Introdução à Álgebra Linear

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Olá, Aluno! 
Seja bem-vindo à disciplina “Álgebra Linear”! Antes de começar o estudo, que tal conhecer o 
professor que acompanhará você durante essas seis aulas? Acesse o material on-line e assista a um 
vídeo no qual o professor Nacib se apresenta. Ele vai listar, também, os conteúdos que serão 
trabalhados. 
 
Curso Núcleo comum 
Disciplina Álgebra Linear 
Aula 1 
Professor Nacib Júnior 
 
 
Introdução 
Nesta primeira aula da disciplina “Álgebra Linear” serão estudadas as matrizes e algumas das 
operações mais usuais usadas nesse processo: adição e subtração de matrizes, produto de um escalar 
(número real) por uma matriz e o produto entre matrizes. O conceito de matriz inversa não será 
abordado de modo direto na disciplina, mas, como pode ser de seu interesse, ao final desta rota de 
aprendizagem será feito um breve comentário sobre como obter a inversa de uma matriz usando o 
Método de Gauss-Jordan. 
Revisados os conceitos de matrizes, será iniciado o estudo dos Sistemas de Equações Lineares, 
neste primeiro momento voltado apenas para um tipo específico: os Sistemas Possíveis e 
Determinados, apresentados por meio de aplicações contextualizadas juntamente com o Método de 
Gauss-Jordan. 
Antes de começar, é importante esclarecer uma questão: por que foi escolhido o Método de 
Gauss-Jordan se existem vários outros? 
Muitos são os métodos possíveis para a resolução de sistemas de equações lineares, no entanto, 
a escolha pelo método de Gauss-Jordan foi feita por se tratar de uma técnica geral, isto é, com ele 
pode-se resolver e/ou classificar qualquer sistema de equações lineares. Isso será muito útil ao longo 
desta disciplina, uma vez que a maior parte dos desenvolvimentos analíticos irão envolver a resolução 
de sistemas de equações lineares. 
Agora que você já conhece os objetivos e conteúdos da disciplina, é hora de iniciar os estudos! 
Acesse o material on-line, assista ao vídeo do professor Nacib e veja quais serão os assuntos 
abordados nesse primeiro tema. 
 
 
 Contextualizando 
As matrizes, ou tabelas, são usadas basicamente para organizar um número significativo de 
informações numéricas relacionadas. Mas com que objetivo organizamos números no nosso dia a dia? 
Clique nas imagens e veja alguns exemplos: 
 Para fazer a lista de compras mensais, é necessário saber o que deve ser comprado e em que 
quantidade. 
 Para calcular a média bimestral em uma disciplina escolar, deve-se saber o valor de todas as 
atividades que foram feitas, a nota alcançada em cada uma e o peso que elas têm. 
 Para fazer o orçamento de uma reforma, a fim de que ela não demore e não seja cara, é 
necessário listar todas as empresas, indicando o valor cobrado por cada uma e o tempo que o 
serviço vai durar. 
Focando agora nas áreas específicas, as matrizes podem ser usadas no ramo da computação, 
pois o uso de vetores e operações matriciais é indispensável na elaboração e no desenvolvimento de 
softwares. Isso porque as matrizes são utilizadas para que informações possam ser armazenadas. O 
Microsoft Excel, por exemplo, utiliza matrizes para gerar as planilhas, que podem conter informações 
como nome, telefone e endereço dos clientes de uma loja. 
 
 
 
Na Mecânica, as matrizes são usadas para representar as grandezas geradas por escalares e 
tensores. Mas como isso acontece? 
Primeiramente é importante saber que tensor é um elemento geométrico existente na Matemática 
e na Física que generaliza a noção de escalares, vetores e matrizes. A grandeza tensorial é uma 
generalização da grandeza escalar e é muito útil em problemas relacionados a rotações. Acompanhe as 
imagens ao lado e veja um exemplo: 
 
A tensão mecânica, por exemplo, 
relaciona o estresse causado por um vetor em 
relação a uma superfície normal com um vetor 
de saída. 
 
 
Os componentes do tensor geram a matriz, onde cada coluna está associada às forças que atuam 
sobre as respectivas faces. Com essa informação é possível saber, por exemplo, como objetos se 
deformam. 
 
