Funções de duas variáveis - CalB

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Centro Universitário de Várzea Grande - MT 
Disciplina: Cálculo Diferencilal e Integral B 
Professora : Aline Brum Seibel 
Funções de duas variáveis 
 (Gráficos e curvas de nível) 
 Definição: Se 𝑓 é uma função de duas variáveis com domínio 𝐷, então o 
gráfico de 𝑓 é o conjunto de todos os pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) em 𝑅3 tal que 
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 e (𝑥, 𝑦) pertença a 𝐷. 
Gráficos de funções de duas variáveis 
 Em geral, a representação gráfica de uma função de duas variáveis pode 
ser bastante complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional. 
Porém, há alguns casos que são importantes de serem lembrados. 
Vejamos quais são: 
 
 Superfície: Plano – Equação : 𝐳 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 
 Superfície: Parabolóide elíptico : – Equação : 𝐳 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒚𝟐 + 𝒄 
 Superfície: Parabolóide hiperbólico – Equação : 𝐳 = 𝒂𝒙𝟐 − 𝒃𝒚𝟐 + 𝒄 
 
 Superfície Esférica – Equação : 𝐳 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒓𝟐 
 Superfície Cônica – Equação : 𝐳 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
 
 Definição: As curvas de nível de uma função 𝑓 de duas variáveis são aquelas 
com equação 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘, onde 𝑘 é uma constante (na imagem de 𝑓). 
Curvas de Nível 
Curvas de níveis da função 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥 − 3𝑦 (seu gráfico aparece 
no slide anterior) 
 Esboce as curvas de nível da função 𝒛 = 𝟔 − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 para os valores 
𝒌 = −𝟔, 𝟎, 𝟔, 𝟏𝟐. 
 Resolução: As curvas de nível são: 
 𝟔 − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝒌 ou 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + (𝒌 − 𝟔) = 𝟎 
 Para 𝒌 = −𝟔 teremos a reta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
 Para 𝒌 = 𝟎 teremos a reta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔 = 𝟎 
 Para 𝒌 = 𝟔 teremos a reta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎 
 Para 𝒌 = 𝟏𝟐 teremos a reta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟔 = 𝟎 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 Esboce as curvas de nível da função 𝒛 = 𝟗 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐para os valores 
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑. 
 Resolução: As curvas de nível são: 
 𝟗 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝒌 ou 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗 − 𝒌𝟐 
 Essa é uma família de circunferências com centro em (0,0) e raio 9 − 𝑘2. Os 
casos 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 são mostrados na figura abaixo: 
 
 
Exemplo 2 
 Stewart, James. Cálculo, volume 2; tradução EZ2 Translate. São Paulo: 
Cengage Learning, 2013. 
 Anton, Howard. Cálculo, Volume 2, John Wiley & Sons, 1999. 
 Imagens retiradas da internet. 
Bibliografia