12414618 - Vestibular por Assunto - Matematica ITA_IME 1987_2018

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ITA/IME – Pré-Universitário 
Sumário 
Professor Marcelo Mendes Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos ......................................................................................................................................................................... 5 
Funções ............................................................................................................................................................................. 9 
Módulo .......................................................................................................................................................................... 17 
Sequências .................................................................................................................................................................... 18 
Matrizes/Determinantes .......................................................................................................................................... 23 
Sistemas Lineares ....................................................................................................................................................... 31 
Exponencial/Logaritmo ............................................................................................................................................ 37 
Trigonometria ............................................................................................................................................................. 43 
Números Binomiais/Binômio de Newton ......................................................................................................... 53 
Análise Combinatória/Probabilidade .................................................................................................................. 56 
Números Complexos ................................................................................................................................................ 61 
Polinômios .................................................................................................................................................................... 68 
Geometria Analítica ................................................................................................................................................... 76 
Geometria Plana ......................................................................................................................................................... 86 
Geometria Espacial .................................................................................................................................................... 96 
Progressão Aritmética ............................................................................................................................................ 106 
 
 
 
 
 
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CONJUNTOS 
 
1. (Q4-ITA/1987) Sejam F e G dois subconjuntos 
não-vazios de R. Assinale a alternativa correta. 
a) Se F ⊂ G e G ≠ F, então necessariamente 
F = F ∪ G. 
b) Se F ∩ G é o conjunto vazio, então 
necessariamente F ∪ G = R. 
c) Se F ⊂ G e G ⊂ F, então F ∩ G = F ∪ G. 
d) Se F ∩ G = F, então necessariamente G ⊂ F. 
e) Se F ⊂ G e G ≠ R, então (F ∩ G) ∪ G = R. 
 
2. (Q1-ITA/1988) Sejam A, B e C subconjuntos do 
conjunto dos números reais. Então podemos afirmar que: 
a) ( )C C CA B A B∩ = ∩ 
b) ( )C C CA B A B∪ = ∪ 
c) C CSe A B então A B⊂ ⊂ 
d) ( ) ( ) ( )C CC C CA B C A C B C∩ ∪ = ∪ ∩ ∪ 
e) ( ) ( ) ( )C C CA B C A B A C∪ ∪ = ∪ ∩ ∪ 
 
 Nota: AC significa o complementar de A no conjunto 
 dos reais. 
 
3. (Q2-ITA/1989) Sejam A, B e C subconjuntos de R, 
não vazios, e A – B = {p ∈ R; p ∈ A e p ∉ B}. Dadas 
as igualdades: 
I. (A – B) x C = (A x C) – (B x C) 
II. (A – B) x C = (A x B) – (B x C) 
III. (A ∩ B) – A ≠ (B ∩ A) – B 
IV. A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) 
V. (A – B) ∩ (B – C) = (A – C) ∩ (A – B) 
podemos garantir que: 
a) II e IV são verdadeiras. 
b) I e V são verdadeiras. 
c) III e IV são verdadeiras. 
d) I e IV são verdadeiras. 
e) I e III são verdadeiras. 
 
4. (Q2-ITA/1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios 
de R, e considere as seguintes afirmações: 
I. (A – B)C ∩ (B ∪ AC)C = ∅ 
II. (A – BC)C = B – AC 
III. [(AC – B) ∩ (B – A)]C = A 
Sobre essas afirmações podemos garantir que: 
a) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
5. (Q1-ITA/1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não 
vazios de R. Considere as afirmações: 
I. Se (E x G) ⊂ (F x H), então E ⊂ F e G ⊂ H 
II. Se (E x G) ⊂ (F x H), então (E x G) ∪ (F x H) = 
F x H. 
III. Se (E x G) ∪ (F x H) = F x H, então (E x G) ⊂ 
(F x H). 
Então: 
a) apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
b) apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. 
d) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
e) todas as afirmações são verdadeiras. 
 
6. (Q2-ITA/2000) Denotemos por n(x) o número de 
elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C 
conjuntos tais que n (A ∪ B) = 8, n(A ∪ C) = 9, 
n(B ∪ C) = 10, n(A ∪ B ∪ C) = 11 e 
n(A ∩ B ∩ C) = 2. Então n(A) + n(B) + n(C) é igual a: 
a) 11 d) 18 
b) 14 e) 25 
c) 15 
 
7. (Q14-ITA/2001) Sejam X, Y e Z subconjuntos 
próprios de R, não-vazios. Com respeito às 
afirmações: 
I. X ∩ {[Y ∩ (X ∪ Y)C] ∪ [X ∪ (XC∩YC)C]}=X; 
II. Se Z ⊂ X então (Z ∪ Y) ∪ [X ∪ (ZC ∩ Y)] = X ∪ Y; 
III. Se (X ∪ Y)C ⊂ Z então ZC ⊂ X. 
 
Temos que: 
a) apenas I é verdadeira. 
b) apenas I e II são verdadeiras. 
c) apenas I e III são verdadeiras. 
d) apenas II e III são verdadeiras. 
e) todas são verdadeiras. 
 
8. (Q1-ITA/2002) Considere as seguintes afirmações 
sobre números reais positivos: 
I. Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12. 
II. Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12. 
III. Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0. 
 
Então, destas é (são) verdadeira(s): 
a) apenas I. d) apenas I e III. 
b) apenas I e II. e) todas. 
c) apenas II e III. 
 
9. (Q5-ITA/2002) Seja A um conjunto com 8 elementos e 
B um conjunto tal que A ∪ B contenha 12 elementos. 
Então, o número de elementos de P(B\A) ∪ P(∅) é 
igual a: 
a) 8 d) 17 
b) 16 e) 9 
c) 20 
 
10. (Q21-ITA/2003) Sejam U um conjunto não-vazio e 
A ⊂ U, B ⊂ U. Usando apenas as definições de 
igualdade, reunião, intersecção e complementar, 
prove que: 
 
I. Se A ∩ B = φ, então B ⊂ AC. 
II. B \ AC = B ∩ A. 
 
 
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11. (Q1-ITA/2004) Considere as seguintes afirmações 
sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: 
 
I. ∅ ∈ U e n(U) = 10; 
II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10; 
III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U; 
IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5. 
 
Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s): 
 
a) apenas I e III. 
b) apenas II e IV. 
c) apenas II e III. 
d) apenas IV. 
e) todas as afirmações. 
 
12. (Q2-ITA/2004) Seja o conjunto S = {r ∈ Q : r ≥ 0 e 
r2 ≤ 2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: 
I. ;S
5
7eS
4
5 ∈∈ 
II. {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2 } ∩ S = ∅; 
III. 2 S.∈ 
 
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas: 
a) I e II d) I 
b) I e III e) II 
c) II e III 
 
 
13. (Q21-ITA/2004) Seja A um conjunto não-vazio. 
 
a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m. 
b) Denotando P1(A) = P(A) e Pk + 1(A) = P(Pk(A)), 
para todo número natural k ≥ 1, determine o menor 
k, tal que n(Pk(A)) ≥ 65000, sabendo que n(A) = 2. 
 
14. (Q4-ITA/2005) Sobre o número 3347x +−= é 
correto afirmar que: 
a) x ∈ ]0, 2[ d) x2 é irracional. 
b) x é racional. e) x ∈ ]2, 3[ 
c) x2 é irracional. 
 
15. (Q2-ITA/2006) Seja U um conjunto não-vazio com n 
elementos, n≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U) com 
a seguinte propriedade: Se A, B ∈ S, então A ⊂ B ou 
B ⊂ A. Então, o número máximo de elementos que S 
pode ter é: 
a) 2n–1 
b) n/2, se n for par, e (n + 1) / 2 se n for ímpar. 
c) n + 1 
d) 2n – 1 
e) 2n–1 + 1 
 
16. (Q3-ITA/2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de 
um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e 
n(A∩B) formam, nesta ordem, uma progressão 
aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e 
n(A∪B) + r = 64, então, n(A\B) é igual a: 
a) 12 
b) 17 
c) 20 
d) 22 
e) 24 
 
17. (Q21-ITA/2006) Considere A um conjunto não-vazio 
com um número finito de elementos. Dizemos que 
F = {A1, ..., Am} ⊂ P(A) é uma partição de A se as 
seguintes condições são satisfeitas: 
I. Ai ≠ ∅, i = 1, ..., m 
II. Ai ∩ Aj = ∅, se i ≠ j, para i, j = 1, ..., m 
III. A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am 
 
 Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se 
n(Ai) = k, i = 1, ..., m. 
 
 Supondo que n(A) = 8, determine: 
a) As ordens possíveis para uma partição de A. 
b) O número de partições de que A que têm ordem 2. 
 
18. (Q1-ITA/2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que 
n(A ∪ B) = 23, n(B – A) = 12, n(C – A) = 10, 
n(B ∩ C) = 6 e n(A ∩ B ∩ C) = 4, então n(A), 
n(A ∪ C), n(A ∪ B ∪ C), nesta ordem: 
a) formam uma progressão aritmética de razão 6. 
b) formam uma progressão aritmética de razão 2. 
c) formam uma progressão aritmética de razão 8, 
cujo primeiro termo é 11. 
d) formam uma progressão aritmética de razão 10, 
cujo primeiro termo é 31. 
e) não formam uma progressão aritmética. 
 
19. (Q2-ITA/2007) Seja A um conjunto com 14 elementos 
e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número 
de subconjuntos de A com um número de elementos 
menor ou igual a 6 e disjuntos de B é 
a) 28 – 9. d) 214 – 28. 
b) 28 – 1. e) 28. 
c) 28 – 26. 
 
20. (Q21-ITA/2007) Determine o conjunto C, sendo A, B e 
C conjuntos de números reais tais que 
A ∪ B ∪ C = {x ∈ R: x2 + x ≥ 2}, 
A ∪ B = {x ∈ R: 8– x – 3 ⋅ 4–x – 22 – x > 0}, 
A ∩ C = {x ∈ R: log(x + 4) ≤ 0}, 
B ∩ C = {x ∈ R: 0 ≤ 2x + 7 < 2}. 
 
21. (Q19-ITA/2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos 
de N tais que ( ) { }X Y Z 1, 2, 3, 4− ∩ = , { }Y 5, 6= , 
Z Y∩ = ∅ , ( ) { }W X Z 7, 8∩ − = , { }X W Z 2, 4∩ ∩ = . 
Então, o conjunto ( ) ( )X Z W W Y Z∩ ∪ − ∩ ∪       é 
igual a: 
a) {1, 2, 3, 4, 5} 
b) {1, 2, 3, 4, 7} 
c) {1, 3, 7, 8} 
d) {1, 3} 
e) {7, 8} 
 
 
 
 
 
 
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22. (Q1-ITA/2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto 
universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que 
 (BC ∪ A)C = {f, g, h}, BC ∩ A = {a,b} e AC\B = {d,e}, 
então, n(P(A ∩ B)) é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
e) 8 
 
23. (Q2-ITA/2009) Uma empresa possui 1000 carros, 
sendo uma parte com motor a gasolina e o restante 
com motor “flex” (que funciona com álcool e com 
gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 
1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 
36% dos carros com motor “flex” sofrem conversão 
para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se 
que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros desta 
empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o 
número de carros tricombustíveis é igual a: 
a) 246 
b) 252 
c) 260 
d) 268 
e) 284 
 
24. (Q1-ITA/2010) Considere as afirmações abaixo 
relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: 
I. A negação de x ∈ A ∩ B é: x ∉ A ou x ∉ B. 
II. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 
III. (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B)\ (A ∩ B). 
 
Destas, é (são) falsa(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e III. 
e) nenhuma. 
 
25. (Q2-ITA/2010) Considere conjuntos A, B ⊂ R e 
C ⊂ (A ∪ B). Se A ∪ B, A ∩ C e B ∩ C são os 
domínios das funções reais definidas por 
2 x1n(x ), x 6x 8 e
5 x
− π− π − + −
−
, respectivamente, 
pode-se afirmar que: 
a) C ,5 = π  
b) [ ]C 2,= π 
c) [ [C 2,5= 
d) [ ]C ,4= π 
e) C não é intervalo. 
 
26. (Q21-ITA/2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que 
C ⊂ B, n (B\C) = 3n (B ∩ C) = 6n (A ∩ B), 
n (A ∪ B) = 22 e (n(C), n(A), n(B)) é uma progressão 
geométrica de razão r > 0. 
a) Determine n(C). 
b) Determine n(P(B\C)). 
 
27. (Q5-ITA/2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não 
vazios tais que A ⊂ B e n ({C : C ⊂ B \ A}) = 128. 
Então, das afirmações abaixo: 
I. n(B) – n(A) é único; 
II. n(B) + n(A) ≤ 128; 
III. a dupla ordenada (n(A), n(B)) é única; 
 
É(São) verdadeira(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) nenhuma. 
 
