Sistema Massa-Mola e Circuito RLC

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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
Julio Cesar de Paula
12 de junho de 2017
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
I´ndice
1 SISTEMA MASSA-MOLA
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
2 Circuito RLC
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
MHS
Sabemos da Lei de Hooke que uma mola exerce uma forc¸a
restauradora F oposta a direc¸a˜o do alongamento e proporcional a
distensa˜o x , isto e´,
F = k .s
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
MHS
Sabemos da Lei de Hooke que uma mola exerce uma forc¸a
restauradora F oposta a direc¸a˜o do alongamento e proporcional a
distensa˜o x , isto e´,
F = k .s
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
MHS
Sabemos da Lei de Hooke que uma mola exerce uma forc¸a
restauradora F oposta a direc¸a˜o do alongamento e proporcional a
distensa˜o x , isto e´,
F = k .s
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
MHS
Depois que uma massa m e´ conectada a mola, provoca nesta uma
distensa˜o x e atinge a posic¸a˜o de equil´ıbrio no qual seu peso e´ igual
a forc¸a restauradora, ou seja,
mg = P = F = ks
Se a massa for deslocada por uma ”distaˆncia”x de sua posic¸a˜o de
equil´ıbrio a fora restauradora sera´ K (x + s)) (Supondo que na˜o haja
forc¸as externas), podemos fazer
m. d
2
x
dt2
= m.a = −k(x + s) +mg = −kx
Da´ı, a EDO que modela este problema e´
m.
d2x
dt2
= −kx (1)
O sinal negativo na igualdade acima indica que a forc¸a restauradora
da mola age no sentido oposto ao movimento.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
MHS
Depois que uma massa m e´ conectada a mola, provoca nesta uma
distensa˜o x e atinge a posic¸a˜o de equil´ıbrio no qual seu peso e´ igual
a forc¸a restauradora, ou seja,
mg = P = F = ks
Se a massa for deslocada por uma ”distaˆncia”x de sua posic¸a˜o de
equil´ıbrio a fora restauradora sera´ K (x + s)) (Supondo que na˜o haja
forc¸as externas), podemos fazer
m. d
2
x
dt2
= m.a = −k(x + s) +mg = −kx
Da´ı, a EDO que modela este problema e´
m.
d2x
dt2
= −kx (1)
O sinal negativo na igualdade acima indica que a forc¸a restauradora
da mola age no sentido oposto ao movimento.
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
MHS
Depois que uma massa m e´ conectada a mola, provoca nesta uma
distensa˜o x e atinge a posic¸a˜o de equil´ıbrio no qual seu peso e´ igual
a forc¸a restauradora, ou seja,
mg = P = F = ks
Se a massa for deslocada por uma ”distaˆncia”x de sua posic¸a˜o de
equil´ıbrio a fora restauradora sera´ K (x + s)) (Supondo que na˜o haja
forc¸as externas), podemos fazer
m. d
2
x
dt2
= m.a = −k(x + s) +mg = −kx
Da´ı, a EDO que modela este problema e´
m.
d2x
dt2
= −kx (1)
O sinal negativo na igualdade acima indica que a forc¸a restauradora
da mola age no sentido oposto ao movimento.
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MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
MHS
Depois que uma massa m e´ conectada a mola, provoca nesta uma
distensa˜o x e atinge a posic¸a˜o de equil´ıbrio no qual seu peso e´ igual
a forc¸a restauradora, ou seja,
mg = P = F = ks
Se a massa for deslocada por uma ”distaˆncia”x de sua posic¸a˜o de
equil´ıbrio a fora restauradora sera´ K (x + s)) (Supondo que na˜o haja
forc¸as externas), podemos fazer
m. d
2
x
dt2
= m.a = −k(x + s) +mg = −kx
Da´ı, a EDO que modela este problema e´
m.
d2x
dt2
= −kx (1)
O sinal negativo na igualdade acima indica que a forc¸a restauradora
da mola age no sentido oposto ao movimento.
