Nota de aula Lucro e fator empresarial Rodrigo Peñaloza UnB

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Nota de aula
Lucro como remuneração do fator empresarial oculto
Rodrigo Peñaloza, UnB
15 de maio de 2018
Nestas notas mostramos como uma tecnologia com retornos decrescentes de escala
pode ser imersa em uma tecnologia de dimensão mais alta e com retornos constantes de
escala pela introdução de um fator adicional, que, interpretado como fator empresarial
oculto, teria o lucro exatamente como sua remuneração fatorial. Antes, porém, recordemos
alguns resultados concernentes a tecnologias e cones convexos com vértice.
Considere uma tecnologia Y � R` tal que 0 2 Y (possibilidade de inação), Y é
fechado (regularidade) e Y + Y � Y (aditividade ou livre-entrada). Veremos a seguir
como tecnologias com formato de cone estão associadas a retornos constantes de escala e
livre-entrada.
Um conjunto C � R` é dito um cone convexo com vértice se: (a) 0 2 C; (b) se
x;y 2 C, então x+ y 2 C; (c) se x 2 C e t > 0 é um escalar, então tx 2 C. Se X � R` é
um conjunto qualquer, então cone(X) denota o cone gerado por X, isto é, o menor cone
que contém X:
cone(X) = fx� 2 R` : x� = �x, para algum � � 0 e algum x 2 Xg
O conceito de cone está intimamente ligado a tecnologias aditivas, salvis condicionibus.
Tecnologias aditivas, por sua vez, estão conectadas à ideia de livre-entrada na indústria.
Teorema: Seja Y uma tecnologia convexa e aditiva com possibilidade de inação.
Então Y é um cone convexo com vértice.
Demonstração: (i) Por hipótese, 0 2 Y , pela possibilidade de inação.
(ii) Sejam x;y 2 Y duas atividades viáveis quaisquer. Como Y é aditiva, x + y
também é viável, isto é, x + y 2 Y . Isso mostra a primeira propriedade de…nidora do
cone.
1
(iii) Seja t > 0 um escalar qualquer e y 2 Y uma atividade. Resta mostrar que ty 2 Y:
Como 0 2 Y e dado que Y é convexo, então, para 0 < t < 1, ty = ty + (1 � t)0 2 Y: O
caso t = 1 é trivial, pois, por hipótese, 1y = y 2 Y . O caso mais difícil é quando t > 1.
Para resolver o problema, de…na yo = 12y. Claramente, yo 2 Y , porquanto Y é convexo
e 0 2 Y . Agora vamos contar quantas metades de y cabem em ty. Buscando soluções
entre os números inteiros positivos, divida t por 1
2
e considere o resto r dessa divisão:
t 1
2
r d
Assim, t = 1
2
d + r, em que d é um número inteiro positivo e 0 � r < 1
2
: (Por exemplo,
se t = 4:8, então d = 9 e r = 0:3; se t = 1:7, então d = 3 e r = 0:2). Como yo =
1
2
y 2 Y , então, por aditividade, 2yo = yo + yo = y 2 Y . Por aditividade outra vez,
3yo = 2yo + yo 2 Y . Novamente por aditividade, 4yo = 3yo + yo 2 Y . Se esse processo
é repetido d vezes, então: dyo = (d � 1)yo + yo 2 Y . Dado que dyo 2 Y , então por
convexidade e possibilidade de inação, 1
2
dyo 2 Y . Por …m, como 0 � r < 12 e dado que Y
é uma tecnologia convexa e 0 2 Y , temos que ryo 2 Y , pois ryo = (1� r)0+ ryo: O caso
r = 0 é trivial. Ora, por aditividade mais uma vez:
tyo = (
1
2
d+ r)yo
=
1
2
dyo + ryo 2 Y
Isso mostra que tyo 2 Y . Em outras palavras, Y é um cone convexo com vértice. �
No teorema acima, exigimos que Y fosse uma tecnologia convexa e aditiva para que
Y fosse também, sob possibilidade de inação, um cone convexo com vértice. Entretanto,
a hipótese de convexidade é muito forte. Felizmente, pode-se mostrar que Y é um cone
convexo com vértice se apresentar retornos constantes de escala e for aditiva.