28. (Q21-ITA/2011) Analise a existência de conjuntos A e 
B, ambos não vazios, tais que (A \ B) ∪ (B \ A) = A. 
 
29. (Q05-ITA/2012) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais 
que r1 – r2 e r1+ r2+ r3 são racionais. Das afirmações: 
 
I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional; 
II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional; 
III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais. 
 
É (São) sempre verdadeira(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) I, II e III. 
 
30. (Q13-ITA/2012) Sejam A, B e C subconjuntos de um 
conjunto universo U. Das afirmações: 
 
I. ( ) ( )c cA \ B \ C = A B C ;∩ ∪ 
II. ( ) ( )cc c cA \ B \ C A B C ;= ∪ ∩ 
III. ( )cc cB C B C∪ = ∩ . 
 
É (São) sempre verdadeira(s) apenas: 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e III. 
e) II e III. 
 
31. (Q14-ITA/2012) Sejam A e B dois conjuntos 
disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que 
( ) ( )( ) ( )( )n P A P B 1 n P A B .∪ + = ∪ Então a 
diferença ( ) ( )n A n B− pode assumir: 
 
a) um único valor. 
b) apenas dois valores distintos. 
c) apenas três valores distintos. 
d) apenas quatro valores distintos. 
e) mais do que quatro valores distintos. 
 
 
 
 
 
 
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32. (Q27-ITA/2012) Dos n alunos de um colégio, cada um 
estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, 
Física, Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam 
Matemática, 32% estudam Química e 36% estudam 
Física. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam 
apenas Física e Matemática, enquanto 4% estudam 
todas as três matérias. Os alunos que estudam apenas 
Química e Física mais aqueles que estudam apenas 
Matemática e Química totalizam 63 estudantes. 
Determine n. 
 
33. (Q01-ITA/2013) Sejam A, B e C subconjuntos de um 
conjunto universo U. Das informações: 
I. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); 
II. (A ∩ C) \ B = A ∩ Bc ∩ C; 
III. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C. 
 
é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I. d) apenas I e III. 
b) apenas II. e) todas. 
c) apenas I e II. 
 
34. (Q08-ITA/2013) Seja n > 6 um inteiro positivo não 
divisível por 6. Se, na divisão de n2 por 6, o quociente 
é um número ímpar, então o resto da divisão de n por 
6 é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
35. (Q01-ITA/2014) Das afirmações: 
I. Se x, y ,∈ R Q com y ≠ –x, então x y ;+ ∈ R Q 
II. Se x e y ,∈ ∈Q R Q então xy ;∈ R Q 
III. Sejam a, b, c ∈ R, com a < b < c. Se f: [a, c] → [a, b] 
é sobrejetora, então f não é injetora, 
 
é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I e II. d) apenas III. 
b) apenas I e III. e) nenhuma. 
c) apenas II e III. 
 
36. (Q8-ITA/2017) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {–1, –
2, –3, –4, –5}. Se C = {xy : x ∈ A e y ∈ B}, então o 
número de elementos de C é 
a) 10. 
b) 11. 
c) 12. 
d) 13. 
e) 14. 
 
NOTAÇÕES 
 
N = {1, 2, 3, ...} 
R: conjunto dos números reais 
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} 
[a, b[ = {x ∈ R; a ≤ x < b} 
]a, b[ = {x ∈ R; a < x < b} 
A\B = {x; x ∈ A e x ∉ B} 
k
n 1 2 k
n 1
k
n k
n 0 1 k
n 0
a a a ... a ,k
a x a a x ... a x ,k
=
=
= + + + ∈
= + + + ∈
∑
∑
�
�
 
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A 
n(A): número de elementos do conjunto finito A 
Arg z: argumento principal de z ∈ C \ {0}, Arg z ∈ [0, 2π[ 
f o g: função composta das funções f e g 
f ⋅ g : produto das funções f e g 
C: conjunto dos números complexos 
i: unidade imaginária: i2 = –1 
| z |: módulo do número z ∈ C 
z : conjugado do número z ∈ C 
Mmxn(R) : conjunto das matrizes reais m × n 
det A: determinante da matriz A 
At : transporte da matriz A 
A–1 : inversada matriz inversível A 
 
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados 
são cartesianos retangulares. 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
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FUNÇÕES 
 
1. (Q1-ITA/1986) Consideremos as seguintes afirmações 
sobre uma função f : R → R. 
I. Se existe x ∈ R, tal que f(x) ≠ f(–x), então f não é 
par; 
II. Se existe x ∈ R, tal que f(–x) = – f(x), então f é 
ímpar. 
III. Se f é par e ímpar, então existe x ∈ R tal que 
f(x) = 1. 
IV. Se f é ímpar, então f o f (f composta com f) é 
ímpar. 
 
 Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de 
números: 
a) 1 e 4 
b) 1, 2 e 4 
c) 1 e 3 
d) 3 e 4 
e) 1, 2 e 3 
 
2. (Q2-ITA/1986) Seja a ∈ R, 0 < a < 1 e f a função real 
de variável real definida por: 
 
( )
2
1
2x 2a a
f x
cos2 x 4 cos x 3
 −  =
π + π +
 
 
 Sobre o domínio A desta função, podemos afirmar que: 
a) ( ), 2 Z A− ∞ − ∩ ⊂ 
b) A 2, 2 Z = − ∩  
c) ( )2, 2 A− ⊂ 
d) { }x R : x Z e x 2 A∈ ∉ ≥ ⊂ 
e) A 2, 2 ⊂ −  
 
3. (Q3-ITA/1986) Seja f : R → R uma função que satisfaz 
à seguinte propriedade: ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + , x∀ , 
y ∈ R. Se ( ) ( )2210g x f log x 1 = + 
 
, então podemos 
afirmar que: 
a) o domínio de g é R e g(0) = f(1). 
b) g não está definida para os reais negativos e 
( ) ( )( )210g x 2f log x 1= + , para x 0≥ . 
c) ( ) ( ) ( )( )210g 0 0 e g x 2f log x 1 , x= = + ∀ ∈R . 
d) g(0) = f(0) e g é injetora. 
e) ( ) ( ) ( )
212
10g 0 1 e g x f log x 1 , x
−  = − = + ∀ ∈  
  
R 
4. (Q1-ITA/1987) Considere a função y = f(x) definida 
por f(x) = x3 – 2x2 + 5x, para cada x real. Sobre esta 
função, qual das afirmações abaixo é verdadeira? 
a) y = f(x) é uma função par. 
b) y = f(x) é uma função ímpar. 
c) f(x) ≥ 0 para todo real x. 
d) f(x) ≤ 0 para todo real x. 
e) f(x) tem o mesmo sinal de x, para todo real x ≠ 0. 
 
5. (Q2-ITA/1987) Considere x = g(y) a função inversa da 
seguinte função: 
( ) 2 1y f x x x 1, para cada número real x
2
= = − + ≥ 
 
 Nestas condições, a função g é assim definida: 
a) ( ) 1 3 3g y y , para cada y
2 4 4
= + − ≥ 
b) ( ) 1 1 1g y y , para cada y
2 4 4
= + − ≥ 
c) ( ) 3 3g y y , para cada y
4 4
= − ≥ 
d) ( ) 1 1g y y , para cada y
4 4
= − ≥ 
e) ( ) 3 1 1g y y , para cada y
4 2 2
= + − ≥ 
 
6. (Q2-ITA/1988) Seja f : R → R uma função 
estritamente decrescente, isto é, quaisquer x e y reais 
com x < y tem-se f(x) > f(y). Dadas as afirmações: 
I. f é injetora; 
II. f pode ser uma função par; 
III. se f possui inversa, então sua inversa também é 
estritamente decrescente. 
 
 Podemos assegurar que: 
a) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. 
b) apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. 
c) apenas a afirmação (I) é falsa. 
d) todas as afirmações são verdadeiras. 
e) apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
 
7. (Q3-ITA/1988) Sejam f e g funções reais de variável 
real definidas por ( ) ( ) ( )2 1f x n x x e g x 1 x= − = −� . 
Então, o domínio de f o g é: 
a) ] [0, e 
b) ] [0, 1 
c) [ ]e, e 1+ 
d) ] [1, 1− 
e) ] [1, + ∞ 
 
 Nota: f o g é a lei definida por (f o g)(x) = f(g(x)) para 
cada x de seu domínio. 
 
 
 
 
 
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8. (Q11-ITA/1988) Considere A(x) = log1/2 (2x2 + 4x + 3), 
x .∀ ∈ R Então temos: 
a) A(x) > 1, para algum x ∈ R, x > 1. 
b) A(x) = 1, para algum x ∈ R. 
c) A(x) < 1, apenas para x ∈ R tal que 0 < x < 1. 
d) A(x) > 1, para cada x ∈ R tal que 0 < x < 1. 
e) A(x) < 1, para cada x ∈ R. 
 
9. (Q12-ITA/1988) Seja f(x) = log2 (x2 – 1), x ,∀ ∈ R 
x < –1. A lei que define a inversa de f é: 
y
y
y
y
y
a) 1 2 , y .
b) 1 2 , y .
c) 1 1 2 , y .
d) 1 2 , y , y 0.
e) 1 1 2 , y , y 0.
+ ∀ ∈
− + ∀ ∈
− + ∀ ∈
− − ∀ ∈ ≤
+ + ∀ ∈ ≤
R
R
R
R
R
 
 
10. (Q20-ITA/1988) O conjunto imagem da função 
f: [0, 1] → [0, π] definida por 3x 1f (x) arccos
2
−= é 
[ ]
2 2a) 0, , d) 0,
4 3 3
b) 0, e) 0,
2
3c) ,
4 4
π π π   
      
π π   
π π 
  
 
 
 Nota: O conjunto imagem de uma função f: A → B é o 
conjunto {y ∈ B tal que y = f(x) para algum x ∈ A}. 
 
11. (Q1-ITA/1989) Os valores de α, 0 < α < π e α ≠ 
2
π , 
para os quais a função f: R → R dada por 
f(x) = 4x2 – 4x – tg2α assume seu valor mínimo igual a 
– 4, são: 
a) 3e
4 4
π π 
b) 2e
5 5
π π 
c) 2e
3 3
π π 
d) 2e
7 7
π π 
e) 2 3e
5 5
π π 
 
12. (Q3-ITA/1989) Sejam A e B subconjuntos de R, 
não vazios, possuindo B mais de um elemento. Dada 
uma função f: A → B, definidos L: A → (A x B) por 
L(a) = (a,f(a)), para todo a ∈ A. Podemos afirmar que: 
a) a função L sempre será injetora. 
b) a função L sempre será sobrejetora. 
c) se f for sobrejetora, então L também o será. 
d) se f não for injetora, então L também não o será. 
e) se f for bijetora, então L será sobrejetora. 
13. (Q32-ITA/1989) Sejam f, g: R → R duas funções tais 
que: 
a) gof: R → R é injetora. Verifique se f é injetora e 
justifique sua resposta. 
b) gof: R → R é sobrejetora. Verifique se g é 
sobrejetora e justifique sua resposta. 
 
14. (Q1-ITA/1990) Dadas as funções 
x
x
1 ef (x) ,
1 e
+=
−
 
x∈R–{0} e g(x) = x⋅sen x, x ∈ R, podemos afirmar 
que: 
a) ambas são pares. 
b) f é par e g é ímpar. 
c) f é ímpar e g é par. 
d) f não é par e nem ímpar e g é par. 
e) ambas são ímpares. 
 
15. (Q2-ITA/1990) Seja f: R→R a função definida por 
 2
x 2, se x 1
f (x) x , se 1 x 1
4, se x 1
+ ≤ −
= − < ≤
 >
 
 Lembrando que se A ⊂ R, então: 
 f –1 (A) = {x ∈ R: f(x) ∈ A} considere as afirmações. 
I. f não é injetora e f –1 ([3, 5]) = {4} 
II. f não é sobrejetora e f –1 ([3, 5]) = f –1 ([2, 6]) 
III. f é injetora e f – 1 ([0, 4]) = [-2, +∞[ 
 
Então podemos garantir que: 
a) apenas as afirmações II e III são falsas. 
b) as afirmações I e III são verdadeiras. 
c) apenas a afirmação II é verdadeira. 
d) apenas a afirmação III é verdadeira. 
e) todas as afirmações são falsas. 
 
16. (Q3-ITA/1990) Seja a função f: R – {2} → R – {3} 
definida por 2x 3f (x) 1.
x 2
−= +
−
 Sobre sua inversa 
podemos garantir que: 
a) não está definida, pois f não é injetora. 
b) não está definida, pois f não é sobrejetora. 
c) está definida por f –1(y) = 1
3y
2y −
−
− , y ≠ 3. 
d) está definida por f –1(y) = y 5 1, y 3.
y 3
+ − ≠
−
 
e) está definida por f –1(y) = 2y 5 , y 3.
y 3
− ≠
−
 
 
17. (Q10-ITA/1990) Sejam as funções f e g dadas por: 
 
 
1 se | x | 1
f : , f (x)
0 se | x | 1
2x 3g : {1} , g(x)
x 1
<
→ =  ≥
−− → =
−
R R
R R
 
 
 
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 Sobre a composta (fog)(x) = f(g(x)) podemos garantir 
que: 
a) 3se x , f (g(x)) 0
2
≥ = 
b) 3se 1 x , f (g(x)) 1
2
< < = 
c) 4se x 2, f (g(x)) 1
3
< < = 
d) 4se 1 x , f (g(x)) 1
3
< ≤ = 
e) n.d.a. 
 
18. (Q1-ITA/1991) Considere as afirmações: 
I. Se f: R→R é uma função par e g:R→R uma 
função qualquer, então a composição gof é uma 
função par. 
II. Se f: R→R é uma função par e g: R→R uma 
função ímpar, então a composição fog é uma 
função par. 
III. Se f: R→R é uma função ímpar e inversível então 
f –1: R→R é uma função ímpar. 
 
Então: 
a) apenas a afirmação I é falsa. 
b) apenas as afirmações I e II são falsas. 
c) apenas a afirmação III é verdadeira. 
d) todas as afirmações são falsas. 
e) n.d.a. 
 
19. (Q2-ITA/1991) Sejam a ∈ R, a > 1 e f: R → R definida 
por 
x xa af (x) .
2
−−= A função inversa de f é dada por: 
( )
( )
( )
( )
2
a
2
a
2
a
2
a
a) log x x 1 , para x 1.
b) log x x 1 , para x .
c) log x x 1 , para x .
d) log x x 1 , para x 1.
e) n.d.a.
− − >
− ÷ + ∈
+ + ∈
− + − < −
R
R 
 
20. (Q3-ITA/1991) Seja f: R → R definida por: 
 
x
2
e , se x 0
f (x) x 1, se 0 x 1.
nx, se x 1
 ≤

= − < <
 ≥�
 
 
 Se D é um subconjunto não vazio de R tal que f: D→R 
é injetora, então: 
a) D = R e f(D) = [–1, + ∞[ 
b) D = ]–∞, 1] ∪ ]e, +∞[ e f(D) = ]–1, +∞[ 
c) D = [0, +∞[ e f(D) = ]–1, +∞[ 
d) D = [0, e] e f(D) = [–1, 1] 
e) n.d.a.Notação: f(D) = {y ∈ R: y = f(x), x ∈ D} e (n x 
denota o logaritmo neperiano de x). 
Obs.: Esta questão pode ser resolvida graficamente. 
21. (Q1-ITA/1992) Considere as funções f: R* → R, g: R 
→ R e h: R* → R definidas por: f(x) = 
1x
x3
+
; g(x) = x2; 
h(x) = 81
x
. 
 
 O conjunto dos valores de x em R* tais que 
(fog)(x) = (hof)(x), é subconjunto de: 
a) [0, 3] d) [– 2, 2] 
b) [3, 7] e) n.d.a. 
c) [– 6, 1] 
 
22. (Q2-ITA/1992) O domínio da função 
 
2
2
(3x 5x 2)
2x 3x 1
f (x) log − +
− +
= é: 
( )
( ) ( )
1 3 3a) , 0 0, 0, ,
2 2 2
1 5 5b) , 1, ,
2 2 2
1 1 2 3 3c) , , 1, ,
2 2 3 2 2
d) , 0 1,
e) n.d.a.
     −∞ ∪ ∪ ∪ + ∞          
     −∞ ∪ ∪ + ∞          
       −∞ ∪ ∪ ∪ + ∞              
−∞ ∪ + ∞
 
 
23. (Q3-ITA/1992) Dadas as funções f: R → R e 
g: R → R ambas estritamente decrescentes e 
sobrejetoras, considere h = fog. Então podemos 
afirmar que: 
a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa 
é estritamente crescente. 
b) h é estritamente decrescente, inversível e sua 
inversa é estritamente crescente. 
c) h é estritamente crescente, mas não é 
necessariamente inversível. 
d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa 
é estritamente decrescente. 
e) n.d.a. 
 
24. (Q7-ITA/1993) Seja f : R → R uma função não nula, 
ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes 
afirmações. 
I. f(p) ≠ 0; 
II. f(− x) = −f(x + p), ∀ ∈x R ; 
III. f(− x) = f(x − p), ∀ ∈x R ; 
IV. f(x) = −f(− x), ∀ ∈x R . 
 
Podemos concluir que: 
a) I e II são falsas. 
b) I e III são falsas. 
c) II e III são falsas. 
d) I e IV são falsas. 
e) II e IV são falsas. 
 
 
 
 
 
 
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25. (Q12-ITA/1993) Um acidente de carro foi presenciado 
por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O 
número de pessoas que soube do acontecimento t 
horas após é dado por: k t
Bf (t) .
1 Ce− ⋅
=
+
 
 Onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 
da população soube do acidente 3 horas após, então o 
tempo que passou até que 1/5 da população soubesse 
da notícia foi de: 
a) 4 horas 
b) 5 horas 
c) 6 horas 
d) 5 horas e 24 minutos 
e) 5 horas e 30 minutos 
 
 
26. (Q3-ITA/1994) Dadas as funções reais de variável real 
f(x) = mx + 1 e g(x) = x + m, onde m é uma constante 
real com 0 < m < 1, considere as afirmações. 
I. (f o g) (x) = (g o f) (x), para algum x ∈ R; 
II. f(m) = g(m); 
III. Existe a ∈ R tal que (f o g) (a) = f(a); 
IV. Existe b ∈ R tal que (g o f) (b) = mb; 
V. 0 < (g o g) (m) < 3 
 
Podemos concluir que: 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas quatro são verdadeiras. 
c) apenas três são verdadeiras. 
d) apenas duas são verdadeiras. 
e) apenas uma é verdadeira. 
 
27. (Q2-ITA/1995) Seja a função f: R → R definida por 
a x se x
2 2f (x)
a sen x se x
2 x 2
 π π + <   = 
π π − ≥
. 
 Onde a > 0 é uma constante. Considere K = {y ∈ R; 
f(y) = 0}. 
Qual o valor de a, sabendo-se que f K ?
2
π  ∈  
 
2
2
a)
4
b)
2
c)
d)
2
e)
π
π
π
π
π
 
 
28. (Q3-ITA/1995) Uma vez que, para todo x ≥ 1 e n ∈ N, 
vale a desigualdade xn > n(x – 1), temos como 
consequência que, para 0 < x < 1 e n ∈ N, tem-se: 
a) xn – 1 < [n(1 + x)]– 1 
b) xn – 1 < [(n + 1)(1 + x)] – 1 
c) xn – 1 < [n2(1 – x)] – 1 
d) x n – 1 < [(n + 1)(1 – x)] – 1 
e) xn – 1 < [n(1 – x)] – 1 
29. (Q7-ITA/1995) Os dados experimentais da tabela 
abaixo correspondem às concentrações de uma 
substância química medida em intervalos de 1 
segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três 
pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a 
concentração (em moles) após 2,5 segundos é: 
 
Tempo (s) Concentração (moles) 
1 3,00 
2 5,00 
3 1,00 
 
a) 3,60 
b) 3,65 
c) 3,70 
d) 3,75 
e) 3,80 
 
30. (Q7-ITA/1996) Seja f: R *+ → R uma função injetora 
tal que f(1) = 0 e f(xy) = f(x) + f(y) para todo 
x > 0 e y > 0. Se x1, x2, x3, x4 e x5 formam nessa ordem 
uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 
3, 4, 5 e sabendo que 
5
i 1
i 1
f (x ) 13f (2) 2f (x )
=
= +∑ e 
∑
= +



4
1i 1i
i
x
xf = – 2f(2x1), então, o valor de x1 é: 
a) – 2 d) 4 
b) 2 e) 1 
c) 3 
 
31. (Q22-ITA/1996) Considere as funções reais f e g 
definidas por: 
f(x) = 2
1 2x ,
1 x
+
−
 x ∈ R – {–1, 1} e g(x) = x
1 2x+
, 
x ∈ R – {– 1/2}. O maior subconjunto de R onde pode 
ser definida a composta f o g, tal que (f o g)(x) < 0, é: 
a) ] – 1, – 1/2[ ∪ ] – 1/3, – 1/4[ 
b) ] – ∞, – 1[ ∪ ] – 1/3, – 1/4[ 
c) ] – ∞, – 1[ ∪ ] – 1/2, 1[ 
d) ]1, ∞[ 
e) ] – 1/2, – 1/3[ 
 
32. (Q23-ITA/1996) Seja f: R → R definida por: 
f(x) = 
2
3x 3, x 0
x 4x 3, x 0
+ ≤
 + + >
 
a) f é bijetora e (f o f)( – 2/3) = f–1(21). 
b) f é bijetora e (f o f) ( – 2/3) = f–1(99). 
c) f é sobrejetora mas não é injetora. 
d) f é injetora mas não é sobrejetora. 
e) f é bijetora e (f o f) ( – 2/3) = f–1(3). 
 
 
 
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33. (Q1-ITA/1997) Se Q e I representam, respectivamente, 
o conjunto dos números racionais e o conjunto dos 
números irracionais, considere as funções f: R → R 
definidas por f(x) = 
0, se x Q
1, se x I
∈
 ∈
 e g(x) = 
1, se x Q
0, se x I
∈
 ∈
. 
 
Seja J a imagem da função composta fog: R → R. 
Podemos afirmar que: 
a) J = R 
b) J = Q 
c) J = {0} 
d) J = {1} 
e) J = {0, 1} 
 
34. (Q2-ITA/1997) Seja n ∈ N com n > 1 fixado. 
Considere o conjunto A = 






<<∈ nq0 e Zq,p:
q
p . 
Definimos f: R → R por f(x) = [cos(n!πx)]2n. Se f(A) 
denota a imagem do conjunto A pela função f , então: 
a) f(A) = ] – 1, 1[ 
b) f(A) = [0, 1] 
c) f(A) = {1} 
d) f(A) = {0} 
e) f(A) = {0, 1} 
 
35. (Q3-ITA/1997) O domínio D da função 
2 2
n 2
x (1 )x
f (x) l
2x 3 x
 π − + π + π
 =
− + π  
 é o conjunto 
{ }
3a) D x : 0 x
2
1b) D x : x ou x
1c) D x : 0 x ou x
d) D x : x 0
1 3e) D x : 0 x ou x
2
π = ∈ < < 
 
 = ∈ < > π π 
 = ∈ < ≤ ≥ π π 
= ∈ >
π = ∈ < < π < < π 
R
R
R
R
R
 
 
36. (Q11-ITA/1997) Sejam f, g: R → R funções tais que: 
g(x) = 1 – x e f(x) + 2f(2 – x) = (x – 1)3 para todo 
x ∈ R. Então f[g(x)] é igual a: 
a) ( x – 1)3 
b) (1 – x)3 
c) x3 
d) x 
e) 2 – x 
 
37. (Q1-ITA/1998) Seja f: R → R a função definida por 
f(x) = 2sen 2x – cos 2x. Então: 
a) f é ímpar e periódica de período π. 
b) f é par e periódica de período π/2. 
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período π. 
d) f não é par e é periódica de período π/4. 
e) f não é ímpar e não é periódica. 
 
 
38. (Q11-ITA/1998) Seja f: R → R a função definida por 
f(x) = – 3ax, onde a é um número real, 0 < a < 1. Sobre 
as afirmações: 
I. f(x + y) = f(x) ⋅ f(y), para todo x, y ∈ R. 
II. f é bijetora. 
III. f é crescente e f( ] 0 , + ∞[ ) = ]-3 , 0[. 
 
Podemos concluir que: 
a) todas as afirmações são falsas. 
b) todas as afirmações são verdadeiras. 
c) apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
d) apenas a afirmação II é verdadeira. 
e) apenas a afirmação III é verdadeira. 
 