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MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Colocando a EDO na forma padra˜o
d2x
dt2
+ (
k
m
)x = 0⇒ d
2x
dt2
+ w 2x = 0
que tem soluc¸a˜o geral x(t) = c1cos(wt) + c2sen(wt), que pode ser
escrita como
x(t) = R .cos(wt − δ)
,
w =
√
k
m
e´ a frequeˆncia natural;
T = 2pi
w
e´ o per´ıodo;
R =
√
c2
1
+ c2
1
e´ a amplitude;
cosδ = c1
R
e senδ = c2
R
onde δ e´ o aˆngulo de fase;
Este tipo de movimento e´ chamado de MOVIMENTO
HARMOˆNICO SIMPLES.
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MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Colocando a EDO na forma padra˜o
d2x
dt2
+ (
k
m
)x = 0⇒ d
2x
dt2
+ w 2x = 0
que tem soluc¸a˜o geral x(t) = c1cos(wt) + c2sen(wt), que pode ser
escrita como
x(t) = R .cos(wt − δ)
,
w =
√
k
m
e´ a frequeˆncia natural;
T = 2pi
w
e´ o per´ıodo;
R =
√
c2
1
+ c2
1
e´ a amplitude;
cosδ = c1
R
e senδ = c2
R
onde δ e´ o aˆngulo de fase;
Este tipo de movimento e´ chamado de MOVIMENTO
HARMOˆNICO SIMPLES.
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MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Colocando a EDO na forma padra˜o
d2x
dt2
+ (
k
m
)x = 0⇒ d
2x
dt2
+ w 2x = 0
que tem soluc¸a˜o geral x(t) = c1cos(wt) + c2sen(wt), que pode ser
escrita como
x(t) = R .cos(wt − δ)
,
w =
√
k
m
e´ a frequeˆncia natural;
T = 2pi
w
e´ o per´ıodo;
R =
√
c2
1
+ c2
1
e´ a amplitude;
cosδ = c1
R
e senδ = c2
R
onde δ e´ o aˆngulo de fase;
Este tipo de movimento e´ chamado de MOVIMENTO
HARMOˆNICO SIMPLES.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Colocando a EDO na forma padra˜o
d2x
dt2
+ (
k
m
)x = 0⇒ d
2x
dt2
+ w 2x = 0
que tem soluc¸a˜o geral x(t) = c1cos(wt) + c2sen(wt), que pode ser
escrita como
x(t) = R .cos(wt − δ)
,
w =
√
k
m
e´ a frequeˆncia natural;
T = 2pi
w
e´ o per´ıodo;
R =
√
c2
1
+ c2
1
e´ a amplitude;
cosδ = c1
R
e senδ = c2
R
onde δ e´ o aˆngulo de fase;
Este tipo de movimento e´ chamado de MOVIMENTO
HARMOˆNICO SIMPLES.
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MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Colocando a EDO na forma padra˜o
d2x
dt2
+ (
k
m
)x = 0⇒ d
2x
dt2
+ w 2x = 0
que tem soluc¸a˜o geral x(t) = c1cos(wt) + c2sen(wt), que pode ser
escrita como
x(t) = R .cos(wt − δ)
,
w =
√
k
m
e´ a frequeˆncia natural;
T = 2pi
w
e´ o per´ıodo;
R =
√
c2
1
+ c2
1
e´ a amplitude;
cosδ = c1
R
e senδ = c2
R
onde δ e´ o aˆngulo de fase;
Este tipo de movimento e´ chamado de MOVIMENTO
HARMOˆNICO SIMPLES.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Colocando a EDO na forma padra˜o
d2x
dt2
+ (
k
m
)x = 0⇒ d
2x
dt2
+ w 2x = 0
que tem soluc¸a˜o geral x(t) = c1cos(wt) + c2sen(wt), que pode ser
escrita como
x(t) = R .cos(wt − δ)
,
w =
√
k
m
e´ a frequeˆncia natural;
T = 2pi
w
e´ o per´ıodo;
R =
√
c2
1
+ c2
1
e´ a amplitude;
cosδ = c1
R
e senδ = c2
R
onde δ e´ o aˆngulo de fase;
Este tipo de movimento e´ chamado de MOVIMENTO
HARMOˆNICO SIMPLES.
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MOVIMENTOLIVRE NA˜O AMORTECIDO
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MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Exemplo
Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema
massa-mola e´ dado por
x ′′ + 5x = 0; x(0) = 1; x ′(0) = 0
.
