análise de circuitos elétricos

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ANALISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOSANALISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
J.R. J.R. KaschnyKaschny
(2004)(2004)
Lei dos NósLei dos Nós
O somatório de todas as correntes que entram e saem de um nó é nulo.
Nó em um circuito elétrico é qualquer ponto/junção por onde flui uma corrente elétrica.
Esta lei expressa a continuidade do fluxo de cargas elétricas!
Lei das MalhasLei das Malhas
O somatório de todas as quedas ou elevações de tensões em uma malha é nulo.
Malha ou laço em um circuito elétrico é qualquer caminho fechado por onde flui uma corrente.
Esta lei expressa a conservação de energia!
Leis de Leis de KirchhoffKirchhoff
V1 + V2 + V3 = 0
I1 − I2 + I3 = 0
N1: I1 + I2 − I3 = 0 ⇒ I3 = I1 + I2
M1: V1 − R1I1 − R3I3 = 0 
M2: V2 − R2I2 − R3I3 = 0 com VRj = RjIj j∈{1,2,3}
(R1 + R2)I1 + R3I2 = V1
R3I1 + (R2 + R3)I2 = V2
EXEMPLOEXEMPLO::
323121
323
331 RRRRRR
)R(RR
R)R(R
∆ ++=+
+=
32321
322
31
1 RV)R(RV)R(RV
RV
∆ −+=+=
31312
23
131
2 RV)R(RVVR
V)R(R
∆ −+=+=
323121
323211
1 RRRRRR
RV)R(RV
∆
∆I ++
−+==
323121
313122
2 RRRRRR
RV)R(RV
∆
∆I ++
−+==
1 2 2 1
3
1 2 1 3 2 3
V R V RI
R R R R R R
+= + +
como:
portanto:
LINEARIDADELINEARIDADE
Um elemento linear é aquele elemento passivo que apresenta uma 
relação tensão-corrente linear.
Um circuito linear é aquele circuito composto inteiramente de 
fontes independentes, fontes dependentes lineares e elementos 
lineares.
Entendemos como fonte dependente linear toda a fonte 
dependente cuja magnitude seja uma função linear de alguma 
quantidade mensurável no circuito considerado. Se o parâmetro 
de controle for externo, esta fonte constituíra uma variável 
independente.
Exemplo: .... um resistor, onde V = R.I (Lei de Ohm)
SUPERPOSIÇÃOSUPERPOSIÇÃO
A corrente em qualquer elemento linear, ou a tensão através de 
qualquer elemento linear, de um circuito linear, é a soma das 
correntes ou tensões produzidas separadamente por cada fonte 
de energia (fonte de corrente ou tensão).
EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito anterior, vamos novamente determinar as correntes.
1o Passo: Substituindo V2 por um curto circuito!
( )321111 //RRRVI +=
32
32
32 RR
RR//RR +=
( )[ ] 1132312 IRRRI ⋅+=
( )[ ] 1132213 IRRRI ⋅+=
onde:
2o Passo: Substituindo V1 por um curto circuito!
( )312222 //RRRVI +=
31
31
31 RR
RR//RR +=
( )[ ] 2231321 IRRRI ⋅+=
( )[ ] 2231123 IRRRI ⋅+=
onde:
3o Passo: Aplicando a superposição!
I1 = I11 − I21 I2 = I22 − I12 I3 = I13 + I23
TEOREMA DE THEVENINTEOREMA DE THEVENIN
Qualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuito
que pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão 
e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalente
composto por uma fonte de tensão, com tensão igual a do 
circuito em aberto, em serie com uma resistência de valor igual 
a resistência equivalente medida no circuito original.
EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito original, vamos determinar a corrente I3.
via Thevenin
Rede de 2 terminais Circuito equivalente
1o Passo: Calculando VTh!
2o Passo: Calculando RTh!
21
21
21Th RR
RR//RRR +==
'
R222Th IRVV +=
0VIRIRV 2
'
R22
'
R111 =−−−
''
R2
'
R1 III ==
21
21'
RR
VVI +
−=( ) '2121 IRRVV ⋅+=−
21
21
22Th RR
VVRVV +
−⋅+=
21
2112
Th RR
RVRVV +
+=
com
⇒
⇒ ⇒
3o Passo: Calculando I3!
0IRIRV 333ThTh =−−
21
2112
33
21
21
RR
RVRVIR
RR
RR
+
+=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++
21
2112
3
21
323121
RR
RVRVI
RR
RRRRRR
+
+=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
++
323121
2112
3 RRRRRR
RVRVI ++
+=⇒
Que constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!
TEOREMA DE NORTONTEOREMA DE NORTON
Qualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuito
que pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão 
e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalente
composto por uma fonte de corrente, com corrente igual a 
corrente de curto circuito, em paralelo com uma resistência de 
valor igual a resistência equivalente medida no circuito original.
EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito original, vamos novamente determinar a corrente I3.
via Norton
Rede de 2 terminais Circuito equivalente
1o Passo: Calculando VN!
2o Passo: Calculando RN!
21
21
21N RR
RR//RRR +==
' ' 1 2
N R1 R2
1 2
V VI I I
R R
= + = +
1 2 2 1
N
1 2
VR V RI
R R
+=⇒
3o Passo: Calculando I3!
N
3N
N
3 IRR
RI +=
1 2
1 2 1 2 2 1
3
1 21 2
3
1 2
R R
R R VR V RI
R RR R R
R R
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎛ ⎞+⎝ ⎠⎢ ⎥= ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠+⎢ ⎥⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
323121
2112
3 RRRRRR
RVRVI ++
+=⇒
Que também constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!