Teorema: O conjunto Y é uma tecnologia regular aditiva com retornos constantes
de escala e possibilidade de inação se, e somente se, Y é um cone convexo fechado com
vértice.
Demonstração: Suponha que Y é uma tecnologia regular aditiva com retornos con-
stantes de escala e possibilidade de inação. Vamos provar que Y é um cone convexo com
vértice e fechado em quatro passos. (i) Como Y é regular, então é um conjunto fechado.
(ii) Seja y 2 Y: Como Y apresenta retornos constantes de escala, 1
k
y 2 Y , para todo k > 0
2
inteiro positivo. Fazendo k ! 1 e dado que Y é fechado, temos limk!1 1ky = 0 2 Y .
(iii) Como Y é aditiva, então, dados x;y 2 Y , temos que x+ y 2 Y: (iv) Seja y 2 Y
uma atividade e seja t > 0 um escalar: Como Y apresenta retornos constantes de escala,
ty 2 Y . Este passo e os dois anteriores mostram que Y é um cone. Isso termina a
demonstração da necessidade.
Reciprocamente, seja Y um cone convexo com vértice e fechado. Vamos provar que
Y é uma tecnologia regular aditiva com retornos constantes de escala e possibilidade de
inação também em quatro passos. (a) Como Y é fechado, então Y é regular. (b) Como
Y é um cone com vértice, 0 2 Y , donde se tem que Y tem possibilidade de inação. (c)
Sejam x;y 2 Y . Como Y é um cone convexo, x+ y 2 Y e, portanto Y é uma tecnologia
aditiva. (d) Além disso, se t > 0 é um escalar, tx 2 Y , donde se tem que Y apresenta
retornos constantes de escala, o que termina a demonstração da su…ciência. �
Note que a condição de regularidade é importante. Se Y é um cone convexo com
vértice, mas não é fechado, então Y é uma tecnologia aditiva com retornos constantes de
escala, mas não é necessariamente regular. Com efeito, um cone convexo com vértice não
precisa ser fechado. Basta tomar, como exemplo, Y = R2++[f(0; 0)g. Mas se Y é fechado,
então Y é trivialmente regular. As condições de regularidade e de possibilidade de inação
são bastante razoáveis e não há muito por que se discutir sobre elas. O que o resultado
acima nos diz, por conseguinte, é que livre-entrada (ou livre reprodução da tecnologia)
e retornos constantes de escala descrevem univocamente tecnologias que, do ponto de
vista geométrico, são cones convexos. Numa situação de livre entrada ou de aditividade
tecnológica, retornos constantes de escala são a regra. Se, num ambiente assim, observam-
se retornos decrescentes de escala, então certamente agum fator de produção pode ter
sido esquecido, como, por exemplo, o fator empresarial. O teorema seguinte mostra que,
quando há retornos decrescentes de escala, sempre podemos adicionar um fator extra de
modo a obtermos retornos constantes.
Teorema: Seja Y � R` uma tecnologia fechada, convexa e com possibilidade de
inação. Então existe uma tecnologia regular aditiva com retornos constantes de escala e
possibilidade de inação Y � � R`+1 tal que Y = fy 2 R` : (y;�1) 2 Y �g:
Demonstração: De…na:
Y � = fy� 2 R`+1 : y� = �(y;�1) para algum y 2 Y e � � 0g
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ou seja, Y � = cone(Y � f�1g): Então Y � é um cone fechado, convexo e com vértice, isto
é, tal que 0 2 Y �, em que 0 2 R`+1. Logo, é uma tecnologia com retornos constantes
de escala. Além disso, por construção, Y = fy 2 R` : (y;�1) 2 Y �g: Com efeito, se
yo 2 Y , então, tomando � = 1, (yo;�1) 2 Y �. Reciprocamente, se yo 2 R` satisfaz
(yo;�1) 2 Y � = cone(Y � f�1g), então yo 2 Y: �
Esse fator adicional pode ser interpretado como o fator empresarial. Se, com retornos
decrescentes de escala a tecnologia gera lucro positivo, então esse lucro é um falso lucro,
pois pode ser tomado como a remuneração pelo fator empresarial, que não fazia parte da
tecnologia original. Assim, o lucro econômico seria, na verdade, nulo.
