ufrgs 2005 res mat

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Provas resolvidas da UFRGS 2005 
 
Matemática 
01. Resposta (B) 
 
02. Resposta (D) 
 
03. Resposta (E) 
 
04. Resposta (C) 
 
 
 
 
05. Resposta (B) 
 
06. Resposta (D) 
 
07. Resposta (D) 
 
08. Resposta (E) 
 
 
 
 
 
09. Resposta (E) 
Extremidades do gráfico na mesma 
posição relativa ao eixo x � grau par 
Gráfico intercepta o eixo dos y no ponto 
y = 0 � termo independente nulo 
10. Resposta (A) 
 
 
11. Resposta (A) 
A única opção em que os números estão 
em P.A. e o teorema de Pitágoras se 
verifica é a referente ao triângulo I. 
12. Resposta (C) 
No primeiro mês de capitalização, 
considerando S como o saldo devedor, 
teremos 
 
 
 
 
 
 
13. Resposta (C) 
 
14. Resposta (E) 
 
15. Resposta (B) 
 
16. Resposta (D) 
 
 
 
 
 
17. Resposta (C) 
 
No intervalo tem uma 
única solução entre Como a 
função tangente tem período igual a 
, no intervalo de o número de 
soluções é igual a 5. Como 
 não há nenhuma solução 
adicional, e o número de soluções na 
porção não-negativa do intervalo dado é 
igual a 5. O mesmo raciocínio pode ser 
replicado com relação à porção não-
positiva do intervalo de referência, o 
que resulta em um total de 10 soluções. 
 
18. Resposta (A) 
 
 
 
19. Resposta (B) 
 
 
 
 
20. Resposta (B) 
Cada um dos triângulos correspondentes 
às pontas da estrela é isósceles, e os 
ângulos da base equivalem aos ângulos 
externos do pentágono regular central. 
 
Como a soma dos ângulos internos de 
um triângulo vale 180°, temos que cada 
um dos ângulos a, b, c, d e e mede 1. 
Logo, a soma dos ângulos a, b, c, d e e é 
igual a 180°. 
21. Resposta (E) 
O trapézio tem bases paralelas 
. A altura do 
trapézio pode ser determinada pelo 
triângulo retângulo cujos vértices são os 
ponto médios das bases do trapézio e o 
centro da base inferior do cubo, 
resultando em 
 
 
22. Resposta (C) 
Percebe-se, com base na reconstrução 
do cubo, que os número 1 e 4 ocupam 
faces opostas. Logo, os valores 2, 3, 5 e 
6 serão adjacentes à face de número 1, o 
que resulta no produto 2.3.5.6 = 180. 
 
 
23. Resposta (E) 
A referida “interseção de um plano que 
passa por seu vértice e pelo centro de 
sua base” representa a secção meridiana 
do cone. A partir da informação de que 
se trata de um triângulo retângulo de 
catetos iguais (isósceles), considerando 
que a geratriz mede x, teremos o 
diâmetro da base medindo e o raio 
da base medindo . Ao planificarmos 
a superfície lateral do cone, obteremos 
um setor circular cujo raio coincidirá 
com a geratriz x e cujo arco terá 
comprimento equivalente à medida da 
circunferência da base do cone, ou seja, 
 . 
A partir daí, vem 
 
 
24. Resposta (C) 
 
Como o vértice A do triângulo ABC está 
sobre a reta vertical , sua 
projeção perpendicular em relação ao 
eixo x é a altura do triângulo e divide a 
base BC, que inicialmente mede 2, em 
dois segmentos de medidas iguais a 4/3 
e 2/3. Considerando a altura h comum 
aos dois triângulos retângulos 
originados, 
 
 
25. Resposta (D) 
 
Considerando a situação de dupla 
tangência aos eixos coordenados e a 
circunferência situada no primeiro 
quadrante, conclui-se que a medida do 
raio e as coordenadas do centro da 
circunferência têm o mesmo valor. 
( x – a )² + ( y – a )² = a² 
Pela condição de pertinência do ponto, 
que pode tanto ter coordenadas (2,9) 
quanto (9,2), vem que 
( 2 – a) ² + ( 9 – a )² = a² � - 22a +85 = 
0 
A soma das raízes, portanto, vale 
 
26. Resposta (D) 
 
Logo, a equipe vencedora foi a equipe I, 
com um total de 22 pontos. 
 
 
 
 
27. Resposta (A) 
 
A partir daí, conclui-se que 
y = 2x - 1 e x = z. Portanto, 
(x, 2x, - 1, x) representa a forma das 
ternas procuradas. 
 
28. Resposta (A) 
 
Total de possibilidades de acendimento 
de 5 lâmpadas = 
Total de possibilidades de acendimento 
de 4 lâmpadas = . 
Probabilidade de que apareça no painel 
exatamente o número 24 = 
 
 
29. Resposta (B) 
 
Os números de 3 algarismos menores 
que 500 são em número de 400 (vão do 
100 até o 499). As potências naturais de 
2 pertencentes ao intervalo são 
 Portanto, a 
probabilidade de ser um 
número natural é igual a 
 
30. Resposta (A)