 
 
 
 
Pesquise 
Tópicos sobre matrizes: adição, subtração e produto por escalar 
Tópicos sobre matrizes: produto 
Matrizes e sistemas de equações 
Resolução e classificação de sistemas de equações lineares – parte 1 
Anexo: matriz inversa 
 
Tópicos sobre matrizes: adição, subtração e produto por escalar 
 
 
Matrizes 
Segundo o Dicionário Eletrônico Houaiss (2009), matriz (na álgebra e matemática) é o “arranjo 
de m.n elementos matemáticos dispostos num quadro retangular ou quadrado que comporta m linhas 
e n colunas”. Bom, elementos numéricos dispostos em linhas e colunas relacionadas formam uma 
tabela, não é mesmo? A estrutura é sim a mesma! Mas, na matemática, o termo usado é matriz. 
Acesse o material on-line e assista uma animação sobre sua estrutura. 
Adição e subtração de matrizes 
João é dono de uma fábrica de eletrodomésticos. Ele vai lançar no mercado uma linha para 
cozinha (com refrigerador, freezer vertical e fogão) e está em fase de cálculo dos custos de produção, 
para saber qual será o preço final de cada produto. 
Ele já concluiu que esses eletrodomésticos passarão por 2 fases de produção: a primeira será a 
montagem dos componentes eletrônicos, mecânicos e estruturais; e a segunda será a pintura e 
inserção dos acessórios, tais como as gavetas e prateleiras do refrigerador. 
 Sabendo disso, realizou o cálculo dos custos que terá com matéria-prima e mão de obra, para 
cada produto nas duas fases, como você pode ver a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Para começar a produção, ele precisa saber quanto gastará, no total, com matéria-prima e mão 
de obra dos três produtos, nas duas fases. Mas como realizar esse cálculo? 
Basta realizar uma soma entre matrizes! 
Os dados das duas tabelas apresentadas se referem às mesmas informações, mas em relação a 
fases diferentes. Dessa forma, para saber o custo total de produção, basta somá-los! 
Transpondo as informações em duas matrizes, temos: 
Primeira etapa: Segunda etapa: 
 
 
 
Somando as matrizes, temos: 
 
 
Logo, os custos totais são: 
 
 
Sabendo disso, João pode somar o 
percentual de lucro que pretende ganhar ao 
custo final de cada produto e, assim, saber 
quando deve cobrar pelos itens. 
 
 
 
Agora que você já conhece uma aplicação da soma entre matrizes, vamos conhecer alguns 
conceitos importantes: 
A condição para que seja possível efetuar a adição ou a subtração entre duas matrizes é que 
ambas sejam do mesmo tipo e, nesse caso, a operação deve ser efetuada com os elementos que 
ocupam as mesmas posições. Clique nos botões a seguir e veja uma definição formal da soma e da 
subtração de matrizes: 
Matrizes: 
Considere as matrizes Amxn=(aij) e Bmxn=(bij) de ordem m por n, ou seja, com m linhas e n 
colunas, onde cada elemento é representado por (aij) e (bij), no qual o índice i indica a linha onde o 
elemento está localizado na matriz e j indica a respectiva coluna. 
 
 
 Definições: 
 
Podemos efetuar a soma dos elementos das matrizes A e B de uma forma muito simples. Basta 
somarmos os respectivos elementos das matrizes, ou seja, aij+bij para todo i que varia de 1 a m e para 
todo j que varia de 1 a n. 
 
A subtração de duas matrizes é feita de maneira análoga. Logo, para efetuarmos a subtração das 
matrizes A e B, basta subtrairmos os elementos correspondentes aij-bij. 
Acesse o material on-line e assista a uma animação que indica o passo a passo da soma e 
subtração entre matrizes.Produto de uma matriz por um escalar (número real) 
Clique nos botões a seguir e veja, de modo formal, como pode ser definido o produto de uma 
matriz (M) por um escalar real (k): 
Matriz: 
 
Considere a matriz Mmxn=(mij) de ordem 
m por n, ou seja, com m linhas e n colunas, 
onde cada elemento é representado por (Mij), 
no qual o índice i indica a linha onde o 
elemento está localizado na matriz e j indica a 
respectiva coluna. 
Definição: 
 
Um escalar k (número real) pode ser 
multiplicado pela matriz M, sendo esta 
multiplicação realizada entre k e cada um dos 
elementos da matriz, ou seja, K. mij, para todo i 
que varia de 1 a m e para todo j que varia de 1 
a n. 
 
 
 
 
O produto entre uma matriz M e um escalar k pode ser denotado de diversas maneiras. São 
exemplos de notação para este caso: 
k M , kM , k * M , k.M
. 
A seguir, você vai acompanhar a resolução de três exemplos, fique atento! 
 
 
1. Dada a matriz , encontre 3A: 
Nesse caso, deve-se multiplicar cada um dos elementos da matriz pelo escalar 3: 
 
2. Dada a matriz 
3 0
B
1 2
 
  
 
, encontre –5B: 
Da mesma forma, deve-se multiplicar cada um dos elementos pelo escalar -5: 
 
 
 
3. Dadas as matrizes , e , encontre 2A – 3B + 4C. 
Nesse caso, como há várias operações, deve-se seguir duas etapas: 
 Fazer as multiplicações entre a matriz e o escalar: 
 
 Fazer as somas e/ou subtrações entre os elementos que ocupam mesma posição nas matrizes. 
 