1 Este e´ um exemplo de movimento MHS. Por que? Relacione esta
EDO com o modelo.
2 O que significa x(0) = 1 e x ′(0) = 1 neste modelo.
3 Encontre a soluca˜o geral da equac¸a˜o diferencial e resolva o problema
de valor inicial. Determine a amplitude, a frequeˆncia, a fase e o
per´ıodo.
4 Esboce o gra´fico da soluc¸a˜o obtida.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Exemplo
Uma mola presa a uma massa de 2kg tem um comprimento natural de
0, 5m. Uma forc¸a de 25, 6N e´ necessa´ria para manteˆ-la esticada em um
comprimento de 0, 7m. Se a mola for esticada para um comprimento de
0, 7m e enta˜o for solta com velocidade inicial 0. Determine a posic¸a˜o da
massa em qualquer instante t.
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MOVIMENTO LIVRE NA˜O AMORTECIDO
Exemplo
Uma mola presa a uma massa de 2kg tem um comprimento natural de
0, 5m. Uma forc¸a de 25, 6N e´ necessa´ria para manteˆ-la esticada em um
comprimento de 0, 7m. Se a mola for esticada para um comprimento de
0, 7m e enta˜o for solta com velocidade inicial 0. Determine a posic¸a˜o da
massa em qualquer instante t.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Vamos verificar o caso em que a massa poderia estar suspensa em
um meio viscoso ou conectada a uma dispositivo de amortecimento.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Vamos verificar o caso em que a massa poderia estar suspensa em
um meio viscoso ou conectada a uma dispositivo de amortecimento.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Vamos verificar o caso em que a massa poderia estar suspensa em
um meio viscoso ou conectada a uma dispositivo de amortecimento.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
As forc¸as de amortecimento que atuam sobre um corpo sa˜o
consideradas proporcionais a velocidade instantaˆnea, ou seja,
Fam = −β.
dx
dt
(t)
onde β > 0 e´ chamada de constante de amortecimento, o sinal
negativo significa que a forc¸a amortecedora age no sentido oposto
ao do movimento.
Quando na˜o houver forc¸as externas agindo segue da 2a Lei de
Newton que:
m. d
2
x
dt2
= Forc¸a restauradora + Forc¸a de Amortecimento =
−kx − β. dx
dt
d2x
dt2
+ 2λ.
dx
dt
+ w 2x = 0, onde 2λ =
β
m
,w 2 =
k
m
.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
As forc¸as de amortecimento que atuam sobre um corpo sa˜o
consideradas proporcionais a velocidade instantaˆnea, ou seja,
Fam = −β.
dx
dt
(t)
onde β > 0 e´ chamada de constante de amortecimento, o sinal
negativo significa que a forc¸a amortecedora age no sentido oposto
ao do movimento.
Quando na˜o houver forc¸as externas agindo segue da 2a Lei de
Newton que:
m. d
2
x
dt2
= Forc¸a restauradora + Forc¸a de Amortecimento =
−kx − β. dx
dt
d2x
dt2
+ 2λ.
dx
dt
+ w 2x = 0, onde 2λ =
β
m
,w 2 =
k
m
.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
As forc¸as de amortecimento que atuam sobre um corpo sa˜o
consideradas proporcionais a velocidade instantaˆnea, ou seja,
Fam = −β.
dx
dt
(t)
onde β > 0 e´ chamada de constante de amortecimento, o sinal
negativo significa que a forc¸a amortecedora age no sentido oposto
ao do movimento.
Quando na˜o houver forc¸as externas agindo segue da 2a Lei de
Newton que:
m. d
2
x
dt2
= Forc¸a restauradora + Forc¸a de Amortecimento =
−kx − β. dx
dt
d2x
dt2
+ 2λ.
dx
dt
+ w 2x = 0, onde 2λ =
β
m
,w 2 =
k
m
.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
As forc¸as de amortecimento que atuam sobre um corpo sa˜o
consideradas proporcionais a velocidade instantaˆnea, ou seja,
Fam = −β.
dx
dt
(t)
onde β > 0 e´ chamada de constante de amortecimento, o sinal
negativo significa que a forc¸a amortecedora age no sentido oposto
ao do movimento.
