entre R$ 8.920,00 e R$ 9.380,00? 
c) Qual o valor do salário que deixa 10% dos diretores mais mal pagos de São Paulo? 
Solução: 
X: salário dos diretores das empresas de São Paulo, em reais. 
X ~ N (8.000; 5.000) 
a) P(X<6470) = 0,3783 (37,8%) 
Pois, 
 
 
 
 
Exercício 4.5 – 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Por simetria da distribuição Normal tem-se que P(Z < -0,31) = P(Z > 0,31) 
A Tabela 3-1 fornece os valores das probabilidades entre zero e z positivo, dessa maneira, tem-
se P(Z > 0,31) = P(Z > 0) – P(0< Z < 0,31) = 0,50 – 0,1217 = 0,3783 
 
 
3571,0
14
5
6
9
2
4
4
5
)2( ==


















=












−
−






==
n
N
xn
kN
x
k
XP
3783,0)31,0(
5000
80006470
)6470( =−<=




 −
<=< ZPZPXP
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Outra opção é quando se utiliza a Tabela 3, que fornece as probabilidades abaixo de z (P(Z < z) 
diretamente: 
 
 
 
Dessa tabela, P(Z < -0,31) = 0,37828... 
 
Apesar da disponibilização dessas tabelas na área de aprendizado, vamos utilizar a tabela 3-1 
no formulário das provas por ser menor. 
 
 
Resp.: Aproximadamente 37,8% dos diretores das empresas de São Paulo recebem salários de 
até R$ 6.470,00 
 
b) P(8920 < X < 9380) = P(X < 9380) – P(X<8920) 
 
Tem-se: 
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123
0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554
z
segunda casa decimal de z
u
n
i
d
a
d
e
 
58 
 
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Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
 
(1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (da Tabela 3-1) 
 
 
(2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, de (1) e (2): 
 
P(8920 < X < 9380) = P(X<9380) – P(X<8920) = 
 P(Z<0,18) - P(Z<0,28)= 
 0,6103 - 0,5714 = 0,0389 (3,9%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(X < 9380) = 0,6103P(X < 9380) = 0,6103
6103,0)28,0(
5000
80009380
)9380( =<=




 −
<=< ZPZPXP
P(X < 8920) = 0,5714P(X < 8920) = 0,5714
5714,0)18,0(
5000
80008920
)8920( =<=




 −
<=< ZPZPXP
59 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
 
Resp.: Aproximadamente 3,9% dos diretores das empresas de São Paulo recebem salários 
entre R$ 8.920,00 e R$ 9.380,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor -1,28 foi obtido diretamente da Tabela 3-1 no sentido inverso, ou seja, buscando o 
valor de z por meio da coluna com a probabilidade com valor mais próximo de 0,10. 
Nesse caso, busca-se o valor da probabilidade positiva, ou seja, P(Z > z) = 0,10 a qual equivale 
a P(0 < Z < z) = 0,40. 
 
 
 
Na tabela o valor mais próximo de 0,40 equivale ao z = 1,28 e por simetria, o valor procurado é 
o -1,28. 
 
Na figura da distribuição Normal, pode-se observar as simetrias: 
 
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4430 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,44850,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
z
segunda casa decimal de z
u
n
i
d
a
d
e
 
e
 
p
r
i
m
e
c) P(X<x) = 0,10 (10%)
P(Z < z) = 0,10 
z = -1,28 
c) P(X<x) = 0,10 (10%)
P(Z < z) = 0,10 
z = -1,28 
60 
 
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Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
 
 
Temos que: 
 
 
Logo, x = (-1,28)(5.000) + 8.000 x = R$ 1.600,00 
 
Então, o salário de 10% dos diretores mais mal pagos das empresas de São Paulo é de até 
R$1.600,00 por mês. 
 
Exercício 7 – Uma fábrica de tubos para TV determinou que a vida média dos tubos de sua 
fabricação é de 800 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Qual a 
probabilidade de que a fábrica tenha de substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma 
garantia de 300 horas de uso? 
Solução: 
X: tempo de vida dos tubos, em horas 
X ~ exp ( λ ) 
 
Temos, 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
Para uma garantia de 300 horas, a probabilidade de ele ter que substituir será: P(X ≤ 300). 
 
Temos, F(x) = P(X < x) é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
A probabilidade da fabrica ter que substituir um tubo gratuitamente, dada a garantia de 300 
horas de uso é 0,3127 (ou aprox. 31,3%) 
z
-1,28
0,10
1,28
0,10
0
N(0,1)
0,400,40
µσ
σ
µ
+=⇒
−
= zx
x
z
800
1
== λµ 800
1
=λ






≥
−
=
contrario caso , 0
0 xse , 800
1
800
1
)(
x
exf




<
≥−−
=
∞−
−
−=
∞−
−
=<= ∫
0 x se , 0
0 xse , 1)(
1
1
)()(
xexte
x
dt
t
exXPxF
λλλ
λ
3127,06873,018
3
1
300
800
1
1)300()300( =−=
−
−=
−
−=≤= eeXPF
61 
 
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Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
 
7) MISCELÂNEA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM ATIVIDADES E PROVAS 
 
Questão 1: Dada a tabela: 
 
x 4 5 6 7 8 
p(x) p2 p2 p p p2 
 
O valor de p; a P(5 ≤ X ≤ 7) e o valor esperado (média) de X são aproximados 
respectivamente por: 
a) -1; 0,778 e 3,48 
b) 0,333; 0,778 e 6,22 
c) 1/3; 2/3 e 4/9 
d) 0,333; 0,445 e 6,22 
 
Resposta: B 
x 4 5 6 7 8 
p(x) p2 p2 p p p2 
 
(1) Sabemos que 1)x(p i =∑ , logo 
3p2 + 2p = 1 → 3p2 + 2p – 1 = 0 , resolvendo essa equação do 2º grau obtemos: 
3
1
 p ou 1- p 
6
)1)(3(442
p ==⇒
−−±−
= , com p é uma probabilidade, valores negativos não 
servem, então 
3
1p = =0,333. 
(2) P(5 ≤ X ≤ 7) = P(X=5) + P(X=6) + P(X= 7) = p2 +2 p = 
9
7
3
1
2
9
1
=+ =0,778 
(3) E(X) = ( )∑
=
n
1i
ii xpx = 22,6
9
56
3
13
9
17
9
1
8
3
1
7
3
1
6
9
1
5
9
1
4 ==+=++++ 
 
Questão 2: Em seu caminho matinal, você se aproxima de um determinado sinal de trânsito, 
que está verde 20% do tempo. Suponha que cada manhã represente uma tentativa 
independente. As probabilidades para as seguintes situações: (1) em 5 manhãs a luz esteja 
62 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
verde exatamente um dia; e (2) em 20 manhãs a luz esteja verde em mais de 4 dias, são 
aproximadas respectivamente por: 
a) 0,0576; 0,2181 
b) 0,4096; 0,2181 
c) 0,4096; 0,3704 
d) 0,0576; 0,3704 
 
Resposta: C 
Seja a variável aleatória X: sinal verde numa manhã , então X ~ Bin ( n; 0,20) 
(1) X ~ Bin(5 ; 0,20) 
 P(X= 1) = 4096,0)80,0()20,0(
1
5 41
=





 
 
(2) X ~Bin (20 ; 0,20) 
P(X > 4) = 1 – P(X ≤ 4) = 1 – 0,6296 = 0,3704 
 
Questão 3: Lotes de 40 peças são considerados aceitáveis se contém, no máximo, três peças 
defeituosas. O processo de amostragem consiste em extrair aleatoriamente cinco peças de cada 
lote e rejeita-lo se for encontrada pelo menos uma peça defeituosa nas cinco peças extraídas. A 
probabilidade de se encontrar exatamente uma peça defeituosa se há três peças defeituosas 
em todo o lote é aproximadamente: 
a) 27,0% 
b) 30,1% 
c) 42,3% 
d) 28,5% 
 
Resposta: B 
A variável aleatória X é hipergeométrica com N = 40; n = 5; k = 3 e x = 1 
 P(X= 1) = 304,0
008.658
)045.66)(3(
5
40
4
37
1
3
==


















 
 
63 
 
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Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
Questão 4: Mensagens chegam a um servidor de computadores, de acordo com a distribuição 
de Poisson, com uma taxa média de 10 por hora. O intervalo de tempo, em segundos, tal que a 
probabilidade de nenhuma mensagem chegar seja de 90% é: 
a) 25,8 
b) 32,4 
c) 90,0 
d) 37,9 
 
Resposta: D 
Seja X: numero de mensagens que chegam, em horas, no tempo t 
X ~ Pois(10t) 
P(X=0) = 0,90 90,0e90,0
!0
)t10(e t10
0t10
=⇒=⇒ −
−
 
Logo, -10t = ln(0,90) ⇒ -10t = -0,10536 ⇒ t = 1,0536 x 10-2 horas 
Então, t = (0,01054)(3.600) segundos ⇒ t = 37,9 segundos. 
 
