Calculo numerico lista 2

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Lista de Exerćıcios 2
MS211 - 2020/S1
Zeros reais de funções reais
Nos exerćıcios, a menos que seja especificada outra forma, avalie a precisão utilizando |f(xk)| < ε1 e
|xk − xk−1| < ε2.
1. Localize graficamente os zeros das funções a seguir:
a) f(x) = 4 cos(x)− exp(2x)
b) f(x) = x/2− tan(x)
c) f(x) = 1− x ln(x)
d) f(x) = 2x − 3x
e) f(x) = x3 + x− 1000.
2. Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos
possuem somente uma raiz.
a) x− 3−x = 0
b) 4x2 − ex = 0
c) x3 − 2x2 − 4x+ 3 = 0
d) x3 + 4, 001x2 + 4, 002x+ 1, 101 = 0
3. Utilize o método da Bisseção para encontrar soluções com precisão de 10−2 (duas casas decimais
corretas) para x3 − 7x2 + 14x− 6 = 0 nos seguintes intervalos:
a) [0; 1] b) [1; 3, 2] c) [3, 2; 4]
4. Utilizando o método da bisseção e o gráfico de f(x), encontre todas as ráızes de
f(x) = 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1.
com duas casas decimais corretas (ε = 10−2). OBS: As ráızes exatas são: cos
[
(2j − 1) π
12
]
j = 1, 2, . . . , 6.
5. Qual o número de iterações necessárias para calcular uma raiz no intervalo [2, 7], pelo método
da Bisseção, com ε = 0, 000001?
6. Qual o número mı́nimo de iterações k que será realizado pelo algoritmo do método da bisseção
para satisfazer o critério de parada: b−a < tol supondo que tol = 10−4 e o intervalo inicial tem
amplitude 1? Generalize seu resultado, em função de tol e da amplitude do intervalo inicial.
7. Encontre o zero das seguintes funções, pelo método da Bisseção, com ε ≤ 0, 005 ou k > 6.
a) f(x) = x2 + senx− 5, no intervalo [1, 2; 2, 4]
b) f(x) = x3 − 2x2 − 20x+ 30, no intervalo [1, 3; 4, 8]
8. Use o método de Newton–Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com
precisão 10−2.
a) x/2− tan(x) = 0; b) 2 cos(x)− exp(x)/2 = 0; c) x5 − 6 = 0.
9. Em alguns computadores, o cálculo de
√
a é baseado no método de Newton. Estabeleça a
fórmula de iteração do método para resolver x2 − a = 0 e mostre que ela pode ser escrita na
forma
xn+1 =
1
2
(
xn +
a
xn
)
, n ≥ 0.
10. Utilize o método do exerćıcio anterior para calcular
√
2 com ε = 10−8 e x0 = 1, 5. Quantas
iterações seriam necessárias para encontrar um resultado com a mesma precisão se fosse utilizado
o método da bisseção com o intervalo inicial [1, 0; 2, 0]?
11. Considere a função f(x) = exp(x)− 4x2.
a) Localize graficamente os zeros de f .
b) Considere o intervalo I = [−1 5]. Realize duas iterações do método da bissecção e escolha
o ponto médio do último intervalo obtido como aproximação inicial para o método de Newton.
Aplique o método de Newton até atingir precisão 10−2. Comparando com localização dos
zeros realizada no item (a), identifique qual o zero obtido neste processo e justifique por que a
convergência foi para esta raiz.
12. Aplique o método de Newton–Raphson à equação: x3 − 2x2 − 3x + 10 = 0, com x0 = 1.9.
Justifique os resultados obtidos.
13. O método de Newton Modificado consiste em gerar a sequência {xk} através de: xk+1 = xk −
f(xk)/f
′(x0) onde x0 é uma aproximação inicial.
a) com aux́ılio de um gráfico, escreva a interpretação geométrica deste método;
b) cite algumas situações em que é conveniente usar este método no lugar do método de Newton.
14. O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: sin(x) = 0 e cos(x) +
1 = 0.
a) Aplique o método de Newton com x0 = 3 e precisão 10
−2 em cada caso e compare os
resultados. Justifique os resultados obtidos.
b) O método da bissecção pode ser aplicado na resolução da equação cos(x) + 1 = 0 para obter
o valor de π?
