Apostila 2015

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Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul 
DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias 
Disciplina do NCT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: ________________________________________________________________________ 
 
 
Professora: Cláudia Piva 
Email: cpivaa@gmail.com 
 
Referências Bibliográficas 
 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. 1. 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. 2. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra&Row do Brasil, 1994. v. 2. 
 
 
 
 
 
Ijuí (RS) 
 
 
 
2 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 
 
Uma função racional f(x) é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja,
( )
)x(q
)x(p
xf = , onde p(x) e q(x) são polinômios. As integrais de algumas funções racionais simples, 
como por exemplo: 
13x6x
1
,
1x
x2
,
1x
1
,
x
1
2222 ++++
, 
são imediatas ou podem ser resolvidas por substituição, conforme vistas anteriormente. 
Vamos verificar um procedimento para calcular a integral de qualquer função racional. A 
ideia básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples. Para isto, 
usaremos um resultado importante da Álgebra, que é dado na proposição seguinte. 
Proposição: Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um 
produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. 
 Por exemplo, o polinômio ( ) 2x3xxq 2 +−= pode ser escrito como um produto de fatores 
lineares, ou seja, ( ) ( )( )1x2xxq −−= . 
Outros exemplos: 
� ( ) ( ) ( )2x1x2x5x4xxq 223 ++=+++= 
� ( ) ( )( )1x1x1xxxxq 223 −+=−+−= 
� ( ) ( ) ( )( )4x3x1x12xx35x3x33x3x9xxxq 522345678 +−+=−+−+−+−+= 
 
Seja uma função racional ( )
)x(q
)x(p
xf = . A decomposição de uma função racional em frações mais 
simples depende do modo em que o polinômio q(x) se decompõe em fatores lineares e/ ou 
quadráticos. Se numa função racional o grau de p(x) é maior ou igual a q(x), então podemos dividir 
os polinômios e reescrever da forma ( ) ( ) ( )( )xq
xR
xA
)x(q
)x(p
xf +== . 
 
Caso 1:Os fatores de q(x) são lineares e distintos, isto é, não se repetem. 
Neste caso podemos escrever ( ) ( )( ) ( )n21 axaxaxxq −−−= L , onde n,,1ai L= , são distintos 
dois a dois. 
A decomposição da função racional ( )
)x(q
)x(p
xf = em frações mais simples é dada por: 
3 
 
( ) ( ) ( ) ( )n
n
2
2
1
1
ax
A
ax
A
ax
A
xf
−
++
−
+
−
= L , onde n21 A,,A,A L são constantes que devem ser 
determinadas. 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
dx
ax
1
A...dx
ax
1
Adx
ax
1
A
dx
ax
A
ax
A
ax
A
dx
xq
xp
dxxf
n
n
2
2
1
1
n
n
2
2
1
1
∫∫∫
∫∫ ∫
−
++
−
+
−
=





−
++
−
+
−
== L
 
CalculemosI= ∫
−
dx
ax
1
i
 
Fazendo 
i
axu −= ; então, I= CaxlnCulndu
u
1
dx
ax
1
i
i
+−=+==
−
∫∫ , logo: 
( ) CaxlnA...axlnAaxlnAdxxf nn2211 +−++−+−=∫ 
 
onde n21 A,,A,A L são constantes a determinar. 
 
Exemplos 
 
1) ∫
−+
dx
2xx
1
2 
 
4 
 
2) ∫
−−
dx
4x3x
x5
2 
 
5 
 
3) ∫
−+
+
dx
)3x)(1x(
1x2
 
 
6 
 
4) ∫
−−
+
dx
4x3x
1x5
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Caso 2: Os fatores Q(x) são todos lineares e alguns se repetem. 
 
Se algum fator linear ( )iax − de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma 
soma de frações parciais da forma: 
( ) ( ) ( )i
r
1r
i
2
r
i
1
ax
B
ax
B
ax
B
−
++
−
+
−
−
L , onde r21 B,,B,B L são constantes que devem ser determinadas. 
 
Exemplos 
1) ∫
−
−
dx
)2x(x
1x
2
2
 
 
8 
 
2) ∫ +−
−
dx
4x4x
10x3
2
2
 
 
9 
 
3) ∫
−+
+−
dx
)3x)(1x(
4x10x2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução dos exercícios da Lista 02
10 
 
INTEGRAIS DE PRODUTOS E POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Exemplos 
a) ∫ dx)xcos()x(sen 
 
 
 
 
 
 
 
b) ∫ dx)x3cos()x3(sen
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ∫ dx)x2(cos)x2(sen
3 
 
 
 
 
 
 
 
d) ∫ dx)x(sec)x(tg
23 
 
 
 
 
 
 
 
e) ∫ dx(x)cossec(x)cotg
24 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Em outras situações como por exemplo, ( )∫ dxxcos3 , ( )∫ dxxsen2 , ( ) ( )∫ dxxcosxsen 32 , 
( )∫ dxxtg 4 , ( )∫ dxxsec3 e ( )∫ dxxseccos 4 iniciamos o processo, utilizando identidades 
trigonométricas elementares (ver formulário). 
 
 
SENO E COSSENO 
 
Caso 1. ∫ duusen
n ou ∫ duucos
n onde n é um número inteiro ímpar 
 
Dica: expandimos o expoente de modo a ficar com )u(sen2 ou )u(cos2 . 
Usamos xsen1xcos,xcos1xsenentão,1xcosxsen 222222 −=−==+ . 
 
