Lógica e cálculo proposicional parte 1

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Lógica e cálculo proposicional - parte 1  
 
★Proposições ou Primitiva : 
 
É uma sentença declarativa que pode ser verdadeira ou falsa ,                     
mas não ambos. 
 
Exemplos : 
a) Paris fica na França  
b) 1+1=2 
c) Aonde você está indo?  
d) Faça seu dever de casa.  
 
#Expressões interrogativas / exclamativas / imperativas não são               
proposições. 
 
★Proposições Compostas : 
 
Formadas por sub proposições e vários conectivos , discutidos                 
subsequentemente. 
 
Exemplos : 
a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis  
b) João é inteligente ou estuda a noite toda 
 
#A propriedade fundamental de uma proposição composta é que                 
seu valor lógico fica completamente determinado pelo valor das                 
duas sub proposições juntamente com o modo pelo qual essas                   
sub proposições estão conectadas para formar uma proposição               
composta. 
 
★Operações Lógicas Básicas: 
 
Conjunção - ​proposições combinadas pela palavra e em uma                 
proposição composta,tendo assim, se p e q são verdadeiras                 
,então p ∧ q é verdadeira ; caso contrário p ∧ q é falsa. 
 
p ∧ q 
lê-se p e q. 
 
Exemplo: 
p  q  p ∧ q 
v  v  v 
v  f  f 
f  v  f 
f  f  f 
 
Disjunção - quaisquer duas proposições podem ser combinadas                
pela palavra “ou” para formar uma proposição composta . Se p e                       
q são falsas , então p ∨ q é falsa; caso contrário , p ∨ q é                                 
verdade. 
 
p ∨ q 
 
lê-se “ p ou q “  
 
 
 
 
Exemplo: 
 
p  q  p ∨ q 
v  v  v 
v  f  v 
f  v  v 
f  f  f 
 
#A palavra “ou” é normalmente usada de duas maneiras distintas.                   
Às vezes é usada com o sentido de “p ou q ou ambas ” e outras                               
vezes tem o significado de “p ou q , mas não ambas ”Exemplo: ele                           
irá para Harvard ou Yale. Esse tipo é conhecida como disjunção                     
exclusiva. Porém o padrão é a utilização do “ou” no primeiro                     
sentido. 
 
Negação - ​pode ser formada escrevendo “não concordo que ...” ou                     
“é falso que ...” antes de p , ou , se possível , inserindo em p                               
palavra “não”. Se pe é verdade , então ℸp é falso ; se p é falso                               
então ℸp é verdade. 
 
 ℸp 
 
lê-se “não p” 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
p  ℸp 
v  f 
f  v 
 
#Outras formas de escrever … 
 
p & q / p●q / pq  para p ∧ q 
p + q  para p ∨ q 
p’ / ~p  para ℸp 
 
★Proposições e tabelas verdades : 
 
Seja P (p,q...) a expressão construída a partir das variáveis lógicas                     
p, q ,... que assumem valores VERDADEIRO (V) ou FALSO (F) , e os                           
conectivos lógicos ∧ ,∨, ℸ e outros. Uma tal expressão P(p,q ,...)                       
será denominada uma proposição. 
 
#A proposição principal de um a proposição P(p,q ,...) seu valor                     
lógico depender exclusivamente dos suas variáveis , isto é , o valor                       
lógico de uma proposição é conhecido se os valores lógicos de                     
suas variáveis são conhecidos. E essa relação é demonstrada                 
através da tabela-verdade. 
 
#Para saber o número referente as linha de uma tabela dado por                       
2ⁿ , onde temos por N o n´meros de valores lógico da proposição. 
 
 
 
#Ordem de precedência ​: 
 
 
★Como montar uma tabela : 
 
Passo 1: preenchimento das variáveis e posicionamento da               
proposição. 
 
 
p  q  ℸ  (p  ∧   ℸ  q) 
v  v    v      v 
v  f    v      f 
f  v    f      v 
f  f    f      f 
 
Passo 2: Preenche o primeiro da ordem de precedência  
 
p  q  ℸ  (p  ∧   ℸ  q) 
v  v    v    f  v 
v  f    v    v  f 
f  v    f    f  v 
f  f    f    v  f 
 
Passo 3: e vai seguindo a pirâmide de precedência  
 
 
p  q  ℸ  (p  ∧   ℸ  q) 
v  v  v  v  f  f  v 
v  f  f  v  v  v  f 
f  v  v  f  f  f  v 
f  f  v  f  f  v  f 
 
 
★Tautologia e Contradições: 
 
Algumas proposições P(p,q,...) contém apenas V na última coluna                 
das suas tabelas -verdades , ou , em outras palavras , elas são                         
verdade para quaisquer valores lógicas das suas variáveis . Tais                   
proposições são chamadas tautologias . Ananlógicamamnete ,             
P(p,q,...) é dita uma contradição se contiver apenas F na última                     
coluna da sua tabela verdade , ou , em outras palavras , é fals                           
para quaisquer valores lógicos de suas variáveis . 
 
Tautologia! 
p  ℸp  p  ∨  ℸp 
v  f  v  v  f 
f  v  f  v  v 
 
 
 
Contradição! 
 
p  ℸp  p  ∧   ℸp 
v  f  v  f  f 
f  v  f  f  v 
 
 
Princípio da substituição - se P(p,q,...) é uma tautologia , então                     
P(P₁,P₂,...) é uma tautologia para quaisquer proposições. 
 
★Equivalência Lógica 
 
Duas proposições P(p,q,...) e Q(p,q,...) são ditas logicamente               
equivalentes ou, simplesmente , equivalentes ou iguais se elas têm                   
tabelas-verdades idênticas. 
 
P(p,q,...) ≡ 
P(p,q,...) 
 
Exemplo: 
 
p  q  p∧q  ℸ(p∧q) 
v  v  v  f 
v  f  f  v 
f  v  f  v 
f  f  f  v 
 
 
p  q  ℸp  ℸq  ℸp∨ℸq 
v  v  f  f  f 
v  f  f  v  v 
f  v  v  f  v 
f  f  v  v  v