Quando na˜o houver forc¸as externas agindo segue da 2a Lei de
Newton que:
m. d
2
x
dt2
= Forc¸a restauradora + Forc¸a de Amortecimento =
−kx − β. dx
dt
d2x
dt2
+ 2λ.
dx
dt
+ w 2x = 0, onde 2λ =
β
m
,w 2 =
k
m
.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
A equac¸a˜o caracter´ıstica associada e´: r2 + 2λ.m + w 2 = 0, que tem
ra´ızes:
r1 = −λ+
√
λ2 − w 2 e r2 = −λ−
√
λ2 − w 2
Temos treˆs casos a analisar dependendo do discriminante e como
cada soluc¸a˜o conte´m o fator e−λt , o deslocamento da massa fica
desprez´ıvel apo´s um longo per´ıodo.
CASO 1: λ2 − w 2 > 0, dizemos que o sistema e´
SUPERAMORTECIDO, pois o coeficiente β e´ grande quando
comparado com a constate da mola k . E a soluc¸a˜o e´
x(t) = e−λt(c1.e
√
λ2−w2.t + c2.e
−
√
λ2−w2t)
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
A equac¸a˜o caracter´ıstica associada e´: r2 + 2λ.m + w 2 = 0, que tem
ra´ızes:
r1 = −λ+
√
λ2 − w 2 e r2 = −λ−
√
λ2 − w 2
Temos treˆs casos a analisar dependendo do discriminante e como
cada soluc¸a˜o conte´m o fator e−λt , o deslocamento da massa fica
desprez´ıvel apo´s um longo per´ıodo.
CASO 1: λ2 − w 2 > 0, dizemos que o sistema e´
SUPERAMORTECIDO, pois o coeficiente β e´ grande quando
comparado com a constate da mola k . E a soluc¸a˜o e´
x(t) = e−λt(c1.e
√
λ2−w2.t + c2.e
−
√
λ2−w2t)
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
A equac¸a˜o caracter´ıstica associada e´: r2 + 2λ.m + w 2 = 0, que tem
ra´ızes:
r1 = −λ+
√
λ2 − w 2 e r2 = −λ−
√
λ2 − w 2
Temos treˆs casos a analisar dependendo do discriminante e como
cada soluc¸a˜o conte´m o fator e−λt , o deslocamento da massa fica
desprez´ıvel apo´s um longo per´ıodo.
CASO 1: λ2 − w 2 > 0, dizemos que o sistema e´
SUPERAMORTECIDO, pois o coeficiente β e´ grande quando
comparado com a constate da mola k . E a soluc¸a˜o e´
x(t) = e−λt(c1.e
√
λ2−w2.t + c2.e
−
√
λ2−w2t)
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Na˜o apresenta vibrac¸a˜o;
Se o tempo t aumenta o corpo de massa m tende ao repouso e o
tempo de retorno ao repouso na˜o e´ m´ınimo.
Usado em portas com sistema mola-amortecedor (sem oscilac¸o˜es).
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Na˜o apresenta vibrac¸a˜o;
Se o tempo t aumenta o corpo de massa m tende ao repouso e o
tempo de retorno ao repouso na˜o e´ m´ınimo.
Usado em portas com sistema mola-amortecedor (sem oscilac¸o˜es).
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SISTEMAMASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Na˜o apresenta vibrac¸a˜o;
Se o tempo t aumenta o corpo de massa m tende ao repouso e o
tempo de retorno ao repouso na˜o e´ m´ınimo.
Usado em portas com sistema mola-amortecedor (sem oscilac¸o˜es).
