4.3 TBE

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4.3 Teoria do Bem estar 
A eficiência à Pareto é, por si só, uma propriedade desejável. No entanto, existem imensas 
afetações eficientes à Pareto por isso é desejável a consideração de outras propriedades para 
a escolha da melhor afetação para a sociedade. 
Função de bem-estar – forma de agregar as preferências individuais em preferências sociais, 
permitindo ordenar, em termos de utilidade, as afetações preferíveis para a sociedade. 
 
 
 
1. Agregação de preferências 
Cada consumidor tem preferências sobre toda a afetação (x) de bens entre os consumidores de 
uma sociedade. 
A afetação x é constituída por um conjunto de vetores 𝑥 = {𝑥1, … , 𝑥𝑛}, um para 
cada indivíduo, cujos elementos são as quantidades consumidas de cada bem 𝑥 =
(𝑥1
𝑛, … , 𝑥𝑀
𝑛 )𝑇, podendo ser representada em forma matricial: 
 
 
 
 
Adicionalmente, assumimos que cada indivíduo tem preferências completas, ou seja, 
qualquer indivíduo sabe sempre como comparar quaisquer dois cabazes: (X Y) ˅ (Y X) 
˅ (X ~ Y) 
O objetivo é arranjar uma maneira de agregar as preferências individuais numa preferência 
social, de modo a construir uma ordenação social das várias afefações. 
 
1ª alternativa – votação por maioria (comparando as diferentes afetações aos pares), sendo o 
cabaz X socialmente preferido a Y se uma maioria de indivíduos preferir X a Y. 
Problema: este método pode não gerar uma ordenação transitiva das preferências sociais, ou 
seja, pode acontecer que X seja preferido a Y, Y seja preferido a Z e Z seja preferido a X 
(preferências não são bem comportadas porque não são transitivas): 
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Comparação aos pares: 𝑥 ≻𝑠 𝑌 𝑌 ≻𝑠 𝑍 𝑍 ≻𝑠 𝑥 
Como estas preferências não são transitivas não existirá a alternativa melhor no conjunto de 
alternativas (x, y, z). 
Assumindo que a transitividade se mantém permite a manipulação de resultados, já que a 
afetação socialmente escolhida vai depender da ordem pela qual é feita a votação. 
 
Neste caso, se primeiro escolhermos entre X e Y e depois escolhermos entre a vencedora e Z, 
a afetação escolhida vai ser Z. Se primeiro escolhermos entre Z e X e depois escolhermos 
entre a vencedora e Y, a afetação escolhida vai ser Y. 
 
Paradoxo de Condorcet – as preferências sociais são cíclicas apesar das preferências 
individuais não o serem. 
 
2ª alternativa – votação por ordenação das classificações: 
 Cada indivíduo ordena os bens segundo as suas preferências e atribui-lhes um 
número que indica a respetiva classificação na sua ordenação (sendo 1 a 
classificação a atribuir à afetação preferida); 
 Somatório das classificações da cada alternativa de modo a determinar a 
classificação agregada; 
 A afetação preferida é aquela cuja classificação agregada é mais baixa. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Neste caso obtemos um empate, pelo que: 𝑥 ≻𝑠 𝑌 
 
 
 
Admitindo uma terceira afetação possível: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introduzindo a afetação Z (que ninguém prefere) Y passa a ser socialmente preferido a X. 
 
Problema: o resultado final também é fácil de manipular, escolhendo as afetações a comparar, 
através da introdução de novas alternativas que alterem as classificações finaisdas alternativas 
relevantes. 
 