 
Clique nos links a seguir e tenha acesso a dois vídeos que vão complementar seus estudos. O 
primeiro trata dos conceitos iniciais sobre matrizes e o segundo mostra como realizar as operações. 
https://www.youtube.com/watch?v=sw18GQESKpA 
https://www.youtube.com/watch?v=kLHro6Pkjpo 
Ficou com alguma dúvida sobre os assuntos trabalhados nesse tema? Acesse o material on-line e 
assista a uma videoaula, na qual o professor Nacib trará mais informações. 
 
 
 
Tópicos sobre matrizes: produto 
 
 
 
Luana trabalha em uma fábrica de 
camisetas. A seção da qual faz parte produz as 
cores branca e azul, que depois de prontas 
recebem uma estampa termocolante. Seu 
supervisor irá realizar o pedido das estampas e 
solicitou a ela que verificasse quantas foram 
usadas nos dois meses anteriores para cada cor 
de camiseta, para poder ter uma ideia de que 
quantidade pedir. Ela, então, reuniu todas as 
informações sobre a produção dos dois últimos 
meses: 
 
 
 
E agora, que cálculo Luana deve realizar para dar a informação para seu supervisor? 
Basta realizar uma multiplicação entre matrizes! Ou seja, entre a quantidade camisetas e a 
quantidades de estampas! Veja como a seguir: 
Primeiramente, transformamos as duas tabelas em matrizes: 
 
 
 
Depois, realizamos a multiplicação: 
 
Com o resultado, chegamos a seguinte conclusão: 
 
Ou seja, Luana pode dizer a seu supervisor que, nos dois últimos meses, foram gastas 900 
estampas para as camisetas azuis e 1290 estampas para as camisetas brancas. 
Percebeu a importância em conhecer a multiplicação entre matrizes? Então agora vamos 
conhecer alguns conceitos importantes: 
A condição para que seja possível efetuar o produto entre duas matrizes A e B, nessa ordem, é 
que a quantidade de colunas de A deve ser igual à de linhas de B. A operação deve ser efetuada pelo 
produto de cada linha de A com cada coluna de B. De modo formal, pode-se definir o produto de 
matrizes, como a seguir: 
Dadas duas matrizes 
 mxp ijA a
 e 
 pxn ijB b
, os elementos 
ijc
 de 
 
mxn
C A B 
 são dados por: 
     
p
ij ik kj
k 1
c a b , i 1,2,...,m e j 1,2,...,n

     
. 
Ou seja, cada elemento cij é igual ao somatório dos elementos correspondentes ao produto aik.bkj, 
com k variando de 1 a p, para todo i variando de 1 a m e para todo j variando de 1 a n. 
 
 
Que tal acompanhar a resolução de alguns exercícios para entender melhor o produto entre 
matrizes? 
Dadas as matrizes 
7 3 1
A
2 0 4
 
  
 
 e 1 0
B 2 3
1 4
 
 
  
 
 
, encontre AB, se possível. 
Nós propomos 5 etapas para resolver essa questão, acompanhe cada uma a seguir: 
 
 
 
 
Primeiramente, deve-se verificar se é 
possível fazer o cálculo. Como o número de 
colunas de A (3) é igual ao número de linhas 
de B (3), o cálculo é sim possível. 
 
 
 
 
 
Unir, por meio da multiplicação, os 
elementos da primeira linha de A com cada um 
dos elementos das duas colunas de B. Assim, 
irá se formar a primeira linha da nova matriz. 
Exemplo: a11=7 x b11=1; a12 x b21; a13 x 
b31 etc. 
 
 
 
 
 
Unir, por meio da multiplicação, os 
elementos da segunda linha de A com cada um 
dos elementos das duas colunas de B. Assim, 
irá se formar a segunda linha da nova matriz. 
 
 
 
 
 
 
Realizar a multiplicação. Repare que cada 
multiplicação de linha x coluna gerou três 
números, que devem ser somados/subtraídos 
para se tornar um elemento da matriz. 
 
 
 
Realizar a soma/subtração. Como você 
pode ver, o resultado será uma matriz 2x2. 
 
 
 
 
 
Agora chegou a hora de você praticar! Pegue papel e caneta e resolva os dois exercícios 
propostos. Lembre-se de cada um dos 5 passos vistos anteriormente! 
1. Dadas as matrizes 
7 3 1
A
2 0 4
 
  
 
 e 1 0
B 2 3
1 4
 
 
  
 
 
, encontre BA. 
2. Dadas as matrizes 1
A 2
3
 
 
  
 
 
 e 
 B 4 5 6
, encontre, se existir, AB e BA. 
3. Dadas as matrizes 
5 2 1
A
2 0 4
 
     e 
3 2 5
B
1 2 18
 
   
 , encontre AB, se possível. 
 