Questão 5: A função, 
2 xou 0 xse , 0
2x 0 se 



>≤
≤<+
=
,32)( xxf é uma função de densidade de 
probabilidade se, e somente se, ela for: 
a) Multiplicada pela constante 0,10 
b) Adicionada da constante 0,10 
c) Multiplicada pela constante 10 
d) Adicionada da constante 10 
 
Resposta: A 
( )



>≤
≤<+
=
2x ou 0x ,0
2x0 ,3x2
xf 
 
1) f(x) > 0 → suposição confirmada sempre 
64 
 
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Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
 
2) ( ) 1dxxf =∫∞
∞−
, tem-se: 
 
( ) ( ) ( )
( )
2
0
2
2
0
2
2
0
0
x3
2
x
2
dx3x2
dx0dx3x2dx3x2dx3x2



+
/
/=
=+=
=++++=+
∫
∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
 
 11064 ∴>=+= f(x) não é uma probabilidade 
 
Para ser uma probabilidade, f(x) pode ser definida: ( ) ( )




>≤
≤<+
=
2x ou 0x ,0
2x0 ,3x2
10
1
xf 
 
Conclusão: Se f(x) for multiplicada por 0,10 então ela será uma f.d.p. 
Questão 6: O tempo entre as chegadas de táxi a um movimento cruzamento é distribuído 
exponencialmente com uma média de 10 minutos. A probabilidade de você esperar menos que 
x minutos é 0,50. O valor aproximado de x, em minutos é: 
a) 5,0 
b) 8,52 
c) 6,93 
d) 10,15 
Resposta: C 
Seja X: tempo entre as chegadas de táxi, em minutos 
65 
 
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Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
X ~ exp ( λ ) 
µ = E(X) = 10 ⇒ 1,0
10
1
==λ 
P(X < x) = 0,50 ⇒ 50,0e x =λ− ⇒ 50,0e x1,0 =− ⇒ -0,1x = ln(0,50)= -0,693 ⇒ x = 6,93 
min. 
 
Questão 7: A velocidade de transferência de um arquivo de um servidor da universidade para 
um computador pessoal na casa de um estudante, em uma noite de dia de semana, é 
normalmente distribuída, com média de 60 kbits por segundo e um desvio-padrão de 4 kbits 
por segundo. A probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade entre 58 e 70 kbits 
por segundo é aproximadamente: 
a) 0,298 
b) 0,685 
c) 0,542 
d) 0,320 
 
Resposta: B 
X: velocidade de transferência arquivos, em kbits/seg 
X ~ N (60; 4) 
P(58 ≤ X ≤ 70) = P(X ≤ 70) - P(X ≤ 58) = 




 −≤
4
6070
ZP - 




 −≤
4
6058ZP 
 = P(Z ≤ 2,5) – P(Z ≤ -0,5) = 0,993790 – 0,308538 = 0,685252 
 
Questão 8: O tempo de reação de um motorista para o estímulo visual é normalmente 
distribuído, com uma média de 0,4 s e um desvio-padrão de 0,05 s. As probabilidades para: (1) 
de que uma reação requeira entre 0,4 s e 0,5 s; (2) de que uma reação requeira mais de 0,5 s; 
(c) o tempo de reação que é excedido em 90% do tempo; são dadas, respectivamente, por: 
a) 0,47725 ; 0,02275 ; 0,336 
b) 0,02275 ; 0,47725 ; 0,336 
c) 0,97725 ; 0,02275 ; 0,500 
d) 0,97725 ; 0,47725 ; 0,336 
 
Resposta: A 
Seja X: tempo de reação do motorista ao estímulo visual, em segundos 
X ~ N (0,4; 0,05) 
66 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
 
