Polinomios AFA

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Polinômios - AFA 
 
1. (AFA 2006) Analise as proposições abaixo classificando-as em (V) verdadeira(s) ou (F) falsa(s). 
 
( ) O resto da divisão de ( ) ( )2 2 15 4 2n nP x x x n+= − − ∈? por 1x + varia de acordo com o valor de n. 
( ) Se ( ) ( ) 23 1P x xP x x+ − = + então ( )3 13P = . 
( ) Se 1 i+ é raiz de ( ) ( )3 2 , eP x x bx cx d b c d= + + + ∈? , então uma das raízes tem forma 
trigonométrica igual a
3 32 cos
4 4
isenπ π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
 
Tem-se que: 
 
(A) todas são falsas 
(B) apenas duas são falsas 
(C) apenas uma é falsa 
(D) todas são verdadeiras 
 
Solução: 
 
(i) 
 
Escrevendo ( ) ( )( ) ( )2 2 15 4 2 1n nP x x x Q x x A x+= − − = + + ∀ ∈? , façamos 1x = − para obter A : 
( ) ( )2 2 15 1 4 1 2 7n n A A+⋅ − − ⋅ − − = ⇔ = . Incorreta assertiva! 
 
(ii) 
Como a equação é válida para x∀ ∈? , façamos 0 3x e x= = : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
0 0 3 0 0 1
3 3 3 3 3 1
P P I
P P II
⎧ + ⋅ − = +⎪⎨ + − = +⎪⎩
 
De (I): ( )0 1P = . Substituindo em (II): ( ) ( ) ( )23 3 0 3 1 10 3 7P P P+ = + = ⇔ = . Incorreta assertiva! 
 
(iii) 
Repare que 3 3 2 22 cos 2 1
4 4 2 2
isen i iπ π ⎛ ⎞⎛ ⎞+ = − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Além do mais, as raízes de ( )P x são: 
{ } ( )1 ,1 ,i i α α+ − ∈? . Incorreta assertiva! 
 
Opção (A) 
 
2. (AFA 2006) O conjunto solução S de ( ) 0P x = possui 3 elementos. Sabendo-se que 
( ) 6 4 316P x x mx x= − + , onde m∈? , assinale a alternativa incorreta. 
 
(A) O número m é múltiplo de 3 
(B) Os elementos de S formam uma progressão aritmética 
 
 
 
 
 
 
(C) S é constituído só de números pares 
(D) ( )R x , resto da divisão de ( )P x por 1x − , é um polinômio de grau zero 
 
Solução: 
 
Ora ( ) ( )6 4 3 3 316 16P x x mx x x x mx= − + = − + . Portanto suas raízes são o 0 com multiplicidade 3 e 
outras duas raízes de 3 16x mx− + . Mas como este segundo fator é do terceiro grau, uma de suas raízes 
possui multiplicidade 2. Seja α esta raiz. Devemos ter, portanto o seguinte sistema: 
 
( )
( )
3
2
16 0
3 0
m i
m ii
α α
α
⎧ − + =⎪⎨ − =⎪⎩
 
 
Substituindo (ii) em (i): ( )3 2 33 16 0 16 2 2α α α α α− + = ⇒ = ⇒ = , já que m∈? . 
Seja agora β a outra raiz. Podemos escrever: 0 4α α β β+ + = ⇒ = − . 
Repare que os elementos de S ( )4,0, 2− não formam uma P.A. 
 
Opção (B) 
3. (AFA 2006) Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento de 2
1
2
n
x
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ , segundo as potências 
decrescentes de x, estão em progressão aritmética. O valor de n é um número: 
 
(A) primo 
(B) quadrado perfeito 
(C) cubo perfeito 
(D) maior que 9 e menor que 15 
 
Solução: 
 
( ) 0 12 2 3 2 2 3
0 0
1 1 1 1 1
12 2 2 2 2
n n k n kn nk k n n n
k k
n n n n
x x x x x
k k n nx x
− −
− −
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅ ⋅ = ⋅ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ 
2 3
2 6 3
0
1 1
2 2 2
n kn
n k n
k
n n
x x
n k
−−− −
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ . 
 