Exemplos 
1) ( )∫ dxxcos3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ( )∫ dxx4sen5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Caso 2. ∫ duusen
n ou ∫ duucos
n onde n é um número par 
 
Usamos: 
2
)x2(cos1
)x(sen 2
−
= ou
2
)x2(cos1
)x(cos2
+
= 
 
Exemplos 
 
1) ∫ dx)x(sen
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ∫ dx)x3(cos
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Caso 3. ∫ dxxcosxsen
mn ondepelo menos um dos expoente é ímpar (abre-se o expoente ímpar e 
substitui-se). 
Usamos xsen1xcos,xcos1xsenentão,1xcosxsen 222222 −=−==+ . 
 
Exemplos 
1) ∫ dxxcosxsen
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ∫ dx)x2(cos)x2(sen
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Caso 4. ∫ dxxcosxsen
mn onde m e n são pares 
Usamos: 
2
)x2(cos1
)x(sen 2
−
= ou 
2
)x2(cos1
)x(cos2
+
= 
 
Exemplos 
1) ∫ dx)x(cos)x(sen
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ∫ dx)x3(cos)x3(sen
22 
 
 
 
15 
 
3) ∫ dx)x(cos)x(sen
42 
 
 
16 
 
TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE 
 
Caso 1. ∫ ∫ du)u(gcotoudu)u(tg
nn ninteiro positivo. 
Usamos: );1u(secutgutg 22nn −= −
).1usec(cosugcotugcot 22nn −= −
 
Exemplo: ∫ dx)x(tg
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2. ∫ ∫ positivoparndu)u(seccosoudu)u(sec
nn 
Usamos: usec)1utg(usec 22
2n
2n
−
+= ucossec1)u(cotgucossec 22
2n
2n
−
+= 
 
Exemplo: ∫ dx)x(seccos
4 
 
 
 
 
 
17 
 
Caso 3. ∫ ∫ du)u(seccosoudu)u(sec
nn nímpar positivo. 
Usamos Integração por partes. 
 
Exemplo: ∫ dx)x(sec
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estes exemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolve 
produtos ou potências de funções trigonométricas é necessário, em primeiro lugar, transformar a 
função a integrar por meio de identidades trigonométricas conhecidas, para depois usar alguns dos 
métodos. 
 
 
Resolução dos exercícios da Lista 03 
18 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
A substituição trigonométrica é utilizada para resolvermos integral que contém expressões 
como: 222 uba − , 222 uba + e 222 aub − . É possível resolver estas integrais fazendo uma 
substituição trigonométrica, que resulta em uma integral de funções trigonométricas. Podem 
ocorrer as seguintes situações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos1) ∫
+ 9xx
dx
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ɵ( Ɵ( Ɵ( 
19 
 
2) ∫
−
dx
x
x2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
3) ∫
− 4x9x
dx
23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução dos exercícios da Lista 04 
 
21 
 
FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 
 
 
 
 
O domínio de uma função são todos os pontos onde a função está definida. 
Exemplos: Determine o domínio de cada uma das funções dadas abaixo. 
1) 
x
1
)x(f = 
 
2) 
x
1
)x(f = 
 
 
3) 
3 x
1
)x(f = 
 
 
4) )xln()x(f = 
 
 
 
5) 
4x
3
)x(f
2
−
= 
 
 
6) 1x)x(f 2 −= 
 
 
 
Variável independente 
Variável dependente 
y = f(x) 
22 
 
Algumas curvas e suas equações 
 
1) circunferência 
 
222
ryx =+
 
r = raio
 
 
 
2) Elipse 
 
cbyax
22
=+
 
a, b e c são constantes não nulas 
 
 
3) Hipérbole 
cbyax
22
=−
 
ou 
cbyax
22
=+−
 
a, b e c são constantes não nulas 
 
 
 
 
4) Parábola 
cbyax =+2
 
ou 
cbyax =+ 2
 
a, b e c são constantes não nulas 
 
 
 
 
5) Reta 
 
cbyax =+
 
a, b e c são constantes não nulas 
 
23 
 
 
FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma quantidade é 
determinada por outras quantidades, de maneira única. Através das funções de várias variáveis 
poderemos modelar uma grande quantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência. 
 
São exemplos de funções de duas ou mais variáveis. 
 
1) O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso por: 
2
A
P
)A,P(IMC = 
ondeP é o peso em quilos e A a altura em m. O IMC indica se uma pessoa está acima ou abaixo do 
peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS (Organização Mundial da Saúde) 
 
Condição IMC 
Abaixo do peso 
Peso normal 
Acima do peso 
Obeso 
< 18.5 
18.5 ≤ IMC ≤ 25 
25 < IMC ≤ 30 
> 30 
 
2) Um circuito elétrico simples é constituído de 4resistores como na figura: 
 
A intensidade da corrente Ineste circuito é função das resistências Ri(i = 1; 2; 3; 4) e da tensão da 
fonte E; logo: 
4321
4321
RRRR
E
)E,R,R,R,R(I
+++
= 
 
3) Área do retângulo ⇒ A = f(x,y) = x.y 
4) Função polinomial ⇒ 10xy5y3x2)y,x(fz 22 +−+== 
5) Volume de um paralelepípedo ⇒ V = f(x,y,z) = x.y.z 
6) Função polinomial ⇒ xyz2xz5xy3x2)z,y,x(fW 222 +−+== 
 
 
FUNÇÕES NO R3 
 
 Se uma variável “z” depende de duas outras “x e y”, de tal forma que a cada par (x,y) 
associamos um único valor para “z”, temos uma função de duas variáveis z = f(x,y). 
24 
 
 As variáveis “x e y” são chamadas variáveis independentes e a variável “z” é chamada de 
variável dependente. 
 