 
Gabarito 
1. Dadas as matrizes 
7 3 1
A
2 0 4
 
  
 
 e 1 0
B 2 3
1 4
 
 
  
 
 
, encontre BA. 
É possível efetuar o produto entre B e A, 
nessa ordem, já que o número de colunas de B 
(2) é igual ao número de linhas de A (2). Além 
disso, o resultado será uma matriz 3x3. Assim: 
1 0
7 3 1
BA 2 3
2 0 4
1 4
1 7 0 2 1 3 0 1 1 1 0 ( 4)
BA 2 7 3 2 2 3 3 0 2 1 3 ( 4)
1 7 4 2 1 3 4 0 1 1 4 ( 4)
7 0 3 0 1 0
BA 14 6 6 0 2 12
7 8 3 0 1 16
7 3 1
BA 8 6 14
15 3 15
 
  
        
 
          
 
              
           
   
 
       
    
 
 
    
  
 
 
 
 
2. Dadas as matrizes 1
A 2
3
 
 
  
 
 
 e 
 B 4 5 6
, encontre, se existir, AB e BA. 
É possível efetuar o produto entre A e B, 
nessa ordem, já que o número de colunas de A 
(1) é igual ao número de linhas de B (1). Além 
disso, o resultado será uma matriz 3x3. Assim: 
 
1
AB 2 4 5 6
3
1 4 1 5 1 6
AB 2 4 2 5 2 6
3 4 3 5 3 6
4 5 6
AB 8 10 12
12 15 18
 
 
  
 
 
   
 
    
    
 
 
  
 
 
 
 
 
Também é possível efetuar o produto 
entre B e A, nessa ordem, já que o número de 
colunas de B (3) é igual ao número de linhas 
de A (3). Além disso, o resultado será uma 
matriz 1x1. Assim: 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
     
  

1
BA 4 5 6 2
3
BA 4 1 5 2 6 3
BA 4 10 18
BA 32
 
3. Não é possível efetuar o produto entre A e B pois, o número de colunas de A (3) é diferente do 
número de linhas de B (2).Se você ficou com alguma dúvida, clique no botão a seguir e assista a um vídeo explicativo: 
https://www.youtube.com/watch?v=qqqUx4UWXtM 
Para ter mais informações sobre produto entre matrizes, acesse o material on-line e assista à 
videoaula do professor Nacib! 
 
 
 
 
 
 
 Matrizes e sistemas de equações 
 Equações lineares 
Antônio trabalha em uma marcenaria e recebeu um pedido grande, para entregar num período 
curto de tempo. Como não será possível contratar novos funcionários, ele decidiu otimizar a produção. 
Para isso, calculou o tempo que cada produto fica em cada uma das etapas de produção, 
chegando a seguinte conclusão: 
 
 
 
 
 Sabendo que o setor de montagem fica disponível 9 horas por dia e que o setor de pintura fica 
disponível 6 horas por dia, quantas maletas e quantas caixas devem ser produzidas de modo que os dois 
setores não fiquem ociosos? 
Para solucionar essa questão e ajudar Antônio a saber se conseguirá entregar o pedido a tempo, 
basta montar uma equação linear. Veja, a seguir: 
Como, no setor de montagem, cada maleta fica 5 minutos, cada caixa 4 minutos e o setor fica 
disponível 9 horas por dia (o que equivale a 9x60=540 minutos) matematicamente podemos escrever 
essa situação como 
54045  cm
 , onde m é a quantidade de maletas e c é a quantidade de caixas. 
 
 
O mesmo pode ser feito para o setor de pintura: 4 minutos para cada maleta e 2 minutos para 
cada caixa. O tempo total disponível é de 6 horas (ou 6x60=360 minutos). Logo, 
36024  cm
. 
Portanto, o sistema de equações associado ao problema é: 
 
Resolvendo o sistema, temos que m=60 e c=60. Ou seja, no período em que os setores de 
pintura e montagem estão funcionando, é possível produzir 60 caixas e 60 maletas. Com essa 
informação, Antônio pode saber se vai conseguir entregar o pedido a tempo ou precisará pedir um 
prazo maior. 
 
 
Viu como aplicar o sistema de equações lineares em uma situação prática? Agora, para você 
entender como chegamos a esse resultado, precisaremos rever alguns conceitos básicos, que com 
certeza você já viu durante sua formação escolar. 
A pergunta inicial é: o que é uma equação? Para ser considerado equação, é necessário que haja 
um valor desconhecido e uma igualdade, como podemos ver a seguir: 
 
Ou seja, x + 3 = 4 é uma equação. O que se quer saber é qual o número que, somado a 3, tem 
como resultado 4? Nesse caso, a solução para equação é 1, já que 1 + 3 = 4. 
 