Seja �Y (w; p) = pq(w; p) � w0z(w; p) > 0 o lucro proveniente de uma tecnologia
com retornos estritamente decrescentes de escala, em que y(w; p) = (�z(w; p); q(w; p))
é o plano de produção ótimo sob o vetor de preços = (w; p) 2 Rm++ � R++, em que
m = ` � 1 é o número de fatores. Seja Y � a tecnologia com retornos constantes gerada
por Y pela adição do fator empresarial z�, cujo custo de oportunidade é w� > 0: O
vetor de preços fatoriais torna-se w� = (w; w�) 2 Rm+1++ e o vetor de preços torna-se
 � = (w�; p), isto é, � = (w; w�; p) 2 R`+1++ . A demanda fatorial torna-se z�(w; w�; p) =
(zo(w; w�; p); z�(w; w�; p)), sendo zo(w; w�; p) a demanda pelos outros fatores alterada
pela introdução do fator empresarial e z�(w; w�; q) a demanda pelo fator empresarial. O
produto torna-se qo = qo(w�; p). Sejaainda �Y �(w�; p) = 0 o lucro econômico associado
à tecnologia Y �, que sabemos ser nulo. Então:
�Y �(w�; p) = pqo �w0�z�(w�; p)
= pqo � (w; w�)0(zo(w; w�; p); z�(w; w�; p))
= pqo �w0zo(w; w�; p)� w�z�(w; w�; p)
Somando e subtraindo a receita inicial, pq(w; p), também somando e subtraindo o custo
inicial, w0z(w; p), temos:
�Y �(w�; p) = pqo � pq(w; p) + pq(w; p)�w0z(w; p) +
+w0z(w; p)�w0zo(w; w�; p)� w�z�(w; w�; p)
= p (qo � q(w; p))| {z }
p�q
+ pq(w; p)�w0z(w; p)| {z }
�Y (w;p)
�
�w0 (zo(w; w�; p)� z(w; p))| {z }�
w0�z
w�z�(w; w�; p)
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em que �z = zo(w; w�; q)�z(w; q) é a distorção na utilização dos demais fatores causada
pela ausência do fator empresarial na descrição da tecnologia e em que �q = qo� q(w; p)
é a distorção de produto. Assim:
�Y �(w�; p) = �Y (w; p) + p�q �w0�z� w�z�(w; w�; p)
A introdução do fator empresarial causaria, desse modo, uma distorção �y = (��z;�q)
no plano ótimo de produção aos preços dados. Então:
�Y �(w�; p) = �Y (w; p) + 
0�y � w�z�(w; w�; p)
Como �Y �(w�; p) = 0, então:
�Y (w; p) = w�z�(w; w�; p)� 0�y
ou seja, o suposto lucro positivo deve ser decomposto na remuneração do fator empresarial,
w�z�(w; w�; q); omisso na tecnologia original, menos o valor da distorção no plano ótimo
de produção, 0�y; causada pela omissão daquele fator. Ora, o fator empresarial foi
desconsiderado na tecnologia inicial, mas o plano de produção foi ótimo com a presença
do fator empresarial, mesmo que o não tenhamos reconhecido. Então, por de…nição,
devemos ter �y = 0, pois o problema é, no fundo, apenas o reconhecimento da existência
do fator empresarial e de sua responsabilidade pelo plano de produção ótimo. Portanto,
o valor da distorção também é nulo, de modo que:
�Y (w; p) = w�z�(w; w�; p)
Em outras palavras, o suposto lucro positivo é a remuneração do fator empresarial oculto.
A teoria neoclássica não considera o papel do empresário de forma explícita. É im-
portante distinguir entre a função exercida pelo empreendedor e a função exercida pelo
gerente da empresa. O gerente cuida da parte operacional da produção. O empreendedor
corresponde mais àquilo que costumamos chamar de liderança. O lucro empresarial seria
a remuneração pelo empreendedorismo. Quais causas explicariam, então, o lucro? Bau-
mol enumera algumas, tais como os riscos assumidos, que são probabilizáveis, além da
incerteza não-probabilizável, e a capacidade de encontrar meios mais e…cientes e e…cazes
de promover R&D (research and developement). Cumpririam também papel importante
a capacidade de lidar com as estruturas de impostos e das taxas de juros1.
1Vide Baumol, W. (1968): “Entrepreneurship in economic theory”. American Economic Review,
58: 64-71.
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