DOMÍNIO E IMAGEM NO R3 
 
Uma função de duas variáveis pode ser representada graficamente como uma superfície no 
espaço, fazendo-se z = f ( x, y ). Ao fazer o gráfico de uma função de x e y, tenha em mente que, 
embora o gráfico seja tridimensional, o domínio da função é bidimensional – consiste nos pontos 
do plano xy para os quais a função é definida. 
 O conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem a função z formam um conjunto, chamado 
“domínio da função” e o conjunto de todos os valores possíveis de z, o que pode ser obtido 
aplicando a relação z aos pares ordenados (x,y) no domínio D, é denominado “imagem da função”. 
 
Exemplos.Considere cada uma das funções dada, determine e represente graficamente o conjunto 
domínio da função. 
 
1) 22 yx9z −−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
yx
x
)y,x(f
−
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) )xyln()y,x(f −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
4) 
1yx
y
)y,x(f
22
−+
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
1yx
y
)y,x(f
22 ++
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO 
 Definimos o gráfico de uma função de duas variáveis como sendo o conjunto de todos os 
pontos (x,y,z) no espaço tridimensional, tal que (x,y) pertença ao domínio D de f. 
 Sabemos que o domínio de z = f(x,y) está contido em R2 (D ⊂ R2) e a imagem (valores de z) 
está contida em R (Im⊂ R). O gráfico da função G(f) ⊂ R3, isto é: 
 
G(f) = {(x,y,z) ∈ R3 / z = f(x,y)}. 
 
 O gráfico, G(f) pode ser um plano ou uma superfície curva no espaço tridimensional. 
 
O gráfico de f é uma superfície cuja projeção perpendicular ao plano xy é o domínio D. 
 
Para esboçarmos o gráfico de uma função de duas variáveis: 
 1) determinamos o domínio da função e a representação deste domínio; 
 2) encontramos os pontos de intersecção com os eixos; 
 3) encontramos as curvas de intersecção com os planos coordenados. 
 
 
Para auxiliar na visualização do gráfico de z podemos realizar as intersecções com os eixos e com os 
planos coordenados. 
26 
 
 
Representando graficamente a função 22 yx9z −−= 
Intersecção com os eixos 
Eixo x Eixo y Eixo z 
 
 
Intersecção com os planos coordenados 
 
Plano xy Plano xz Plano yz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 
 
 
 
 
27 
 
CURVAS DE NÍVEIS 
 
Outro método de representar uma função de duas variáveis geometricamente é simular a 
representação de uma paisagem tridimensional por um mapa topológico bidimensional. 
Suponha que a superfície z = f(x, y) seja interceptada por um plano z = k e que a curva de 
interseção seja projetada no plano xy. A curva projetada tem por equação f(x, y) = k e é chamada de 
curva de nível (ou curva de contorno) da função f em k. 
Representando no plano xy conjuntamente várias destas curvas, todas do tipo h=constante 
obtemos um mapa topográfico da região. As curvas h = k (constante) são chamadas curvas de nível 
constante, ou somente curvas de nível da função h. 
 
No exemplo da função 22 yx9z −−= 
 
 
 
 
 
No caso de )y,x(f representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular 
importância, recebendo inclusive denominações especiais: 
(a) Se )y,x(f é a temperatura do ponto (x, y) de uma chapa plana, as curvas )y,x(f = c são 
chamadas isotermas. 
(b) Se )y,x(f é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas )y,x(f = c são 
chamadas isóbaras. 
(c) Se )y,x(f é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xy, as curvas )y,x(f = 
c são chamadas equipotenciais. 
 
Exemplos 
1) O potencial elétrico em uma região do plano xy é dado por 
22
yx
120
)y,x(V
+
= . 
(a) qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 30; 
 
(b) determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (1, 1); 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A temperatura T em um ponto (x, y) em uma placa de metal plana é dada por 
( ) 22 y2x4)y,xT += . Trace as isotermas de T em8, 4, 1 e 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
3) Determine as curvas de níveis das funções 
a) yxz += para k = 1, 2, 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 22 yxz −= para k = 1, 4, 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 No estudo de limites de funções de uma variável verificamos que dada uma função )x(fy = , 
a teoria dos limites estuda a que valor tende y, na medida em que x tender a um determinado valor 
x0. Se x → x0tanto pela direita como pela esquerda e y tender a um mesmo valor L então dizemos 
que ( ) Lxflim
0xx
=
→
. 
Tratando-se com limites de funções de duasvariáveis devemos supor que (x, y) se aproxima 
de (xo, yo) não apenas pela direita e pela esquerda, mas por qualquer direção. 
Dizer que L)y,x(flim
oyy
oxx
=
→
→
significa que quando(x, y) tende a (xo, yo) por qualquer direção, 
f(x,y) tende a L. 
Exemplos. Analise o limite das funções dadas abaixo 
 
1) y4x2lim
3y
2x
+
→
→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
yx
1
lim
0y
0x +
→
→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indeterminações: ∞ - ∞;∞ . 0; 
0
0
; 
∞
∞
; 00, ±∞1 ; 0∞ 
Nos casos de indeterminações, podemos analisar a existência do 
limite, traçando infinitos caminhos que passam pela origem, então 
usaremos o caminho y = ax, a ∈ R*, isto significa seguirmos por 
todas as retas que passam pela origem. 
 