 
Agora que já conhecemos o conceito de equação, é importante diferenciar, ainda, a equação 
linear da não linear. Acompanhe o quadro comparativo a seguir: 
 
 
 
Uma equação linear nas incógnitas
1 2 3 nx ,x ,x ,...,x
 pode ser identificada pelo formato geral 
1 1 2 2 3 3 n na x a x a x ... a x b    
, sendo 
1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,b
 constantes reais (denominadas coeficientes 
das incógnitas). Quando são obtidos valores para as incógnitas da equação que a tornam verdadeira, 
diz-se que foi encontrada uma solução. Não se esqueça: toda equação linear possui pelo menos uma 
solução! 
Acompanhe a resolução da equação linear x 2y 5  : 
 
 
 
Pode-se, por exemplo, escrever a equação dada 
isolando uma incógnita: 
 
x 5 2y  
Em seguida, pode-se atribuir valores arbitrários 
na incógnita y e se determinar o valor 
correspondente para a incógnita x, obtendo-se, 
assim, soluções para a equação: Para y = 0 
temos: 
x = 5 – 2y 
x = 5 – 2 . 0 
x = 5 – 0 
x = 5 
Note que a equação 
x 2y 5 
 é verdadeira 
quando se tem, ao mesmo tempo, 
x = 5 e y = 0: 
 
x + 2y = 5 
5 + 2 . 0 = 5 
5 + 0 = 5 
5 = 5 
 
Diz-se então que (5,0) é uma solução da equação x 2y 5  , isto é, indicam-se os 
valores de x e de y da solução pelo par ordenado (5,0). 
Note que a equação 
x 2y 5 
 também é verdadeira quando se tem, ao mesmo tempo, x = 3 e 
y = 1: 
 
 
 
 
 
Diz-se então que (3,1) é uma solução da equação 
x 2y 5 
. 
 
 
Do mesmo modo, outras soluções podem ser obtidas, por exemplo: 
Para y = 100 
x = 5 – 2y 
x = 5 – 2 . 100 
x = 5 – 200 
x = -195 
Solução (-195, 100) 
 
 
Para y = 2 
 
x = 5 – 2 . 2 
x = 5 – 4 
x = 1 
Solução (1, 2) 
 
 
Sistema de equações lineares 
Bom, já sabemos o que é equação, o que é equação linear e agora vamos entender o que é um 
sistema de equações lineares. Nele, tem-se mais de uma equação linear e pretende-se obter as 
soluções, se houver, comuns a todas as equações do sistema. Por exemplo, se considerarmos: 
 Se considerarmos as equações 
x 2y 5 e 2x y 7   
, escreveremos o sistema como x 2y 5
2x y 7
 

 
 e um 
par ordenado (x,y) será solução desse sistema se for solução de ambas as equações. 
 
 
A resolução de um sistema de equações lineares pode ser obtida, caso o sistema tenha solução, 
transformando-o em uma matriz, denominada matriz ampliada do sistema, construída tomando-se 
apenas os coeficientes das incógnitas e as constantes. Usando o mesmo exemplo anterior, temos: 
 
Repare que a primeira coluna da matriz é formada pelos coeficientes de x e a segunda coluna 
pelos coeficientes de y, enquanto a terceira coluna foi formada pelas constantes (que no sistema 
aparecem depois da igualdade). Veja mais dois exemplos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Clique no link a seguir e tenha acesso a um vídeo com informações complementares sobre a 
matriz ampliada de um sistema de equações: 
https://www.youtube.com/watch?v=oWQ7-AfnoZY 
Mas como o sistema de equações pode auxiliar no dia a dia? Acesse o material on-line e assista 
ao vídeo no qual o professor Nacib vai explicar detalhadamente como é formado um sistema de 
equações, por meio de um exercício de aplicação prática. Acompanhe! 
 
 
Resolução e classificação de sistemas de equações lineares – parte 1 
Método de Gauss-Jordan 
A resolução de sistemas de equações lineares pode ser obtida, caso o sistema tenha solução, pelo 
Método de Gauss-Jordan. Durante a aplicação dessa metodologia, usam-se três operações, 
denominadas operações elementares sobre linhas. 
1. Troca de posição entre duas linhas da matriz ampliada do sistema: uma assume a posição da outra. 
2. Substituição de uma linha da matriz ampliada pelo resultado da multiplicação (ou divisão) desta 
linha por uma constante real, diferente de zero. 
3. Substituição de uma linha pelo resultado da soma (ou subtração) dela com uma outra da matriz 
ampliada multiplicada (ou dividida) por uma constante real diferente de zero. 
 
 
 
O objetivo da aplicação do Método de Gauss-Jordan é determinar a matriz escalonada reduzida 
por linhas associada à matriz ampliada do sistema de equações lineares. Veja, a seguir, todas as 
condições que uma matriz escalonada reduzida por linhas deve atender: 
O primeiro elemento não nulo de cada linha deve ser igual a 1 e será denominado pivô. 
Exemplo: observe a seguir que o primeiro elemento não nulo (a leitura de cada linha deve ser feita da 
esquerda para a direita) nas linhas 1 e 2 é igual a 1. 
1
1
0 5
0 3
0 0 0
 
 
 
 
  
O pivô de cada linha deve estar à esquerda dos pivôs das linhas abaixo daquela em que se 
encontra. Exemplo: observe a seguir que o pivô da linha 1 está à esquerda do pivô da linha 2 que, por 
sua vez, está à esquerda do pivô da linha 3. 
0 5 0 2
0 3 0 4
0 0 0 0
1
1
1
 
