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1 AVALIAÇÃO PRESENCIAL CADERNO DE PERGUNTAS curso: Engenharia Ciclo Básico bimestre: 8o bimestre ano: 2018 | 1sem P5 • Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. • Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de perguntas consigo. Boa prova! disciplina MEE001 - Estatística • Indique claramente as fórmulas utilizadas e os cálculos realizados • Utilize as tabelas “normal padronizada” e “t de Student” para obtenção dos valores necessários Questão 1 (2,5 pontos) Uma indústria recebe mercadorias de dois fornecedores. O fornecedor A é responsável por 60% do abastecimento e historicamente fornece 5% de produtos defeituosos. O fornecedor B é responsável por 40% do abastecimento e historicamente fornece 8% de produtos defeituosos. Um produto sorteado aleatoriamente apresentou defeito. Qual a probabilidade desse produto ter sido fornecido pelo fornecedor A? a) 32,6% b) 48,4% c) 19,7% d) 63,1% e) 55,7% Questão 2 (2,5 pontos) Um produtor de leite sabe que suas vacas produzem em média 25 litros de leite por dia, com desvio padrão de 2 litros. Qual a probabilidade de que num dia qualquer uma vaca produza mais de 26 litros de leite? a) 18,4% b) 44,5% c) 23,9% d) 37,4% e) 30,9% Questão 3 (2,5 pontos) A área de expedição de uma indústria selecionou aleatoriamente 400 produtos e concluiu que 15% não se encontram apropriados para serem encaminhados para os clientes pois apresentam defeitos. Qual o intervalo de confiança de 95% para a proporção de produtos defeituosos? Considere a população normalmente distribuída. Questão 4 (2,5 pontos) O peso médio de cinco produtos é 75 kg com desvio padrão de 12kg. Considerando um nível de confiança de 95%, pode-se afirmar que o peso médio dessa população de produtos é inferior a 80kg? CÓDIGO DA PROVA 2 FORMULÁRIO Probabilidade Definição Probabilidade e Espaço Amostral 𝑃𝑃 = 𝑀𝑀 𝑁𝑁 0 ≤ 𝑃𝑃(𝐸𝐸) ≤ 1 𝑃𝑃(𝑆𝑆) = 1 Operações com eventos 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵) − 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) Teorema do Produto 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴) 𝑃𝑃(𝐴𝐴) Média e variância populacional 𝜇𝜇 = 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥𝑖𝑖.𝑝𝑝(𝑥𝑥𝑖𝑖) 𝜎𝜎2(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸(𝑥𝑥 − 𝜇𝜇)2 Distribuição de Bernoulli Distribuição Binomial 𝑃𝑃(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = 𝑝𝑝 𝑃𝑃(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = 𝑞𝑞 = 1 − 𝑝𝑝 𝑃𝑃 = 𝑝𝑝𝑘𝑘𝑞𝑞1−𝑘𝑘 𝐾𝐾 ∈ {0,1} 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) = � 𝑛𝑛 𝑘𝑘� . 𝑝𝑝𝑘𝑘 .𝑞𝑞𝑛𝑛−𝑘𝑘 � 𝑛𝑛 𝑘𝑘� = 𝑛𝑛!𝑘𝑘! (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! Distribuição de Poisson Distribuição Normal 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑘𝑘) = 𝑠𝑠−𝜆𝜆𝜆𝜆. (𝜆𝜆𝜆𝜆)𝑘𝑘 𝑘𝑘! 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇𝜎𝜎 Média Amostral �̅�𝑥 = ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 �̅�𝑥 = ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 Variância População 𝑠𝑠2 = � (𝑥𝑥1 − �̅�𝑥)2 𝑁𝑁 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 Amostra 𝑠𝑠2 = � (𝑥𝑥1 − �̅�𝑥)2 𝑛𝑛 − 1𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 Intervalo de confiança para média com variância populacional conhecida 𝑠𝑠0 = 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝜎𝜎 √𝑛𝑛 𝑃𝑃(�̅�𝑥 − 𝑠𝑠0 ≤ 𝜇𝜇 ≤ �̅�𝑥 + 𝑠𝑠0) = 1 − 𝛼𝛼 Intervalo de confiança para proporção 𝑠𝑠0 = 𝑧𝑧 ∝/2 �(1 − 𝑝𝑝)𝑛𝑛 𝑝𝑝(𝑝𝑝�−𝑒𝑒0≤𝜋𝜋≤𝑝𝑝�+𝑒𝑒0) = 1 − 𝛼𝛼 Intervalo de confiança para média - variância populacional desconhecida 𝑠𝑠0 = 𝜆𝜆𝛼𝛼/2 𝑆𝑆 √𝑛𝑛 𝑃𝑃(�̅�𝑥 − 𝑠𝑠0 ≤ 𝜇𝜇 ≤ �̅�𝑥 + 𝑠𝑠0) = 1 − 𝛼𝛼 3 Teste de Hipóteses 1. Determinar o parâmetro de interesse (média, proporção ou variância). 