15. Considere a função: f(x) = x2/2 + x(ln(x)− 1). Obtenha seus pontos cŕıticos com o aux́ılio do
método das secantes.
16. A equação x2− b = 0 tem como raiz exata
√
b. Aplique o método de Newton para obter
√
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com precisão 10−4, se estiver usando um computador e precisão 10−2 se estiver usando uma
calculadora não programável.
17. Considere a função f(x) = −2sen(x) + x.
a) Localize graficamente os zeros desta função, indicando um intervalo para cada raiz.
b) Faça x0 = −0.8971 e realize 3 iterações do método de Newton (considere tolerância 10−3).
Analise a solução obtida, considerando o chute inicial que foi escolhido.
18. Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Secante com
ε ≤ 0, 0005 ou k > 6 (quando não for indicado, escolha os pontos iniciais).
a) f(x) = x3 − 2x2 − 5 = 0, no intervalo [1, 4], com: x0 = 4 para Newton; x0 = 2 e x1 = 4
para Secante
b) f(x) = x3 + 3x2 − 1 = 0, em [−4,−2] com: x0 = 1 para Newton, x0 = 1 e x1 = 2 para
Secante
c) f(x) = x3 + cosx no intervalo [0; 1]
d) f(x) = 2x3 + lnx− 5 no intervalo [1; 2]
19. O valor de π pode ser obtido através da resolução de diferentes equações, tais como
a) sin(x) = 0
b) cos(x) + 1 = 0
Aplique o método de Newton com x0 = 3 e com precisão ε = 10
−7 em cada caso e compare os
resultados obtidos. Justifique.
20. Deduza o método de Newton a partir de:
a) Sua interpretação geométrica.
b) Uso de série de Taylor.
21. Seja f(x) = ex − 4x2 e α sua raiz no intervalo [0; 1]. Tomando x0 = 0, 5, encontre α com
ε = 10−4 usando o método de Newton.
22. Seja f(x) = x2/2 + x(ln(x) − 1). Obtenha seus pontos cŕıticos com o aux́ılio de um método
numérico.
23. Uma das dificuldades do método de Newton está na possibilidade de uma aproximação xk ser
tal que f
′
(xk) = 0. Uma modificação do algoritmo original para prever estes casos consiste em:
dado λ um número positivo próximo de zero e supondo | f ′(x0) |≥ λ, a sequência xk é gerada
através de: xk+1 = xk − f(xk)/FL, k = 0, 1, 2, · · · onde FL =
{
f
′
(xk), se | f
′
(xk) |> λ
f
′
(xw), caso contrário
onde xw é a última aproximação obtida tal que | f
′
(xw) |≥ λ.
Pede-se:
(a) baseado no algoritmo de Newton, escreva um algoritmo para este método;
(b) aplique este método à resolução da equação x3 − 9x + 3 = 0, com x0 = −1.275, λ =
0.05 e ε = 0.05.
24. Seja f(x) = x exp(−x)− exp(−3).
(a) verifique gráfica e analiticamente que f(x) possui um zero no intervalo (0, 1);
(b) justifique teoricamente o comportamento da sequência colocada a seguir, gerada pelo método
de Newton para o cálculo zero de f em (0, 1), com x0 = 0.9 e precisão ε = 5× 10−6.
x0 = 0.9 x5 = −3.4962 x10 = −0.3041
x1 = −6.8754 x6 = −2.7182 x11 = 0.0427
x2 = −6.0024 x7 = −1.9863 x12 = 0.0440
x3 = −5.1452 x8 = −1.3189 x13 = 0.0480
x4 = −4.3079 x9 = −0.7444
Referências
[1] ATKINSON, K.: Elementary Numerical Analysis. Second edition, John Wiley & Sons (1993).
[2] CAMPOS, F. F.: Algoritmos Numéricos. Editora LTC (2007).
[3] FRANCO, N. B.: Cálculo Numérico. Editora Pearson (2006).
[4] RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L.: Cálculo Numérico, aspectos teóricos e práticos. Pearson Makron Books
(1997).
[5] SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; SILVA, L. H. M.: Cálculo Numérico. Editora Pearson (2003).