 
 
 
  
Nas colunas em que houver um pivô, todos os demais elementos devem ser nulos. Exemplo: 
observe ao lado que, nas colunas em que há um pivô, todosos demais elementos são nulos. 
3 0 0 1 0 12
0 0 0 3 0 4
0 0 0 4 0 5
0 0 0
1
1
1
1
0 0 1
 
 
 
 
    
 
 
Se houver linhas com todos os elementos nulos, elas deverão estar abaixo de todas as linhas não 
nulas. Exemplo: observe a seguir que as linhas nulas estão abaixo das demais linhas. 
3 0 0 1 0 12
0 0 0 3 0 4
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
0
1
0 0
 
 
 
 
  
 
 
Exemplo 1: resolução e classificação do sistema 
x 2y 5
2x y 7
 

 
 pelo Método de Gauss-Jordan. 
De x 2y 5
2x y 7
 

 
 pode-se obter a matriz ampliada do sistema, que é 1 2 5
2 1 7
 
  
 
. 
Sem que as soluções do sistema sejam modificadas, pode-se substituir uma linha da matriz 
ampliada do sistema pela combinação linear desta linha com outra linha da matriz (Op. 3). 
Por exemplo, para obter a próxima matriz, a linha 2 será substituída pelo resultado da soma da 
linha 2 pela linha 1 multiplicada por –2, isto é, 
L2 2L1 L2  
: 
1 2 5
0 3 3
 
    
 
 
 
Pode-se também, sem que isto altere as soluções do sistema, dividir ou multiplicar uma linha da 
matriz por um número real qualquer diferente de zero (Op. 2). 
Para obter a próxima matriz, a linha 2 será dividida por –3, isto é, L2
L2
3


: 1 2 5
0 1 1
 
  
 
 
Para finalizar este exemplo, a próxima matriz será obtida trocando-se a atual linha 1 pelo 
resultado da soma da linha 1 pela linha 2 multiplicada por –2, isto é, 
L1 L1 2L2 
 (Op. 3): 
1 0 3
0 1 1
 
  
 
 
Com a matriz escalonada (reduzida por linhas à forma escada), é necessário classificar o sistema. 
Para isso, deve-se determinar o grau de liberdade do sistema, obtido fazendo-se: grau de liberdade = 
nulidade – posto, sendo a nulidade igual a quantidade de incógnitas no sistema e o posto igual ao 
número de pivôs na matriz escalonada. Para esse caso, tem-se: 
Grau de liberdade = nulidade – posto 
Grau de liberdade = 2 – 2 
Grau de liberdade = 0 
 
 
Se não foi encontrada uma equação falsa ao longo do escalonamento (essa situação será 
estudada somente na próxima aula), o grau de liberdade igual a zero permite classificar o sistema 
x 2y 5
2x y 7
 

 
 como sendo um Sistema Possível e Determinado (SPD), o que significa que tem solução 
única (possível e determinada). 
Para obter a solução de 
x 2y 5
2x y 7
 

 
, escreva o sistema correspondente à matriz escalonada 
encontrada: 
1 0 3 1x 0y 3 x 3
(3,1) é a solução do sistema.
0 1 1 0x 1y 1 y 1
     
           
 
Quando o sistema é quadrado, isto é, possui mesmo número de incógnitas e equações, o 
determinante da matriz dos coeficientes pode indicar se tratar de um sistema SPD: se o determinante 
for não nulo, pode-se afirmar que o sistema é SPD. Observe: 
A matriz dos coeficientes de 
x 2y 5
2x y 7
 

 
 é obtida tal como a matriz ampliada, mas sem considerar as 
constantes: 
1 2
2 1
 
 
 
. Assim, tem-se: 
1 2
det 3 0 SPD
2 1
 
    
 
. 
Você se lembra do exemplo apresentado pelo professor Nacib na aula anterior? Até agora ele 
explicou o problema e montou o sistema. Agora ele vai resolvê-lo usando o método de Gauss-Jordan, a 
fim de definir a quantidade correta de elementos na fabricação de um combustível específico. Acesse o 
material on-line e confira o vídeo! 
 
 
Que tal treinar um pouco? A seguir você tem acesso a mais um exemplo resolvido. Os botões 
indicam as etapas a serem seguidas, tente resolver apenas com essas dicas. Ao encontrar a solução do 
sistema, clique em cada botão e veja e explicação detalhada! 
 Exemplo 2: resolva e classifique o sistema  
 
  
2x 4y 6
3x 5y 2
5x 9y 8
 pelo Método de Gauss-Jordan. 
1. Encontrar a matriz ampliada do sistema 2. Obter o pivô da primeira linha 
3. Zerar os elementos da primeira coluna 4. Zerar os elementos da segunda coluna 
5. Classificar o sistema 6. Obter a solução do sistema 
 
Etapa 1 
Matriz ampliada do sistema: 2 4 6
3 5 2
5 9 8
 
 
 
  
. 
Etapa 2 
Obter o pivô da primeira linha (na primeira coluna) dividindo-se a primeira linha por 2, isto é, 
fazendo-se 
L1
L1
2

 (Op.2): 
1 2 3
3 5 2
5 9 8
 
 
 
  
 
Note que, em geral, a operação elementar 2 (Op. 2) é aplicada para se determinar um pivô, isto 
é, para tornar igual a 1 o elemento que ocupa a posição de um pivô. 
 