39. (Q12-ITA/1998) Sejam as funções f: R → R e 
g: A ⊂ R → R, tais que f(x) = x2 – 9 e (f o g)(x) = 
x – 6, em seus respectivos domínios. Então, o domínio 
A da função g é: 
a) [– 3, + ∞[ 
b) R 
c) [– 5 , + ∞[ 
d) ]– ∞, – 1[ ∪ [3, + ∞[ 
e) ]– ∞, 6 [ 
 
40. (Q6-ITA/1999) Sejam f, g, h: R → R funções tais que 
a função composta h o g o f: R → R é a função 
identidade. Considere as afirmações: 
I. A função h é sobrejetora. 
II. Se x0 ∈ R é tal que f(x0) = 0, então f(x) ≠ 0 para 
todo x ∈ R com x ≠ x0. 
III. A equação h(x) = 0 tem solução em R. 
 
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
41. (Q16-ITA/1999) Considere as funções f e g definidas 
por f(x) = x – 2/x, para x ≠ 0 e g(x) = x
x 1+
, 
para x ≠ – 1. O conjunto de todas as soluções da 
inequação(g o f) (x) < g(x) é: 
a) [1, + ∞[ 
b) ]– ∞, – 2[ 
c) [– 2, – 1[ 
d) ]– 1, 1[ 
e) ]– 2, – 1[ ∪ ]1, + ∞[ 
 
 
 
 
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14 
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42. (Q1-ITA/2000) Sejam f, g: R → R definidas por 
f(x) = x3 e g(x) = 103 cos 5x. Podemos afirmar que: 
a) f é injetora e par e g é ímpar. 
b) g é sobrejetora e g o f é par. 
c) f é bijetora e g o f é ímpar. 
d) g é par e g o f é impar. 
e) f é ímpar e g o f é par. 
 
43. (Q10-ITA/2000) Considere f: R → R definida por 
xf (x) 2sen 3x cos .
2
− π = −   
 Sobre f podemos 
afirmar que 
a) é uma função par. 
b) é uma função ímpar e periódica de período 
fundamental 4π. 
c) é uma função ímpar e periódica de período 
fundamental 4π/3. 
d) é uma função periódica de período fundamental 2π. 
e) não é par, não é ímpar e não é períodica. 
 
44. (Q15-ITA/2001) Se f: ]0, 1[ → R é tal que, ∀x ∈ ]0, 1[, 
( )
2
1xf < e f(x) = 







 ++




2
1xf
2
xf
4
1 , então a 
desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ... e 
0 < x < 1 é: 
a) n
1 1| f (x) |
22
+ < d) n
1| f (x) |
2
> 
b) n
1 1| f (x) |
22
≤ ≤ e) n
1| f (x) |
2
< 
c) n 1
1 1| f (x) |
22 +
< < 
 
45. (Q16-ITA/2001) Considere as funções 
x5 7f (x) ,
4
+= 
x5 7g(x) e h(x) arctg x .
4
−= = Se a é tal que 
h(f (a)) h(g(a)) ,
4
π+ = então f(a) – g(a) vale: 
a) 0 d) 7
2
 
b) 1 e) 7 
c) 7
4
 
 
46. (Q17-ITA/2001) O conjunto de todos os valores 
de m para os quais a função 
)2m(x)1m2(x
)3m(x)3m2(x)x(f
22
22
++++
++++= está definida e é 
não-negativa para todo x real é: 
a) 1 7,
4 4
 
  
 d) 1,
4
 −∞  
 
b) 1 ,
4
 ∞  
 e) 1 7,
4 4
 
  
 
c) 70,
4
 
  
 
47. (Q2-ITA/2002) Sejam a, b, c reais não-nulos e 
distintos, c > 0. Sendo par a função dada por 
,cxc,
cx
bax)x(f <<−
+
+= então f(x), para – c < x < c, é 
constante e igual a: 
a) a + b 
b) a + c 
c) c 
d) b 
e) a 
 
48. (Q7-ITA/2002) Seja f : R → P(R) dada por f(x) = 
{y ∈ R; sen y < x}. Se A é tal que f(x) = R, ∀ x ∈ A, 
então: 
a) A = [– 1, 1] 
b) A = [a, ∞), ∀ a > 1 
c) A = [a, ∞), ∀ a ≥ 1 
d) A = (– ∞, a], ∀ a < –1 
e) A = (– ∞, a], ∀ a ≤ –1 
 
49. (Q10-ITA/2002) Dada a função quadrática 
f(x) = x2�n
3
2 +x �n6 – 
4
1 �n
2
3 temos que: 
a) a equação f(x) = 0 não possui raízes reais. 
b) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais distintas 
e o gráfico de f possui concavidade para cima. 
c) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais iguais e 
o gráfico de f possui concavidade para baixo. 
d) o valor máximo de f é n2 n3 .
n3 n2−
� �
� �
 
e) o valor máximo de f é n2 n32
n3 n2−
� �
� �
. 
 
50. (Q4-ITA/2003) Considere uma função f : R → R 
não-constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R. 
Das afirmações: 
I. f(x) > 0, ∀x ∈ R; 
II. f(nx) = [f(x)]n, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N*; 
III. f é par. 
 
é(são) verdadeira(s): 
a) apenas I e II. d) todas. 
b) apenas II e III. e) nenhuma. 
c) apenas I e III. 
 
51. (Q24-ITA/2003) Mostre que toda função f : R \ {0} → R, 
satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, 
é par. 
 
52. (Q4-ITA/2004) Considere a função f: R → C, f(x) = 
2 cos x + 2i sen x. Então, ∀x,y∈R, 
o valor do produto f(x) ⋅ f(y) é igual a: 
a) f(x + y) 
b) 2f(x + y) 
c) 4if(x + y) 
d) f(xy) 
e) 2f(x) + 2if(y) 
 
 
 
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53. (Q13-ITA/2004) Sejam as funções f e g definidas em 
R por f(x) = x2 + αx e g(x) = –(x2 + βx), em que α e β 
são números reais. Considere que estas funções são 
tais que: 
 
f g 
Valor 
mínimo 
Ponto de 
mínimo 
Valor 
máximo 
Ponto de 
máximo 
–1 < 0 
4
9
 > 0 
 
 Então, a soma de todos os valores de x para os quais 
(f o g) (x) = 0 é igual a: 
 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
54. (Q23-ITA/2004) Determine os valores reais do 
parâmetro a para os quais existe um número real x 
satisfazendo 21 x a x.− ≥ − 
 
55. (Q1-ITA/2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 
6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações: 
I. {0} ∈ S e S ∩ U ≠ ∅. 
II. {2} ⊂ S \ U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}. 
III. Existe uma função f : S → T injetiva. 
IV. Nenhuma função g: T → S é sobrejetiva. 
 
Então, é (são) verdadeira(s): 
a) apenas I. 
b) apenas IV. 
c) apenas I e IV. 
d) apenas II e III. 
e) apenas III e IV. 
 
56. (Q12-ITA/2005) O menor inteiro positivo n para o 
qual a diferença 1nn −− fica menor que 0,01 é: 
 
a) 2499 d) 3600 
b) 2501 e) 4900 
c) 2500 
 
57. (Q13-ITA/2005) Seja D = R \ {1} e f : D → D uma 
função dada por .
1x
1x)x(f
−
+= Considere as afirmações: 
I. f é injetiva e sobrejetiva. 
II. f é injetiva, mas não sobrejetiva. 
III. 1f (x) f 0,
x
 + =  
 para todo x ∈ D, x ≠ 0. 
IV. f(x) ⋅ f(– x) = 1, para todo x ∈ D. 
 
Então, são verdadeiras: 
a) apenas I e III. 
b) apenas I e IV. 
c) apenas II e III. 
d) apenas I, III e IV. 
e) apenas II, III e IV. 
58. (Q26-ITA/2005) Considere a equação em x ∈ R 
1 mx x 1 m,+ = + − sendo m um parâmetro real. 
a) Resolva a equação em função do parâmetro m. 
b) Determine todos os valores de m para os quais a 
equação admite solução nula. 
 
59. (Q22-ITA/2006) Seja 
 
2x,0 x 1/ 2
f :[0,1) definida por f (x)
2x 1,1/ 2 x 1
≤ <
→ =  − ≤ <
R . 
 Seja 
f (x 1/ 2), 1/ 2 x 0
g : ( 1/ 2,1/ 2) dada por g(x)
1 f (x 1/ 2),0 x 1/ 2
+ − < <
− → =  − + ≤ <
R 
com f definida acima. Justificando a resposta, 
determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 
 
60. (Q24-ITA/2007) Considere a equação: 
 2 2x p 2 x 1 x.− + − = 
a) Para que valores do parâmetro real p a equação 
admite raízes reais? 
b) Determine todas essas raízes reais. 
 
 
61. (Q15-ITA/2008) Um subconjunto D de R tal que a 
função f : D → R, definida por ( ) ( )2f x n x x 1= − +� 
é injetora, é dado por: 
a) R d) ( )0, 1 
b) ( ], 1−∞ e) 1 ,
2
 ∞ 
 
c) 10,
2
 
  
 
 
 
62. (Q21-ITA/2008) Dado o conjunto 
 { }2 2A x ; 3x 2x x= ∈ + <R , expresse-o como união 
de intervalos da reta real. 
 
 
63. (Q23-ITA/2008) Seja ( ) ( )2f x n x x 1 ,= + +� x ∈ R. 
Determine as funções h, g : R → R tais que 
 f(x) = g(x) + h(x), ∀ x ∈ R, sendo h uma função par e 
g uma função ímpar. 
 
 
64. (Q3-ITA/2009) Seja f: R → R \ {0} uma função 
satisfazendo às condições: f(x + y) = f(x)f(y), para 
todo x, y ∈ R e f(x) ≠ 1, para todo x ∈ R \ {0}. 
 Das afirmações: 
I. f pode ser ímpar; 
II. f(0) = 1; 
III. f é injetiva; 
IV. f não é sobrejetiva, pois f(x) > 0 para todo x ∈R. 
 
é (são) falsa( s) apenas: 
a) I e III 
b) II e III 
c) I e IV 
d) IV 
e) I 
 
 
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65. (Q23-ITA/2009) Seja f : R\{–1} → R definida por 
2x 3f (x)
x 1
+=
+
. 
a) Mostre que f é injetora. 
b) Determine D = {f(x); x ∈ R\{–1}} e f –1 : D → R\{–1}. 
 
66. (Q6-ITA/2010) Sejam f, g : R → R tais que f é par e 
g é ímpar. Das seguintes afirmações: 
I. f ⋅g é ímpar; 
II. f o g é par; 
III. g o f é ímpar. 
 
é (são) verdadeira(s): 
a) apenas I. d) apenas I e II. 
b) apenas II. e) todas. 
c) apenas III. 
 
67. (Q23-ITA/2010) Analise se a função 
x x3 3f : ,f (x)
2
−−→ =� � é bijetora e, em caso 
afirmativo, determine a função inversa f –1. 
 
68. (Q24-ITA/2010) Seja f: R → R bijetora e ímpar. 
Mostre que a função inversa f –1: R → R também é 
ímpar. 
 
69. (Q28-ITA/2012) Analise se: 
 ( )
2
2
3 x , x 0
f : , f x
3 x , x 0
 + ≥→ = 
− <
� � é bijetora e, em caso 
afirmativo, encontre 1f : .− →� � 
 
70. (Q7-ITA/2013) Considere funções f, g, f + g: R → R. 
Das afirmações: 
I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora; 
II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora; 
III. Se f e g não são injetoras, f + g é injetora; 
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é 
sobrejetora, 
 
é(são) verdadeira(s) 
a) nenhuma. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas III e IV. 
e) todas. 
 
71. (Q02-ITA/2014) Considere as funções f , g : ,→Z R 
f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n são 
constantes reais. Se A e B sãoas imagens de f e de g, 
respectivamente, então, das afirmações abaixo: 
I. Se A = B, então a = b e m = n. 
II. Se A = Z, então a = 1. 
III. Se a, b, m, n ∈ Z, com a = b e m = –n, então A = B, 
 
é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) nenhuma. 
72. (Q21-ITA/2014) Considere as funções f : R → R, 
f(x) = eαx, em que α é uma constante real positiva, e 
g :[0, [ , g(x) x.∞ → =R Determine o conjunto-
solução da inequação (gof)(x) > (fog)(x). 
 
73. (Q2-ITA/2016) Se x é um número natural com 2015 
dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de 
7 x é igual a 
a) 285 d) 288 
b) 286 e) 289 
c) 287 
 
74. (Q1-ITA/2017) Sejam X e Y dois conjuntos finitos 
com X ⊂ Y e X ≠ Y . Considere as seguintes 
afirmações: 
I. Existe uma bijeção f : X → Y . 
II. Existe uma função injetora g : Y → X. 
III. O número de funções injetoras f : X → Y é igual ao 
número de funções sobrejetoras g : Y → X. 
 
É (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma delas. d) apenas I e II. 
b) apenas I. e) todas. 
c) apenas III. 
 