Logo podemos montar a seguinte relação: 
 
( )
0 2
2 2
1 1
2 2 2 11 1 8 8 9 8 0 8
1 2 2 8
n n
n nn n n
n n n n n n n
n
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎣ ⎦⋅ = ⇔ = + ⇔ = + − ⇔ − + = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ . 
 
Opção (C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (AFA 2007) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir. 
 
( ) o número α de raízes complexas de ( ) 0B x = , sendo ( ) 2 1 2n nB x x ax b+= + + , onde a e b são 
números reais e n é número natural , é α = 2n + 1. 
( ) Se ( ) 4 2nA x x x= + + , onde tal que 1n n∈ >? , então ( ) 0A x = não admite raízes racionais. 
( ) Se ( ) 2 1 4n nP x x x k+= + + , onde n ∈ IN e k ∈ IR, então P(x) = 0 terá pelo menos uma raiz real. 
 
Tem-se a seqüência correta: 
 
(A) V – V – V 
(B) F – V – F 
(C) V – V – F 
(D) V – F – V 
 
Solução: 
 
(i) 
 
Trata-se de um corolário direto do Teorema Fundamental da Álgebra. Correta assertiva! 
 
(ii) 
 
Se ( )A x admitir raízes racionais, estas apenas poderiam ser { }2, 1,1, 2− − . 
 
ii.1) ( ) ( ) ( )2 4 2 2 1 2 6 0n n n− + ⋅ − + = − ⋅ − ≠ ; 
ii.2) ( ) ( ) ( )1 4 1 2 1 2 0n n− + ⋅ − + = − − ≠ ; 
ii.3) ( ) ( )1 4 1 2 7 0n + ⋅ + = ≠ ; 
ii.4) ( ) ( )2 4 2 2 2 10 0n n+ ⋅ + = + ≠ ; 
 
Portanto: correta assertiva! 
 
(iv) 
 
Ora ( )lim
x
P x→−∞ = −∞ e ( )limx P x→+∞ = +∞ . Pelo TVI (Teorema do Valor Intermediário), ( )P x possuirá ao 
menos uma raiz real. Correta assertiva! 
 
Opção (A) 
 
5. (AFA 2007) O termo 8x no desenvolvimento de ( ) ( )4 52 1x x− + é: 
 
(A) –32 8x 
(B) –3 8x 
 
 
 
(C) 72 8x 
(D) 80 8x 
 
Solução: 
 
( ) ( ) ( ) ( )4 54 5 4 5
0 0
4 5
2 1 2 1k jk j
k j
x x x x
k j
− −
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ . Para termos coeficiente em 8x , devemos analisar 
todos os casos em que 4 5 8k j− + − = , ou seja, analisar todas as possibilidades de 1k j+ = . 
 
i) ( )04 50 e 1: 2 5
0 1
k j ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; 
ii) ( )14 51 e 0 : 2 8
1 0
k j ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; 
 
Assim, o coeficiente será: 5 8 3− = − . 
 
Opção (B) 
 
6. (AFA 2009) O polinômio ( ) ( )3 2 21 2 ,P x mx nx mx n m n= − − + ∈? é unitário e não é divisível por 
( )2P x x= . Sabe-se que ( )1 0P x = admite duas raízes simétricas. Sobre as raízes de ( )1P x é 
INCORRETO afirmar que: 
 
(A) nenhuma delas é número imaginário 
(B) todas são números inteiros 
(C) uma delas é um número par 
(D) o número n é uma das raízes 
 
Solução: 
 
Como ( )1P x é unitário, devemos ter 1m = . Sejam α , α− e β as raízes de ( )1P x . Podemos, então, 
escrever: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
2
1
n i
ii
n iii
α α β
α α αβ α β
α α β
⎧ + − + =⎪ ⋅ − + + − ⋅ = −⎨⎪ ⋅ − ⋅ = −⎩
 
De (i), temos: 2nβ = (*). Substituindo (*) em (iii): ( )2 22 2nn nα α⋅ = ⇒ = (**), já que 0n ≠ . Na 
verdade, substituindo (**) em (ii), teremos: 1 22
n n− = − ⇒ = . Logo as raízes são: { }1,1,4− . 
 
Opção (D)