EQUIVALÊNCIA ENTRE THEVENIN E NORTONEQUIVALÊNCIA ENTRE THEVENIN E NORTON
Via as definições de VTh, RTh, IN e RN, é possível constatar facilmente a intima relação 
entre ambos os teoremas, onde:
R
VIRRR ThNNTh === e
TEOREMA DE MILLMANTEOREMA DE MILLMAN
Um conjunto de N fontes de tensão, Vn (n=1,2,3, ...., N), 
associadas em paralelo, cada qual com uma resistência interna 
Rn, pode ser representado por uma única fonte de tensão V em 
serie com um resistor R, tal que:
∑∑
=
= ==
N
1n n
N
1n
nn
R
1
R
1
R1
RV
V
→
Demonstrando este teorema via indução, temos:
(i) Já que N = 1 é obviamente valido, vamos demonstrar o caso N = 2!
Determinando o circuito equivalente Thevenin, temos:
V
RR
RVRVVR
RR
RRR
21
1221
Th
21
21
Th =+
+==+= e
R1
RVRV
RR1
RR1
RR
RVRVV 2211
21
21
21
1221 +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+=⇒ √
(ii) Supondo que para N = M o teorema é valido .....
⇒ ∑∑
=
= ==
M
1n n
M
1n
nn
R
1
R
1
R1
RV
V
OK!
(iii) Vamos mostrar que para N = M+1 o teorema também é valido .....
⇒ ⇒
Aplicando novamente o teorema de Thevenin, temos:
V'
RR
RVVRVR'
R
1
RR
RRR
1M
1M1M
Th
1M
1n n1M
1M
Th =+
+==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=+= +
++
−+
=+
+ ∑ e
1
R'1
RVRV
RR1
RR1
RR
RVVRV' 1M1M
1M
1M
1M
1M1M ++
+
+
+
++ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+=⇒
R'1
RV
V'
1M
1n
nn∑+
==⇒ √ OK!
DUAL DO TEOREMA DE MILLMANDUAL DO TEOREMA DE MILLMAN
Um conjunto de N fontes de tensão, In (n=1,2,3, ...., N), 
associadas em serie, cada qual com uma resistência interna Rn, 
pode ser representado por uma única fonte de corrente I em 
paralelo com um resistor R, tal que:
∑∑
=
= ==
N
1n
n
N
1n
nn
RR
R
RI
I
.... 
.... +++
via o teorema de Thevenin ....
Vn= In.Rn n∈{1, 2, .... N}
⇒
e via o teorema de Norton obtemos o
resultado final, tal como anunciado.
∑∑
==
=⋅=
N
1n
nn
N
1n
n RRRIV
TEOREMA DE MILLERTEOREMA DE MILLER
O teorema de Miller estabelece que, analisando o circuito abaixo (esq.), obteremos:
Analisando o circuito original, temos:
V = R.I - Vy = R.I − a.V ⇒ V.(1 + a) = R.I
⇒ V/I = RM com RM = R/(1 + a)
ou seja:
“A resistência aparente de circuito, olhado sob o ponto de vista da fonte V, é (1 + a) 
vezes menor que o valor do elemento resistivo realmente presente.”
- Este é o chamado Efeito Miller -
MÁXIMA TRANFERENCIA DE POTÊNCIAMÁXIMA TRANFERENCIA DE POTÊNCIA
A máxima potência é transferida de uma fonte quando a resistência 
de carga, RL, é igual a resistência interna, Ri, da fonte.
L
RL 2
i L i L
2 L
RL RL
i L
V.RVI V
R R (R R )
RP I.V V .
R R
= =+ +
⇒ = = +
( )
2
RL L
L i2
L i Li L
quando
dP 2RV 1 0 R R
dR R RR R
⎡ ⎤= ⋅ − = =⎢ ⎥++ ⎣ ⎦
0
8
4
16
6
R
V
dR
Pd
3
i
2
RR
2
L
RL
2
iL
<⎥⎦⎤⎢⎣
⎡ −⋅=
=
⇒ RL = Ri é de fato um máximo!
No presente caso, teremos ainda: PRL = V2/4.Ri e Pfonte = V2/2.Ri
Portanto o rendimento será η = PRL/Pfonte = 50%
Transformação Y Transformação Y ↔↔ ∆∆
( )
CBA
CBA
3112 RRR
RRRRRR ++
+=+=
( )
CBA
BAC
2113 RRR
RRRRRR ++
+=+=
( )
CBA
CAB
3223 RRR
RRRRRR ++
+=+=
CBA
BA
3
CBA
CB
2
CBA
CA
1
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
++=
++=
++=
3
133221
C
1
133221
B
2
133221
A
R
RRRRRRR
R
RRRRRRR
R
RRRRRRR
++=
++=
++=
Y → ∆∆→ Y
Referencias bibliográficasReferencias bibliográficas
• Analise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt e Jack E. Kemmerly, editora 
McGraw-Hill do Brasil (1973).
• Circuitos Elétricos, Robert A. Bartkowiak, Makron Books do Brasil, Brasil (1999).
• Analise de Circuitos Elétricos, Victor da Fonte Dias, Instituto Superior Técnico - IFR, 
disponível em http://www.estg.ipleiria.pt/~lneves/ce_eic/capa.htm, Portugal (1996/97).