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Caso 2: λ2 − w 2 = 0, dizemos que o sistema e´ criticamente
amortecido, pois qualquer decre´scimo na forc¸a de amortecimento
resulta em um movimento oscilato´rio. E a soluc¸a˜o e´:
x(t) = e−λt(c1 + c2.t)
Na˜o apresenta vibrac¸o˜es e a volta ao repouso se da´ em um tempo
m´ınimo, o que na˜o acontece no movimento superamortecido;
Usado em manipuladores robo´ticos, sem vibrac¸o˜es (por questa˜o de
precisa˜o) e realizado em tempo m´ınimo.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Caso 2: λ2 − w 2 = 0, dizemos que o sistema e´ criticamente
amortecido, pois qualquer decre´scimo na forc¸a de amortecimento
resulta em um movimento oscilato´rio. E a soluc¸a˜o e´:
x(t) = e−λt(c1 + c2.t)
Na˜o apresenta vibrac¸o˜es e a volta ao repouso se da´ em um tempo
m´ınimo, o que na˜o acontece no movimento superamortecido;
Usado em manipuladores robo´ticos, sem vibrac¸o˜es (por questa˜o de
precisa˜o) e realizado em tempo m´ınimo.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Caso 2: λ2 − w 2 = 0, dizemos que o sistema e´ criticamente
amortecido, pois qualquer decre´scimo na forc¸a de amortecimento
resulta em um movimento oscilato´rio. E a soluc¸a˜o e´:
x(t) = e−λt(c1 + c2.t)
Na˜o apresenta vibrac¸o˜es e a volta ao repouso se da´ em um tempo
m´ınimo, o que na˜o acontece no movimento superamortecido;
Usado em manipuladores robo´ticos, sem vibrac¸o˜es (por questa˜o de
precisa˜o) e realizado em tempo m´ınimo.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Caso 3: λ2 − w 2 < 0, dizemos que o sistema e´
SUBAMORTECIDO, pois o coeficiente β e´ pequeno quando
comparado com a constate da mola. E a soluc¸a˜o e´
x(t) = e−λt(c1.cos(
√
w 2 − λ2.t) + c2.sen(
√
w 2 − λ2.t)
Apresenta vibrac¸a˜o;
Se o tempo t aumenta o corpo de massa m tende ao repouso.
Usado em suspensa˜o independente de automo´veis.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Caso 3: λ2 − w 2 < 0, dizemos que o sistema e´
SUBAMORTECIDO, pois o coeficiente β e´ pequeno quando
comparado com a constate da mola. E a soluc¸a˜o e´
x(t) = e−λt(c1.cos(
√
w 2 − λ2.t) + c2.sen(
√
w 2 − λ2.t)
Apresenta vibrac¸a˜o;
Se o tempo t aumenta o corpo de massa m tende ao repouso.
Usado em suspensa˜o independente de automo´veis.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Caso 3: λ2 − w 2 < 0, dizemos que o sistema e´
SUBAMORTECIDO, pois o coeficiente β e´ pequeno quando
comparado com a constate da mola. E a soluc¸a˜o e´
x(t) = e−λt(c1.cos(
√
w 2 − λ2.t) + c2.sen(
√
w 2 − λ2.t)
Apresenta vibrac¸a˜o;
Se o tempo t aumenta o corpo de massa m tende ao repouso.
Usado em suspensa˜o independente de automo´veis.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
COMPARAC¸A˜O ENTRE OS GRA´FICOS DOS MOVIMENTOS
AMORTECIDOS.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
COMPARAC¸A˜O ENTRE OS GRA´FICOS DOS MOVIMENTOS
AMORTECIDOS.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Exemplo
Considere o problema
x ′′(t) + 5x ′(t) + 4x = 0, x(0) = 1 , x ′(0) = 1
que tem soluc¸a˜o x(t) = 5
3
e−t − 2
3
e−4t .
1 Este e´ um exemplo de movimento supermamortecido. Por que?
2 Relacione esta EDO com o modelo superamortecido?
3 O que significa x(0) = 1 e x ′(0) = 1 neste modelo.
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Exemplo
Considere o problema
x ′′(t) + 5x ′(t) + 4x = 0, x(0) = 1 , x ′(0) = 1
que tem soluc¸a˜o x(t) = 5
3
e−t − 2
3
e−4t .
1 Este e´ um exemplo de movimento supermamortecido. Por que?
2 Relacione esta EDO com o modelo superamortecido?
3 O que significa x(0) = 1 e x ′(0) = 1 neste modelo.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Exemplo
Considere que a massa do exemplo de movimento na˜o amortecido esteja
imersa em um fluido com constante de amortecimento igual a β = 40.