75. (Q4-ITA/2018) Considere as funções f, g: R → R 
dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d 
∈ R, a ≠ 0 e c ≠ 0. Se f–1 ° g–1 = g–1 ° f–1, então uma 
relação entre as constantes a, b, c e d é dada por 
a) b + ad = d + bc 
b) d + ba = c + db 
c) a + db = b + cd 
d) b + ac = d + ba 
e) c + da = b + cd 
 
 
 
 
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NOTAÇÕES 
 
N = {1, 2, 3, ...} 
R: conjunto dos números reais 
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} 
[a, b[ = {x ∈ R; a ≤ x < b} 
]a, b[ = {x ∈ R; a < x < b} 
A\B = {x; x ∈ A e x ∉ B} 
k
n 1 2 k
n 1
k
n k
n 0 1 k
n 0
a a a ... a ,k
a x a a x ... a x ,k
=
=
= + + + ∈
= + + + ∈
∑
∑
�
�
 
 
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A 
n(A): número de elementos do conjunto finito A 
Arg z: argumento principal de z ∈ C \ {0}, Arg z ∈ [0, 2π[ 
f o g: função composta das funções f e g 
f ⋅ g : produto das funções f e g 
C: conjunto dos números complexos 
i: unidade imaginária: i2 = –1 
| z |: módulo do número z ∈ C 
z : conjugado do número z ∈ C 
Mmxn(R) : conjunto das matrizes reais m × n 
det A: determinante da matriz A 
At : transporte da matriz A 
A–1 : inversa da matriz inversível A 
 
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados 
são cartesianos retangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 
 
1. (Q4-ITA/1988) Sabendo-se que as soluções da 
equação 2x x 6 0− − = são raízes da equação 
2x ax b 0− + = , podemos afirmar que: 
a) a = 1 e b = 6 
b) a = 0 e b = – 6 
c) a = 1 e b = – 6 
d) a = 0 e b = –9 
e) não existem a e b tais que x2 – ax + b = 0 
contenha todas as raízes da equação dada. 
 
2. (Q9-ITA/1991) Se A = {x ∈R: |x2 + x + 1| ≤ |x2 + 
2x – 3|}, então temos: 
a) A = [– 2, 1
2
] ∪ [4, + ∞[ 
b) A = [ 1
2
, 4] 
c) A = [– 3, 1] 
d) A = ]– ∞, – 3] ∪ [1, + ∞[ 
e) n.d.a. 
 
3. (Q3-ITA/2002) Os valores de x ∈ R, para os quais a 
função real dada por |6|1x2||5)x(f −−−= está 
definida, formam o conjunto: 
a) [0, 1] 
b) [– 5, 6] 
c) [– 5, 0] ∪ [1, ∞) 
d) (– ∞, 0] ∪ [1, 6] 
e) [– 5, 0] ∪ [1, 6] 
 
4. (Q11-ITA/2007) Sobre a equação na variável real x, 
|||x – 1| – 3| – 2 | = 0, podemos afirmar que 
a) ela não admite solução real. 
b) a soma de todas as suas soluções é 6. 
c) ela admite apenas soluções positivas. 
d) a soma de todas as soluções é 4. 
e) ela admite apenas duas soluções reais. 
 
5. (Q14-ITA/2008) Para x ∈ R, o conjunto-solução de 
3x 2x 1 x x5 5 4 5 5 1+− + ⋅ = − é: 
a) { }0, 2 5 , 2 3± ± 
b) ( ){ }50, 1, log 2 5+ 
c) 5 5 5
1 1 20, log 2, log 3, log
2 2 2
   
      
 
d) ( ) ( ) ( ){ }5 5 50, log 2 5 , log 2 3 , log 2 3+ + − 
e) A única solução é x = 0 
 
 
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6. (Q9-ITA/2011) O produto das raízes da equação 
|x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a: 
a) –5 
b) –1 
c) 1 
d) 2 
e) 5 
 
7. (Q7-ITA/2017) O número de soluções inteiras da 
inequação 0 ≤ x2 – |3x2 + 8x| ≤ 2 é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
NOTAÇÕES 
 
N = {1, 2, 3, ...} 
R: conjunto dos números reais 
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} 
[a, b[ = {x ∈ R; a ≤ x < b} 
]a, b[ = {x ∈ R; a < x < b} 
A\B = {x; x ∈ A e x ∉ B} 
k
n 1 2 k
n 1
k
n k
n 0 1 k
n 0
a a a ... a ,k
a x a a x ... a x ,k
=
=
= + + + ∈
= + + + ∈
∑
∑
�
�
 
 
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A 
n(A): número de elementos do conjunto finito A 
Arg z: argumento principal de z ∈ C \ {0}, Arg z ∈ [0, 2π[ 
f o g: função composta das funções f e g 
f ⋅ g : produto das funções f e g 
 
C: conjunto dos números complexos 
i: unidade imaginária: i2 = –1 
| z |: módulo do número z ∈ C 
z : conjugado do número z ∈ C 
Mmxn(R) : conjunto das matrizes reais m × n 
det A: determinante da matriz A 
At : transporte da matriz A 
A–1 : inversa da matriz inversível A 
 
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados 
são cartesianos retangulares. 
 
 
SEQUÊNCIAS 
 
1. (Q3-ITA/1987) Seja f : →R R uma função tal 
que: f(x) ≠ 0, para cada x em R e f(x + y) = f(x) ⋅ f(y), 
para todos x e y em R. Considere (a1, a2, a3, a4) uma 
P.A. de razão r, tal que a1= 0. 
 Então, (f(a1), f(a2), f(a3), f(a4)): 
a) é uma P.A. de razão igual a f(r) e 1º termo 
f(a1) = f(0). 
b) é uma P.A. de razão igual a r. 
c) é uma P.G. de razão igual a f(r) e 1º termo 
f(a1) = 1. 
d) é uma P.G. de razão igual a r e 1º termo 
f(a1) = f(0). 
e) não é necessariamente uma P.A. ou uma P.G. 
 
2. (Q8-ITA/1988) Suponha que os números 2, x, y e 
1.458 estão, nesta ordem, em progressão geométrica. 
Desse modo, o valor de x + y é: 
a) 90 d) 360 
b) 100 e) 1460 
c) 180 
 
3. (Q9-ITA/1988) Sejam a, b e c constantes reais com 
a ≠ 0 formando, nesta ordem, uma progressão 
aritmética e tais que a soma das raízes da equação 
2ax bx c 0+ + = é 2− . Então, uma relação válida 
entre b e c é: 
a) ( )bc 2 1
2
= − 
b) ( )c b 2 2= − 
c) ( )c b 2 1= − 
d) c b 2= 
e) ( )bc 4 22= − 
 
4. (Q18-ITA/1989) Numa progressão geométrica de razão 
q, sabemos que a1 = 
q
1 , a1an = 
5
3
2




 e o produto dos n 
primeiros termos é q20. Então, a soma dos n primeiros 
termos é igual a: 
a) 6
88
3
23
2
1 − d) 6
66
3
23
4
1 − 
 
b) 6
66
3
23
2
1 − e) 8
66
3
23
4
1 − 
 
c) 6
88
3
23
4
1 − 
 
 
VESTIBULAR POR ASSUNTO – MATEMÁTICA ITA – 1987 A 2018 
19 
OSG.: 124146/18 
5. (Q19-ITA/1989) Numa progressão geométrica com n 
termos, n > 1, sabemos que o primeiro é igual a 
n
n1+ e 
que a soma deles vale 
2
n31+ . Então, o produto da 
razão desta progressão pelo último termo é igual a: 
a) 2n d) 3/n 
b) 2/n e) 5n 
c) 3n 
 
6. (Q9-ITA/1990) Numa progressão geométrica de três 
termos, a razão é e– 2a, a soma dos termos é 7 enquanto 
que a diferença do último termo com o primeiro é 3. 
Nestas condições, o valor de a é: 
a) �n 2 
b) – �n 5
2
 
c) �n 3 
d) – �n 2 
e) não existe número real a nestas condições. 
 
7. (Q10-ITA/1991) Na divisão de P(x) a5x5 + 2x4 + a4x3 + 
8x2 – 32x + a3 por x – 1, obteve-se o quociente 
Q(x) = b4x4 + b3x3 + b2x2 + b1x + b0 e o resto –6. Sabe-se 
que (b4, b3, b2, b1) é uma progressão geométrica de 
razão q > 0 e q ≠ 1. Podemos afirmar: 
a) b3 + a3 = 10 
b) b4 + a4 = 6 
c) b3 + b0 = 12 
d) b4 + b1 = 16 
e) n.d.a 
 
8. (Q11-ITA/1991) Numa progressão geométrica de 
razão q, sabe-se que: 
I. o produto do logaritmo natural do primeiro termo 
a1 pelo logaritmo natural da razão é 24. 
II. a soma do logaritmo natural do segundo termo 
com o logaritmo natural do terceiro termo é 26. 
 
Se ln q é um número inteiro, então o termo geral 2n 
vale: 
a) e6n – 2 d) e4 + 6n 
b) e4 + 6n e) nda 
c) e24n 
 
 Notação:ln q denota o logaritmo natural (ou neperiano) 
de q. 
 
9. (Q8-ITA/1992) Numa progressão geométrica de razão 
inteira q > 1, sabe-se que a1an = 243, logqPn = 20 e 
logqan = 6, onde an é o n-ésimo termo da progressão 
geométrica e Pn é o produto dos n primeiros termos. 
 Então a soma dos n primeiros termosé igual a: 
a) 
93 1
6
− d) 
93 1
3
− 
b) 
103 1
6
− e) nda 
c) 
83 1
6
− 
10. (Q9-ITA/1992) Sejam a, b, c, d números reais não 
nulos que estão, nesta ordem, progressão aritmética. 
Sabendo que o sistema abaixo 
a c b
d b
24 2 x 2 y 2
3
3 x 9 3 y 81
 ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅

 ⋅ + ⋅ ⋅ =
 
 
 é possível e indeterminado, podemos afirmar que a 
soma dessa progressão aritmética é: 
a) 13 d) 30 
b) 16 e) n.d.a 
c) 28 
 
11. (Q13-ITA/1993) Numa progressão aritmética com 2n 
+ 1 termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a 
soma dos n últimos é 140. Sabendo que a razão desta 
progressão é um inteiro entre 2 e 13, então seu último 
termo será igual a: 
a) 34 
b) 40 
c) 42 
d) 48 
e) 56 
 
12. (Q14-ITA/1993) A soma dos 5 primeiros termos de 
uma progressão aritmética de razão r é 50 e a soma 
dos termos de uma progressão geométrica infinita de 
razão q é 12. Se ambas as progressões tiverem o 
mesmo termo inicial menor do que 10 e sabendo que q 
= r2, podemos afirmar que a soma dos 4 primeiros 
termos da progressão geométrica será: 
a) 623/11 
b) 129/32 
c) 35/2 
d) 765/64 
e) 13 
 
13. (Q9-ITA/1994) Seja (a1, a2, ..., an) uma progressão 
geométrica com um número ímpar de termos de razão 
q > 0. O produto de seus termos é igual a 225 e o termo 
do meio é 25. Se a soma dos (n – 1) primeiros termos é 
igual a 2(1 + q)(1 + q2), então: 
a) a1 + q =16 
b) a1 + q = 12 
c) a1 + q = 10 
d) a1 + q + n = 20 
e) a1 + q + n = 11 
 
14. (Q16-ITA/1994) Seja (a, b, c, d, e) uma progressão 
geométrica de razão a, com a > ???? a ≠ 1. Se a soma 
de seus termos é igual a 13a + 12 e x é um número real 
positivo diferente de 1 tal que: 
 
a b c d e
1 1 1 1 1 5 ,
log x log x log x log x log x 2
+ + + + = então x 
é igual a: 
a) 33 
b) 23 
c) (5/2)2 
d) (5/2)3/2 
e) (2/5)2 
 
 
 
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15. (Q6-ITA/1995) Se a soma dos termos da progressão 
geométrica dada por 0,3 : 0,03 : 0,003 : ... é igual ao 
termo médio de uma progressão aritmética de três 
termos, então a soma dos termos da progressão 
aritmética vale: 
a) 1
3
 
b) 2
3
 
c) 1 
d) 2 
e) 1
2
 
 
16. (Q9-ITA/1997) Seja θ um valor fixado no intervalo 
]0, π/2[. Sabe-se que a1 = cotgθ é o primeiro termo de 
uma progressão geométrica infinita de razão q = sen2θ. 
A soma de todos os termos dessa progressão é: 
a) cossec θ ⋅ tg θ 
b) sec θ ⋅ tg θ 
c) sec θ ⋅ cossec θ 
d) sec2θ 
e) cossec2θ 
 
17. (Q18-ITA/1997) Os números reais x, y e z formam, 
nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r. 
Seja a um número real com a > 0 e a ≠ 1 satisfazendo 
3ax + 2ay – az = 0. Então r é igual a: 
a) a2 d) loga(3/2) 
b) (1/2)a e) loga3 
c) log2a4 
 
18. (Q19-ITA/1997) A sequência (a1, a2, a3, a4) é uma 
progressão geométrica de razão q ∈ R* com q ≠ 1 e 
a1 ≠ 0. Com relação ao sistema 1 2
3 4
a x a y c
a x a y d
+ =
 + =
 podemos 
afirmar que 
a) é impossível para c, d ∈ [–1, 1]. 
b) é possível e determinado somente se c = d. 
c) é indeterminado quaisquer que sejam c, d ∈ R. 
d) é impossível quaisquer que sejam c, d ∈ R*. 
e) é indeterminado somente se d = cq2. 
 
