Teste Intermédia 2014 2015

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Matemática I (1º Ano) 
Licenciatura de economia 
Tipo de Prova: 1º Teste 15/11/2014 Duração máxima: 1H 15m (+15min)
 
 
Nome Completo: …….................................................................................................................. 
(em maiúsculas) 
Número: ...................... Turma ............... 
Docente: …………………………………………………………………………………………………………………………………… 
� Não é permitido o uso de máquinas de calcular. 
� Não é permitido escrever a lápis ou a caneta de tinta vermelha. 
� Durante a prova deve manter o telemóvel desligado. 
� Não se tiram dúvidas durante a prova. 
� Não destaque nenhuma folha do caderno de prova, sob pena da sua anulação. 
� A prova deve ser resolvida unicamente nas folhas do enunciado, as quais devem permanecer agrafadas. 
Apresente todas as justificações necessárias. 
� Não são permitidas folhas de rascunho adicionais. A última folha do enunciado serve para esse efeito. A 
folha de rascunho que constitui o final da prova pode ser usada excecionalmente para responder a 
alguma questão, desde que claramente assinalado. 
 
Reservado para cotações. 
1. a) 
 b) 
 c) 
 d) 
2. a) 
 b) 
3. a) 
 b) 
 4.a) 
 b) 
5. a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 
 
 
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 [4.0 valores] 1. Considere o seguinte sistema de equações lineares 
 �2x + 3y + z = 0−y + 2z = bx + az = 0
 
[0.5] a) Escreva a equação matricial do sistema. 
[1.0] b) Discuta a natureza do sistema em função dos parâmetros a e b. 
[1.0] c) No sistema, considere b = 0. Identifique e caracterize o sistema, sem efetuar cálculos. 
[1.5] d) No sistema, considere a = 1, ∀b	 ∈ ℝ e resolva o sistema pela regra de Cramer. 
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[3.0 valores] 2. Considere a seguinte matriz: 
� =
��
��
�� 0 2 1 11 0 0 02 4 2 23 4 2 � ��
��
��
 
 
[1.5] a) Diga, aplicando as propriedades dos determinantes, para que valores de a é que Det	A = 0. Justifique. 
[1.5] b) Considere Det	B = 5, sendo B uma matriz de 2x2. Calcule #Det	A$#Det	B$. Diga se Det	#AB$ = #Det	A$. #Det	B$. Justifique. 
 
 
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[3.0 valores] 3. Considere a matriz Anxn Ortogonal (isto é, A
-1
=A
T
). 
[1.5] a) Mostre que Det	A = 1 ou Det	A = −1. 
[1.5] b) Considere n=4. Calcule o Det	3A, no caso em que Det	A = 1. 
 
 
 
 
 
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[4.0 valores] 4. Considere o seguinte sistema de vetores &#0,1,1$;	#1,1,0$; #1,2,3$( 
[2.0] a)Mostre que o sistema forma uma base do espaço ℝ). 
[2.0] b) Considere o vetor #4,3,2$ deℝ), com coordenadas na base canónica. Utilizando a matriz 
de mudança de base determine as coordenadas do vector na base da alínea anterior. 
 
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[6.0 valores] 5. Considere a transformação T:	ℝ)→ℝ) definida como: *#+, ,, -$ = #5+ − 4-, 5, + 5-,−-$ 
[1.0] a)Apresente a matriz da Transformação. 
[1.0]a)Diga em que condições se tem *#+, ,, -$ = #5,4,3$. 
[1.0] b) Determine o Núcleo da Transformação e a sua dimensão. Diga se T é invertível. 
[1.0] b) Determine os valores próprios e os vetores próprios da Transformação. 
[2.0] b) Apresente uma matriz diagonal para a transformação, caso exista. Diga em que base se 
encontra representada. 
 
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Folha de Rascunho