Determine a posic¸a˜o da massa em qualquer instante t, se ele iniciar da
posic¸a˜o de equil´ıbrio e for dado um empurra˜o para que a velocidade
inicial seja de 0,6m/s.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
Exemplo
Considere que a massa do exemplo de movimento na˜o amortecido esteja
imersa em um fluido com constante de amortecimento igual a β = 40.
Determine a posic¸a˜o da massa em qualquer instante t, se ele iniciar da
posic¸a˜o de equil´ıbrio e for dado um empurra˜o para que a velocidade
inicial seja de 0,6m/s.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
Vamos considerar agora uma forc¸a externa fext sobre o corpo de
massa m.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
Vamos considerar agora uma forc¸a externa fext sobre o corpo de
massa m.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
A inclusa˜o de fext na formulac¸a˜o da 2
a Lei de Newton, resulta na
equac¸a˜o diferencial do movimento forc¸ado ou induzido.
m. d
2
x
dt2
= Forc¸a restauradora + Forc¸a de Amortecimento +
fext = −kx − β. dxdt + fext
d2x
dt2
+2λ.
dx
dt
+w 2x = F (t), onde 2λ =
β
m
,w 2 =
k
m
onde F (t) =
fext
m
.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
A inclusa˜o de fext na formulac¸a˜o da 2
a Lei de Newton, resulta na
equac¸a˜o diferencial do movimento forc¸ado ou induzido.
m. d
2
x
dt2
= Forc¸a restauradora + Forc¸a de Amortecimento +
fext = −kx − β. dxdt + fext
d2x
dt2
+2λ.
dx
dt
+w 2x = F (t), onde 2λ =
β
m
,w 2 =
k
m
onde F (t) =
fext
m
.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
A inclusa˜o de fext na formulac¸a˜o da 2
a Lei de Newton, resulta na
equac¸a˜o diferencial do movimento forc¸ado ou induzido.
m. d
2
x
dt2
= Forc¸a restauradora + Forc¸a de Amortecimento +
fext = −kx − β. dxdt + fext
d2x
dt2
+2λ.
dx
dt
+w 2x = F (t), onde 2λ =
β
m
,w 2 =
k
m
onde F (t) =
fext
m
.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
A inclusa˜o de fext na formulac¸a˜o da2
a Lei de Newton, resulta na
equac¸a˜o diferencial do movimento forc¸ado ou induzido.
m. d
2
x
dt2
= Forc¸a restauradora + Forc¸a de Amortecimento +
fext = −kx − β. dxdt + fext
d2x
dt2
+2λ.
dx
dt
+w 2x = F (t), onde 2λ =
β
m
,w 2 =
k
m
onde F (t) =
fext
m
.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial
1
5
x ′′(t) + 1, 2x ′(t) + 2x = 5 cos 4t, x(0) =
1
2
, x ′(0) = 0
Resposta: Uma poss´ıvel interpretac¸a˜o seria um corpo de m = 1
5
kg preso
em uma mola (k = 2N/m). A massa e´ solta do repouso 1
2
m abaixo da
posic¸a˜o de equil´ıbrio, o movimento e´ amortecido β = 1, 2 e esta´ sendo
precionado por uma forc¸a perio´dica que comec¸a em t = 0.
x(t) = e−3t( 38
51
cost − 86
51
sent)− 25
102
.cos4t − 50
51
sen4t.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial
1
5
x ′′(t) + 1, 2x ′(t) + 2x = 5 cos 4t, x(0) =
1
2
, x ′(0) = 0
Resposta: Uma poss´ıvel interpretac¸a˜o seria um corpo de m = 1
5
kg preso
em uma mola (k = 2N/m). A massa e´ solta do repouso 1
2
m abaixo da
posic¸a˜o de equil´ıbrio, o movimento e´ amortecido β = 1, 2 e esta´ sendo
precionado por uma forc¸a perio´dica que comec¸a em t = 0.
x(t) = e−3t( 38
51
cost − 86
51
sent)− 25
102
.cos4t − 50
51
sen4t.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial
1
5
x ′′(t) + 1, 2x ′(t) + 2x = 5 cos 4t, x(0) =
1
2
, x ′(0) = 0
Resposta: Uma poss´ıvel interpretac¸a˜o seria um corpo de m = 1
5
kg preso
em uma mola (k = 2N/m). A massa e´ solta do repouso 1
2
m abaixo da
posic¸a˜o de equil´ıbrio, o movimento e´ amortecido β = 1, 2 e esta´ sendo
precionado por uma forc¸a perio´dica que comec¸a em t = 0.
x(t) = e−3t( 38
51
cost − 86
51
sent)− 25
102
.cos4t − 50
51
sen4t.
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MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORC¸A EXTERNA
Exemplo
Interprete e resolva o problema de valor inicial
1
5
x ′′(t) + 1, 2x ′(t) + 2x = 5 cos 4t, x(0) =
1
2
, x ′(0) = 0
Resposta: Uma poss´ıvel interpretac¸a˜o seria um corpo de m = 1
5
kg preso
em uma mola (k = 2N/m). A massa e´ solta do repouso 1
2
m abaixo da
posic¸a˜o de equil´ıbrio, o movimento e´ amortecido β = 1, 2 e esta´ sendo
precionado por uma forc¸a perio´dica que comec¸a em t = 0.
x(t) = e−3t( 38
51
cost − 86
51
sent)− 25
102
.cos4t − 50
51
sen4t.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
Vamos considerar um circuito em se´rie RLC onde existe uma
resisteˆncia (R), um indutor (L) e um capacitor (C).
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
Vamos considerar um circuito em se´rie RLC onde existe uma
resisteˆncia (R), um indutor (L) e um capacitor (C).
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Vamos considerar um circuito em se´rie RLC onde existe uma
resisteˆncia (R), um indutor (L) e um capacitor (C).
Julio Cesar de Paula EDO de segunda ordem - Aplicac¸o˜es
SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
Sabemos de EDO de 1a ordem que em um circuito nas condic¸o˜es
acima, a voltagem devida:
1 a resisteˆncia e´ VR(t) = R.I ;
2 a capacitaˆncia e´ VC (t) =
Q
C
3 ao indutor e´ VL(t) = L.
dI
dt
,
onde L e´ a indutaˆncia, C e´ a capacitaˆncia, I e´ a intensidade da
corrente, Q e´ a carga, R e´ a resisteˆncia.
Logo pela 2a Lei de Kirchhoff, a soma das voltagem ao longo do
circuito fechado em se´rie e´ igual a voltagem V (t).
L.
di
dt
+ Ri +
1
C
Q = V (t)
Como a carga Q no capacitor esta´ relacionada com a corrente por
I = dQ
dt
, e
L.
d2Q
dt
+ R .
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t)
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Sabemos de EDO de 1a ordem que em um circuito nas condic¸o˜es
acima, a voltagem devida:
1 a resisteˆncia e´ VR(t) = R.I ;
2 a capacitaˆncia e´ VC (t) =
Q
C
3 ao indutor e´ VL(t) = L.
dI
dt
,
onde L e´ a indutaˆncia, C e´ a capacitaˆncia, I e´ a intensidade da
corrente, Q e´ a carga, R e´ a resisteˆncia.
Logo pela 2a Lei de Kirchhoff, a soma das voltagem ao longo do
circuito fechado em se´rie e´ igual a voltagem V (t).
L.
di
dt
+ Ri +
1
C
Q = V (t)
Como a carga Q no capacitor esta´ relacionada com a corrente por
I = dQ
dt
, e
L.
d2Q
dt
+ R .
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t)
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Sabemos de EDO de 1a ordem que em um circuito nas condic¸o˜es
acima, a voltagem devida:
1 a resisteˆncia e´ VR(t) = R.I ;
2 a capacitaˆncia e´ VC (t) =
Q
C
3 ao indutor e´ VL(t) = L.
dI
dt
,
onde L e´ a indutaˆncia, C e´ a capacitaˆncia, I e´ a intensidade da
corrente, Q e´ a carga, R e´ a resisteˆncia.
Logo pela 2a Lei de Kirchhoff, a soma das voltagem ao longo do
circuito fechado em se´rie e´ igual a voltagem V (t).
L.
di
dt
+ Ri +
1
C
Q = V (t)
Como a carga Q no capacitor esta´ relacionada com a corrente por
I = dQ
dt
, e
L.
d2Q
dt
+ R .