Propriedades desejáveis na preferência social: 
 Dado um conjunto de preferências individuais completo, reflexivo e transitivo, o 
mecanismo de decisão coletiva tem de originar preferências sociais com as 
mesmas propriedades: 
o Completas: (X Y) ˅ (Y X) ˅ (X Y) 
o Reflexivas: X = Y → X Y 
o Transitivas: X Y ˄ Y Z → X Z 
 Se todos os indivíduos preferem X a Y, então as preferências sociais deveriam 
colocar X como preferido a Y; 
 As preferências entre X e Y só podem depender da classificação de X e Y e não 
da classificação de outras alternativas, ou seja, uma terceira alternativa irrelevante 
não deve influenciar a maneira como as duas primeiras estão ordenadas; 
 As preferências sociais não devem depender das preferências individuais de uma 
só pessoa (um ditador). 
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Teorema da impossibilidade de Arrow – se um mecanismo de decisão coletiva satisfizer as 
propriedades 1, 2 e 3 então é uma ditadura, pelo que é impossível definir uma preferência 
social capaz de compilar todas as condições desejáveis simultaneamente. 
Este teorema pode ser interpretado como uma impossibilidade de existir uma maneira 
perfeita de fazer escolhas numa democracia. 
Assim, para formar preferências sociais tem de se abdicar de uma das propriedades desejáveis 
que é, regra geral, a da independência das alternativas irrelevantes. 
 
 
2. Funções de bem-estar social 
Função de bem-estar social – função que agrega as funções de utilidade individuais de 
modo a agregar as preferências individuais numa preferência social: 
 
W(x) = W(u1(x), … , un(x)) 
Se todos os indivíduos preferem X a Y então socialmente X também tem de ser preferido a Y. 
para garantir que isto acontece temos de assegurar que a função de bem-estar social é 
crescente em cada utilidade individual, ou seja: 
𝜕𝑊 (𝑢1, … , 𝑢𝑛)
𝜕𝑢𝑖
 > 0 
 
 
Função de bem-estar utilitarista ou de Bentham 
Função de bem-estar social da soma das utilidades, atribuindo a todas as pessoas a mesma 
importância: 
𝑊 (𝑢1, … , 𝑢𝑛) = ∑ 𝑢𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Uma generalização desta forma é a função de bem-estar social da soma ponderada das 
utilidades: 
𝑊 (𝑢1, … , 𝑢𝑛) = ∑ 𝑎𝑖𝑢𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
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Onde os ponderadores ai são números que indicam a importância da utilidade de cada 
indivíduo para o bem-estar social global. 
Função de bem-estar social minimax ou Rawlsiana 
Função de bem-estar social em que o bem-estar social global depende apenas do bem-estar do 
indivíduo que está pior, ou seja, da pessoa com a utilidade mínima: 
W(u1, … , un) = min{u1, … , un} 
 
Função de bem-estar individualista ou de Bergson-Samuelson 
O que distingue esta função de bem-estar social das outras é o facto da utilidade de cada 
indivíduo depender apenas do seu cabaz de consumo e não do cabaz de consumo dos outros 
indivíduos: 
W = W(u1(x1), … , un(xn)) 
 
 
3. Maximização do bem-estar 
Conjunto de possibilidades de utilidade – conjunto de todas as combinações de utilidade 
possíveis para cada indivíduo na economia, atingível através de uma alocação de bens 
pertencente ao conjunto de possibilidades de produção. 
Fronteira de possibilidades de utilidade – limite exterior do conjunto de possibilidades de 
utilidade, compreendendo o conjunto dos níveis de utilidade associados às afetações à Pareto. 
 
Curvas de indiferença sociais – conjunto de combinações de utilidades individuais que 
geram o mesmo nível de bem-estar na função de bem-estar social: 
{u1, … , un: W(u1(x1), … , un(xn)) = W¯ } 
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O declive negativo das curvas de indiferença sociais deve-se à assunção de que as funções de 
bem-estar social são crescentes com o nível de utilidade dos indivíduos. 
Maximização do bem-estar social: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o ponto ótimo é dado pela tangencia entre a curva de indiferença social mais afastada 
da origem possível e a fronteira de possibilidades de utilidade: 
 
Como o ponto ótimo pertence sempre à fronteira de possibilidades de utilidade, vai sempre 
ser eficiente à Pareto. Assim qualquer afetação eficiente à Pareto deve ser um ponto de bem- 
estar máximo para alguma função de bem-estar. 
 
Como o conjunto de possibilidades de utilidade é convexo, para cada ponto eficiente à Pareto(na fronteira do conjunto de possibilidades de utilidade) pode ser definida uma função de 
bem-estar social da soma ponderada das utilidades que faça aquele ponto o resultado do 
problema de maximização da função de bem-estar social. 
 