19. (Q7-ITA/1998) Seja (a1, a2, a3, ...) uma progressão 
geométrica infinita de razão a1, 0 < a1 < 1, e soma igual 
a 3a1. A soma dos três primeiros termos desta 
progressão geométrica é: 
a) 8
27
 
b) 20
27
 
c) 26
27
 
d) 30
27
 
e) 38
27
 
20. (Q7-ITA/1998) Considere a, b ∈ R e a equação 
2e3x + ae2x + 7ex + b = 0. Sabendo que as três raízes 
reais x1, x2, x3 desta equação formam, nesta ordem, 
uma progressão aritmética cuja soma é igual a zero, 
então a – b vale: 
a) 5 d) –5 
b) –7 e) 9 
c) –9 
 
21. (Q10-ITA/1999) O conjunto de todos os números reais 
q > 1, para os quais a1, a2 e a3, formam, nesta ordem, 
uma progressão geométrica de razão q e representam 
as medidas dos lados de um triângulo, é: 
a) ]1, 
1 5
2
+
[ 
b) ]1, 
1 5
2
+
] 
c) ]1, 
1 5
5
+
] 
d) ]1, 
1 5
4
+
[ 
e) ]1, 1+ 5 [ 
 
22. (Q11-ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência 
(2 + 3n, – 5n, 1 – 4n) uma progressão aritmética 
pertence ao intervalo: 
a) [– 2, – 1] d) [1, 2] 
b) [– 1, 0] e) [2, 3] 
c) [0, 1] 
 
23. (Q5-ITA/2001) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 
5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma sequência 
de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos 
lados de um triângulo são os vértices do seguinte. 
Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros 
quadrados que está mais próximo da soma das áreas 
dos 78 primeiros triângulos assim construídos, 
incluindo o triângulo inicial, é: 
a) 8 d) 11 
b) 9 e) 12 
c) 10 
 
24. (Q7-ITA/2001) A respeito das combinações 
n
2n
a
n
 
=   
e n
2n
b
n 1
 
=  − 
 temos que, para cada n = 1, 
2, 3, ..., a diferença an – bn é igual a: 
a) na1n
!n
+
 d) na1n
2
+
 
 
b) na1n
n2
+
 e) na1n
1
+
 
 
c) na1n
n
+
 
 
 
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25. (Q26-ITA/2002) Sejam n ≥ 2 números reais positivos 
a1, a2, ... an que formam uma progressão aritmética de 
razão positiva. Considere An = a1 + a2 + ... + an e 
responda, justificando: Para todo n ≥ 2, qual é o maior 
entre os números 
2
n
n
A a
n
 −  
 e 
2
2n
n
A a ?
n
  −  
 
 
26. (Q27-ITA/2002) Considere n pontos distintos A1, A2, 
..., An sobre uma circunferência de raio unitário, de 
forma que os comprimentos dos arcos �1 2A A , 
�
2 3A A ,..., �n 1 nA A− formam uma progressão 
geométrica de termo inicial π e razão 
2
1 . Para que 
valores de n ∈ N teremos o comprimento do arco 
�
n 1A A menor que 
1
512
 do comprimento da 
circunferência? 
 
 Obs.: Para todo arco �kA A� , o comprimento 
 considerado é o do arco que une o ponto Ak ao 
 ponto A� no sentido anti-horário. 
 
27. (Q5-ITA/2003) Considere o polinômio P(x) = 2x + a2x2 
+ ... + anxn, cujos coeficientes 2, a2, ... an formam, nesta 
ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. 
Sabendo que –
2
1 é uma raiz de P e que P(2) = 5460, 
tem-se que o valor de 4
32
q
qn − é igual a: 
 
a) 
4
5 c) 
4
7 e) 
8
15 
b) 
2
3 d) 
6
11 
 
 
28. (Q23-ITA/2003) Considere a seguinte situação 
baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, 
filósofo grego do século V a.C. Suponha que o atleta 
Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha 
reta, correndo com velocidades constantes vA e vT, 
com 0 < vT < vA. Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe 
dada uma vantagem inicial, de modo a começar a 
corrida no instante t = 0 a uma distância d1 > 0 na 
frente de Aquiles. Calcule os tempos t1, t2, t3, ... 
que Aquiles precisa para percorrer as distâncias d1, d2, 
d3, ..., respectivamente, sendo que, para todo n ≥ 2, dn 
denota a distância entre a tartaruga e Aquiles no instante 
∑
−
=
1n
1k
kt da corrida. Verifique que os termos tk, k = 1, 2, 
3, ..., formam uma progressão geométrica infinita, 
determine sua soma e dê o significado desta soma. 
 
29. (Q8-ITA/2004) Considere um polígono convexo de 
nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos 
constituem uma progressão aritmética de razão igual a 
5o. Então, seu maior ângulo mede, em graus: 
 
a) 120 c) 140 e) 160 
b) 130 d) 150 
30. (Q21-ITA/2005) Seja a1, a2, ... uma progressão 
aritmética infinita tal que ,n2na 2
n
1k
k3 π+=∑
=
 para n 
∈ �*. Determine o primeiro termo e a razão da 
progressão. 
 
31. (Q7-ITA/2006) Considere as seguintes afirmações 
sobre a expressão ( )101 kk 0 8S log 4 2== ∑ . 
I. S é a soma dos termos de uma progressão 
geométrica finita; 
II. S é a soma dos termos de uma progressão 
aritmética finita de razão 2/3; 
III. S = 3451; 
IV. S ≤ 3434 + log8 2 
 
 Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas: 
a) I e III d) II 
b) II e III e) III 
c) II e IV 
 
32. (Q26-ITA/2006) As medidas, em metros, do raio da 
base, da altura e da geratriz de um cone circular reto 
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de 
razão 2 metros. Calculea área total desse cone em m2. 
 
33. (Q28-ITA/2006) Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma 
progressão geométrica infinita de razão positiva r, em 
que a1 = a é um número real não-nulo. Sabendo que a 
soma de todos os termos de índices pares desta 
progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de 
todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, 
determine o valor de a + r. 
 
34. (Q6-ITA/2007) Se as medidas dos lados de um 
triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica 
de razão r, então r pertence ao intervalo 
a) 
( )0, 1 2
2
 +
 
  
 
b) 
( ) ( )1 2 1 5
,
2 2
 + +
 
 
 
 
c) 
( ) ( )1 5 1 5
,
2 2
 + +
 
 
 
 
d) 
( )1 5 2 2
,
2 2
 + +
 
  
 
e) ( )2 2 2 3,
2 2
 + + 
 
 
 
 
35. (Q23-ITA/2007) Seja k um número inteiro positivo e 
Ak = {j ∈ N: j ≤ k e mdc(j, k) = 1}. Verifique se n(A3), 
n(A9), n(A27) e n(A81) estão ou não, nesta ordem, numa 
progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, 
especifique a razão. 
 
 
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36. (Q5-ITA/2010) Considere a progressão aritmética 
(a1, a2, ..., a50) de razão d. Se 
10
n
n 1
a 10 25d
=
= +∑ 
e
50
n
n 1
a 4550
=
=∑ , então d – a1 é igual a: 
a) 3 d) 11 
b) 6 e) 14 
c) 9 
 
37. (Q22-ITA/2010) A progressão geométrica infinita 
(a1, a2, ..., an, ...) tem razão r < 0. Sabe-se que a 
progressão infinita (a1, a6, ..., a5n+1, ...) tem soma 8 e a 
progressão infinita (a5, a10, ..., a5n, ...) tem soma 2. 
Determine a soma da progressão infinita (a1, a2, ..., an, ...). 
 
38. (Q7-ITA/2012) Sabe-se que (x + 2y, 3x – 5y, 8x – 3y, 
11x–7y + 2z) é uma progressão aritmética com o 
último termo igual a –127. Então, o produto xyz é 
igual a: 
a) – 60 d) 30 
b) – 30 e) 60 
c) 0 
39. (Q09-ITA/2013) Considere a equação 
5
n
n
n 0
a x 0
=
=∑ em 
que a soma das raízes é igual a –2 e os coeficientes a0, 
a1, a2, a3, a4 e a5 formam, nesta ordem, uma progressão 
geométrica com a0 = 1. Então 
5
n
n 0
a
=
∑ é igual a 
a) –21 d) 63
32
 
b) – 2
3
 e) 63 
c) 21
32
 
 
40. (Q5-ITA/2016) Seja (a1, a2, a3...) a sequência definida 
da seguinte forma: a1 = 1000 e an = log10 (a + an–1) para 
n ≥ 2. Considere as afirmações a seguir: 
I. A sequência (an) é decrescente. 
II. an > 0 para todo n ≥ 1. 
III. an < 1 para todo n ≥ 3 
 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I 
b) apenas I e II 
c) apenas II e III 
d) I, II e III 
e) apenas III 
 
41. (Q3-ITA/2017) Sejam a, b, c, d ∈ R. Suponha que a, 
b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão 
geométrica e que a, b/2, c/4, d – 140 formem, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de 
d – b é 
a) –140. d) 120. 
b) –120. e) 140. 
c) 0 
42. (Q25-ITA/2017) Sejam A = {1, 2, ..., 29, 30} o 
conjunto dos números inteiros de 1 a 30 e (a1, a2, a3) 
uma progressão geométrica crescente com elementos 
de A e razão q > 1. 
a) Determine todas as progressões geométricas (a1, a2, 
a3) de razão q = 
3
2
. 
b) Escreva q = m
n
, com m, n ∈ Z e mdc(m, n) = 1. 
Determine o maior valor possível para n. 
 
43. (Q22-ITA/2018) Encontre o conjunto solução S ⊂ R 
da inequação exponencial: 
4
x 2 x k
k 1
10813 3 .
18
− +
=
+ ≤∑ 
 
NOTAÇÕES 
 
N = {1, 2, 3, ...} 
R: conjunto dos números reais 
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} 
[a, b[ = {x ∈ R; a ≤ x < b} 
]a, b[ = {x ∈ R; a < x < b} 
A\B = {x; x ∈ A e x ∉ B} 
 
 
 
 
 
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A 
n(A): número de elementos do conjunto finito A 
Arg z: argumento principal de z ∈ C \ {0}, Arg z ∈ [0, 2π[ 
f o g: função composta das funções f e g 
f ⋅ g : produto das funções f e g 
 
C: conjunto dos números complexos 
i: unidade imaginária: i2 = –1 
| z |: módulo do número z ∈ C 
z : conjugado do número z ∈ C 
Mmxn(R) : conjunto das matrizes reais m × n 
det A: determinante da matriz A 
At : transporte da matriz A 
A–1 : inversa da matriz inversível A 
 
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados 
são cartesianos retangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k
n 1 2 k
n 1
k
n k
n 0 1 k
n 0
a a a ... a , k
a x a a x ... a x ,k
=
=
= + + + ∈
= + + + ∈
∑
∑
�
�
 
 
VESTIBULAR POR ASSUNTO – MATEMÁTICA ITA – 1987 A 2018 
23 
OSG.: 124146/18 
 
MATRIZES / DETERMINANTES 
 
1. (Q18-ITA/1987) Considere P a matriz inversa da 
matriz M, onde 
1 0
3M=
1 1
7
 
 
 
 
  
. A soma dos elementos 
da diagonal principal da matriz P é: 
a) 9
4
 c) 4 e) 1
9
− 
b) 4
9
 d) 5
9
 
 
2. (Q19-ITA/1987) Seja λ um número real, I, a matriz 
identidade de ordem 2 e A, a matriz quadrada de 
ordem 2, cujos elementos aij são definidos por: 
aij = i + j. Sobre a equação em λ definida por 
det (A – λI) = det A – λ, qual das afirmações abaixo é 
verdadeira? 
a) Apresenta apenas raízes negativas. 
b) Apresenta apenas raízes inteiras. 
c) Uma raiz é nula e a outra negativa. 
d) As raízes são 0 e 5
2
. 
e) Todo λ real satisfaz esta equação. 
 