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t)
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Sabemos de EDO de 1a ordem que em um circuito nas condic¸o˜es
acima, a voltagem devida:
1 a resisteˆncia e´ VR(t) = R.I ;
2 a capacitaˆncia e´ VC (t) =
Q
C
3 ao indutor e´ VL(t) = L.
dI
dt
,
onde L e´ a indutaˆncia, C e´ a capacitaˆncia, I e´ a intensidade da
corrente, Q e´ a carga, R e´ a resisteˆncia.
Logo pela 2a Lei de Kirchhoff, a soma das voltagem ao longo do
circuito fechado em se´rie e´ igual a voltagem V (t).
L.
di
dt
+ Ri +
1
C
Q = V (t)
Como a carga Q no capacitor esta´ relacionada com a corrente por
I = dQ
dt
, e
L.
d2Q
dt
+ R .
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t)
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Sabemos de EDO de 1a ordem que em um circuito nas condic¸o˜es
acima, a voltagem devida:
1 a resisteˆncia e´ VR(t) = R.I ;
2 a capacitaˆncia e´ VC (t) =
Q
C
3 ao indutor e´ VL(t) = L.
dI
dt
,
onde L e´ a indutaˆncia, C e´ a capacitaˆncia, I e´ a intensidade da
corrente, Q e´ a carga, R e´ a resisteˆncia.
Logo pela 2a Lei de Kirchhoff, a soma das voltagem ao longo do
circuito fechado em se´rie e´ igual a voltagem V (t).
L.
di
dt
+ Ri +
1
C
Q = V (t)
Como a carga Q no capacitor esta´ relacionada com a corrente por
I = dQ
dt
, e
L.
d2Q
dt
+ R .
dQ
dt
+
1
C
Q = V (t)
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Se V (t) = 0, as vibrac¸o˜es do circuito sa˜o consideradas livres.
Como a equac¸a˜o caracter´ıstica e´: Lr2 + Rm+ 1
C
= 0, dependendo
do discriminante R2 − 4L
C
, dizemos que circuito e´:
Superamortecido, se R2 − 4L
C
> 0.
Criticamente amortecido, se R2 − 4L
C
= 0.
Subamortecido, se R2 − 4L
C
< 0.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
Exemplo
Encontre a carga Q(t) e a intensidade da corrente sobre o capacitor em
um circuito RLC quando L = 0, 25 henry (h), R = 10 ohms (Ω),
C = 0, 001 farad (f), V (t) = 0,Q(0) = Q0coulombs (C) e i(0) = 0.
Soluc¸a˜o: Q(t) = Q0e
−20t(cos(60t) + 1
3
.sen(60t))
Quando ha´ uma voltagem impressa V (t) no circuito, as vibrac¸o˜es
ele´tricas sa˜o chamadas de forc¸adas.
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Exemplo
Encontre a carga Q(t) e a intensidade da corrente sobre o capacitor em
um circuito RLC quando L = 0, 25 henry (h), R = 10 ohms (Ω),
C = 0, 001 farad (f), V (t) = 0,Q(0) = Q0 coulombs (C) e i(0) = 0.
Soluc¸a˜o: Q(t) = Q0e
−20t(cos(60t) + 1
3
.sen(60t))
Quando ha´ uma voltagem impressa V (t) no circuito, as vibrac¸o˜es
ele´tricas sa˜o chamadas de forc¸adas.
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Exemplo
Encontre a carga Q(t) e a intensidade da corrente sobre o capacitor em
um circuito RLC quando L = 0, 25 henry (h), R = 10 ohms (Ω),
C = 0, 001 farad (f), V (t) = 0,Q(0) = Q0 coulombs (C) e i(0) = 0.
Soluc¸a˜o: Q(t) = Q0e
−20t(cos(60t) + 1
3
.sen(60t))
Quando ha´ uma voltagem impressa V (t) no circuito, as vibrac¸o˜es
ele´tricas sa˜o chamadas de forc¸adas.
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SISTEMA MASSA-MOLA Circuito RLC
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	 SISTEMA MASSA-MOLA
	MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO
	MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO
	MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO COM FORÇA EXTERNA
	Circuito RLC