 
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Para tal é suficiente mudar os ponderados da função de bem-estar social já que estes alteram 
o declive das curvas de indiferença sociais: 
𝑊 (𝑢1, … , 𝑢𝑛) = ∑ 𝑎𝑖𝑢𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑇𝑀𝑆𝑢1,𝑢2 = 
𝑑𝑢1
𝑑𝑢2
= − 
𝜕𝑊
𝜕𝑢1
𝜕𝑊
𝜕𝑢2
= −
𝑎1
𝑎2
Deste modo, obtemos uma equivalência entre pontos que maximizam o bem-estar social e 
ponto eficientes à Pareto. Maximizando o bem-estar social podemos escolher o ponto 
eficiente à Pareto que a sociedade prefere (determinado pelo peso das utilidades individuais). 
 
 
4. Inveja e equidade, simetria e afetações justas 
Afetação simétrica – afetação na qual todos os indivíduos têm o mesmo cabaz de consumo, 
ou seja, as mesmas quantidades de cada bem. 
Afetação equitativa – afetação na qual nenhum agente económico prefere o cabaz de 
consumo de outro agente económico ao seu próprio cabaz, ou seja, o cabaz de cada agente 
económico dá-lhe mais utilidade do que qualquer outro cabaz. 
Inveja – situação em que o agente económico prefere o cabaz de consumo de outro agente 
económico ao seu, já que esse cabaz lhe dá mais utilidade. 
Afetação eficiente à Pareto – afetação para a qual não se pode aumentar a utilidade de um 
agente económico sem diminuir a utilidade de outro agente económico. 
Afetação justa – afetação que é simultaneamente equitativa e eficiente à Pareto, ou seja, 
nenhum agente económico prefere o cabaz de consumo de outro agente económico ao seu e 
não se consegue melhor a situação de um deles sem piorar a do outro. 
 
 
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Uma divisão igualitária de recursos implica que a divisão seja simétrica, isto é, que cada 
agente económico tenha o mesmo cabaz de bens. Assim, nenhum agente económico prefere 
o cabaz de bens de qualquer outro agente ao seu, uma vez que todos os cabazes são iguais (a 
divisão simétrica é sempre equitativa). 
 
No entanto, uma divisão igualitária não é necessariamente eficiente à Pareto. Se os agentes 
económicos tiverem gostos diferentes efetuam trocas que os vão colocar numa situação de 
divisão não igualitária dos bens, contudo, esta seria uma afetação eficiente à Pareto. 
 
Assim, uma afetação final não preserva necessariamente a simetria da afetação da dotação 
inicial . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a afetação inicial de bens é equitativa já que é simétrica. 
 
Será que a afetação final também é equitativa ou teremos de abdicar da equidade para termos 
eficiência à Pareto? 
Assumindo que a afetação não é equitativa, o agente A inveja o agente B, preferindo o cabaz 
de consumo do agente B ao seu. Assim: (𝑥1
𝐵, 𝑥2
𝐵) ≻𝐴 (𝑥1
𝐴, 𝑥2
𝐴) 
 
Contudo, se o agente A prefere (𝑥1
𝐵, 𝑥2
𝐵) , mas escolheu (𝑥1
𝐴, 𝑥2
𝐴) porque maximizava a 
sua utilidade sujeita à sua restrição orçamental, então o cabaz no agente B não era acessível 
ao agente A: 
𝑝1𝑥1
𝐵 + 𝑝2𝑥2
𝐵 > 𝑝1𝜔1
𝐴 + 𝑝2𝜔2
𝐴 
 
O que é uma contradição porque se o cabaz é acessível para o agente B, então 
 
 
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também tem de ser acessível para o agente A já que a afetação da dotação inicial era simétrica 
(dotação inicial do agente A é igual à do agente B logo o que o agente B consegue comprar 
também está acessível para o agente A). 
Concluímos (por contradição) que um equilíbrio competitivo obtido pela livre troca a partir 
de afetações simétricas não só é eficiente à Pareto mas também é equitativo, pelo que de 
acordo com a definição é um equilíbrio justo. 
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