3. (Q20-ITA/1987) Quaisquer que sejam os números 
reais a, b e c, o determinante da matriz 
1 1 1 1
1 1 a 1 1
1 1 1 b 1
1 1 1 1 c
 
 + 
 +
 + 
 é dado por: 
 
a) ab + ac + bc d) abc + 1 
b) abc e) 1 
c) zero 
 
4. (Q21-ITA/1987) Seja P o determinante da seguinte 
matriz real: 
 
2
3
1 1 1 1
2 3 2 x
2 3 4 x
4 9 8 x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para se obter P < 0 é suficiente considerar x em R, 
tal que: 
 
a) 2 3x
2
+= d) 2 < x < 3 
b) 10 < x < 11 e) 9 < x < 10 
c) 3 x 2< < 
5. (Q16-ITA/1988) Sejam as matrizes: 
2 2sen cos sec cos
2 4 5 5A e B
2tg sen cos cot g
5 2
π π π π   
   
= =   
π π   π π      
 
 Se a = detA e b = detB, então o número complexo 
a + bi tem módulo igual a: 
a) 1 d) 2 2 
b) 2 2sen cos
5 5
π π+ e) 0 
c) 4 
 
6. (Q17-ITA/1988) Seja A uma matriz real que possui 
inversa. Seja n um número inteiro positivo e An o 
produto da matriz A por ela mesma n vezes. 
Das afirmações a seguir, a verdadeira é: 
a) An possui inversa, qualquer que seja o valor de n. 
b) An possui inversa apenas quando n = 1 ou n = 2. 
c) An possui inversa e seu determinante independe 
de n. 
d) An não possui inversa para valor algum de n, n > 1. 
e) Dependendo da matriz A, a matriz An poderá ou 
não ter inversa. 
 
7. (Q38-ITA/1988) Seja A uma matriz quadrada 
inversível, de ordem 3. Seja B a matriz dos cofatores 
da matriz A. Sabendo-se que detA = – 2, calcule detB. 
 
8. (Q22-ITA/1989) Sendo A, B, C matrizes reais n×n, 
considere as seguintes afirmações: 
I. A(BC) = (AB)C 
II. AB = BA 
III. A + B = B + A 
IV. det(AB) = det(A) ⋅ det(B) 
V. det(A + B) = det(A) + det(B) 
 
 Então podemos afirmar que: 
a) I e II são corretas. 
b) II e III são corretas. 
c) III e IV são corretas. 
d) IV e V são corretas. 
e) V e I são corretas. 
 
9. (Q23-ITA/1989) Considere a equação 
 
4 5 7 0
x 16 y 1 z 0 0 ,
4 2 3 0
       
       − + + =       
              
 onde x, y e z são 
números reais. É verdade que: 
a) a equação admite somente uma solução. 
b) em qualquer solução, x2 = z2. 
c) em qualquer solução, 16x2 = 9z2. 
d) em qualquer solução, 25y2 = 16z2. 
e) em qualquer solução, 9y2 = 16z2. 
 
 
 
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10. (Q24-ITA/1989) Se A = 
1 2 1
0 3 2
3 1 2
− 
 − 
 − − 
, então o 
elemento da terceira linha e primeira coluna de sua 
inversa será igual a: 
a) 5/8 
b) 9/11 
c) 6/11 
d) – 2/13 
e) 1/13 
 
11. (Q31-ITA/1989) Sabendo-se que x e y são reais tais 
que x + y = 3π/4, verifique se a matriz 
2tgx 1 tgx
1 tgy tgy
+ 
 + 
 é ou não é inversível. 
 
12. (Q14-ITA/1990) Considere a matriz 
A=
3
sen x 2
log 10 2sen x
 
 
 
, onde x é real. Então podemos 
afirmar que: 
a) A é inversível apenas para x > 0. 
b) A é inversível apenas para x = 0. 
c) A é inversível para qualquer x. 
d) A é inversível apenas para x da forma (2k + 1)π, 
k inteiro. 
e) A é inversível apenas para x da forma 2kπ, k inteiro. 
 
13. (Q15-ITA/1990) SejamA, B e C matrizes quadradas 
n×n tais que A e B são inversíveis e ABCA = At, 
onde At é a transposta da matriz A. Então podemos 
afirmar que: 
a) C é inversível e detC = det(AB)–1. 
b) C não é inversível pois detC = 0. 
c) C é inversível e detC = detB. 
d) C é inversível e detC = (detA)2 ⋅ detB. 
e) C é inversível e detC = det A
det B
. 
 
 Nota: det X denota o determinante da matriz 
 quadrada X. 
 
 
14. (Q15-ITA/1991) Sejam m e n números reais com 
m ≠ n e as matrizes: 
2 1 1 1
A , B .
3 5 0 1
−   
= =   
   
 
Para que a matriz mA + nB seja não inversível é 
necessário que: 
a) m e n sejam positivos. 
b) m e n sejam negativos. 
c) m e n tenham sinais contrários. 
d) n2 = 7m2 
e) nda 
 
 
15. (Q16-ITA/1991) Sejam M e B matrizes quadradas de 
ordem n tais que M – M–1 = B. Sabendo que Mt = M–1 
podemos afirmar que: 
a) B2 é a matriz nula. 
b) B2 = – 2I. 
c) B é simétrica. 
d) B é antissimétrica. 
e) nda 
 
Notações: Mt e M–1 denotam, respectivamente, a matriz 
 transposta de M e a matriz inversa de M. Por I 
 denotamos a matriz identidade de ordem n. 
 
16. (Q6-ITA/1992) Considere a equação 
 
det
2 2 2
2 2 2
G(x) 2x F(x) 0
[G(x)] 4x [F(x)]
 
  = 
  
, 
 
onde F(x) = 
4 3
2
x x x 1
x
+ − + e G(x) = 
2x 1,
x
− 
com x ∈ R, x ≠ 0. 
 Sobre as raízes reais dessa equação, temos: 
a) duas delas são negativas. 
b) uma delas é um número irracional. 
c) uma delas é um número par. 
d) uma delas é positiva e a outra é negativa. 
e) nda 
 
17. (Q10-ITA/1992) Seja A ∈ M3×3 tal que det A = 0. 
Considere as afirmações: 
I. Existe X ∈ M3×1 não nula tal que AX é 
identicamente nula. 
II. Para todo Y ∈ M3×1, existe X ∈ M3×1, tal que AX = Y. 
III. Sabendo que 
1 5
A 0 1
0 2
   
   =   
      
 
 
 então a primeira linha da transposta de A é [5 1 2]. 
Temos que: 
a) Todas são falsas. 
b) Apenas II é falsa. 
c) Todas são verdadeiras. 
d) Apenas I e II são verdadeiras. 
e) n.d.a. 
 
18. (Q11-ITA/1992) Seja C = {X ∈ M2x2; X2 + 2X = O}. 
Dadas as afirmações: 
I. Para todo X ∈ C, (X + 2I) é inversível. 
II. Se X ∈ C e det(X + 2I) ≠ 0, então X não é 
inversível. 
III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 então det X > 0. 
 
Podemos dizer que: 
a) todas são verdadeiras. 
b) todas são falsas. 
c) apenas (II) e (III) são verdadeiras. 
d) apenas (I) é verdadeira. 
e) nda 
 
 
 
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19. (Q9-ITA/1993) Dadas as matrizes reais 
 
2 x 0
A y 8 2
1 3 1
 
 =  
  
 e 
2 3 y
B 0 8 2
x 3 x 2
 
 =  
 − 
 analise as 
afirmações: 
I. A = B ⇔ x = 3 e y = 0. 
II. A + B = 
4 5 1
1 16 4 x 2 e y 1.
3 6 1
 
  ⇔ = = 
  
 
III. 
0 1
A 1 3 x 1.
0 3
   
   = ⇔ =   
      
 
 
e conclua 
a) apenas a afirmação II é verdadeira. 
b) apenas a afirmação I é verdadeira. 
c) as afirmações I e II são verdadeiras. 
d) todas as afirmações são falsas. 
e) apenas a afirmação I é falsa. 
 
20. (Q10-ITA/1993) Seja A a matriz 3×3 dada por 
1 2 3
A 1 0 0
3 0 1
 
 =  
  
. Sabendo que B é a inversa de A, então a 
soma dos elementos de B vale: 
a) 1 d) 0 
b) 2 e) −2 
c) 5 
 
21. (Q11-ITA/1993) Sabendo que a soma das raízes da 
equação 
1 1 0 2
x 0 x 0
0
0 b x x
b x 2 b
−
= é –8/3 e que S é o 
conjunto destas raízes, podemos afirmar que: 
a) S ⊂ [−17, −1] 
b) S ⊂ [1, 5] 
c) S ⊂ [−1, 3] 
d) S ⊂ [−10, 0] 
e) S ⊂ [0, 3] 
 
22. (Q10-ITA/1994) Sejam A e I matrizes reais quadradas 
de ordem 2, sendo I a matriz identidade. Por T 
denotamos o traço de A, ou seja, T é a soma dos 
elementos da diagonal principal de A. Se T ≠ 0 e λ1, λ2 
são raízes da equação det(A – λI) = det(A) – det(λI), 
então: 
a) λ1 e λ2 independem de T. 
 
b) λ1 ⋅ λ2 = T 
 
c) λ1 ⋅ λ2 = 1 
d) λ1 + λ2 = T
2
 
e) λ1 + λ2 = T 
 
23. (Q11-ITA/1994) Sejam A e P matrizes reais quadradas 
de ordem n tais que A é simétrica (isto é, A = At) e P é 
ortogonal (isto é, PP t = I = P tP), P diferente da matriz 
identidade. Se B = P t AP então: 
a) AB é simétrica. d) BA = AB. 
b) BA é simétrica. e) B é ortogonal. 
c) det A = det B. 
 
24. (Q12-ITA/1994) Seja A uma matriz real quadrada de 
ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz identidade 
de ordem n. Supondo que A seja inversível e 
idempotente (isto é, A2 = A) considere as afirmações. 
I. B é idempotente; 
II. AB = BA; 
III. B é inversível; 
IV. A2 + B2 = I; 
V. AB é simétrica. 
 
Com respeito a estas afirmações temos: 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas uma é verdadeira. 
c) apenas duas são verdadeiras. 
d) apenas três são verdadeiras. 
e) apenas quatro são verdadeiras. 
 
25. (Q14-ITA/1995) Dizemos que duas matrizes n×n A e 
B são semelhantes se existe uma matriz n×n inversível 
P tal que B = P–1AP. Se A e B são matrizes 
semelhantes quaisquer, então: 
a) B é sempre inversível. 
b) Se A é simétrica, então B também é simétrica. 
c) B2 é semelhante a A. 
d) Se C é semelhante a A, então BC é semelhante a 
A2. 
e) det(λI – B) = det(λI – A), onde λ é um real 
qualquer. 
 
26. (Q15-ITA/1995) Sejam A e B matrizes reais 3×3. Se 
tr(A) denota a soma dos elementos da diagonal 
principal de A, considere as afirmações: 
I. tr(At) = tr(A) 
II. Se A é inversível, então tr(A) ≠ 0. 
III. tr(A + λB) = tr(A) + λtr(B), para todo λ ∈ R. 
 
Temos que: 
a) todas as afirmações são verdadeiras. 
b) todas as afirmações são falsas. 
c) apenas a afirmação I é verdadeira. 
d) apenas a afirmação II é falsa. 
e) apenas a afirmação III é falsa. 
 
27. (Q1-ITA/1996) Seja a ∈ R, a > 0 e a ≠ 1 e considere a 
matriz A = 
2
a 10
a a
a 10
log 3a log (3a)
log 1/ a log a
log 1 log 1
 
 − 
  
. Para que a 
característica de A seja máxima, o valor de a deve ser 
tal que: 
a) a ≠ 10 e a ≠ 1/3 d) a ≠ 2 e a ≠ 3 
b) a ≠ 10 e a ≠ 1/3 e) a ≠ 2 e a ≠ 10 
c) a ≠ 5 e a ≠ 10 
 
 
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28. (Q13-ITA/1996) Considere A e B matrizes reais 2×2, 
arbitrárias. Das afirmações abaixo assinale a 
verdadeira. No seu caderno de respostas, justifique a 
afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que 
cada uma das demais é falsa. 
a) Se A é não nula então A possui inversa. 
b) (AB)t = AtBt 
c) det (AB) = det (BA) 
d) det A2 = 2 det A 
e) (A + B)(A – B) = A2 – B2 
 
29. (Q14-ITA/1996) Seja a ∈ R e considere as matrizes 
reais 2×2 A = 
a
a
3 1
1 3
 −
 − 
 e B = 
a 1 a 3
3
7 8
7 2
− −
−
 
 
 
. O 
produto AB será inversível se, e somente se: 
 
a) a2 – 5a + 6 ≠ 0 d) a2 – 2a + 1 ≠ 0 
b) a2 – 5a ≠ 0 e) a2 – 2a ≠ 0 
c) a2 – 3a ≠ 0 
 
30. (Q8-ITA/1997) Sejam A, B e C matrizes reais 
quadradas de ordem n e não nulas. Por O denotamos a 
matriz nula de ordem n. Se AB = AC considere as 
afirmações: 
I. A2 ≠ O 
II. B = C 
III. det B ≠ 0 
IV. det(B – C) = 0 
 
Então: 
a) todas são falsas. 
b) apenas a afirmação I é verdadeira. 
c) apenas a afirmação II é verdadeira. 
d) apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
e) apenas a afirmação III é verdadeira. 
 