 
Etapa 3 
Zerar os elementos da coluna do pivô, isto é, da primeira coluna, para isso, substituir a linha 2 
pelo resultado da soma da linha 2 com a linha 1 multiplicada por –3, isto é, 
L2 3L1 L2  
 (Op.3): 
1 2 3
0 1 7
5 9 8
 
 
 
  
 
Em seguida, substituir a linha 3 pelo resultado da soma da linha 3 com a linha 1 multiplicada por 
–5, isto é, 
L3 5L1 L3  
 (Op.3): 
1 2 3
0 1 7
0 1 7
 
 
 
  
 
Note que a operação elementar 3 (Op. 3) costuma ser aplicada para se obter zeros, ou seja, para 
anular os elementos nas colunas em que há um pivô. 
Etapa 4 
Como o elemento que ocupa a posição do pivô da segunda linha já é igual a 1, neste passo 
devem ser zerados os elementos da coluna do pivô, isto é, da segunda coluna. Para isso, substituir a 
linha 1 pelo resultado da soma da linha 1 com a linha 2 multiplicada por 2, isto é, 
L1 L1 2L2 
 (Op. 3): 
1 0 11
0 1 7
0 1 7
 
 
 
  
 
Em seguida, susbtituir a linha por 3 pelo resultado da soma da linha 3 com a linha 2 multiplicada 
por –1, isto é, 
L3 L2 L3  
 (Op. 3): 
1 0 11
0 1 7
0 0 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Etapa 5 
Com a matriz escalonada (reduzida por linhas à forma escada), classifique o sistema: 
Grau de liberdade = nulidade – posto 
Grau de liberdade = 2 – 2 
Grau de liberdade = 0 
Como não foi encontrada uma equação falsa ao longo do escalonamento (essa situação será 
estudada somente na próxima aula), o grau de liberdade igual a zero permite classificar o sistema 
 

 
  
2x 4y 6
3x 5y 2
5x 9y 8
 como um Sistema Possível e Determinado (SPD). 
 
Etapa 6 
Para obter a solução de  

 
  
2x 4y 6
3x 5y 2
5x 9y 8
, escreva o sistema correspondente à matriz escalonada 
encontrada: 
1 0 11 1x 0y 11 x 11
0 1 7 0x 1y 7 y 7 ( 11 , 7) é a solução do sistema.
0 0 0 0x 0y 0 0 0
       
   
            
       
 
 
 
 
Matriz inversa 
As matrizes inversas, sob o ponto de vista teórico, são utilizadas na resolução de sistemas 
lineares. Como um sistema linear pode ser escrito sob a forma: 
 bAx  
Onde A é a matriz dos coeficientes, x o vetor das incógnitas e b o vetor contendo os termos 
independentes, a solução desse sistema pode ser obtida por: 
bAx 1 
Onde A-1 é a inversa de A. Na prática, o cálculo da matriz inversa exige um gasto computacional 
elevado e, por esse motivo, outros métodos mais eficientes para a resolução de sistemas lineares 
foram desenvolvidos, como o de Gauss-Jordan, que você estudou nessa aula. 
Dada uma matriz quadrada A de ordem n com determinante não nulo, existe uma única matriz, 
denominada inversa de A e denotada por A-1, tal que: A.A-1= A-1.A=In , sendo In a matriz identidade de 
ordem n. Para se determinar A-1 a partir da matriz A, pode-se aplicar também o escalonamento 
estudado no Método deGauss-Jordan. Observe o exemplo: 
Dada a matriz 1 1 0
A 0 1 1
2 0 1
 
 
  
 
 
 , determine A-1. 
Como a matriz A-1 só é definida se det(A)≠0, convém verificar inicialmente esta condição: 
verifique que a condição é atendida já que det(A)=–1. 
 