 
 
 
31 
 
Exemplos 
1) Seja f(x,y) a função 
22
2
y3x3
yx2
)y,x(f
+
= . Verificar a existência do limite se (x,y) → (0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Seja f(x,y) a função definida por 
22
22
yx
yx
)y,x(f
+
−
= . Verificar a existência do limite se (x,y) → (0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 Uma função f(x,y) é contínua em um ponto (xo,yo) se e somente se; 
 i) ∃ f(xo,yo); 
 
 ii) )y,x(flim
)oy,ox()y,x( →
∃ ; 
 
 iii) )y,x(f)y,x(flim oo
)oy,ox()y,x(
=
→
. 
 
Exemplos 
1) Seja 5yx)y,x(f 22 ++= , verifique a continuidade em (0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Verifique a continuidade da função em (0,0), 




=
≠
+=
)0,0()y,x(se0
)0,0()y,x(se
yx
1
)y,x(f 22 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução dos exercícios da Lista 05 
 
33 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
Nas aplicações das funções de várias variáveismuitas vezes énecessário determinar como 
uma função se comporta diante da variação de uma de suas variáveis independentes. O 
comportamento em questão pode ser estudado considerando-se uma variável de cada vez. 
Seja z = f(x, y)uma função das variáveis independentes x e y. Como x e y são independentes, 
x pode variar permanecendo y constante, assim como y pode variar permanecendo x constante e “x, 
y” podem variar simultaneamente. 
 Para analisar o comportamento das funções de duas variáveis(se z cresce ou decresce) pode-
se escolher uma direção e calcular a taxa de variação de z = f(x,y) ou seja, trata-se de calcular a 
derivada na direção escolhida. 
 
Escolhendo a direção “x” e derivando z = f(x,y) considerando “x” como variável e “y” como 
constante, temos a derivada parcial de f em relação a x. 
A notação utilizada é 
xx
fD
x
f
x
z
==
∂
∂
=
∂
∂
 
Escolhendo a direção “y” e derivando z =f(x,y) considerando “y” como variável e “x” como 
constante, temos a derivada parcial de f em relação a y. 
A notação utilizada é 
yy
fD
y
f
y
z
==
∂
∂
=
∂
∂
 
 
Exemplos 
1) Determine as derivadas parciais da função 32 y5yxz += . 
 
a) 
x
z
∂
∂
 
 
 
 
b) 
y
z
∂
∂
 
 
 
2) Seja 32 yxz += determine o valor de: 
 
a) )2,3(
x
z
−
∂
∂
 
 
 
 
b) )2,3(
y
z
−
∂
∂
 
 
 
34 
 
3) Seja 2y4x)y,x(f 22 −+= determine 
 
 
a) 
x
f
∂
∂
 
 
 
 
 
b) 
y
f
∂
∂
 
 
 
 
 
4) Seja )y3xln(e)y,x(f 2x2 += determine 
 
 
a) 
x
f
∂
∂
 
 
 
 
 
b) 
y
f
∂
∂
 
 
 
 
5) Seja 
1y
x3
)y,x(f
2
+
= determine 
 
 
a) 
x
f
∂
∂
 
 
 
 
 
b) 
y
f
∂
∂
 
 
 
Interpretação Geométrica das derivadas parciais
 
Da mesma forma que para uma função de uma variável, a derivada parcial corresponde ao 
coeficiente angular de uma reta tangente a uma superfície z=f(x,y) quando esta é interceptada pelos 
planos. 
As derivadas parciais de f(a,b) são as inclinações das retas 
tangentes C1 e C2. A curva C1 é o gráfico da função g(x)= f(x,b), 
de modo que a inclinação da tangente T
curva C2 é o gráfico da função G(y)= f(a,y), de modo que a 
inclinação da tangente T2 em P é G’(b)= f
Então, as derivadas parciais fx(a,b) e f
interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em P(a, b, c) aos traços C
C2de S nos planos y = b e x = a. 
 Ou, dito de outra forma, nas funções do tipo f(x,y), a derivada em relação a x, mede a 
inclinaçõa da reta tangente à superfície, no ponto dado e numa seção paralela ao eixo x, com y 
constante, e numa seção paralela a y com x constante. 
 
Assim : 
x
fyxf x ∂
∂
== ),()tan( 00α 
 
y
fyxf x ∂
∂
== ),()tan( 00β 
 
 
 
 
 
 
Se o plano fixo for y, termos y = b
 
 
y 
y = b 
Interpretação Geométrica das derivadas parciais 
Da mesma forma que para uma função de uma variável, a derivada parcial corresponde ao 
coeficiente angular de uma reta tangente a uma superfície z=f(x,y) quando esta é interceptada pelos 
As derivadas parciais de f(a,b) são as inclinações das retas 
é o gráfico da função g(x)= f(x,b), 
de modo que a inclinação da tangente T1 em P é g’(a)= fx(a,b). A 
é o gráfico da função G(y)= f(a,y), de modo que a 
em P é G’(b)= fy(a,b). 
(a,b) e fy(a,b) podem ser 
interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em P(a, b, c) aos traços C
Ou, dito de outra forma, nas funções do tipo f(x,y), a derivada em relação a x, mede a 
inclinaçõa da reta tangente à superfície, no ponto dado e numa seção paralela ao eixo x, com y 
constante, e numa seção paralela a y com x constante. 
for y, termos y = b e o coeficiente angular da reta tangente será dado por 
 
A equação da reta será dada por 
 
( )
oo
xxmzz −=− 
 
 
 
 
35 
Da mesma forma que para uma função de uma variável, a derivada parcial corresponde ao 
coeficiente angular de uma reta tangente a uma superfície z=f(x,y) quando esta é interceptada pelos 
interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em P(a, b, c) aos traços C1 e 
Ou, dito de outra forma, nas funções do tipo f(x,y), a derivada em relação a x, mede a 
inclinaçõa da reta tangente à superfície, no ponto dado e numa seção paralela ao eixo x, com y 
e o coeficiente angular da reta tangente será dado por 
x
f
m
∂
∂
= 
A equação da reta será dada por 
 
 
Se o plano fixo for x, termos x = a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Encontre a equação da reta tangente à curva de interseção da superfície 
no ponto P(1, 1, 1) com os planos:
a) x =1 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = 1 
 
 
 
 
x 
plano fixo for x, termos x = a e o coeficiente angular da reta tangente será dado por 
A equação da reta será dada por 
(
o
ymzz =−
Encontre a equação da reta tangente à curva de interseção da superfície 
1) com os planos: 
 
x = a 
36 
e o coeficiente angular da reta tangente será dado por 
y
f
m
∂
∂
= 
A equação da reta será dada por 
)
o
yy − 
Encontre a equação da reta tangente à curva de interseção da superfície 22 24 yxz −−=
 
37 
 
Derivada de ordem superior 
Como em funções de uma variável, derivada parcial sucessiva, significa derivar novamente uma 
função que anteriormente já foi derivada (derivar a derivada). 
• Derivada parcial de fx em relação a x será dada por: fxx ou 2
2
x
f
∂
∂
 
• Derivada parcial de fy em relação a y será dada por: fyy ou 2
2
y
f
∂
∂
 
• Derivada parcial de fx em relação a y será dada por: fxy ou 
xy
f2
∂∂
∂
 (
←
∂∂
∂
→ xy
f
ouf
2
xy ) 
• Derivada parcial de fy em relação a x será dada por: fyx ou 
yx
f2
∂∂
∂
 (
←
∂∂
∂
→ yx
f
ouf
2
yx) 
 
 
Teorema de Schwartz: Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y, e fx, fy, fxy e fyxsuas 
derivadas parciais. Sefxy e fyx sejam contínuas então: 
 
fxy = fyx 
 
 
Exemplos 
1) Determinefxx, fyy, fxy e fyx da função 22 xyyx)y,x(f += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinefxx, fyy, fxy e fyx da função yey)y,x(f x2 += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Equação de Laplace: Seja u = u(x, y)uma função duas vezes diferenciável. A equação de Laplace é: 
0
y
u
x
u
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 
A equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827) está associada a fenômenos 
estacionários, isto é, independentes do tempo, como por exemplo, potenciais eletrostáticos. As 
soluções desta equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de 
condição de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. 
 
Exemplos 
 
1) Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace. 
a) xy2yxu 22 +−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) )xcos(e)y(seneu yx += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Equação da onda: Seja u = u(x, t) uma função duas vezes diferenciável. A equação homogênea da 
onda é 
2
2
2
2
2
x
u
c
t
u
∂
∂
=
∂
∂
onde 0c > (c é chamada a velocidade de propagação da onda). 
A equação da onda descreve o movimento de uma onda, que pode ser uma onda do mar, uma onda 
de som, uma onda luminosa ou uma onde se movendo numa corda vibrante. 
 
 
Exemplo:Mostre que a função )x(sen)tc(sen)t,x(u ωω= satisfaz a equação da ondapara todos os 
valores reais de ω . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução dos exercícios da Lista 06 
40 
 
REGRA DA CADEIA 
 
Temos duas situações a considerar: 
 
� Seja z uma função de duas variáveis x e y com z = f(x, y) e x = g(t) e y = h(t), dessa forma “z” 
torna-se uma função a uma única variável “t”, isto é, z = f(x, y) = f[g(t), h(t)] e a derivada de z em 
relação a t será dada por: 
 
td
yd
.
y
z
td
xd
.
x
z
td
zd
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Seja z = 
22
yx + onde x = 2t + 1 e y = t3 encontre 
td
zd
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
2) O raio de um cilindro circular reto esta aumentando a uma taxa de 6 cm/min e sua altura 
diminuindo a uma taxa de 4 cm/min. Determine a taxa de variação do volume quando o raio e 
a altura tiverem exatamente 12 e 36 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A que taxa esta variando o volume de uma caixa retangular se seu comprimento é de 8 cm e está 
aumentando a 3 cm/s, sua altura é de 6 cm e está aumentando a 2 cm/s e sua altura é de 4 cm e 
esta aumentando a 1 cm/s? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
� Seja z uma função de duas variáveis x e y com z = f(x,y) e x = g(u,v) e y = h(u,v), então 
z=f(x,y)=f[g(u,v),h(u,v)] e a derivada parcial de “z” em relação a “u” e “v” será dada por: 
 
u
y
.
y
z
u
x
.
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 
v
y
.
y
z
v
x
.
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 
Exemplo 
1) Seja z = 22 yx − onde x = u cos(v) e y = v sen(u) determine 
u
z
∂
∂
 e 
v
z
∂
∂
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Exercícios – Lista 07 
43 
 
DERIVADA DIRECIONAL 
Suponha que estamos numa ladeira de uma montanha e desejamos determinar a inclinação 
da montanha na direção do eixo do z. Se a montanha fosse representada pelo gráfico da função z = 
f(x, y), então, já saberíamos determinar a inclinação em duas direções diferentes, a saber, na 
direção do eixo do x utilizando ( )
xfy,x
x
f
=
∂
∂
e na direção do eixo do y utilizando ( ) yfy,x
y
f
=
∂
∂
. 
Veremos como utilizar derivada para determinar a inclinação em qualquer direção; para isto 
definimos um novo tipo de derivada chamada direcional. Generalizamos a definição de derivada 
parcial para obter a taxa de variação de uma função em relação à distância em qualquer direção. 
 
Suponha que queiramos calcular a taxa de variação instantânea de uma função f(x,y) em 
relação à distância num certo ponto (x0, y0) em alguma direção. Como há uma infinidade de 
direções nas quais um ponto pode se mover no plano (x0, y0), precisamos de algum método para 
descrever uma direção especificada começando em (x0, y0). Uma maneira de fazer isso é usar um 
vetor unitário juiuu 21
rvv
+= que tenha ponto inicial em (x0, y0) e aponte na direção desejada. 
 
 
Definição: Se f(x,y) for diferenciável em (x0, y0) e se juiuu 21
rvv
+= for um vetor unitário, então a 
derivada direcional Duf(x0, y0) existe é é dada por 
 
200y100x00u u)y,x(fu)y,x(f)y,x(fD += 
 
Como o vetor unitário pode ser expresso por jsenicosu
rvv θ+θ= onde θ radianos é o ângulo do eixo 
x positivo para u
v
então, a derivada direcional pode ser expressa por: 
 
θ+θ= sen)y,x(fcos)y,x(f)y,x(fD 00y00x00u
 
 
OBS.: Notemos que na definição de derivada direcional o vetor deve ser unitário. A razão disto é a 
seguinte: se o vetor não fosse unitário, a derivada direcional não dependeria somente do ponto e 
da direção, mas também do comprimento do vetor. 
 
 
Geometricamente )y,x(fD
00u
 pode ser interpretada comoa inclinação da superfície z=f(x,y) na 
direção de u
v
 no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).Em geral o valor da derivada direcional dependerá tanto do 
ponto quanto da direção e sentido do vetor. 
 
 
Analiticamente, a derivada direcional representa a taxa de variação instantânea dez=f(x,y) em 
relação à distância na direção e sentido do vetor no ponto (x0, y0). 
 
 
 
 
44 
 
Exemplo 
1) Seja z = x
2
 + y
2
, encontre Duf no ponto (3, 2), na direção 
4
pi
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Seja x4yx3z 22 +−= e u
v
 o vetor unitário na direção de 
6
pi
,encontre Duf no ponto (1, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja 22 y2xyx3z −+= encontre a taxa de variação de z em (1, -2) na direção do vetor 
j2i2u
rvv
−= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
GRADIENTE 
 
Há inúmeras aplicações nas quais o movimento de um objeto deve ser controlado de 
forma que se mova em direção a uma fonte de calor. Por exemplo, em aplicações médicas, a 
operação de certos equipamentos para diagnósticos é projetada para localizar fontes de 
calor geradas por tumores ou infecções. 
 
 
Definição: Se f é uma função de duas variáveis x, y e se yx fef existem, então o gradiente 
de f denotado por ∇f (“Del” ou “nabla” (harpa em grego)) e é dado por: 
 
( ) ( ) ( ) jy,xfiy,xfy,xf yx rr +=∇ e representa um vetor normal a superfície f(x,y). 
 
 
Observações geométricas sobre o vetor gradiente 
• O gradiente indica em cada ponto P, a direção, no plano xy, em que a derivada 
direcional é máxima. O valor dessa derivada direcional máxima em P é |∇f|. 
• O vetor oposto ao gradiente indica a direção em que a derivada direcional é mínima. 
O valor dessa derivada direcional mínima em P é -|∇f|. 
• Em cada ponto, o vetor unitário, perpendicular ao gradiente (u.∇f=0), determina uma 
direção em que a derivada direcional é nula. Isto significa que, nesta direção, a taxa 
de variação de f(x,y) em relação à distância percorrida é nula. 
 
Exemplos 
1.Se 
16
y
16
x
)y,x(f
22
+= encontre o gradiente de f no ponto (4, 3).46 
 
2. A temperatura de uma chapa plana é dada por T(x,y) = x2 + y2 (T em 0C, x e y em cm). 
a) Determine o gradiente da temperatura no ponto (4, 3) e represente graficamente; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine, a partir do ponto (4, 3), a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente 
possível e qual a taxa de crescimento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determine, a partir do ponto (4, 3), a direção em que a temperatura decresce mais rapidamente 
possível e qual a taxa de decrescimento e represente graficamente; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
d) Determine, a partir do ponto (4, 3), em que direção devemos seguir a fim de que a temperatura 
permaneça constante, represente graficamente;. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A temperatura do ar em certa altitude é dada por zyxyzxzxy)z,y,x(f 323232 ++= . Um avião está 
localizado no ponto (-1, 2, 1). Em que direção deve voar para que o motor resfrie o mais 
rapidamente possível? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Exercícios – Lista 08 
 
48 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
Dada a função z = f(x,y) contínua e diferenciável até 2ª ordem em um dado domínio R, dizemos que 
a função terá pontos críticos em Po∈ R se: 
0
y
f
0
x
f
=
∂
∂
=
∂
∂
ou 
fx = 0 fy = 0 
 
A afirmação acima não garante que o ponto Po(xo,yo) seja ponto de máximo ou de mínimo. Para 
verificar se Po é ponto de máximo ou de mínimo é necessário calcular o determinante “D” da matriz 
Hessiana de f; H(x,y) 
 
( )
)oy,ox(
yyxy
xyxx
ff
ff
y,xH 





=
 
 
� Po(xo,yo) é mínimo, se D > 0 e 0f oPxx > ; 
� Po(xo,yo) é máximo, se D > 0 e 0f oPxx < ; 
� Po(xo,yo) é um ponto de sela se D < 0; 
 
� O teste falha se D = 0. Nestes casos a função deve ser investigada nas vizinhanças de Po. 
 
 
Exemplos 
 
Determine os extremos relativos da função: 
 
a) z = 4xy – x
4
 – y
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
máximo 
sela 
mínimo 
49 
 
b) 9yxz 22 +−−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 22 y2xy4x6z −−−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Exercícios – Lista 09 
 
50 
 
INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 
Integral definida de função de uma variável– área de uma região plana 
 
 
 
∫=
b
a
dx)x(fA ∫−=
b
a
dx)x(fA ∫ −=
b
a
dx)]x(g)x(f[A 
 
 
Integral de função de mais de uma variável 
 
Integral dupla – z = f(x, y) em uma região retangular onde a, b, c e d podem ser constantes ou 
variáveis. 
 
∫∫
d
c
b
a
dydx)y,x(f 
 
 
 
 
 
a) Quando 1)y,x(f ≠ a integral dupla fornece o volume sob a superfície f(x, y), ou seja, 
 
∫∫∫∫ =→
R
d
c
b
a
dA)y,x(fVdydx)y,x(f 
 
b) Quando 1)y,x(f = a integral dupla fornece a área de uma região plana 
 
∫∫∫∫∫∫ ==→=
RR
d
c
b
a
dAdxdyAdydxA 
 
 
Solução da integral dupla ou iterada 
 
Resolvemos primeiramente a integral interna em relação a sua variável e depois, com o resultado da 
integral interna, resolvemos a integral externa em relação a sua variável. 
 
dxdy)y,x(fdydx)y,x(f
d
c
b
a
d
c
b
a






= ∫∫∫∫ 
51 
 
Exemplos. Encontre o resultado das integrais abaixo. 
 
1) ∫∫ +
2
0
1
0
dydx)yx( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ∫∫ ++
3
0
2
0
dydx)1yx( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
c) ∫∫
−
3
1
2
1
dydx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) ∫∫ −
R
2 dA)x2y3( onde }3y1e2x1);y,x{(:R ≤≤≤≤− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Teorema: Seja o sólido z = f(x,y) então ∫∫∫∫ =
b
a
d
c
d
c
b
a
dxdy)y,x(fdydx)y,x(f .
 
 
Exemplos. 
a) Verifique a veracidade do teorema para ∫∫
2
1
2
3
0
dydx)yx(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ∫∫ +
R
dA)3x( onde }2y0e1x0);y,x{(:R ≤≤≤≤ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
Integrais duplas com limites de integração não constante 
 
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
)x(g
)x(g
b
a
)x(g
)x(g
b
a
2
1
2
1 







= ∫∫∫∫ 
 
ou
 
dydx)y,x(fdydx)y,x(f
)y(h
)y(h
d
c
)y(h
)y(h
d
c
2
1
2
1 







= ∫∫∫∫
 
 
Exemplos 
1) ∫∫
2x
x
2
0
dxdy)xy( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ∫∫
+1y
y
1
0
dydx)y( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do volumede uma região através de integrais duplas
 
Seja o sólido z = f(x,y) com base limitada na horizontal 
curvas y= g1(x) e y = g2(x), com g
 
De modo semelhante se a região for do tipo 
 
 
Exemplos 
 
1) Calcule ∫∫ +
R
dA)y2x( onde R é a região limitada pelas parábolas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do volumede uma região através de integrais duplas 
o sólido z = f(x,y) com base limitada na horizontal pelas retas x = a e x = b e na vertical pelas 
(x), com g1(x) ≤g2(x) para a < x < b. Neste caso o volume será dado por: 
 
 
 
V= dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
)x(g
)x(g
b
a
)x(g
)x(g
b
a
2
1
2
1 







= ∫∫∫∫
 
 
 
De modo semelhante se a região for do tipo 
 
 
 V = y,x(fdydx)y,x(f
)y(h
)y(h
d
c
)y(h
)y(h
d
c
2
1
2
1 



= ∫∫∫∫
 
 
 
 
 
onde R é a região limitada pelas parábolas 2x2y =
55 
pelas retas x = a e x = b e na vertical pelas 
(x) para a < x < b. Neste caso o volume será dado por: 
dx
 
dydx)y




 
22 x1ye += . 
56 
 
2) Calcule ∫∫
R
2 dA)xy( onde R é a região limitada por yxeyx == . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calculeo volume do sólido limitado por x = 0, y = 0, 2xy +−= , considerando yx)y,x(f 2 += . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
4) Calcule o volume do sólido limitado por pi=== xex
2
1
y;x2y sendo )x(sen)y,x(f = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrais triplas- w = f(x, y, z) 
 
∫ ∫∫
d
c
f
e
b
a
dxdydz)z,y,x(f onde a, b, c, d, e, f podem ser constantes ou variáveis. 
 
 
Quando 1)z,y,x(f = a integral tripla fornece o volume de uma região tridimensional. 
 
∫∫∫∫ ∫∫ =⇒=
S
d
c
f
e
b
a
dVVdxdydz)z,y,x(fV 
 
 
Além do cálculo do volume, as integrais triplas também são usadas para encontrar centro de 
gravidade, momentos de inércia, carga elétrica total, etc. 
 
 
 
58 
 
Solução da integral tripla 
 
Resolvemos de forma semelhante a uma integral dupla, ou seja, resolvemos primeiro a integral 
interna em relação a sua variável e logo depois as outras duas em relação as suas variáveis. 
 
=∫ ∫∫
d
c
f
e
b
a
dxdydz)z,y,x(f dxdydz)z,y,x(f
d
c
f
e
b
a 













∫ ∫∫
 
 
 
Exemplos 
 
1) Calcule ∫ ∫∫
−
2
1
3
0
2
1
0
dxdydz)xyz( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
2) Calcule∫ ∫∫
−
+
++
x
1
yx
0
1
0
dxdydz)zyx( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule o volume expresso por ∫ ∫∫
−
y z
dydzdx
1
3
0
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Exercícios – Lista 10 
 
TÓPICOS DE CÁLCULO VETORIAL
 
Campo vetorial –associa um vetor
Campos vetoriais são geralmente utilizados na
velocidade e a direção de um 
de alguma força,tal como a força
ponto. 
 
a) No plano: é uma função que associa a cada ponto P do plano, um único vetor 
ao plano. 
 
( ) j)y,x(giy,xf)P(F vvv +=
 
Um exemplo de representação de um campo vetorial no R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) No espaço:é uma função que associa a cada 
 
( ) y,x(giz,y,xf)P(F vv +=
 
Um exemplo de representação de um campo vetorial no R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICOS DE CÁLCULO VETORIAL 
vetor a um ponto no plano ou um ponto no espaço.
Campos vetoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a 
 fluido se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção 
a força magnética ou gravitacional, com seus 
uma função que associa a cada ponto P do plano, um único vetor 
v
ou ))y,x(g),y,x(f()P(F =
v
 
Um exemplo de representação de um campo vetorial no R2. 
é uma função que associa a cada ponto P do espaço, um único vetor 
k)z,y,x(hj)z,y
vv
+
 
Um exemplo de representação de um campo vetorial no R3. 
60 
um ponto no plano ou um ponto no espaço. 
para indicar, por exemplo, a 
se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção 
 valores de ponto em 
uma função que associa a cada ponto P do plano, um único vetor F(P) paralelo 
, um único vetor F(P). 
61 
 
 
 
Exemplos 
Determine a imagem dos pontos A(2,3), B(-1, 0) e C(-2, 1), considerando a função vetorial 
correspondente. 
 
1) iy
5
1
)P(F
v
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) jxiy)P(F
vv
+−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 222 zyx
kzjyix
)P(F
++
++
=
vvv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
Representação gráfica de um campo vetorial 
 
Um campo vetorial pode ser visto geometricamente desenhando-se os vetores representativosda 
função vetorial em pontos específicos. Estas representações requerem um volume substancial de 
cálculo, de modo que são geralmente gerados computacionalmente. 
 
Exemplos dos campos vetoriais exemplificados anteriormente, gerados no Winplot. 
 
iy
5
1
)P(F
v
= 
jxiy)P(F
vv
+−=
 222 zyx
kzjyix
)P(F
++
++
=
vvv
 
 
Campos Gradiente 
 
Uma classe importante dos campos vetoriais surge do processo de calcular gradientes, então: 
 
a) No plano 





∂
φ∂
∂
φ∂
=φ∇
y
,
x
ou j
y
i
x
vv
∂
φ∂
+
∂
φ∂
=φ∇ 
b) No espaço 





∂
φ∂
∂
φ∂
∂
φ∂
=φ∇
z
,
y
,
x
ou k
z
j
y
i
x
vvv
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
=φ∇ 
 
Em cada ponto de um campo gradiente em que 0
v
≠φ∇ , o vetor aponta na direção em que é 
máxima a taxa de aumento de φ . 
 
Exemplo: Esboce o campo gradiente de yx)y,x( +=φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
Divergência e Rotacional 
 
São operações relacionadas a campos vetoriais no espaço tridimensional. Ambas surgiram 
no estudo de fluidos. 
 
Divergência – refere-se à maneira como o fluido flui para afastar-se de um ponto. 
 
Definição 1 -Se ( ) k)z,y,x(hj)z,y,x(gi)z,y,x(fz,y,xF vvv ++= , definimos a divergência de F, 
denotada por Div F, como a função dada por: 
 
z
h
y
g
x
fFDiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
 
Rotacional – refere-se às propriedades de rotação do fluido num ponto. 
 
Definição 2 - Se ( ) k)z,y,x(hj)z,y,x(gi)z,y,x(fz,y,xF vvv ++= , definimos rotacional de F, 
denotada por rotF, como o campo vetorial dado por: 
 
k
y
f
x
g
j
x
h
z
f
i
z
g
y
h
Frot
vvv






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
= 
 
ou então através do produto vetorial (determinante da matriz) 
 
hgf
kji
Frot zyx ∂∂∂∂∂∂=
vvv
 
 
 
Exemplo 
Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial ( ) kyxjzxizyxz,y,xF 2223 vvv ++= no 
ponto P(2, 1, -1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de Exercícios- Lista 11