(1) P (0,4 ≤ X ≤ 0,5) = P 




 −≤≤
05,0
4,05,0
Z0 
 = P (0 ≤ Z ≤ 2) = 
 = P (Z ≤ 2) – P (Z ≤ 0) = 
 = 0,97725 – 0,50 = 0,47725 
 
(2) P (X ≥ 0,5) = P (Z ≥ 2) = 1 – P (Z ≤ 2) = 1 – 0,97725 = 0,02275 
 
(3) P (X ≥ x) = 0,90 ⇒ P (Z ≥ z) = 0,90 ⇒ P (Z ≤ z) = 0,10 ⇒ z = -1,28 
 
σ
µ−
=
x
z ⇒ x = zσ + µ = (- 1,28) (0,05) + 0,4 = - 0,064 +0,4 = 0,336 
 
Questão 9: As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão 
ocupadas em 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em 
sucessivas chamadas sejam independentes. As probabilidades para as seguintes situações: (1) 
que 10 chamadas aconteçam e em exatamente três chamadas as linhas estejam ocupadas; e 
(2) que 5 chamadas sejam feitas e no mínimo em uma chamada as linhas não estejam 
ocupadas, são aproximadas respectivamente por: 
a) 0,0425; 0,9940 
b) 0,4096; 0,8180 
c) 0,2150; 0,9898 
d) 0,3456; 0,9744 
 
Resposta: C 
Seja X: número de linhas ocupadas 
X ~ Bin (10; 0,40) 
 
(1) P(X = 3 ) = 0,2150 
 
(2) Seja Y ~ Bin (5; 0,60) 
 P( Y ≥ 1) = 1 – P( Y < 1) = 1 – P( Y= 0) = 1 – 0,0102 = 0,9898 
 
Questão 10: Em uma auto-estrada, o número de buracos, que é bastante significante para 
requerer reparo, é suposto seguir uma distribuição de Poisson, com uma média de dois buracos 
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Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
por quilometro. As probabilidades para as seguintes situações: (1) não há buracos que 
requeiram reparos em 5 quilometros; e (2) no mínimo um buraco requeira reparo em meio 
quilometro de auto-estrada, são aproximadas respectivamente por: 
a) 13,5%; 4,9% 
b) 0,01%; 63,2% 
c) 21,5%; 98,1% 
d) 0,01%; 27,8% 
 
Resposta: B 
Seja X : número de buracos por Km em uma auto-estrada. 
X ~ Pois (2) 
 
(1) Se temos 2 buracos a cada quilometro, então teremos 10 buracos em 5 km (regra de 3 
simples), logo X ~ Pois (10) 
 P(X = 0) ≅ 0,00005 ≅ 0,0001 ≅ 0,01% 
 
(2) Se temos 2 buracos a cada quilometro, então teremos 1 buracos em 0,5 km (regra de 3 
simples), logo X ~ Pois (1) 
 P( X ≥ 1) = 1 – P( X = 0) = 1 – 0,36788 ≅ 0,63212 ≅ 63,2% 
 
Questão 11: O tempo até a falha, em horas, de um importante componente de um 
equipamento eletrônico usado na fabricação de um aparelho DVD é distribuído 
exponencialmente com uma média de 2000 horas. A probabilidade de que o componente (e, 
conseqüentemente o aparelho DVD) dure mais do que 1000 horas antes que o componente 
tenha de ser substituído é aproximadamente: 
a) 0,6321 
b) 0,3935 
c) 0,3679 
d) 0,6065 
 
Resposta: D 
Seja X: tempo até a falha do componente eletrônico, em horas 
X ~ exp ( λ ) 
µ = E(X) = 2000 ⇒ 0005,0
2000
1
==λ 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
P(X > 1000) = )1000)(0005,0(e− = e-0,5 ≅ 0,6065 
 
Questão 12: O tempo de vida de um arranjo mecânico em um teste vibracional é distribuído 
exponencialmente, com uma média de 400 horas. Se um arranjo estiver em teste por 400 horas 
sem apresentar falha, a probabilidade de uma falha ocorrer nas próximas 100 horas é 
aproximadamente: 
a) 0,7788 
b) 0,2212 
c) 0,2865 
d) 0,7135 
 
Resposta: B 
Defina X: tempo de vida de um arranjo mecânico, em horas 
X ~ Exp( λ ) 
E(X)=400 , mas 
400
1
 
1)( =⇒= λλXE 
 
Probabilidade de falhar nas próximas 100 horas: 
 
22119,07788,01e1)100(F)100X(P 400
100
=−=−==≤
−
 
 
Questão 13: O tempo entre as chegadas de táxi a um movimento cruzamento é distribuído 
exponencialmente com uma média de 10 minutos. Suponha que você já estivesse esperando 
uma hora por um taxi, a probabilidade de que o taxi chegue dentro dos próximos 10 minutos é 
aproximadamente: 
a) 0,6321 
b) 0,3679 
c) 0,0091 
d) 0,9982 
 
Resposta: A 
Seja X: tempo entre as chegadas de táxi, em minutos 
X ~ exp ( λ ) 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
µ = E(X) = 10 ⇒ 1,0
10
1
==λ 
P(X < 10) = 1- )10)(1,0(e− = 1 – e-1 = 1 – 0,3679 = 0,6321 
 
Questão 14: A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, é normalmente 
distribuída com média de 7.000 horas e desvio-padrão de 600 horas. As probabilidades para: 
(1) que um semicondutor a laser falhe em menos de 5.000 horas; e (2) o tempo de vida em 
horas que 95% dos lasers excedem; são dadas, respectivamente, por: 
a) 0,71 ; 5800 
b) 1,0 ; 6016 
c) 0,0 ; 6016 
d) 0,50 ; 5800 
 
Resposta: C 
Seja a variável aleatória X: vida de um semicondutor a laser, em horas 
X ~ N (7000; 600) 
 
(1) que um semicondutor a laser falhe em menos de 5.000 horas: 
P(X< 5000) = 




 −
<
600
70005000
XP = P(Z < -3,33) ≅ 0,0 
(2) o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem: 
 
P (X > x) = 0,95 ⇒ P (Z > z) = 0,95 ⇒ P (Z < z) = 0,05 ⇒ z = - 1,64 
 x = zσ + µ = (- 1,64) (600) + 7000 = 6.016 horas 
 
Questão 15: A velocidade de transferência de um arquivo de um servidor da universidade para 
um computador pessoal na casa de um estudante, em uma noite de dia de semana, é 
normalmente distribuída, com média de 60 kbits por segundo e um desvio-padrão de 4 kbits 
por segundo. A probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade entre 58 e 70 kbits 
por segundo é aproximadamente: 
a) 0,9938 
b) 0,6853 
c) 0,3085 
d) 0,4983 
 
70 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
Resposta: B 
 
X: velocidade de transferência arquivos, em kbits/seg 
X ~ N (60; 4) 
P(58 ≤ X ≤ 70) = P(X ≤ 70) - P(X ≤ 58) = 




 −≤
4
6070
ZP - 




 −≤
4
6058
ZP 
 = P(Z ≤ 2,5) – P(Z ≤ -0,5) = 0,993790 – 0,308538 = 0,685252 
 
 
71 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
TABELA 1 – Distribuição BINOMIAL 
P(X = x) para X ~ Bin(n, p) 
 
 
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,9025 0,81 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 2
1 0,095 0,18 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,5000 1
2 0,0025 0,01 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 3
1 0,13540,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,3750 2
2 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,3750 1
3 0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 4
1 0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,2500 3
2 0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,3750 2
3 0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,2500 1
4 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 5
1 0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,1563 4
2 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,3125 3
3 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,3125 2
4 0,0000 0,0005 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,1563 1
5 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0313 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 6
1 0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,0938 5
2 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,2344 4
3 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,3125 3
4 0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,2344 2
5 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609 0,0938 1
6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083 0,0156 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078 7
1 0,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,1848 0,1306 0,0872 0,0547 6
2 0,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,2985 0,2613 0,2140 0,1641 5
3 0,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2679 0,2903 0,2918 0,2734 4
4 0,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1442 0,1935 0,2388 0,2734 3
5 0,0000 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0466 0,0774 0,1172 0,1641 2
6 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0036 0,0084 0,0172 0,0320 0,0547 1
7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0037 0,0078 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
3
4
5
6
7
p
p
p
p
p
2
p
p
72 
 
© Tânia F Bogutchi – PUC Minas – Revisão em 2012 
Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
 
 
 