 
Em seguida, para se determinar a inversa de A, justaponha à direita de A a matriz identidade (de 
mesma ordem que A), como a seguir: 
1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
2 0 1 0 0 1
 
 
 
 
 
 
E, então, escalone a matriz encontrada, isto é, aplique as operações elementares para obter a 
matriz reduzida por linhas correspondente, que será: 
1 0 0 1 1 1
0 1 0 2 1 1
0 0 1 2 2 1
  
 
  
  
 
 
 
A matriz à direita é a inversa de A, isto é: 

  
 
   
  
1
1 1 1
A 2 1 1
2 2 1
. 
Observação: verifique que, de fato, tem-se A.A-1= A-1.A=I3 . 
Complemente seus estudos! Clicando nos botões a seguir você vai ter acesso a dois vídeos: um 
sobre os sistemas, operações elementares e eliminação Gaussiana e outro sobre os sistemas possíveis 
determinados e determinantes. Não deixe de conferir! 
https://www.youtube.com/watch?v=YovCWRwbcL4 
https://www.youtube.com/watch?v=DeqNaETBT_Q 
 
 
Trocando ideias 
Como vão seus estudos? 
Nessa primeira aula, tratamos de um tema muito importante: as matrizes. Você vai ver que elas 
vão aparecer durante toda a disciplina, já que é a base para inúmeras operações. 
Então é importante que você não fique com dúvidas a respeito do assunto. Aprofunde seu 
conhecimento com outras fontes de estudo e, se possível, consulte seus colegas de turma no polo! 
 
Na prática 
Chegou o momento de realizarmos nossa atividade prática! 
Essa atividade tem como objetivo relacionar alguns dos conteúdos estudados com uma situação 
real. É importante ressaltar que no estudo da álgebra linear, tanto os exercícios teóricos quanto as 
atividades práticas são importantes para o nosso processo de aprendizagem. 
Bom, para colocarmos nossos conhecimentos em prática, vamos ao problema! 
 
 
Anderson é o gerente de produção de uma indústria de artigos de couro. Mensalmente, são 
fabricados bolsas e sapatos. Como são produtos de qualidade e a marca já é conhecida no mercado, 
toda a produção mensal é comercializada. A seguir, você pode conferir alguns dados de produção: 
 Para a fabricação de uma bolsa, a indústria utiliza 500 g de couro e um total de 2 horas de mão 
de obra. 
 Para a fabricação de um par de sapatos, são necessários 300 g de couro e um total de 1 hora de 
mão de obra. 
 A cada mês a indústria tem à disposição 1 tonelada de couro e 3.730 horas de mão de obra. 
 Em relação a outros recursos necessários para a fabricação desses dois produtos, não há 
restrições. 
 Após uma análise do processo produtivo, Anderson percebeu que os atuais níveis de produção 
utilizam toda a matéria-prima, mas há uma ociosidade significativa da mão de obra disponível.
 Como o lucro, em reais, referente a cada bolsa é o mesmo que o lucro referente a cada par de 
sapato, uma alternativa é redefinir as quantidades de bolsas e de sapatos que devem ser produzidos 
de modo que toda a matéria-prima seja consumida e toda mão de obra seja aproveitada. 
Ajude Anderson a resolver esse problema. Determine quantas bolsas e quantos pares de sapato 
devem ser produzidos mensalmente para que não haja desperdício de recursos. 
Lembre-se de transformar as quantidades de couro utilizadas e a quantidade disponível na 
mesma unidade. O ideal é transformar gramas em quilos e tonelada em quilos. 
 
 
 
Solução: 
Inicialmente, vamos chamar de “b” a quantidade de bolsas e de “s” a quantidade de pares de 
sapatos a serem produzidos. Precisamos também transformar as unidades de medida do couro. 
Sabemos que 500 g equivalem a 0,5 kg e que 300 g correspondem a 0,3 kg. Precisamos também 
escrever 1 tonelada como sendo 1.000 quilos. 
Para que possamos visualizar melhor as 
informações, vamos organizar os dados em 
uma tabela. Clique no botão a seguir e confira! 
 
 
 
 Bolsas Pares de 
sapatos 
Total 
Couro 0,5 0,3 1.000 
Mão de 
obra 2 1 3.730 
 
 
 
Sendo assim, o sistema de equações pode ser escrito como: 
E a matriz ampliada do sistema é: . 
Vamos agora utilizar o método de Gauss-Jordan para que possamos, caso exista, encontrar a 
solução do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a indústria deverá produzir 1.190 bolsas e 1.350 pares de sapatos para que tanto a 
matéria-prima quanto a mão de obra sejam totalmente utilizadas. 
 
 
 
Síntese 
Chegamos ao fim de nossa primeira aula! 
Esse encontro inicial teve o objetivo de relembrar os conceitos a respeito das matrizes, isso 
porque estudamos esse conteúdo durante o Ensino Médio, porém, na maioria das vezes, de forma 
muito superficial e descontextualizada, o que dificulta o aprendizado. 
Vimos alguns exemplos de aplicação de soma, subtração e multiplicação entre matrizes. Vimos 
também como calcular a multiplicação entre um escalar e uma matriz e o conceito de sistema de 
equações lineares, resolvido por meio do método de Gauss-Jordan. Por fim, conhecemos o que é uma 
matriz inversa. 
O primeiro passo foi dado! É muito importante que você resolva os exercícios propostos e busque 
outros, para apreender cada um dos conceitos. Nos encontramos na próxima aula!