PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA – AULA II 
JOÃO MESQUITA 
 
Questões sobre Médias: 
 
 
 
01. O gráfico acima mostra a distribuição percentual de veículos de acordo com suas 
velocidades aproximadas, registradas por meio de um radar instalado em uma avenida. A 
velocidade média aproximada, em km/h, dos veículos que foram registrados pelo radar foi 
 
a) inferior a 40. 
b) superior a 40 e inferior a 43. 
c) superior a 43 e inferior a 46. 
d) superior a 46. 
 
02. A tabela de frequências abaixo apresenta as frequências acumuladas (F) 
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – 
em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y 
coincidentes com as extremidades das classes salariais. 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de 
fiscalização da Cia. X. 
 
a) 70,0 
b) 69,5 
c) 68,0 
d) 74,4 
e) 60,0 
 
 
 
 
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03. A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das notas obtidas num teste de 
matemática, realizado por 50 estudantes. 
 
Notas f 
0 │− 2 4 
2 │− 4 12 
4 │− 6 15 
6 │− 8 13 
8 │− 10 6 
 
A nota média desses estudantes é: 
 
a) 5,0 
b) 5,2 
c) 5,5 
d) 5,8 
e) 6,0 
 
04. A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas 
frequências. Não há observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes f 
(40; 50) 2 
(50 ; 60) 5 
(60; 70) 7 
(70; 80) 8 
(80; 90) 3 
 
O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é 
 
a) 60 
b) 65 
c) 67 
d) 70 
e) 75 
 
05. Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de 
homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio 
observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale 
a opção correta. 
 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
 
 
 
 
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06. No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi 
de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são 
respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens 
receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre 
os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses 
reajustes, o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a: 
 
a) 540,00 
b) 562,00 
c) 571,00 
d) 578,00 
e) 580,00 
 
MODA 
 
A moda é mais uma medida de tendência central. A moda é o termo que mais se repete. 
Fácil, não? Podemos até nos lembrar do uso comum da palavra. Geralmente o que está na 
‘moda’ é o que todo mundo usa. Pois bem, o termo que aparecer mais vezes na nossa série 
de dados será a moda. 
 
Moda para dados em rol e para dados agrupados por valor 
 
EX: Encontre a moda para os seguintes conjuntos de dados: 
 
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3 
 
b) 1, 2, 2, 3, 3, 4 
 
c) 2, 8, 5, 1 
 
d) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 20, 20 
 
EX: Considere a seguinte tabela: 
 
Valor observado Frequência relativa acumulada 
10 0,1 
15 0,2 
18 0,5 
20 0,7 
21 1 
 
Calcule a moda para os dados agrupados acima representados. 
 
 
 
 
 
 
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EX: Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra 
aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade 
monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 
10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. 
Assinale a opção que corresponde ao preço modal: 
 
a) 7 
b) 23 
c) 10 
d) 8 
e) 9 
 
Moda para dados em classe 
 
Quando os dados estão agrupados em classes, perdemos informação. Deste modo, a exemplo 
do que fizemos com a média, para determinação da moda precisaremos dar um “chute”. Isso 
mesmo. Precisaremos fazer algumas considerações. 
Vejamos como fica por meio de um exercício. 
 
 
EX: Considere a tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas frequências relativas 
acumuladas. Classes em reais Frequência relativa acumulada (%) 
 
Classes em 
reais 
Frequência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
 
O valor modal dos salários (desprezando os centavos), é: 
 
a) 1784 
b) 1666 
c) 1648 
d) 1636 
e) 1628 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
EX: 
 
 
O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber, é igual a (desprezar os 
centavos na resposta): 
 
a) R$ 3.201,00 
b) R$ 3.307,00 
c) R$ 3.404,00 
d) R$ 3.483,00 
e) R$ 3.571,00 
 
MEDIANA E MEDIDAS SEPARATRIZES 
Mediana - Além de ser uma medida de tendência central, ela também é uma medida 
separatriz. Isto porque ela separa os dados de uma forma bem específica. Sendo a mediana 
o termo do meio, ela deixa metade dos dados à sua esquerda e a outra metade à sua direita. 
Outra medida separatriz é o quartil. São três quartis, dividindo a sequência de dados em 
quatro partes iguais (em quatro partes com o mesmo número de termos). 
O primeiro quartil separa a sequência de dados de forma que à sua esquerda fiquem 25% 
dos valores e à sua direita 75%. Assim, o primeiro quartil é o valor que não é superado por 
25% das observações. 
O segundo quartil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado. 
O terceiro quartil deixa à sua esquerda 75% dos valores e à sua direita 25%. Logo, o terceiro 
quartil é o valor que não é superado por 75% das observações. 
Outra medida separatriz é o decil. São nove decis que dividem a série em dez partes iguais. 
O primeiro decil deixa à sua esquerda 10% dos valores; à sua direita 90% (ou seja, não é 
superado por 10% das observações). O segundo decil deixa à sua esquerda 20% dos valores; 
à sua direita 80%. E assim por diante. 
O quinto decil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado. 
A última medida separatriz que veremos é o percentil. O primeiro percentil deixa à sua 
esquerda 1% dos valores e à sua direita 99% (ou seja, não é superado por 1% das 
observações). O segundo percentil deixa à sua esquerda 2% dos valores e à sua direita 98%. 
E assim por diante. O quinquagésimo percentil coincide com a mediana, deixando 50% dos 
valores de cada lado. 
Então, resumindo as medidas separatrizes que estudaremos, temos: a mediana, os quartis, 
os decis, os percentis. 
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Mediana para dados em rol 
 