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 8
1 0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1373 0,0896 0,0548 0,0313 7
2 0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2587 0,2090 0,1569 0,1094 6
3 0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2786 0,2787 0,2568 0,2188 5
4 0,0004 0,0046 0,0185 0,0459 0,0865 0,1361 0,1875 0,2322 0,2627 0,2734 4
5 0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0808 0,1239 0,1719 0,2188 3
6 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,1094 2
7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,0313 1
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0017 0,0039 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020 9
1 0,2985 0,3874 0,3679 0,3020 0,2253 0,1556 0,1004 0,0605 0,0339 0,0176 8
2 0,0629 0,1722 0,2597 0,3020 0,3003 0,2668 0,2162 0,1612 0,1110 0,0703 7
3 0,0077 0,0446 0,1069 0,1762 0,2336 0,2668 0,2716 0,2508 0,2119 0,1641 6
4 0,0006 0,0074 0,0283 0,0661 0,1168 0,1715 0,2194 0,2508 0,2600 0,2461 5
5 0,0000 0,0008 0,0050 0,0165 0,0389 0,0735 0,1181 0,1672 0,2128 0,2461 4
6 0,0000 0,0001 0,0006 0,0028 0,0087 0,0210 0,0424 0,0743 0,1160 0,1641 3
7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0012 0,0039 0,0098 0,0212 0,0407 0,0703 2
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0035 0,0083 0,0176 1
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0008 0,0020 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010 10
1 0,3151 0,3874 0,3474 0,2684 0,1877 0,1211 0,0725 0,0403 0,0207 0,0098 9
2 0,0746 0,1937 0,2759 0,3020 0,2816 0,2335 0,1757 0,1209 0,0763 0,0439 8
3 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2503 0,2668 0,2522 0,2150 0,1665 0,1172 7
4 0,0010 0,0112 0,0401 0,0881 0,1460 0,2001 0,2377 0,2508 0,2384 0,2051 6
5 0,0001 0,0015 0,0085 0,0264 0,0584 0,1029 0,1536 0,2007 0,2340 0,2461 5
6 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0162 0,0368 0,0689 0,1115 0,1596 0,2051 4
7 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0031 0,0090 0,0212 0,0425 0,0746 0,1172 3
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0043 0,0106 0,0229 0,0439 2
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0042 0,0098 1
10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0,0005 11
1 0,3293 0,3835 0,3248 0,2362 0,1549 0,0932 0,0518 0,0266 0,0125 0,0054 10
2 0,0867 0,2131 0,2866 0,2953 0,2581 0,1998 0,1395 0,0887 0,0513 0,0269 9
3 0,0137 0,0710 0,1517 0,2215 0,2581 0,2568 0,2254 0,1774 0,1259 0,0806 8
4 0,0014 0,0158 0,0536 0,1107 0,1721 0,2201 0,2428 0,2365 0,2060 0,1611 7
5 0,0001 0,0025 0,0132 0,0388 0,0803 0,1321 0,1830 0,2207 0,2360 0,2256 6
6 0,0000 0,0003 0,0023 0,0097 0,0268 0,0566 0,0985 0,1471 0,1931 0,2256 5
7 0,0000 0,0000 0,0003 0,0017 0,0064 0,0173 0,0379 0,0701 0,1128 0,1611 4
8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0037 0,0102 0,0234 0,0462 0,0806 3
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018 0,0052 0,0126 0,0269 2
10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0007 0,0021 0,0054 1
11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0005 0
0 ,9 5 0 ,9 0 0 ,8 5 0 ,8 0 0 ,75 0 ,70 0 ,65 0 ,6 0 0 ,5 5 0 ,50 x
8
9
10
11
p
p
p
p
p
73 
 
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Estatística e Probabilidade 
Unidade 2: Distribuições de Probabilidade 
 
 
 
 
 
n x 0 ,0 5 0 ,10 0 ,15 0 ,2 0 0 ,25 0 ,30 0 ,35 0 ,4 0 0 ,4 5 0 ,50
0 0,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0,0002 12
1 0,3413 0,3766 0,3012 0,2062 0,1267 0,0712 0,0368 0,0174 0,0075 0,0029 11
2 0,0988 0,2301 0,2924 0,2835 0,2323 0,1678 0,1088 0,0639 0,0339 0,0161 10
3 0,0173 0,0852 0,1720 0,2362 0,2581 0,2397 0,1954 0,1419 0,0923 0,0537 9
4 0,0021 0,0213 0,0683 0,1329 0,1936 0,2311 0,2367 0,2128 0,1700 0,1208 8
5 0,0002 0,0038 0,0193 0,0532 0,1032 0,1585 0,2039 0,2270 0,2225 0,1934 7
6 0,0000 0,0005 0,0040 0,0155 0,0401 0,0792 0,1281 0,1766 0,2124 0,2256 6
7 0,0000 0,0000 0,0006 0,0033 0,0115 0,0291 0,0591 0,1009 0,1489 0,1934 5
8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0024 0,0078 0,0199 0,0420 0,0762 0,1208 4
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0048 0,0125 0,0277 0,0537 3
10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 0,0025 0,0068 0,0161 2
11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0029 1
12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0
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