2. Definir a hipótese a ser testada H0. 3. Definir a hipótese alternativa H1. 4. Calcular o valor a ser comparado utilizando a estatística de teste apropriada. 5. Delimitar a região de rejeição, valor crítico para comparar o valor anterior. 6. Comparar os valores obtidos. 7. Decidir pela rejeição ou aceitação da hipótese H0. 8. Concluir, baseando-se na aceitação ou rejeição da hipótese H0. Teste de Hipóteses para a Média – Variância Populacional Conhecida Hipótese 𝑯𝑯𝟎𝟎 Estatística de Teste Hipótese 𝑯𝑯𝟏𝟏 Critério de Rejeição 𝐻𝐻0:𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 𝜎𝜎2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = �̅�𝑥 − 𝜇𝜇0𝜎𝜎/√𝑛𝑛 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 ≠ 𝜇𝜇0 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 < 𝜇𝜇0 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 > 𝜇𝜇0 |𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐| > 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 < −𝑧𝑧𝛼𝛼 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 > 𝑧𝑧𝛼𝛼 Teste de Hipóteses para a Proporção Hipótese 𝑯𝑯𝟎𝟎 Estatística de Teste Hipótese 𝑯𝑯𝟏𝟏 Critério de Rejeição 𝐻𝐻0:𝜋𝜋 = 𝜋𝜋0 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑝𝑝 − 𝜋𝜋0�𝜋𝜋0(1 − 𝜋𝜋0) 𝑛𝑛 𝐻𝐻1:𝜋𝜋 ≠ 𝜋𝜋0 𝐻𝐻1:𝜋𝜋 < 𝜋𝜋0 𝐻𝐻1:𝜋𝜋 > 𝜋𝜋0 |𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐| > 𝑧𝑧𝛼𝛼/2 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 < −𝑧𝑧𝛼𝛼 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 > 𝑧𝑧𝛼𝛼 Teste de Hipóteses para a Média – Variância Populacional Desconhecida Hipótese 𝑯𝑯𝟎𝟎 Estatística de Teste Hipótese 𝑯𝑯𝟏𝟏 Critério de Rejeição 𝐻𝐻0:𝜇𝜇 = 𝜇𝜇0 𝜎𝜎2 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓 𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = �̅�𝑥 − 𝜇𝜇0𝑆𝑆/√𝑛𝑛 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 ≠ 𝜇𝜇0 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 < 𝜇𝜇0 𝐻𝐻1:𝜇𝜇 > 𝜇𝜇0 |𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐| > 𝜆𝜆𝛼𝛼/2,𝑛𝑛−1 𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 < −𝜆𝜆𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 > 𝜆𝜆𝛼𝛼,𝑛𝑛−1 4 5 6 GABARITO curso: Engenharia Ciclo Básico bimestre: 8o bimestre P5 Disciplina: MEE001 - Estatística Questão 1 Resposta: b) Elaboração do Espaço Amostral – 1 ponto Espaço Amostral Fornecedor Qualidade Resultado Fornec.A 0,60 Bom 0,95 Fornec.A ∩ Bom 0,570 Defeito 0,05 Fornec.A ∩ Defeito 0,030 Fornec.B 0,40 Bom 0,92 Fornec.B ∩ Bom 0,368 Defeito 0,08 Fornec.B ∩ Defeito 0,032 Identificação dos casos em que ocorreram defeitos – 1 ponto Detecção de Defeito Fornecedor Qualidade Resultado Fornec.A 0,60 Bom 0,95 Fornec.A ∩ Bom 0,570 Defeito 0,05 Fornec.A ∩ Defeito 0,030 Fornec.B 0,40 Bom 0,92 Fornec.B ∩ Bom 0,368 Defeito 0,08 Fornec.B ∩ Defeito 0,032 Cálculo da probabilidade – 0,5 pontos 7 Questão 2 Resposta: e) Cálculo de Z Busca de Z na tabela Cálculo da probabilidade 8 Questão 3 Cálculo de Z – 1 ponto Cálculo de e0 – 1 ponto Calculo do Intervalo Limite Inferior: 0,150 – 0,035 = 0,115 = 11,5% Limite Superior: 0,150 + 0,035 = 0,185 = 18,5% 9 Questão 4 Busca de tα;n-1 = t0,05;4 = -2,132 – 1 ponto Cálculo de tcalc – 1 ponto Conclusão – 0,5 pontos t crítico = -2,132 < t calculado = -0,93 – mantenho H0, não existem evidências de que o peso médio dessa população de produtos é inferior a 80kg
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