Exame 2epoca 2015 2016

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Exame de 2ª época de Estatística 
 
1 | P a g e 
 
 
Licenciatura em Economia 
Estatística 
 Exame de 2ª época 
Terça-Feira, 19 de Janeiro, 2016 
 
Duracão: 2h00+30 min 
 
Nome: Turma: Número: 
 
 
Classificação: I) II) III) IV) V) Total: 
 
1- Não são prestados esclarecimentos durante a prova. Exponha as suas dúvidas nas respostas que der. Apresente 
claramente as respostas, incluindo os cálculos intermédios e/ou auxiliares que as justificam. 
2- Não é permitida a realização da prova a lápis. 
 
Espaço reservado a cotações 
 
Grupo I (4,0 valores) 
a) 
b) 
c) 
 
Grupo II ( 2,75 valores) 
a) 
b) 
 
Grupo III (3,25 valores) 
a) 
b) 
 
Grupo IV (6,5 valores) 
4.1 a) 
 b) 
4.2 a) 
 b) 
 
Grupo V (3,5 valores) 
5.1 
5.2 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exame de 2ª época de Estatística 
 
2 | P a g e 
 
GRUPO I (4,0 valores) 
A renumeração mensal, em milhares de unidades monetárias dos trabalhadores duma determinada 
empresa é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade: 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
𝑥
1500
 𝑠𝑒 10 < 𝑥 ≤ 20
 𝑘
𝑥
1000
 𝑠𝑒 20 < 𝑥 < 30
0 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 
(1,5) a) Determine k. 
(1,0) b) Escolhe-se aleatoriamente um trabalhador entre aqueles que auferem mais de 20000 
unidades monetárias. Qual a probabilidade de ele ganhar menos de 25000 unidades 
monetárias. 
(1,5) c) Suponha que os trabalhadores da empresa em questão são obrigados a contribuir 
mensalmente para um fundo de pensões. A contribuição de cada trabalhador está indexada 
ao seu escalão de rendimentos: para aqueles que auferem entre 10000 e até 20000 unidades 
monetárias, inclusivé, a contribuição é de 100 unidades monetárias e para aqueles cuja 
remuneração varia entre 20000 e 30000, exclusivé, a contribuição é de 150 unidades 
monetárias. Qual a contribuição mensal média de um trabalhador daquela empresa? 
Resolução: 
 
Exame de 2ª época de Estatística 
 
3 | P a g e 
 
 
Exame de 2ª época de Estatística 
 
4 | P a g e 
 
GRUPO II (2,75 valores) 
A empresa X utiliza no seu processo produtivo um determinado químoco. Esse químico é fornecido 
em embalagens de 5 litros provenientes de 4 fornecedores A, B, C e D, nas proporções de 40%, 
30%, 20% e 10%, respectivamente. Contudo, o referido químico às vezes apresenta uma 
característica corrosiva prejudicial à produção. Admita que esse problema ocorre em 5% dos 
fornecimentos provenientes de A e de B e em 3% dos de C e de D. Suponha agora que foi aberta 
uma embalagem de 5 litros, retirada ao acaso do stock existente nessa empresa desse químico. 
 
 a) Qual a probabilidade de que o seu conteúdo apresente esse efeito corrosivo? 
b) Sabendo que o efeito corrosivo está presente, qual a probabilidade de que a embalagem 
seja proveniente do fornecedor A? 
 
Resolução: 
 
Exame de 2ª época de Estatística 
 
5 | P a g e 
 
 
Exame de 2ª época de Estatística 
 
6 | P a g e 
 
GRUPO III (3,25 valores) 
 
Para efeitos de comercialização, determinados frutos são classificados pelo tamanho. Considera-se 
como medida o seu diâmetro máximo, que é uma variável aleatória com distribuição normal de 
desvio padrão igual a 5 cm e média . As categorias consideradas são: 
C1- frutos cujo diâmetro máximo inferior a 6 cm 
C2- frutos cujo diâmetro máximo é superior ou igual a 6 cm e inferior a 12 cm 
C3- frutos cujo diâmetro máximo é superior ou igual a 12 cm 
Sabendo que 30% dos frutos são da categoria C1: 
(1,75) a) Calcule a percentagem de frutos na categoria C2 e C3. 
(1,50) b) Sabendo que os frutos da categoria C1 têm uma probabilidade de apodrecer, ao fim de 5 
dias, de 0,004, calcule a probabilidade de entre 1000 frutos da categoria C1 não mais de 3 
apodrecerem ao fim de 5 dias. 
Resolução: 
 
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7 | P a g e 
 
 
Exame de 2ª época de Estatística 
 
8 | P a g e 
 
GRUPO IV (6,5 valores) 
4.1 
(1,5) a) Um cientista resolve estimar a proporção 𝑝 de indivíduos com certa moléstia numa região. 
Ele deseja que a probabilidade de que a sua estimativa não se desvie do verdadeiro valor de 
𝑝 por mais que 0,02 seja de pelo menos 95%. Qual deve ser o tamanho da amostra para 
que essas condições sejam satisfeitas? 
(2,0) b) Um outro cientista descobre que a doença em questão está relacionada com a concentração 
da substância A no sangue e que é considerado doente todo indivíduo para o qual a 
concentração A é menor que 1,488 mg/cm3. Sabe-se que a concentração da substância A no 
sangue tem distribuição normal com desvio padrão 0,4 mg/cm3 e média 2,0 mg/cm3. Você 
acha que essas novas informações podem ser utilizadas pelo primeiro cientista para 
diminuir o tamanho amostral? Em caso afirmativo, qual seria o novo tamanho amostral? 
4.2 
Suponha uma população normal, com parâmetros desconhecidos. Com base numa amostra aleatória 
com 16 observações, foi estimado o seguinte intervalo de confiança para a média da população 
]7,786; 12,602[. 
(1.5) a) Sabendo que, com a informação da amostra, se obteve 𝑠 = 05, qual o grau de confiança 
que pode atribuir ao intervalo atrás referido? 
(1.5) b) Com base na mesma amostra construa um intervalo de confiança a 95% para o desvio 
padrão da população. 
 
Resolução: 
 
 
Exame de 2ª época de Estatística 
 
9 | P a g e 
 
 
Exame de 2ª época de Estatística 
 
10 | P a g e 
 
GRUPO V (3,5 valores) 
(1.5) 5.1- Para um parâmetro 𝜃 desconhecido da população foram indicados dois estimadores 𝜃1 e 
𝜃2 . Qual dos dois preferia se 𝐸[𝜃1] =
𝜃
𝑛
 , 𝐸[𝜃2] =
𝜃
𝑛
, 𝑉𝑎𝑟[𝜃1] =
𝜃2
𝑛
 e 𝑉𝑎𝑟[𝜃2] =
𝜃2
𝑛+3
? 
5.2- Sejam ( = 10 = 1) = 1 2 n variáveis aleatórias identicamente 
distribuídas e 2 2
2 , todas independentes entre si. Diga, justificando, se as afirmações 
seguintes são verdadeiras ou falsas: 
(0,5) a) [ ≤ 10] = 0 5 
(0,5) b) ( 10)
2 (1)
2 
(0,5) c) ∑ ( 10)
2𝑛
 1 (𝑛 1)
2 . 
(0,5) d) 
 1 
√ 
 𝑡( 2). 
Resolução: