Função de Transferência Modelos Entrada Saída

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Função de Transferência
Modelos Entrada-Saída
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Roteiro
1 Função de Transferência de Processos SISO
2 Função de Transferência de Processos MISO
3 Função de Transferência de Processos MIMO
Sem Interação
Com Interação
4 Pólos e Zeros de Função de Transferência
Modelo Ganho-Zero-Pólo
5 Exemplos
Tanque de Nível
Tanque de Mistura
Tanque de Mistura Térmica
Tanques de Nível Sem Interação
Tanques de Nível Com Interação
Reator Bioquímico
6 Atividades Complementares
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Função de Transferência de Processos SISO
A Função de Transferência relaciona a Transformada de Laplace de
uma variável resposta (saída ou efeito) com a Transformada de Laplace
de uma variável de entrada (perturbação ou manipulada ou carga ou
causa). Ela é obtida a partir do modelo linear do processo, esquemati-
zado como
P r o c e s s o
S I S O
e n t r a d a
u ( t )
s a í d a
y ( t )
e a seguinte equação diferencial da forma geral
an
dny
dtn
+ an−1
dn−1y
dtn−1
+ · · ·+ a1dydt + a0y = bu
onde y (i)(0) = y (i)(t = 0) = 0.
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Função de Transferência de Processos SISO
continuação
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação
diferencial
ansnY (s) + an−1sn−1Y (s) + · · ·+ a1sY (s) + a0Y (s) = bU(s)
(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0)Y (s) = bU(s)
Y (s)
U(s) = G(s) =
b
ansn+an−1sn−1+···+a1s+a0 → função de transferência
G ( s )e n t r a d aU ( s )
s a í d a
Y ( s )
a n s n + a n - 1 s n - 1 + . . . + a 1 s + a 0
bU ( s ) Y ( s )
D i a g r a m a d e B l o c o s
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Função de Transferência de Processos MISO
Para um processo MISO, o modelo linear é esquematizado pelo dia-
grama
P r o c e s s o
M I S Ou 2 ( t )
y ( t )
u 1 ( t )
com a seguinte equação diferencial da forma geral, que agora apre-
senta duas entradas, u1(t) e u2(t),
an
dny
dtn
+ an−1
dn−1y
dtn−1
+ · · ·+ a1dydt + a0y = b1u1 + b2u2
onde y (i)(0) = y (i)(t = 0) = 0.
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Função de Transferência de Processos MISO
continuação
Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados da equação
diferencial, e rearranjando
Y (s) =
b1
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0︸ ︷︷ ︸
G1(s)
U1(s) +
b2
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0︸ ︷︷ ︸
G2(s)
U2(s)
Y (s) = G1(s)U1(s) +G2(s)U2(s)
Y (s) =
[
G1(s) G2(s)
] [U1(s)
U2(s)
]
onde G1(s) e G2(s) são as 1×2 funções de transferências do processo
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Função de Transferência de Processos MISO
continuação
G 1 ( s )U 1 ( s )
D i a g r a m a d e B l o c o s
G 2 ( s )U 2 ( s )
Y ( s )++
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Função de Transferência de Processos MIMO
sem interação
Para um processo MIMO, o modelo linear é esquematizado pelo dia-
grama
P r o c e s s o
M I M Ou 2 ( t )
y 1 ( t )u 1 ( t )
y 2 ( t )
que agora apresenta duas saídas, y1(t) e y2(t), e duas entradas, u1(t)
e u2(t).
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Função de Transferência de Processos MIMO
sem interação (continuação)
As seguintes equações diferenciais da forma geral são consideradas:
a1n
dny1
dtn
+ a1(n−1)
dn−1y1
dtn−1
+ · · ·+ a11dy1dt + a10y1 =
b11u1 + b12u2
a2n
dny2
dtn
+ a2(n−1)
dn−1y2
dtn−1
+ · · ·+ a21dy2dt + a20y2 =
b21u1 + b22u2
onde y (i)j (0) = y
(i)
j (t = 0) = 0.
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Função de Transferência de Processos MIMO
sem interação (continuação)
Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados das equa-
ções diferenciais, e rearranjando
Y1(s) =
b11
a1nsn + a1(n−1)sn−1 + · · ·+ a11s + a10︸ ︷︷ ︸
G11(s)
U1(s) +
b12
a1nsn + a1(n−1)sn−1 + · · ·+ a11s + a10︸ ︷︷ ︸
G12(s)
U2(s)
Y2(s) =
b21
a2nsn + a2(n−1)sn−1 + · · ·+ a21s + a20︸ ︷︷ ︸
G21(s)
U1(s) +
b22
a2nsn + a2(n−1)sn−1 + · · ·+ a21s + a20︸ ︷︷ ︸
G22(s)
U2(s)
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Função de Transferência de Processos MIMO
com interação
As seguintes equações diferenciais simplificadas são consideradas:
dy1
dt
+ a11y1 + a12y2 = b11u1 + b12u2
dy2
dt
+ a21y1 + a22y2 = b21u1 + b22u2
onde y1(0) = y2(0) = y1(t = 0) = y2(t = 0) = 0.
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Função de Transferência de Processos MIMO
com interação (continuação)
Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados das equa-
ções diferenciais, e rearranjando
sY1(s) + a11Y1(s) + a12Y2(s) = b11U1(s) + b12U2(s)
sY2(s) + a21Y1(s) + a22Y2(s) = b21U1(s) + b22U2(s)
(s + a11)Y1(s) + a12Y2(s) = b11U1(s) + b12U2(s)
a21Y1(s) + (s + a22)Y2(s) = b21U1(s) + b22U2(s)
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Função de Transferência de Processos MIMO
com interação (continuação)
Na forma matricial[
(s + a11) a12
a21 (s + a22)
] [
Y1(s)
Y2(s)
]
=
[
b11U1(s) + b12U2(s)
b21U1(s) + b22U2(s)
]
[
Y1(s)
Y2(s)
]
=
[
(s + a11) a12
a21 (s + a22)
]−1 [ b11U1(s) + b12U2(s)
b21U1(s) + b22U2(s)
]
A matriz inversa de[
(s + a11) a12
a21 (s + a22)
]−1
=
[
(s + a22) −a12
−a21 (s + a11)
]
(s + a11)(s + a22)− a12a21
Portanto,[
Y1(s)
Y2(s)
]
=
[
(s + a22) −a12
−a21 (s + a11)
]
(s + a11)(s + a22)− a12a21
[
b11U1(s) + b12U2(s)
b21U1(s) + b22U2(s)
]
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Função de Transferência de Processos MIMO
com interação (continuação)
onde D(s) = (s + a11)(s + a22) − a12a21 é comum a Y1(s) e Y2(s),
sendo chamado de polinômio característico.
Assim,
Y1(s) =
(s + a22)b11 − a12b21
D(s)︸ ︷︷ ︸
G11(s)
U1(s) +
(s + a22)b12 − a12b22
D(s)︸ ︷︷ ︸
G12(s)
U2(s)
Y2(s) =
(s + a11)b21 − a21b11
D(s)︸ ︷︷ ︸
G21(s)
U1(s) +
(s + a11)b22 − a21b12
D(s)︸ ︷︷ ︸
G22(s)
U2(s)
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Função de Transferência de Processos MIMO
sem e com interação
Observe que em ambos os casos (sem e com interação) pode-se es-
crever
Y1(s) = G11(s)U1(s) +G12(s)U2(s)
Y2(s) = G21(s)U1(s) +G22(s)U2(s)
Na forma matricial,[
Y1(s)
Y2(s)
]
︸ ︷︷ ︸
Y(s)
=
[
G11(s) G12(s)
G21(s) G22(s)
]
︸ ︷︷ ︸
G(s)
[
U1(s)
U2(s)
]
︸ ︷︷ ︸
U(s)
Y(s) = G(s)U(s)
onde G11(s), G12(s), G21(s) e G22(s) são as 2× 2 funções de transfe-
rência do processo
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Função de Transferência de Processos MIMO
sem e com interação (continuação)
G 1 1 ( s )U 1 ( s )
D i a g r a m a d e B l o c o s
G 2 1 ( s )
U 2 ( s )
Y 1 ( s )
+
+
G 1 2 ( s )
G 2 2 ( s ) Y 2 ( s )+
+
e G(s) é a Matriz de Transferência ou Matriz Função de Transferência
do processo.
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Função de Transferência de Processos MIMO
estudo de caso
Tanque de Aquecimento com Agitação
G 1 1 ( s )F i 1 ( s )
G 2 1 ( s )
F s t ( s )
G 1 5 ( s )
G 2 5 ( s ) T ( s )+
T i 2 ( s )
G 1 4 ( s )
G 2 4 ( s )
G 1 2 ( s )T i 1 ( s )
G2 2 ( s )
h ( s )+
G 1 3 ( s )F i 2 ( s )
G 2 3 ( s )
T s t ( s )
G 1 6 ( s )
G 2 6 ( s )
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Função de Transferência de Processos MIMO
estudo de caso: continuação
„
h(s)
T (s)
«
| {z }
Y(s)
=
„
G11(s) G12(s) G13(s) G14(s) G15(s) G16(s)
G21(s) G22(s) G23(s) G24(s) G25(s) G26(s)
«
| {z }
G(s)
0BBBBBB@
Fi1(s)
Ti1(s)
Fi2(s)
Ti2(s)
Fst(s)
Tst(s)
1CCCCCCA
| {z }
U(s)
G11(s) =
h(s)
Fi1(s)
=
1
s + 0, 10
G12(s) =
h(s)
Ti1(s)
= 0
G13(s) =
h(s)
Fi2(s)
=
1
s + 0, 10
G14(s) =
h(s)
Ti2(s)
= 0
G15(s) =
h(s)
Fst(s)
= 0
G16(s) =
h(s)
Tst(s)
= 0
G21(s) =
T (s)
Fi1(s)
=
−86, 52
s + 1, 30
G22(s) =
T (s)
Ti1(s)
=
0, 10
s + 1, 30
G23(s) =
T (s)
Fi2(s)
=
−84, 52
s + 1, 30
G24(s) =
T (s)
Ti2(s)
=
0, 10
s + 1, 30
G25(s) =
T (s)
Fst(s)
=
190, 04
s + 1, 30
G26(s) =
T (s)
Tst(s)
=
1, 10
s + 1, 30
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Pólos e Zeros de Função de Transferência
Uma Função de Transferência é definida como
G(s) =
Transformada de Laplace da saída
Transformada de Laplace da entrada
=
Y (s)
U(s)
A função de transferência descreve as características dinâmicas do sis-
tema. Se U(s) é a transformada da função de entrada (perturbação ou
manipulada), a resposta é simplesmente
Y (s) = G(s)U(s)
Diz-se que a função de transferência opera na função de entrada U(s)
para produzir uma função de saída Y (s).
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Modelo Ganho-Zero-Pólo
Pode-se representar uma função de transferência, G(s), como a razão
entre dois polinômios em s, N(s) e D(s). Após fatorá-los, é possível
re-escrever G(s) como um Modelo Ganho-Zero-Pólo, tal que
G(s) =
N(s)
D(s)
=
K (s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)
onde
sistemas fisicamente realizáveis: a ordem de D(s) é sempre
maior ou igual à ordem de N(s) (n ≥ m)
n ≥ m: função de transferência é dita própria
n > m: função de transferência é dita estritamente própria
zeros do sistema ou da função de transferência: são as raízes do
polinômio N(s)
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Modelo Ganho-Zero-Pólo
continuação
pólos do sistema ou da função de transferência: são as raízes do
polinômio D(s)
funções de transferência de fase mínima: não apresentam pólos ou
zeros no semi-plano direito do plano s
funções de transferência de fase não mínima: apresentam pólos ou
zeros no semi-plano direito do plano s
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Função de Transferência
Exemplo
Obtenha a função de transferência de um tanque de nível de seção reta
uniforme de área A = 0,3 m2, ao qual é adaptado uma resistência ao
fluxo. Suponha que a vazão volumétrica F , através da resistência, se
relaciona com a altura de líquido h pela relação F = 8
√
h. Uma vazão
volumétrica Fo de líquido e massa específica constante ρ alimenta o
tanque. Considere, para efeito de análise, os níveis médios de opera-
ção de hs = 1 e 3 m de altura de líquido.
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Função de Transferência
Exemplo (continuação)
F o
h
( A ) hkF =
Figura: Tanque de nível
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Função de Transferência
Solução
Modelo Linearizado
dh
dt
=
Fo
A
− k
2A
√
hs
h, h(0) = 0
Função de Transferência
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da
equação e resolvendo a equação resultante no domínio da
Transformada:
sH(s)− h(0)︸︷︷︸
=0
+
k
2A
√
hs
H(s) =
1
A
Fo(s)
(
s +
k
2A
√
hs
)
H(s) =
1
A
Fo(s) ⇒ H(s) =
1
A
s + k
2A
√
hs
Fo(s)
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Função de Transferência
continuação
Função de Transferência
A relação entre a variável de saída, H(s) e a variável de entrada,
Fo(s) é chamada de Função de Transferência entre H(s) e Fo(s):
Gp(s) =
H(s)
Fo(s)
=
1
A
s + k
2A
√
hs
=
2
√
hs
k
2A
√
hs
k s + 1
=
Kp
τps + 1
, onde
Kp =
2
√
hs
k
e τp =
2A
√
hs
k
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Função de Transferência
continuação
Condições estacionárias
1 hs = 1 m→ Kp = 0,25 m/(m3/min) e τp = 0,075 min
2 hs = 3 m→ Kp = 0,43 m/(m3/min) e τp = 0,130 min
Observe que Kp e τp dependem das condições de operação
estacionária.
Diagrama de Blocos
G p ( s )e n t r a d aF o ( s )
s a í d a
H ( s )
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Função de Transferência
Exemplo
Obtenha a função de transferência de um tanque de mistura de vo-
lume constante V , do qual uma corrente contendo sal dissolvido escoa
com uma vazão volumétrica constante F . Uma corrente de líquido com
concentração de sal Co alimenta o tanque.
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Função de Transferência
Exemplo (continuação)
F
C
( V )
C o
F
C
Figura: Tanque de mistura
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Função de Transferência
Solução
Modelo Linear
dC
dt
=
F
V
(Co − C), C(0) = 0
Função de Transferência
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da
equação e resolvendo a equação resultante no domínio da
Transformada:
sC(s)− C(0)︸ ︷︷ ︸
=0
+
F
V
C(s) =
F
V
Co(s)
(
s +
F
V
)
C(s) =
F
V
Co(s) ⇒ C(s) =
F
V
s + FV
Co(s)
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Função de Transferência
continuação
Função de Transferência
A relação entre a variável de saída, C(s) e a variável de entrada,
Co(s) é chamada de Função de Transferência entre C(s) e Co(s):
Gp(s) =
C(s)
Co(s)
=
F
V
s + FV
=
1
V
F s + 1
=
Kp
τps + 1
, onde
Kp = 1 e τp =
V
F
Diagrama de Blocos
G p ( s )e n t r a d aC o ( s )
s a í d a
C ( s )
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Função de Transferência
Exemplo
Obtenha a função de transferência de um tanque de mistura térmica
de volume constante V , do qual uma corrente escoa com uma vazão
volumétrica constante F . Uma corrente de líquido com temperatura To
alimenta o tanque.
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Função de Transferência
Exemplo (continuação)
F
T
( V )
T o
F
T
Figura: Tanque de mistura térmica
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Função de Transferência
Solução
Modelo Linear
dT
dt
=
F
V
(To − T ), T (0) = 0
Função de Transferência
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da
equação e resolvendo a equação resultante no domínio da
Transformada:
sT (s)− T (0)︸ ︷︷ ︸
=0
+
F
V
T (s) =
F
V
To(s)
(
s +
F
V
)
T (s) =
F
V
To(s) ⇒ T (s) =
F
V
s + FV
To(s)
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Função de Transferência
continuação
Função de Transferência
A relação entre a variável de saída, T (s) e a variável de entrada,
To(s) é chamada de Função de Transferência entre T (s) e To(s):
Gp(s) =
T (s)
To(s)
=F
V
s + FV
=
1
V
F s + 1
=
Kp
τps + 1
, onde
Kp = 1 e τp =
V
F
Diagrama de Blocos
G p ( s )e n t r a d aT o ( s )
s a í d a
T ( s )
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
Exemplo
Determine as funções de transferência do sistema representado por
dois tanques sem interação, onde F1 = K1
√
h1 e F2 = K2
√
h2. Desenhe
o diagrama de blocos desse sistema.
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
Exemplo (continuação)
F i
T a n q u e 1 F 3
h 1
h 2
F 2
A 1
A 2
T a n q u e 2
F 1
K 1
K 2
Figura: Tanques de nível sem interação
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
Solução
Modelo Linearizado
dh1
dt
+
(
1
2
K1
A1
h−1/21s
)
︸ ︷︷ ︸
a11
h1 =
(
1
A1
)
︸ ︷︷ ︸
b11
Fi , h1(0) = 0
dh2
dt
+
(
1
2
K2
A2
h−1/22s
)
︸ ︷︷ ︸
a22
h2 =
(
1
2
K1
A2
h−1/21s
)
︸ ︷︷ ︸
a21
h1 +
(
1
A2
)
︸ ︷︷ ︸
b22
F3, h2(0) = 0
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
continuação
Função de Transferência
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados das
equações e resolvendo as equações resultantes no domínio da
Transformada:
sH1(s)− h1(0)︸ ︷︷ ︸
=0
+a11H1(s) = b11Fi(s)
sH2(s)− h2(0)︸ ︷︷ ︸
=0
+a22H2(s) = a21H1(s) + b22F3(s)
{
(s + a11)H1(s) = b11Fi(s)
(s + a22)H2(s) = a21H1(s) + b22F3(s){
H1(s) =
b11
s+a11
Fi(s)
H2(s) =
a21
s+a22
H1(s) +
b22
s+a22
F3(s)
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
continuação
Função de Transferência
As Funções de Transferência são:
Gp1(s) =
H1(s)
Fi(s)
=
b11
s + a11
=
b11
a11
1
a11
s + 1
=
Kp1
τp1s + 1
, onde
Kp1 =
b11
a11
=
2
√
h1s
K1
e τp1 =
2A1
√
h1s
K1
Gp2(s) =
H2(s)
H1(s)
=
a21
s + a22
=
a21
a22
1
a22
s + 1
=
Kp2
τp2s + 1
, onde
Kp2 =
a21
a22
=
K1
K2
r
h2s
h1s
e τp2 =
2A2
√
h2s
K2
Gp3(s) =
H2(s)
F3(s)
=
b22
s + a22
=
b22
a22
1
a22
s + 1
=
Kp3
τp3s + 1
, onde
Kp3 =
b22
a22
=
2
√
h2s
K2
e τp3 =
2A2
√
h2s
K2
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Função de Transferência e Sistemas Sem Interação
continuação
Diagrama de Blocos
G p 1 ( s )
F i ( s ) G p 2 ( s )
G p 3 ( s ) H 2 ( s )
F 3 ( s )
H 1 ( s )
G p 4 ( s )
A Função de Transferência entre H2(s) e Fi(s) é dada por
Gp4(s) =
H2(s)
Fi(s)
=
H1(s)
Fi(s)
· H2(s)
H1(s)
= Gp1(s) ·Gp2(s) =
=
Kp1
τp1s + 1
· Kp2
τp2s + 1
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
Exemplo
Determine as funções de transferência do sistema representado por
dois tanques com interação, onde F1 = K1
√
h1 − h2 e F2 = K2
√
h2.
Desenhe o diagrama de blocos desse sistema.
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
Exemplo (continuação)
F i
T a n q u e 1
F 3
h 1 h 2 F 2A 1 A 2
T a n q u e 2
F 1
K 1 K 2
Figura: Tanques de nível com interação
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
Solução
Modelo Linearizado
dh1
dt
+
[
1
2
K1
A1
(h1s − h2s)−1/2
]
︸ ︷︷ ︸
a11
h1 +
[
−1
2
K1
A1
(h1s − h2s)−1/2
]
︸ ︷︷ ︸
a12
h2 =
(
1
A1
)
︸ ︷︷ ︸
b11
Fi , h1(0) = 0
dh2
dt
+
[
−1
2
K1
A2
(h1s − h2s)−1/2
]
︸ ︷︷ ︸
a21
h1 +
[
1
2
K1
A2
(h1s − h2s)−1/2 + 12
K2
A2
h−1/22s
]
︸ ︷︷ ︸
a22
h2 =
(
1
A2
)
︸ ︷︷ ︸
b22
F3, h2(0) = 0
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
continuação
Função de Transferência
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados das
equações:
sH1(s)− h1(0)︸ ︷︷ ︸
=0
+a11H1(s) + a12H2(s) = b11Fi(s)
sH2(s)− h2(0)︸ ︷︷ ︸
=0
+a21H1(s) + a22H2(s) = b22F3(s)
{
(s + a11)H1(s) + a12H2(s) = b11Fi(s)
a21H1(s) + (s + a22)H2(s) = b22F3(s)
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
continuação
Função de Transferência
Resolvendo as equações resultantes na forma matricial e no
domínio da Transformada:[
(s + a11) a12
a21 (s + a22)
] [
H1(s)
H2(s)
]
=
[
b11Fi(s)
b22F3(s)
]
[
H1(s)
H2(s)
]
=
[
(s + a22) −a12
−a21 (s + a11)
]
(s + a11)(s + a22)− a12a21
[
b11Fi(s)
b21F3(s)
]
onde o polinômio característico é igual
D(s) = (s + a11)(s + a22)− a12a21.
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
continuação
Função de Transferência
Assim, as Funções de Transferência são:
H1(s) =
(s + a22)b11
D(s)︸ ︷︷ ︸
G11(s)
Fi(s) +
−a12b22
D(s)︸ ︷︷ ︸
G12(s)
F3(s)
H2(s) =
−a21b11
D(s)︸ ︷︷ ︸
G21(s)
Fi(s) +
(s + a11)b22
D(s)︸ ︷︷ ︸
G22(s)
F3(s)
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Função de Transferência e Sistemas Com Interação
continuação
Diagrama de Blocos
G 1 1 ( s )F i ( s )
G 2 1 ( s )
F 3 ( s )
H 1 ( s )
+
+
G 1 2 ( s )
G 2 2 ( s ) H 2 ( s )+
+
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
Exemplo: Reator Bioquímico
Obtenha a representação em espaço de estados LTI e função de trans-
ferência do reator bioquímico tanque-contínuo com mistura perfeita-
mente agitada e volume constante
F
S f
V F S
X
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
Solução
Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)
dX
dt
= (µ− D)X , X (0) = Xs
dS
dt
= (Sf − S)D −
µX
Y
, S(0) = Ss
com µ =
µmáxS
km + S + k1S2
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)
x˙ =
dx
dt
= f(x,u), x0(0) = xs
y = h(x,u)
onde f = [f1 f2]T , x = [X S]T , u = [D Sf ]T , y = [X S]T e
dX
dt
= (µ− D)X ⇒ f1 = (µ− D)X
dS
dt
= (Sf − S)D −
µX
Y
⇒ f2 = (Sf − S)D −
µX
Y
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Modelo Linear: LTI
x˙ =
dx
dt
= Ax+ Bu, x0(0) = 0
y = Cx
onde x, u e y são variáveis-desvio e aij = ∂fi∂xj
)
s
, bij =
∂fi
∂uj
)
s
e
cij =
∂hi
∂xj
)
s
.
Assim,
A(2×2):
a11 =
∂f1
∂X
)
s
= µs − Ds e a12 = ∂f1
∂S
)
s
=
∂µ
∂S
)
s
Xs
a21 =
∂f2
∂X
)
s
= −µs
Y
e a22 =
∂f2
∂S
)
s
= −Ds −
∂µ
∂S
)
s
Xs
Y
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuaçãoB(2×2):
b11 =
∂f1
∂D
)
s
= −Xs e b12 = ∂f1
∂Sf
)
s
= 0
b21 =
∂f2
∂D
)
s
= Sfs − Ss e b22 =
∂f2
∂Sf
)
s
= Ds
C(2×2): C = I
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Desta forma,
dX
dt
= (µs − Ds)︸ ︷︷ ︸
a11
X +
[
∂µ
∂S
)
s
Xs
]
︸ ︷︷ ︸
a12
S + (−Xs)︸ ︷︷ ︸
b11
D, X (0) = 0
dS
dt
=
(
−µs
Y
)
︸ ︷︷ ︸
a21
X +
−Ds − ∂µ∂S
)
s
Xs
Y

︸ ︷︷ ︸
a22
S + (Sfs − Ss)︸ ︷︷ ︸
b21
D + (Ds)︸︷︷︸
b22
Sf ,
S(0) = 0
com
∂µ
∂S
)
s
=
µmáx(km − k1S2s )
(km + Ss + k1S2s )2
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Função de Transferência
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados das
equações:
sX (s)− X (0)︸ ︷︷ ︸
=0
+a11X (s) + a12S(s) = b11D(s)
sS(s)− S(0)︸︷︷︸
=0
+a21X (s) + a22S(s) = b21D(s) + b22Sf (s)
{
(s + a11)X (s) + a12S(s) = b11D(s)
a21X (s) + (s + a22)S(s) = b21D(s) + b22Sf (s)
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Função de Transferência
Resolvendo as equações resultantes na forma matricial e no
domínio da Transformada:[
(s + a11) a12
a21 (s + a22)
] [
X (s)
S(s)
]
=
[
b11D(s)
b21D(s) + b22Sf (s)
]
[
X (s)
S(s)
]
=
[
(s + a22) −a12
−a21 (s + a11)
]
(s + a11)(s + a22)− a12a21
[
b11D(s)
b21D(s) + b22Sf (s)
]
onde o polinômio característico é igual
DEN(s) = (s + a11)(s + a22)− a12a21.
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Função de Transferência
Assim, as Funções de Transferência são:
X (s) =
(s + a22)b11 − a12b21
DEN(s)︸ ︷︷ ︸
G11(s)
D(s) +
−a12b22
DEN(s)︸ ︷︷ ︸
G12(s)
Sf (s)
S(s) =
−a21b11 + (s + a11)b21
DEN(s)︸ ︷︷ ︸
G21(s)
D(s) +
(s + a11)b22
DEN(s)︸ ︷︷ ︸
G22(s)
Sf (s)
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Diagrama de Blocos
G 1 1 ( s )D ( s )
G 2 1 ( s )
S f ( s )
X ( s )+ +
G 1 2 ( s )
G 2 2 ( s ) S ( s )+
+
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Estado Estacionário ("Steady-State")
parâmetros:
µmáx = 0,53 h−1
km = 0,12 g/l
k1 = 0,4545 l/g
Y = 0,4
especificações:
Ds = 0,3 h−1
Sfs = 4,0 g/l
Como resultado do sistema de equações (solução não trivial e estável):
Xs = 1,5302 g/l e Ss = 0,1745 g/l
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Modelo LTI
Obtém-se as seguintes matrizes do sistema
A =
(
0 0,90
−0,75 −2,56
)
B =
(−1,53 0
3,82 0,30
)
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
O modelo LTI fica, então, igual a(
X˙
S˙
)
︸ ︷︷ ︸
x˙
=
(
0 0,90
−0,75 −2,56
)
︸ ︷︷ ︸
A
(
X
S
)
︸ ︷︷ ︸
x
+
(−1,53 0
3,82 0,30
)
︸ ︷︷ ︸
B
(
D
Sf
)
︸ ︷︷ ︸
u
, x0 = 0
(
X
S
)
︸ ︷︷ ︸
y
=
(
1 0
0 1
)
︸ ︷︷ ︸
C
(
X
S
)
︸ ︷︷ ︸
x
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Modelo Função de Transferência
Obtém-se a seguinte Matriz Função de Transferência, G(s), utilizando
as instruções no MATLAB
sysss=ss(A,B,C,D) % cria modelo em espaço de estado
systf=tf(sysss) % cria modelo em função de transferência
que calcula
Y(s) = [C(s − A)−1B+ D︸ ︷︷ ︸
G(s)
]U(s)
O modelo Função de Transferência fica, então, igual a(
X (s)
S(s)
)
︸ ︷︷ ︸
Y(s)
=
(
G11(s) G12(s)
G21(s) G22(s)
)
︸ ︷︷ ︸
G(s)
(
D(s)
Sf (s)
)
︸ ︷︷ ︸
U(s)
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Espaço de Estados LTI e Função de Transferência
continuação
Modelo Função de Transferência
com
G11(s) =
X (s)
D(s)
=
−1,53s − 0.46
s2 + 2,56s + 0,68
G12(s) =
X (s)
Sf (s)
=
0,27
s2 + 2,56s + 0,68
G21(s) =
S(s)
D(s)
=
3,82s + 1,15
s2 + 2,56s + 0,68
G22(s) =
S(s)
Sf (s)
=
0,30s
s2 + 2,56s + 0,68
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Leitura I
Leitura Complementar
Próxima aula:
apostila do Prof. Wua, capítulos 10 e 11 (volume I).
livro do Stephanopoulosb, capítulos 10 e 11.
livro do Seborg et al.c , capítulo 5.
aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.
Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.
bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and
Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.
cSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1st
Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.
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