EX: Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados: 
 
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3 
 
b) 2, 8, 5, 1 
 
c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40 
 
 
 
EX: O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 
3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, 
respectivamente: 
 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
 
EX: Determine a mediana do seguinte conjunto de dados: 
 
58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56. 
 
a) 28 
b) 31 
c) 44 
d) 50 
e) 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EX: Considere o diagrama de ramose folhas abaixo correspondente à sequência de 
observações (91, 91, ..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações 
de X. 
9 11 
9 9 
10 002234 
10 57778 
11 013 
11 66 
12 00012 
12 558 
13 004 
13 555 
14 0 
14 5 
15 
15 8 
 
a) 110 
b) 120 
c) 116 
d) 113 
e) 111 
 
 
Mediana para dados tabulados 
 
EX: Considerando o conjunto abaixo e determine o valor da Mediana 
 
Xi fi 
1 2 
2 3 
3 6 
4 4 
5 2 
 
EX: Considerando o conjunto abaixo e determine o valor da Mediana 
 
Xi fi 
2 5 
4 10 
6 15 
8 11 
10 6 
12 3 
 
 
 
 
 
 
 
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Mediana para Distribuição de Frequências 
 
EX: Considerando o conjunto abaixo e determine o valor da Mediana 
 
Xi fi 
10├20 3 
20├30 5 
30├40 7 
40├50 4 
50├60 1 
 
Questões de concursos: 
 
01. Considerando que o diagrama de ramos e folhas acima mostra a distribuição das idades 
(em anos) dos servidores de determinada repartição pública, julgue os itens subsequentes. 
 
 
 
a) O primeiro quartil e o terceiro quartil são, respectivamente, 34 e 46 anos de idade. ( ) 
 
 
b) A mediana das idades dos servidores é igual a 39,5 anos. ( ) 
 
 
02. O diagrama de ramo e folhas a seguir corresponde às idades dos 40 funcionários de um 
setor de um órgão público em uma determinada data. 
 
 
 
A soma da mediana e da moda destas idades é igual a 
 
a) 67,0 
b) 66,5 
c) 66,0 
d) 65,5 
e) 65,0 
 
 
 
 
 
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03. O diagrama de ramo e folhas abaixo corresponde às observações das idades de 50 
eleitores escolhidos aleatoriamente em uma determinada zona eleitoral: 
 
 
 
O valor do módulo da diferença entre a mediana e a moda destas idades observadas é 
 
a) 0 
b) 3 
c) 10 
d) 14 
e) 16 
 
04. Considerando a distribuição de frequências abaixo, determine quantos elementos 
(crianças) desse conjunto apresentam peso abaixo de 12 kg? 
 
Classes (peso, em kg) 
 
fi 
0|----10 3 
10|----20 6 
20|----30 7 
30|----40 4 
 n=20 
 
05. A tabela de frequências abaixo apresenta as frequências acumuladas (F) 
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – 
em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y 
coincidentes com as extremidades das classes salariais. 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
 
 
 
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Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de 
fiscalização da Cia. X. 
a) 70,0 
b) 69,5 
c) 68,0 
d) 74,4 
e) 60,0 
06. A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das notas obtidas num teste de 
matemática, realizado por 50 estudantes. 
 
Notas Frequência absoluta 
0 │− 2 4 
2 │− 4 12 
4 │− 6 15 
6 │− 8 13 
8 │− 10 6 
 
A nota média desses estudantes é: 
 
a) 5,0 
b) 5,2 
c) 5,5 
d) 5,8 
e) 6,0 
 
07. Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da variável 
X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Frequências Acumuladas 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que 
não é superado por cerca de 80% das observações. 
 
a) 10.000 
b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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08. O quadro seguinte apresenta a distribuição de frequências da variável valor do aluguel 
(X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo 
município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a 
opção que corresponde à estimativa do valor Z tal que a frequência relativa de observações 
de X menores ou iguais a Z seja 80%. 
 
Classes R$ Frequências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
 
a) 530 
b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
 
 
09. Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 
funcionários de determinada empresa, com suas respectivas frequências relativas 
acumuladas. 
 
Classes em reais Frequência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
Utilizando a interpolação linear, o número de funcionários que ganham salários menores 
ou iguais a R$ 1.700,00 é: 
 
a) 96 
b) 84 
c) 72 
d) 64 
e) 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. O histograma de frequências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores 
arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
 
Observação – Considere que todos os intervalos de classe do histograma são fechados à 
esquerda e abertos à direita. Utilizando as informações contidas neste histograma, calculou-
se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. 
Também se calculou a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o 
módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a: 
 
a) R$ 100,00 
b) R$ 400,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 900,00 
e) R$ 1.000,00