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UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciências e Tecnologia Resolução de Equações Método de Newton e Método da Secante ECT1303 – Computação Numérica • Manter o telefone celular sempre desligado/silencioso quando estiver em sala de aula; • Nunca atender o celular na sala de aula. MÉTODO DA BISSECÇÃO Método de Newton Método de Newton O método de Newton é um dos métodos mais utilizados na resolução de equações não-lineares. Sir Isaac Newton (1642-1727) é um dos mais célebres matemáticos de todos os tempos. Método de Newton (interpretação gráfica) Seja f(x) uma função em que deseja-se obter uma raiz. Conhecendo-se um valor x0 próximo à raiz, pode-se aproximar a função por uma reta tangente à f(x) em x0 . Método de Newton Método de Newton Método de Newton Como obter a reta tangente à f(x) no ponto (x0, f(x0))? 1. Obter a equação da reta tangente à f(x). 2. Achar o ponto x1 que a reta cruza o eixo x. Método de Newton Método de Newton (Série de Taylor) • Seja uma equação f(x) = 0 a ser resolvida. • A partir de um valor inicial x0 para a solução, buscamos encontrar uma correção h tal que: • Utilizando o desenvolvimento de Taylor ao redor de x0, temos: 0)( 0 hxf ... !3 )(''' !2 )('' )(')(0 3 0 2 0 00 hxfhxf hxfxf Método de Newton • Negligenciando os termos de ordem superior ou igual a 2: • A correção é, em princípio, a quantidade que devemos adicionar a x0 para anular a função f(x). • Esta correção não é perfeita. Por quê? hxfxf )(')(0 00 Estimativa da correção: )(' )( 0 0 xf xf h )(' )( 0 0 00 xf xf xhxx Descrição do método 1. Analisar a função para determinar um valor de x0 próximo a raiz. 2. Encontrar a derivada de f(x). 3. Calcular estimativas consecutivas para a raiz usando a expressão: 4. Repetir o passo 3 até que se tenha obtido a precisão desejada. xk1 xk f (xk) f '(xk) Exercício Ex: Ache a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + ln(𝑥) para o erro relativo 𝜀 = 0,1(ou seja): 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1 < 𝜀 Quadro Se Então 653,0 )648,0( )648,0( 648,02 f f x x xxf 1 2)( 𝑥0 = 0,5 648,0 3 443,0 5,0 )5,0( )5,0( 5,01 f f x )ln()( 2 xxxf 1,0007.0 653,0 648,0653,0 Plotando o Gráfico, podemos ver que a raiz está no intervalo [0,1; 0,7]. Podemos fazer 𝑥0 = 0,5 1,0228.0 648,0 5,0648,0 Continua… Parou! Método de Newton • Exercício: Ache uma aproximação da raiz da função 𝑓 𝑥 = 10𝑥 + 𝑥3 + 2 com um erro absoluto de 𝛿 < 0,01 – Dica: 𝑎 = 𝑒ln(𝑎) Resp: −1,27 • Exercício: Achar a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 10 com uma precisão de 2 casas decimais. Algoritmo Problemas com o método de Newton Problemas com o método de Newton • Raízes próximas a pontos de inflexão f(x) x x1 x0 x2 Problemas com o método de Newton • Buscas perto de pontos de mínimos ou máximos locais f(x) x x1 x0 x2 x3 x4 Problemas com o método de Newton • Chute inicial longe da raiz f(x) x x1 x0 Problemas com o método de Newton • Derivada igual a zero f(x) x x1 x0 Problemas com o método de Newton • Derivada próxima de zero f(x) = x10 - 1 x x0 0,5 x1 51.65 x2 46.48 x3 41.83 x4 37.65 x5 33.89 x6 30.50 x7 27.45 x8 24.70 x9 22.23 x10 20.01 x27 3.337 x28 3.003 x36 1.299 x37 1.178 x39 1.023 x40 1.002 x41 1.000023 x42 1.0000000025 x43 1 Problemas com o método de Newton • Derivada próxima de zero x0 0,5 x1 51.65 x2 46.48 x3 41.83 x4 37.65 x5 33.89 x6 30.50 x7 27.45 x8 24.70 x9 22.23 x10 20.01 Problemas com o método de Newton • Derivada próxima de zero x0 0,5 x1 51.65 x2 46.48 x3 41.83 x4 37.65 x5 33.89 x6 30.50 x7 27.45 x8 24.70 x9 22.23 x10 20.01 Exemplo do comportamento de Circuito RLC • Saída de circuito RLC f(t) t Máximo local f’(t) ≈ 0 Chute longe da raiz Método da Secante Método da Secante • Problema com o método de Newton: Cálculo da derivada da função • Solução: Aproximar a derivada no ponto (x1, f(x1)) pelo coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos (x1, f(x1)) e (x0, f(x0)) Método da Secante • A derivada no ponto (x1, f(x1)) é estimada por: • A nova estimativa x2 para a raiz de f(x) será: Nota: São necessárias duas aproximações iniciais para usar o método das secantes. Método da Secante Descrição do Método: 1. Analisar a função para determinar dois valores, x0 e x1, próximos à raiz. 2. Calcular estimativas consecutivas para a raiz usando a expressão: 3. Repetir o passo 2 até que se tenha obtido a precisão desejada. Qual a diferença para Falsa Posição? Exemplo Encontre o juro JA usando o método das secantes com 3 casas decimais de precisão. Resolução Resolução A solução desejada é obtida arredondando- se J2 para três casas decimais: JA = 0,122 = 12,2% • Método da Secante também convergiu com apenas duas iterações! Secante • Ex: Determine a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥 com erro absoluto de 𝛿 < 0.05 Solução 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥 Intervalo com uma raiz: 𝑓 0 = 1 e 𝑓 1 = −0. 632, portanto existe uma raiz no intervalo [0,1] 𝑥0 = 0𝑒𝑥1 = 1 𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓 𝑥1 𝑥0 − 𝑥1 𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥1) = 1 − −0.632 ∙ −1 1 + 0.632 = 0.613 |𝑥2 − 𝑥1| = 0.4 > 0.05 Continua… 𝑓 𝑥2 = 𝑓 0.6127 = −0.071 𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) = 0.613 − −0.071 ∙ (1 − 0.613) −0.632 + 0.071 = 0.564 𝑥3 − 𝑥2 = 0.049 < 0.05Parou! Secante • Ex: Determine a primeira raiz positiva da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 1 + 𝑥2 − 1fazendo 3 iterações (o gráfico de tal função se encontra abaixo). Podemos fazer 𝑥0 = 1 e 𝑥1 = 3? E 𝑥0 = 1.5 e 𝑥1 = 2.5? Método da Secante- Algoritmo Exercício - Use o Método de Newton e o Método da Secante para encontrar a raiz quadrada de 2 com 3 casas decimais de precisão. - Compare o número de iterações necessárias em cada método. Comparação entre os métodos • O método da bisseção é bastante simples por não exigir o conhecimento da derivada da equação em questão, e sempre converge, porém possui uma convergência lenta • O método da falsa posição também converge sempre e mais rapidamente que o método da bisseção • O método de Newton é o que apresenta a convergência mais rápida, porém exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão (sinal da derivada primeira e segunda constante no intervalo para garantir convergência) • O método da Secante é menos rápido que o de Newton, e também não garante a convergência. Porém, não exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão Exercício V R h No projeto do tanque esférico de raio R = 3m da figura abaixo, deseja-se saber a profundidade da água h para que o tanque armazene 30m3 de água. Para tal, use um método numérico com a precisão adequada. 3 ]3[2 hRhV
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