31. (Q20-ITA/1997) Considere as matrizes 
A = 
2 0 1
0 2 0
1 0 2
 
 
 
 
 e B = 
1 0 1
0 2 0
1 0 1
− 
 −
 
− 
. 
Sejam λ0, λ1 e λ2 as raízes da equação det(A – λI3) = 0 
com λ0 ≤ λ1 ≤ λ2. Considere as afirmações: 
I. B = A – λ0I3 
II. B = (A – λ0I3)A 
III. B = A(A – λ2I3) 
 
Então: 
a) todas as afirmações são falsas. 
b) todas as afirmações são verdadeiras. 
c) apenas I é falsa. 
d) apenas II é falsa. 
e) apenas III é verdadeira. 
 
32. (Q3-ITA/1998) Sejam A e B matrizes reais quadradas 
de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: 
existe uma matriz M inversível tal que A = M–1BM. 
Então: 
a) det (–At) = det B 
b) det A = – det B 
c) det (2A) = 2 det B 
d) Se det B ≠ 0, então det (–AB) < 0 
e) det (A – I) = – det (I – B) 
33. (Q17-ITA/1998) Sejam as matrizes de ordem 2, 
A = 
2 a a
1 1
+ 
 
 
 e B = 
1 1
a 2 a
 
 + 
. Então, a soma 
dos elementos da diagonal principal de (AB)–1 é igual a: 
a) a+ 1 d) 1
4
(1 + 2a + a2) 
b) 4(a + 1) e) 1
2
(5 + 2a + a2) 
c) 1
4
(5 + 2a + a2) 
 
34. (Q7-ITA/1999) Considere as matrizes 
 A = 
1 0 1
0 1 2
− 
 − 
, I = 
1 0
0 1
 
 
 
, X = 
x
y
 
 
 
 e B = 
1
2
 
 
 
. 
 
Se x e y são soluções do sistema (AAt – 3I)X = B, 
então x + y é igual a: 
a) 2 d) – 1 
b) 1 e) – 2 
c) 0 
 
35. (Q8-ITA/1999) Sejam x, y e z números reais com y ≠ 0. 
Considere a matriz inversível A = 
x 1 1
y 0 0
z 1 1
 
 
 
 − 
. 
Então: 
a) A soma dos termos da primeira linha de A–1 é 
igual a x + 1. 
b) A soma dos termos da primeira linha de A–1 é 
igual a 0. 
c) A soma dos termos da primeira coluna de A–1 é 
igual a 1. 
d) O produto dos termos da segunda linha de A–1 é 
igual a y. 
e) O produto dos termos da terceira coluna de A–1 é 
igual a 1. 
 
36. (Q19-ITA/2000) Considere as matrizes 
1 1 3 1 0 2 0 x
M 0 1 0 , N 3 2 0 , P 1 e X y .
2 3 1 1 1 1 0 z
−       
       = = = =       
              
 
 Se X é a solução de M–1 NX = P, então x2 + y2 + z2 é 
igual a: 
a) 35 d) 14 
b) 17 e) 29 
c) 38 
 
37. (Q20-ITA/2000) Sendo x um número real positivo, 
considere as matrizes 
 










−−
=




−
=
4
0
xlog
xlog3
1
0
B
e
1
1
xlog
xlog
0
xlog
A
2
3/1
3/1
3
2
3/13/1
 
 
 
 
 
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27 
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 A soma de todos os valores de x para os quais 
(AB) = (AB)T é igual a: 
a) 
3
25 d) 
2
27 
b) 
3
28 e) 
2
25
 
c) 
3
32 
 
38. (Q21-ITA/2000) Considere as matrizes reais
e
c00
1b0
00a
M










= 










=
100
010
001
I , em que a ≠ 0 e a, 
b e c formam, nesta ordem, uma progressão 
geométrica de razão q > 0. Sejam λ1, λ2 e λ3 as raízes 
da equação det(M – λI) = 0. Se λ1λ2λ3 = a e λ1 + λ2 + 
λ3 = 7a, então a2 + b2 + c2 é igual a: 
a) 
8
21 
b) 
9
91 
c) 
9
36 
d) 
16
21 
e) 
36
91 
 
39. (Q8-ITA/2001) Sejam A e B matrizes n×n, B uma 
matriz simétrica. Dadas as afirmações: 
I. AB + BAT é simétrica; 
II. A + AT + B é simétrica; 
III. ABAT é simétrica. 
 
Temos que: 
a) apenas I é verdadeira. 
b) apenas II é verdadeira. 
c) apenas III é verdadeira. 
d) apenas I e III são verdadeiras. 
e) todas as afirmações são verdadeiras. 
 
40. (Q9-ITA/2001) Considere a matriz 












=
642781
16941
4321
1111
A . A soma dos elementos da 
primeira coluna da matriz inversa de A é: 
a) 1 d) 4 
b) 2 e) 5 
c) 3 
 
 
41. (Q13-ITA/2002) Seja a matriz .
390cos120sen
65sen25cos
oo
oo






 
 O valor de seu determinante é: 
a) 
3
22 d) 1 
b) 
2
33 e) 0 
c) 
2
3 
42. (Q14-ITA/2002) Sejam A e B matrizes quadradas de 
ordem n tais que AB = A e BA = B. Então, [(A + B)t]2 
é igual a: 
a) (A + B)2 
b) 2(At ⋅ Bt) 
c) 2(At + Bt) 
d) At + Bt 
e) AtBt 
 
43. (Q11-ITA/2003) Sejam A e P matrizes n×n inversíveis 
e B = P–1AP. Das afirmações: 
 
I. BT é inversível e (BT)–1 = (B–1)T. 
II. Se A é simétrica, então B também o é. 
III. det(A – λI) = det(B – λI), ∀λ ∈ R. 
 
é(são) verdadeira(s): 
 
a) todas. 
b) apenas I. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
e) apenas II e III. 
 
44. (Q26-ITA/2003) Sejam a, b, c e d números reais 
não-nulos. Exprima o valor do determinante da matriz 














2
2
2
2
dd1abc
cc1abd
bb1acd
aa1bcd
na forma de um produto de números 
reais. 
 
45. (Q6-ITA/2004) Seja x ∈ R e a matriz 
.
5log2
)1x(2
A
2
x
12x





 +
=
−
 Assinale a opção correta. 
 
a) ∀x ∈ R, A possui inversa. 
b) Apenas para x > 0, A possui inversa. 
c) São apenas dois valores de x para os quais 
A possui inversa. 
d) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. 
e) Para x = log2 5, A não possui inversa. 
 
46. (Q10-ITA/2004) Considere as afirmações dadas a 
seguir, em que A é uma matriz quadrada n×n, n ≥ 2. 
I. O determinante de A é nulo se, e somente se, 
A possui uma linha ou uma coluna nula. 
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, 
j = 1, 2, ..., n, então detA = a11a22... ann. 
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira 
coluna por 2 1+ e a segunda por 2 1,− 
mantendo-se inalteradas as demais colunas, então 
det B = det A. 
 
Então, podemos afirmar que é(são) verdadeira(s): 
 
a) apenas II. 
b) apenas III. 
c) apenas I e II. 
d) apenas II e III. 
e) todas. 
 
 
 
 
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OSG.: 124146/18 
47. (Q28-ITA/2004) Se A é uma matriz real, considere as 
definições: 
 
I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se, e só se, A 
for inversível e A–1 = AT. 
II. Uma matriz quadrada A é diagonal se, e só se, aij = 
0, para todo i, j = 1, ..., n, com i ≠ j. 
 
 Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, 
simultaneamente, diagonais e ortogonais. 
 
48. (Q23-ITA/2005) Sejam A e B matrizes 2×2 tais que 
AB = BA e que satisfazem à equação matricial 
A2 + 2AB – B = 0. Se B é inversível, mostre que: 
 
a) AB–1 = B–1A 
b) A é inversível. 
 
49. (Q12-ITA/2006) Se det
a b c
p q r 1
x y z
 
  = − 
  
, então o valor 
 
 do det
2a 2b 2c
2p x 2q y 2r z é
3x 3y 3z
− − − 
 + + + 
  
 igual a: 
 
a) 0 
b) 4 
c) 8 
d) 12 
e) 16 
 
50. (Q27-ITA/2006) Sejam as matrizes 
 
1 0 1/ 2 1
2 5 2 3
A e
1 1 2 1
5 1 3/ 2 0
1 3 1/ 2 1
1 2 2 3
B
1 1 1 1
5 1 1/ 2 5
− 
 − − =
 −
 − 
− 
 − − =
 −
 − 
 
 
 
Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B)–1. 
 
51. (Q15-ITA/2007) Sejam A = (ajk) e B = (bjk), duas 
matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk são, 
respectivamente, os elementos da linha j e coluna k 
das matrizes A e B, definidos por ajk = 
j
k
 
  
, quando 
j ≥ k, ajk = 
k
j
 
  
, quando j < k e 
jk
p
jk
p 0
jk
b ( 2)
p=
 
= −   ∑ . 
 
O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n é 
definido por 
n
ppp 1
c
=∑ . Quando n for ímpar, o traço de 
A + B é igual a 
 
a) n(n 1)
3
− d) 
 
b) (n 1)(n 1)
4
− + e) (n 1)
(n 2)
−
−
 
 
c) 
2(n 3n 2)
(n 2)
− +
−
 
 
52. (Q4-ITA/2008) Sejam A e C matrizes n×n inversíveis 
tais que ( )1 1det I C A 3−+ = e det A 5= . Sabendo-se 
que ( )t1 1B 3 A C− −= + , então o determinante de B é 
igual a: 
a) 3n d) 
n 13
5
−
 
b) 
n
2
32
5
⋅ e) n 15 3 −⋅ 
c) 1
5
 
 
53. (Q25-ITA/2008) Uma matriz real quadrada A é 
ortogonal se A é inversível e 1 tA A− = . Determine 
todas as matrizes 2×2 que são simétricas e ortogonais, 
expressando-as, quando for o caso, em termos de seus 
elementos que estão fora da diagonal principal. 
 
54. (Q26-ITA/2009) Sejam A, B ∈ M3 × 3 (R). Mostre as 
propriedades abaixo: 
a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X ∈ M3 × 3 
(R), então A é a matriz nula. 
b) Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz 
nula, então det A = det B = 0. 
 
55. (Q13-ITA/2010) Considere a matriz 
 
1 2 3
4 5 3 3
6
a a a
A 0 a a M ( )
0 0 a
×
 
 = ∈ 
  
� , 
 
 em que a4 = 10, det A = –1000 e a1, a2, a3, a4, a5 e a6 
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de 
razão d > 0. Pode-se afirmar que 1a
d
é igual a: 
a) – 4 
b) – 3 
c) – 2 
d) – 1 
e) 1 
 
3(n 1)
n
−
 
 
VESTIBULAR POR ASSUNTO – MATEMÁTICA ITA – 1987 A 2018 
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OSG.: 124146/18 
56. (Q14-ITA/2010) Sobre os elementos da matriz 
1 2 3 4
1 2 3 4
4 4
x x x x
y y y y
A M ( )
0 0 0 1
1 0 0 0
×
 
 
 = ∈
 
 
 
� , 
 sabe-se que (x1, x2, x3, x4) e (y1, y2, y3, y4) são duas 
progressões geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 
255, respectivamente. Então, det (A–1) e o elemento 
(A–1)23 valem, respectivamente, 
a) 1 e 12
72
 d) 1 1e
72 12
− 
 
b) 1 e 12
72
− − e) 1 1e
72 12
 
 
c) 1 e 12
72
− 
 
 
57. (Q7-ITA/2011) Considere as afirmações abaixo: 
I. Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não 
nula e não inversível, então existe matriz não nula 
N, de mesma ordem, tal que